为了简单起见，我们有时会支持s对(t，t，x，y，k)的依赖关系。然而，读者应该记住，在考虑n下，期权的隐含波动率确实取决于o n(t，t，x，y，k)，即使这没有被精确地指出。下面，我们将排除Black-Scholes价格和隐含波动率的解释，这将是本节的基本内容。给定byuBS(σ；τ,x,k):=exN(d+)-ekN(d-),d±:=σ√τx-k±στ,τ:=t-t,（3.1）,其中N是标准d正态随机变量的CDF。根据(2.16)tha t,当下列情况下：（x）=(ex-ek)+we有（t,x)=uBS(σ；t-t,x,k）,其中σ=st-tztta(s)ds,（3.2）,其中a=C1,1as in（2.15）,或者根据多指数表示法，a=a(2，0，...，0)，0。对于(τ,x,k）,与调用价格u∈((ex-ek)+,ex）相关的隐含波动率被定义为方程ubs(σ；τ,x,k)=u的唯一严格正实解σ。（3.3）3.1形式推导我们在这里给出了我们的隐含波动率展开式的形式推导，它是基于第2节中给出的pr ice展开式。在整个过程中(t，t，x，k)都是fix，因此我们使用短NotationUBS(σ)=uBS(σ;t-t，x，k)来表示Black-Scholes价格。考虑appr肟化物调用价格族，其指数为δu(δ)=nxn=0δnun=uBS(σ)+nxn=1δnu，δ∈[0,1]，(3.4),其中σ如（3.2）和函数un(t)=Ln(t,t)u(t)如定理2.6所给出。请注意，设置δ=1会产生我们的价格e xpansion。g(δ):=(uBS)-1(u(δ))，δ∈[0,1]。（3.5）求隐含波动率σ=g(1)。我们将在4.2节引理4.13中证明，对于任意δ∈[0,1]，在适当的假设下u(δ)∈((ex-ek)+，ex)。这保证了（3.5）中的g(δ)存在。通过将（3.5）的b边展开为δ中的泰勒级数，我们看到σ允许一个形式σ=g(1)=σ+∞xn=1σn,σn=n！nδg(δ)δ=0的展开。（3.6）注意，由（3.4）我们也有un=n！nδUBS(g(δ))δ=0,1≤n≤n。（3.7）可以通过应用附录B中给出的Faa di Bruno公式的贝尔多项式来计算（3.7）的右手边:un=n！nxH=1hσUBS(σ)Bn,hδg(δ),δg(δ)...,n-h+1δg(δ)δ=0,1≤n≤n.(3.8)结合（3.8）和（3.6）,可以用(σk)0≤k≤n-1来显式求解σn,y ieldsσn=unσubs(σ)-n！nxh=2bn,h(1，σ，2，σ，..,(n-h+1)！σn-h+1)hσubs(σ)σubs(σ)，1≤n≤n。（3.9）注意，σn的表达式（3.9）涉及两类项:un/σubs(σ)和nσubs(σ)/σubs(σ)。我们将证明这些项不需要任何数值积分或特殊函数就可以显式地计算出来。证明将依赖于下面的引理。引理3.4。设m≥0且取x(t，t，k，σ)。则MX(x-x)uBS(σ)(x-x)uBS(σ)=-στ2τMHM(ζ）,ζ：=x-k-στστ2τ,τ:=t-t,（3.10）其中Hn(ζ）：=(-1)neζnζeζ是第n个厄米多项式。使用Black-Scholes公式(3.1)，直接计算表明(x-x)uBS(σ)=σ√2πτeζ+K，其中ζ=ζ(x)如上。因此mx(x-x)uBS(σ)(x-x)uBS(σ)=eζmxe-ζ=σ√2τmez mζe-ζ=-1σ√2τmhm(ζ）,其中在最后一个e质量中，我们使用了第m个厄米多项式的定义n，重新定义上面的d。命题3.5。固定(t，t，k，σ)，设ζ和τ如引理3.4所示。那么对于任何n≥2，我们有nσubs(σ)σubs(σ)=n/2xq=0n-q-1xp=0cn，n-2qσn-2q-1τn-q-1p-σ√2τp+n-q-1hp+n-q-1(ζ）,其中coe cients（cn,n-2k）递归地由cn,n=1和cn,n-2q=(n-2q+1)cn-1，n-2q+1+cn-1，n-2q-1，q∈{1,2,···,n/2}求出。解算符J:=τ(x-x)。σubs(σ)=σjubs(σ)是经典的。对于任意n∈nnσubs(σ)=n/2xq=0cn,n-2qσn-2qjn-qbs(σ),(3.11),其中cn,n=1和cn,n-2q=(n-2q+1)cn-1,n-2q+1+cn-1,n-2q-1,n/2},(3.11)的证明是一个简单而乏味的递归关系，为了简洁起见，我们略去了它。

现在，我们计算nσuBS(σ)σuBS(σ)=n/2xq=0cn,n-2qσn-2qτn-q(x-x)n-qbs(σ)σuBS(σ)=n/2xq=0cn,n-2qσn-2qτn-q(x-x)n-q-1(x-x)uBS(σ)τσ(x-x)uBS(σ)=n/2xq=0cn,n-2qσn-2qτn-q(x-x)n-q-1(x-x)uBS(σ)=n/2xq=0cn n-2 q-1τn-q-1 n-q-1 p p+n-q-1 x（x-x）uBS(σ)（x-x）uBS(σ)=n/2 xq=0 n-q-1 xp=0cn,n-2 qσn-2 q-1τn-q-1 n-q-1 p-σ√2τp+n-q-1 hp+n-q-1(ζ），其中得到我们使用的最后一个等式（3.10）。修正(t，t，x，y)。对于每一个满足2.2的多项式展开式(An(t))，且前一个满足n∈n的多项式展开式，un/σUBS(σ)是形式σUBS(σ)=xmχ(n)m(t,t,x,y)-σ√2τMHM(ζ）,(3.12)的整数和，其中ζ和τ如引理3.4所示。coe-cientsχ(n)m(t,t,x,y）是x和y的显函数，在时间变量中包含迭代积分。如果迭代时间积分可以显式计算，则χ(n)m(t，t，x，y)在所有变量中都是显式的。从方程（2.25）和注记3.2我们观察到，对于d=1,2gi(t,s）u:=ai(s,Mx(t,s）,My(t,s））(x-x)uBS(σ)。对于波动率因子为d-1的一般LSV模型，我们得到了vemy(t,s）=(My(t,s）,My(t,s）,My(t,s）。..,myd-1(t，s))。因此，利用定理2.6我们得到了(t)σuBS(σ)=ln(t，t)(x-x)uBS(σ)=eln(t，t)(x-x)，(3.13)其中eln(t，t)=nxk=1zttdtzttdt··zttk-1dtkxi∈In,kGi(t，t)··gik-1(t，tk-1)aik(s，Mx(t，tk)，My(t，tk))。（3.14）teln(t，t)是c李尔）是一个关于x和y的导数的di-ertial算子，并且依赖于(t，t，x，y)的hascoe-cients。注意到对于所有m≥1的myubs(σ)=0，从（3.13）中可以清楚地看出，un/σuBS(σ)在形式mun(t)σuBS(σ)=xmχ(n)m(t,t,x,y)mx(x-x)uBS(σ)(x-x)uBS(σ)。（3.15）方程（3.12）由等式（3.15）和引理3.4得出。由于(χ(n)m)依赖于生成元a(t)的coe-cients和多项式展开式（An(t)）的选择，所以Coe-cients(χ(n)m)的seq ue nc e必须在cas e的逐个基础上得到。从命题ns 3.5和3.6可以明显看出，只要（3.14）中的迭代时间积分可以显式计算（多项式展开式（An(t)）中的Coe）在时间上是分段多项式时总是这样），则（3.9）中的每个项都可以计算，而不需要数值积分或SP-ecial函数，序列(σn)n≥1中每个σn的显式表达式可以手工计算。然而，由于项数g与n很快就行了，因此使用计算机代数程序（如Wolfram的Mathematica）是有帮助的。在附录C中，我们给出了对于n≤2的σn的显式表达式。A(t)的COE}CIE nts被展开为泰勒级数，如示例2.3所示。在作者的网站上，我们还提供了Mathematicanotebooks，其中包含了第5节所述LSV模型中n≤4时σn的表达式。当无风险利率是时间r(t)的确定性函数时，上述隐含波动性结果与k→k-rttr(s)ds一致。4泰勒展开式的渐近误差估计本节我们对第2节讨论的Cauchyproblem(2.2)的近似解以及第3节提出的隐含波动性的短期误差估计给出了点。在本节中，我们将假定t>0andn∈narefixed，(2.6)中的算子a(t)的COE满足以下假设：假设4.1。存在一个常数M使得：i）U niform椭圆度:m-1ζ<dxi,j=1aij(t,z)ζi,j<Mζ,t∈[0,t],z,ζ,Rd.ii）正则性和有界性:coe的aij，ai∈C[0,t]×Rd和aij(t,·),ai(t,·)∈CN+1(Rd),其所有阶偏导数均以M为界,关于t∈[0,t],在假定4.1下,已知a(t)存在一个基本解λ(t,z；t,ζ）,它是Cauchy问题（2.2）的一个公式。

等价地，对于任意T∈]0,T[和任意最多为指数增长的可测函数，向后抛物型Cauchy问题（2.2）允许唯一经典解u,它已知byu(T,z)=ZrDγ(T,z；T，ζ）dζ,T∈[0,T[,z∈RD。（4.1）另外，利用Feynman-Kac表示定理，函数γ(t,z；t,ζ）也是由A(t)生成的随机过程的转移密度。注4.2。假设4.1可以大大放宽。Pagliarani a nd Pascucci(2014)最近推广了主要结果（定理4.5a、nd推论4.6)，以包括数学中的大多数流行模型（如C EV、Hesto n、SABR、three-halves等）。现在考虑示例2.3中讨论的泰勒多项式展开式。明确指出对扩展点z的依赖关系将会很有帮助。特别地，对于任意的z∈Rd，我们考虑了polyno mialproteman(A(z)n(t))0≤n≤n，给定byA((z)n(t,z)A((z)n(t)):=xα≤2A(z)α,n(t,z)dαza((z)α)，n(·,z)=xβ=ndβzaα(·,z)β！(z-z)β,n≤n,(4.2)。我们分别定义了γ和u的N阶Taylor近似，其中心点为(z)N(t,z):=nxn=0u(.z)N(t,z,t,ζ）,(4.3)其中函数SU(.z)N(t,·)=L(.z)N(t,t)u(.z)(t,·),γ(.z)N(t,t)u(.z)(t,·),γ(.z)N(t,t)u(.z)(t,·),t，ζ=L(.z)N(t,t)'A(.z)N(.z)N(.z)(t,·),（4.4）如定理2.6所给出。请注意，对于一个被修改的T，u(.z)是被修改的，如由（4.4）修改的标记。还要注意，我们再次使用了上面的上标z来强调对taylorexpansion初始点的依赖。对于特定的选择(z=z)，我们给出以下定义：定义4.3。对于给定的成熟日期T，我们分别给出了u和ζ的N阶泰勒近似，即u(T，z):=u(z)N(T，z)，γN(T，z；T,ζ）:=μ(z)N(T，z；T,ζ），(4.5)，其中u(z)N(T，z)和μ(z)N(T，z；T,ζ）如(4.3)-(4.4)中所述。现在，我们给出了隐含波动扩展N的类似定义。正如我们在第3节中所做的那样，我们使用记号(x，y)∈R×RD-1来表示Rd中的一个点，因此我们将x从所有其他分量中分离出来，以便将对数价格从所有其他变量中区分出来（例如。varianc e过程，vol-vol工艺，对于到期日为T且对数罢工为k的看涨期权，我们将隐含波动率σ的N阶泰勒近似以(x，y)∈R×RD-1为中心，为σ(x，y)N(T,x,y,k):=σ(x，y)(T)+nxn=0σ(x，y)N(T,x,y,k)，T<T，(x，y)∈R×RD-1,(4.6)，其中，为了清楚起见，我们回忆σ(x，y)(T)=st-tztta(2,0,...,0)(s,x，y)ds,(4.7)σ(x，y)N(T,T,）x,y,k)=u(\'x,y）N（T,x,y,k)σubsσ(\'x,y）(T)；t-t,x,k-n！nxh=2bn,h1！σ（x,y）,2！σ（x,y）,。.，(n-h+1)！σ（x,y）n-h+1×hσubsσ(x,y）(t)；T-T,x,K-σUBSσ((x，y)(T)；t-t,x,k,n≥1,(4.8)u(\'x,y）n（T,x,y,k)=L(\'x,y）n（T,T）u(\'x,y）（T,x,k）=L(\'x,y）n（T,T）uBS(σ(\'x,y）(T)；t-t,x,k）。（4.9）几个音符是有序的。首先，我们将参数k添加到函数u(_x,_y）n中，以指示其依赖于日志罢工。如（4.9）所示，到期日T的函数u(_x,_y）ndepe nds。第三，在序列不过，为了清楚起见，我们没有用Bn，H1写所有这些论点！σ（x,y）,2！σ（x,y）,。.，(n-h+1)！σ(_x，_y)n-h+1。第四，我们再一次用上标(x，y)明确地指出了泰勒展开式对初始l点的依赖关系。对于特定的选择(x=x和y=y)，我们进行以下识别：识别4.4。

对于具有lo g str ike k和ma turity T的看涨期权，我们将隐含波动率σ的N阶泰勒近似定义为σN(T,x,y,k):=σ(x,y)N(T,x,y,k)，(4.10),其中σ(x,y)N(T,x,y,k)定义为(4.6)-(4.7)-(4.8)-(4.9)。4.1转移密度的误差估计和pric以下定理为err提供了一个渐近点态估计，即T→t-或通过用N阶r近似代替精确的转移密度来引入。定理4。5.设假设4.1成立，且设0<T≤T，则对于任一ε>0，我们有γ(T,z；T,ζ）-'Aγn(T,z；T,ζ）≤C(t-t)N+1àm+ε(T,z；T,ζ）,0≤T<T,z,ζ,Rd,(4.11),其中(γn(T,z；T,ζ）如(4.5)中所规定的，γm+ε(T,z；T,ζ）是热算符Hm+ε=(M+ε)dxi=1zi+T,(4.12)的基本解，C是只依赖于M,N,T和ε的正常数。结合m4.5和(4.1)我们得到了定价误差u(T,z)-un（T,z）的渐近估计。推论4.6。在定理4.5的假设下，对于任意0<T≤T,ε>0，我们得到u(T,z)-un（T,z)≤C(t-t)N+1 zrdàM+ε(T,z）；T,ζ）=(ζ）dζ,0≤T<T,z∈rd.（4.13）,其中un（T,z）如（4.5）所示。定理4.5的证明依赖于以下高斯估计（参见Friedman(1964),第1章）。引理4.7.设A(T)是满足假设4.1的双列算子，且设γ=γ(T,z；T,ζ）是对应于A(T)的基本解，则对于任意ε>0和β，γ∈nd，且γ≤N+3，我们有(z-ζ）βdγzà(T,z；T,ζ）≤C(t-t)β-γm+ε(T,z；T,ζ）,0≤T<T≤T,z,ζ,Rd,（4.14）,其中γM+ε是热算符（4.12）的基本解，C是一个正常数，它只依赖于M、N、T、ε和β。我们需要以下初步估计（参见（Lorig et al.，2013,引理6.23））引理4.8。在定理4.5的假设下，对于n≤n，Δ>0的任意n∈n，并且对于任意β∈Nd，我们有dβz~n(_z)n(t，z)≤C(t-t)n-β1+z-\\zn(t-t)-nàm+ε(t,z；t,ζ）,(4.15)对0≤t<t≤t,z,ζ,z∈rd成立。这里，函数γM+ε是热算符（4.12）的fu ndamental解，C是一个正常数，它只依赖于M、N、T、ε和β。定理4.5的证明。从（Lorig et al.，2013,定理3.8）中，对于任何给定的T≤T，(2.17)-(2.18)给出的函数(u(z)n)n≥1可以等价地定义为下列嵌套热型Cauchy问题序列的唯一非快速增长解:T+A(z)(T)u(z）n(T,z)=-nph=1A(z)h(T)u(z）n-h(T,z)，T<T,z∈Rd，u(z）n(T,z)=0,z∈Rd。（4.16）本文直接从（Lorig et al.，2013,定理3.10）中得到。为了完整性，我们在这里提供了Lorig等人给出的证明的草图。（2013年）。通过（4.16）可以很容易地证明:v(.z):=u-u(.z)n解(t+A(t))v(.z)(t,z)=-npn=0(A(t)-A(.z)n(t，z))u(.z)n-n(t,z)，t<t,z∈Rd，v(.z)(t,z)=0，z∈Rd，其中我们已经定义了A(.z)n(t)=nxi=0A(.z)i(t)。因此，通过Duhamel原理，我们得到u(t,z)-un(t,z)=ztzrdà(t,z）；s,ζ）nxn=0A(s)-[A(z)n(s)\\u(z)n-n(s,ζ）dζds,t<t,z∈rd。现在，通过（4.2）我们有(A(s)-[A(z)n(s))u(z)n-n(s,ζ）≤xα≤2A(z)α(s,ζ）-nxi=0A(z)α，n(s,ζ）=xα≤2Aα(z)n-n(s)=xα≤2Aα(z)n-n(s)-nxi=0xβ=ndβzaα(s,z)β！(ζ-z)βdαζu(z)n-n(z)n-n(s,ζ）≤mζ-Zn+1 xα≤2dαζu(z)n-n(s,ζ）,其中最后一行是假设4.1中的假设(ii)关于Coe_cient(Aα)α≤2。

最后，通过考虑u(z)n(t，z)='A(z)n(t，z，；T,ζ）=L(z)n(T,T)'A(z)(T,z；T,ζ）,我们得到γ(T,Z；T,ζ）-'Aγn(T,z；T,ζ）≤mnxn=0xα≤2ZtTzrd'A(T,z；s,ζ）ζ-Zn+1 dαζ(z)n-n(s,ζ；接着，本文重复应用高斯估计tes(4.14)和(4.15)，以及外群性质zrdγm+ε(T,z；s,ζ）ζm+ε(s,ζ；T,ζ）dζds=yenm+ε(T,z；4.2隐含挥发度的短时渐近我们给出了n阶隐含挥发度近似σn的误差估计(4.10)，在x-k≤λτt-t的UBSet x-k≤λτt-t是一个任意的，但有规定的正常数的情况下。定理4.9。设假设4.1成立，且λ>0。用σ(t，x，y，k)表示一个看涨期权的确切隐含挥发度，其执行时间为k，到期日为t。即σ(t,x,y,k）是ofuBS(σ；t-t,x,k)=u(t,x,y,k）的唯一正解，其中u是（2.2）的经典解σ，时间t终端条件为(x)=(ex-ek)+。然后N阶隐含波动率近似σN(t,x,y,k）,定义在(4.10)，即σ(t,x,y,k）-σN(t,x,y,k）≤C(t-t)N+1,0≤t<t≤t,y∈rd-1,x-k≤λ√t-t,(4.17),其中C是一个正常数t,t只取决于M、N、Tandλ。注4.10。在d=1的特殊情况下，上述结果与（Bompis and Gobet，2012,定理22）一致，其中已有局部波动率模型的隐含波动率近似。一个可怕的c-tcomputation表明，这样的展开式与我们的σ是等价的。尽管定理4.9对任意阶N∈N和任意维数d∈N成立，但Bompis和Gobet(2012)中的e stimate在较温和的条件下证明了g e ne rator a(t)和Taylor展开式的初始po int_x的三种不同选择:x=x，x=k和x=x+k。注4.11。定理4.9还为我们提供了在x=k和T=T下隐含波动率面关于T的n阶导数的显式表示。更确切地说，作为（4.17）的推论y，我们有:ntσ(t,x,y,k)t=t,k=x=nt=σn(t,x,y,k)t=t,k=x,n≥2n。（4.18）直接计算表明，对于n=0，(4.18)与Bere stycki等人的已知结果是一致的。（2002）和Berestycki等人。（2004年）。同样容易检验的是，我们的扩展给出了在极限a s t→t内的货币的隐含波动率的斜率。对于特殊情况=1，我们恢复了实践者的1/2s lope规则，该规则给出了隐含挥发率的到期日斜率为局部波动率函数斜率的一半，在此基础上，对到期日T∈(0,T)进行了修正。我们回忆Black-Scholes priceuBS(σ)=uBS(σ；t-t，x，k)，因为它在第3.1条中，我们用(uBS)-1(u；t-t，x，k)=(uBS)-1(u)表示它关于σ变量的逆。我们还引入了如下函数:u(δ)=u(δ；t,x,y,k):=nxn=0δnu(x,y)n(t,x,y,k)+δn+1 u-un（t,x,y,k)=ubsσ(x,y)(t)；t-t,x,k~+nxn=1δnu(x,y)n(T,x,y,k)+δn+1 u-un（T,x,y,k）,δ∈[0,1]，(4.19),我们使用了注释3.2。请注意，函数u(x，y)n(t，x，y，k)是根据（4.9）所示的成熟数据进行修改的。有可能证明（见Lorig et al.(2013))，在看涨期权的情况下，通过利用Payo（？）（x）=(Ex-Ek)+的局部Lipschitz连续性，可以改进估值（4.13）和估值（4.15）。

更确切地说，我们可以证明，对于任意对数罢工k∈R，我们有u(t,x,y,k)-\\un(t,x,y,k)≤C(t-t)N+2ubs√2m；T-T,x,K-,0≤T<T,(x,y)∈R×RD-1,且对于R a ny n∈n,n≤n,我们也有u(x,y)n(T,x,y,k)≤C(T-T)n+1 UBS√2m；T,x,k,0≤T<T,(x,y)∈R×RD-1,k∈R,其中C是只依赖于M,N和T的正常数。定理4.9的证明是建立在前文的基础上的，并在附录a中证明了短到期日BlackScholes价格的渐近估计。引理4.13。设u(δ)如（4.19）所示。在定理4.9的假设下，存在τ>0，仅依赖于M，N，t，λ，即p2/M；T-T,x,K≤u(δ)≤UBS≤2m；t-t，x，k，(4.20)或等值lyP2/m≤ubs-1(u(δ)；对于任意T∈[Tτ，T)，x-k≤λτt-t，y∈rd-1和δ∈[0,1],证明了T∈T，x，k)≤√2m。在这个证明中，C，w，ill总是表示一个只依赖于M，N，tandλ的正常数。通过注记4.12，由于δ∈[0,1]，我们得到nxn=1δnu(x,y)n(t,x,y,k)+δn+1 u-n（t,x,y,k)≤C(t-t)ubs√2m；t-t,x,k（使用引理A.1和假设4.1)≤C(t-t)ubsσ(x,y）(T)；对于任意0≤T<T，y∈RD-1和x-K≤λ√T-T，t-T，x，k-(4.21)均为t-T，x，k-(4.21)。结合（4.19）和（4.21）得到u(δ)≥(1-C(t-t))UBSσ(x，y)(T)；(4.20)中u(δ)的下界来自引理A.2中的不等式(A.7)。为了求出u(δ)的上界，我们将(4.19)和(4.21)合并为obta inu(δ)≤(1+C(t-t))ubsσ(x，y)(T)；T-T,x,K-。（4.20）中的uppe r界是引理A.2引理4.14中的不等式(A.8)的结果。在定理4.9的假设下，对于任意N∈N，存在仅依赖于M，N，t，λ的正常数C和τ，使得nu ubs-1 u(δ；t，x，y，k)；对于任意n≤n,T∈[Tàτ,T)，xàk≤λτTàT，y∈rd-1和δ∈[0,1]，(4.22)证明。在整个证明中，C总是表示一个只依赖于M，N，Tandλ的正常数。注意，对于任何σ>0，我们有σUBS(σ)σUBS(σ；T-T，x,k)=EK√t-t√2πexp-σ(t-t)-2(x-k)8σ(t-t)，且Thusek√t-t√2πexp-σt-λ2σ-λτT≤σUBS(σ)≤EK√t-t√2π，因此，通过引理4.13,存在一个正τ,仅依赖于M,N,Tandλ,如cek√t√t√2π≤σubsubs"e-1(u(δ))≤ek√tàtà2π，(4.23)对于任意y∈rdà1,t∈[tàτ,t)，x-k≤λ√tàt和δ∈[0,1],其中C为正常数C=minσ∈[√2/M,√2M]exp-σtàλ2σ-λ，通过命题3.5对（4.23）中的第二个不等式进行屏蔽，我们还得到了Nσubs。瑞银-1(u(δ))≤CEK√T-T。（4.24）我们现在用n上的归纳法证明了这一论点。n=1的情况显然来自（4.23）中的不等式。我们有u，ubs，-1(u(δ))=σ，ubs，ubs，ubs，-1(u(δ))，thern≤ce-k"at-t，现在让我们假设（4.22）对任何m≤n成立，并证明它对n+1成立。通过Fa`a di Bruno公式（见附录B，等式(B.1))，我们得到n+1 u UBS。-1(u)=pn+1h=2hσUBS UBS。-1(u)→bn+1,h u UBS。-1(u)→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1,h u UBS。→bn+1·,n-H+2u UBSL-1(u(δ))≤CN+1xH=2xJ,··,JN-H+2u UBSL-1(u(δ))J···N-H+2u UBSL-1(u(δ))JN-H+2(By（B.2）在附录B中）≤CN+1xH=2xJ,··,JN-H+2EK√t-t-J···,JN-H+2EK√t-t-J···EK,t-t-JN-H+2（按归纳hyp法）≤CN+1xH=2xJ,··,JN-H+2EK√t-t-en-(n+1)=c ek√t-t-en-(n+1)，其中最后一个不等式来自附录B中(B.3)的第二个恒等式。这就得出了定理4.9的证明。在整个证明中，C将表示一个只依赖于M，N，Tandλ的正常数。本文证明了本文（4.17）对于小T-T的正确性。

我们首先回顾函数g(δ)，该函数在3.1节中已经用于对隐含波动率进行正式扩展，例如(δ)=g(δ；t，x，y，k):=UBS-1 u(δ；t，x，y，k)；通过对（4.1 9）中u(δ)的n进行分析，明确了σ(T,x,y,k)=g(1；T,x,y,k）。(4.25)此外，根据(4.10)中的规定，我们有:σn(t,x,y,k)=σ(x,y)(t)+nxn=0σ(x,y)n(t,x,y,k)=nxn=0n！nδg(δ；t,x,y,k)δ=0,（4.26）自到（4.19）和（3.6）我们有，对于1≤n≤n,g(δ)δ=0=σ(x，y)和nδg(δ)δ=0=σ(x，y)n.现在，通过(4.25)-(4.26)和具有L agrange余项的泰勒定理，存在δ∈[0，1],使得σ-σn=g(1)-nxn=0n！nδg(0)=(n+1)！n+1δg(δ)=(n+1)！n+1xh=1hubs-1u(δ)bn+1,hδu(δ)，δu(δ)，δu(δ)，δu(δ)，···,n-h+2δu(δ)在附录B中，通过（4.19）和备注4.12，我们得到nδu(δ)≤C nxh=nu(x,y)n+u-u≤C(t-t)n+1ubs√2m；T,x,K.（4.28）因此，对于任何1≤h≤N+1,通过附录B中的(B.2)我们得到bn+1,hδu(δ),δu(δ),···,n-h+2δu(δ)jδu(δ)j···,jn-h+2δu(δ)jn-h+2δu(δ)jn-h+2≤cat-t→N+h+1 ubs√2m；T-T,x,K-H。（4.29）其中，在最后一个不等式中，我们使用了（4.28）和附录B中(b.3)中的两个恒等式，将（4.22）和（4.29）与（4.27）结合，我们得到σ-′σN≤C(t-t)N+1N+1xh=1e-kubs√2m；t-t,x,k-h。由于e-kubs√2m,因此本文完全遵循；T-T，5隐含波动率的例子在本节中，我们使用第3节的结果来研究在欧式期权价格可以显式计算的动态下近似模型诱导的隐含波动率。o第5.1节：CEV局部波动率模型o第5.2节：Heston随机波动率模型o第5.3节：3/2随机波动率模型o第5.4节：SABR局部随机波动率模型我们注意到上述模型中的一个不能满足定理4.5和4.9所要求的严格假设来证明误差界（4.11）。然而，如注4.2所述，定理4.5和结论4.6最近在Pagliarani和Pascucci(2014)中得到了推广，包括了这里所给出的所有例子。在下面的四个例子中，我们使用了a(t)的泰勒级数po Lynemial展开式作为例子2.3。在这三种情况下，可用App e ndix c中给出的公式计算近似的隐含挥发物。对于Heston模型，我们使用A(t)的含时泰勒展开式，如例2.4。5.1CEV局部波动率模型在Cox(1975)的常方差弹性(CEV)局部波动率模型中，下层S的动态特性为dst=δSβ-1 tstdwt,S=S>0。参数β控制波动率与价格之间的关系。当β<1时，波动率增大sass→0+。这一特征被称为杠杆效应，在股票市场上普遍存在。当β<1时，在mo Del诱导的隐含波动率表面也会出现负的货币价格偏差。就像杠杆效应一样，在股票期权市场上也普遍存在负的货币价格偏差。当β<1时，原点是可以达到的。为了防止进程s s取负值，一个典型的speci将零作为吸收边界。因此，状态空间o f S是[0,∞)。在对数符号X:=log S中，我们有以下动力sdxt=-δe2(β-1)Xtdt+δe(β-1)XtdWt,X=X:=log S。（5.1）X的生成元已知byA=δe2(β-1)X(x-x)。因此，从（2.4）我们证明了ya(X，y)=δe2(β-1)X，b(X，y)=0，c(X，y)=0，f(X，y)=0。这里我们定义log0:=limx0logx=-∞。我们定义了到成熟的时间t和对数击k。

使用附录C中的公式以及作者网站上提供的数学手册，我们明确地计算σ=δe(β-1)x,σ=(β-1)σ(k-x),σ=t(β-1)σ-t(β-1)σ+(β-1)σ(k-x),σ=t(β-1)σ(k-x)+-5t(β-1)σ(k-x)(5.2)看涨期权的确切价格在Cox(1975)中得到:u(t),x)=exQ(κ,2+2-β,2χ)-ek1-q(2χ,2-β,2κ),Q(w,v,μ)=∞xn=0(μ/2)ne-μ/2n！'A(v/2+n,w/2)'A(v/2+n),χ=2E(2-β)xδ(2-β)t,κ=2E(2-β)kδ(2-β)t,(5.3)其中，γ(a)和γ(a，b)分别表示co mplete和不完全伽马函数。因此，通过求解（3.3）可以得到隐含波动率σ。在图1中，我们绘制了第三个隐含挥发度近似σ，以及数值计算得出的隐含挥发度σ。为了比较，我们用lso绘制了Hagan和Woodward(1999)σHw=δF1-β1+(1-β)(2+β)eX-EKF+(1-β)δTF2(1-β)+···！，f=(EX+ek)的隐含波动展开式。（5.4）5.2 Heston随机波动率模型也许最著名的随机波动率模型是Heston(1993)的随机波动率模型。在Heston模型中，dst=pztstdwt,S=S>0,dzt=κ(θ-Zt)dt+δpztdbt,z=z>0,dhW,bit=ρdt.正如Andersen和Piterbarg(2007)中所指出的，必须设置ρ<0才能预先释放一个时刻。为了改进我们的近似，可以方便地对变量（Xt,Vt）进行以下改变:=(log S,eκtzt)。Cha nging fr om Z to V移除了漂移中的地球测量部分（参见alsoBompis和Gobet(2012))。根据Ito的方法得到dxt=-e-κtvtdt+pe-κtvtdwt,x=x:=log s,dvt=θκeκtdt+δpeκtvtdbt,v=v:=z>0,dhW,bit=ρdt。(5.5)(X，V)的生成元是g iven byA(t)=e-κtv x-x[+θκeκtv+δδeκtv V+δρvx。因此，利用(2.4)，我们证明了(X，V)=e-κtv,b(X，V)=δδeκtv,c(X，V)=δρV,f(X，V)=θκeκt。我们考虑了a(t)的时间依赖泰勒级数展开式，如例2.4所述(X(t),V(t))=(X,e[Vt])=(X，e[Vt]):=(X，θ(eκt-1))。使用作者网站上提供的Ma thematicanotebook，我们明确计算了σ=R-θ+θκT+E-κT(θ-v)+vκT,σ=δρZE-κT(-2θ-θκT-EκT(θ(κT-2)+v)+κTV+v)√2κσT3/2,σ=δE-2κT32κσT-2√4 z-2-4 eκTθ+θκT+ρ(θ(κT+4)+6)-v(κT(κT+2)+2))-κTV-2 v+4v)+κTV+Ver+4ρz-3perz+3per-2θ-θκT-EκT(θ(κT-2)+v)+κTV+V-！-σ4(x-k)-σT 8σT,z=x-k-σTσ√2T。σ的表达式太长，不能合理地放在文中。然而，在作者网站上的Mathematica笔记本中给出了σ的显式形式。Heston(1993)η(t)显式计算了Xtis的特征函数，x,y,λ):=log Ex,yeiλxt=iλx+C(t,λ)+D(t，λ)ey，C(t，λ)=κθδ(κ-ρδiλ+d(λ))t-2log1-f(λ)ed(λ)t1-f(λ),d(t,λ)=κρδiλ+d(λ)δ1-ed(λ)t1-f(λ)ed(λ)t,f(λ)=κρδiλ+d(λ)κρδiλ)+(κ-ρ)Iλ-d(λ)d(λ)=pδ(λ+iλ)+(κ-ρiλ)=2πzrdλreη(t,x,y,λ)bó(λ),bà(λ)=-ek,bà(λ)=-ek,bà(λ)=-ek,bà(λ)=-ek-IKλiλ+λ,λ=λr+iλi,λi<-1。（5.7）注意，由于看涨期权Payo（？）(x)=(ex-ek)+不在L(R)中，因此它的傅里叶变换b（？）必须在广义意义上通过对傅里叶变量λi<-1的虚分量进行修正而得到。用（5.7）计算隐含波动率σ，可以数值求解（3.3）。在图2中，我们绘制了我们的三阶隐含波动率近似σ，以及数值计算得出的隐含波动率σ。对于co mparison,我们还讨论了Forde等人的小时间近货币隐含波动率扩展。

（2012）（见定理3.2和推论4.3)σFJL=G+gt+o(t)1/2,(5.8)G=ey/21+ρδ(K-x)E-Y+1-5ρδ(K-x)E-2Y+o((K-x))，G=-δ1-ρ+eyρδ+κ(θ-ey)+ρδE-Y(δρ-2κ(θ+ey)+ρδey(K-x)+δE-2Y176δ-480κθ-712ρδ+521ρδ+40ρδey+1040κθρ-80κρey(K-x)+o(K-x))P1-ρ.5.33/2随机波动率模型我们现在考虑3/2随机波动率模型。在这种情况下，下层S的r ISK中性动态是dst=pztstdwt,S=S>0,dzt=Ztκ(θ-Zt)dt+δpztdbt,z=z>0,dhW,bit=ρdt。3/2模型值得注意的是，它不属于du-e e t al的a-ne类。(2000)，但它仍然允许欧式期权价格在m（作为傅立叶积分）的半封闭条件下计算。但是请注意，特征函数（在下面（5.11）中给出）涉及特殊函数，如伽玛和超几何函数。因此，傅立叶定价方法不是计算价格的一种有效方法。Drimus(2012)充分证明了3/2模式l在已实现变量nc e期权定价中的重要性。特别是，3/2模型允许Varianc e smiles的隐含波动率向上倾斜，而Heston的l模式导致va riance smiles的波动率向下倾斜，与在var市场中观察到的偏斜不一致。在对数表示法(X，Y):=(log S,log Z）我们有如下dyna micsdxt=-eytdt+eYtdWt,x=x:=log S,dyt=κ(θ-eYt)-δeytdt+δeYtdBt,Y=Y:=log Z,dhW,bit=ρdt。（5.9）给出(x，Y)的生成器byA=eyx-x^+κ(θ-ey)-δeyy+ρδeyxy。因此，使用（2.4）我们标识我们对成熟时间t和对数击数K进行筛选。使用附录C中的公式以及作者网站上提供的数学手册，我们明确地计算σ=EY/2,σ=T2θκσ-σδ-δρ+2κδ+δρ(k-x),σ=Tδ8-7ρσ+t-36θκσδδδδρ+2κ+σ13δ-26δρ+4δ13κ+4ρ-1ρ-52δκρ+52κ+20θκσ+Tδρσ6θκ-7σδδδρρ+2κPhilesparish(k-x)-δρ-2σσ(k-x),σ=Tδσ3δ-δρ+2κ+10θκσ13δ-26δρ+4δ13κ+4ρ-1-52δκρ+52κ+24θκσσ-σδδρ+2δ70κ+29ρ-16ρ-140δκρ+140κ+Tδρ4-3ρσσ(K-x)+Tδρσ-84θκσδ-δρρ+2κδ(K-x)+Tδρσ+σ45δ+δδ+4δ45κ+14ρ-4κ+Tδρσ+10θκσ+10δδδ+10δδδ+10δδδ+4δ45κ+14ρ-4κ+10θδδ+10δδδ+10δδ+10δδ+10δδ+10δδ+10δδ+10δδ180δκρ+180κ+20θκ(k-x)+tδσρ-8σσδδρ+2κε-2θκρ-2δ(k-x)，据我们所知，上述公式是3/2模型的显式隐含波动率表达式。例如Baldeaux和Badran(2012)命题3.2中给出的Xtis的特征函数。我们有eiλxt=eiλxγ(γ-f)γ(γ)δz fm f,γ,-2δz,z=eyκθ(Eκθt-1),γ=2f+1-pδ,(5.11)f=--pδ+-pδ+2qδ！1/2,p=-κ+iδρλ,q=(iλ+λ),其中γ是一个伽玛函数，M是一个超几何函数。因此，一个欧洲期权的价格可以用标准傅立叶方法SU(t,x,y)=2πzrdλrb\\(λ)Ex,yeiλxt,λ=λr+iλi,λi<-1,(5.12)计算，其中b\\(λ)在（5.7）中给出。用（5.12）计算隐含波动率σ，可以数值求解（3.3）。在图3中，我们绘制了我们的三阶隐含波动率近似σ，以及数值计算得到的隐含波动率σ.5.4SABR局部随机挥发，Hagan等人的SABR模型。（2002）是一个局部随机波动率模型，其中S的风险中和动力学为g iven dst=ztsβtdwt,S=S>0,dzt=δztdbt,z=z>0,dhW,bit=ρdt.将z建模为一个几何布朗运动，得到一个真实的隐含波动率微笑（即高罢工时隐含波动率向上倾斜）；这与CEV模型相反，在CEV模型中，模型诱导的隐含波动率是单调的（对于β<1)。

在对数符号(X，Y):=(log S,log Z）中，我们有以下动力学:dxt=-e2yt+2(β-1)Xtdt+eyt+(β-1)XtdWt,X=X:=log S,dyt=-δdt+δdBt,Y=Y:=log Z,dhW,bit=ρdt。（5.13）给出(X，Y)的生成元byA=e2y+2(β-1)X(x-x)-δY+δY+ρδey+(β-1)xxy。因此，利用（2.4）我们证明了(X，Y)=e2y+2(β-1)X,b(X，Y)）=δ,c(X，Y)=ρδEY+(β-1)X,f(X，Y)=-δ。使用附录C中的公式以及作者网站上提供的数学手册，我们显式地计算σ=EY+(β-1)x，σ=σ1,0+σ0,1,σ=σ2,0+σ1,1+σ0,2,σ=σ3,0+σ2,1+σ1,2+σ0,3,(5.14)其中σ1,0=(k-x)(-1+β)σ，σ0,2Physσ-7δρtheres-tδρ(δ-3ρσ)(k-x)+δ2-3ρther12σ(k-x),σ3,0=t(β-1)σ(k-x)Ω-5t(β-1)σ(k-x)σ(k-x)σ(k-x)σ(k-x)x),σ2,σ(k-x)+t(β-1)δρ(5ρσ-7δ)(k-x)+(β-1)δ16ρ-724σ(k-x),σ0,3=tδσ3δρ-4pery+ρ26-9ρperiσσ+tδσσ19δρ+2σδ8-21ρper+ρ15ρ-11persizσperix-3δperix+tδρδ+6σδρ+1-2peria(k-x)-tδρρ-1peria(k-x)+δ6ρρ-1peria(k-x)+δ6ρρ-5peria24σ(k-x)，在一般的SABR设置中，欧元PEN期权价格没有公式。然而，对于特殊零相关情况ρ=0，在Antonov和Spector（201 2）中计算了欧洲电话的精确价格:u(t，x)=e(x+k)/2e-δt/8√2πδt(πz∞dvzπdφv vv-1/2sinφsin(§φ)b-cosφexpζφ2δt！+sin('Aπ)πz∞dvz∞dψv vv-1/2sinhψb-coshψe-'A'Aexpζ2δt！）+(ex-ek)+,ζ=arccos qh+qx+v+v2vv-qhqxv Vcosφ,ζ=arccos qh+qx+v+v2vv+qhqxv Vcosφ,b=qh+qx+v+v2vv+qhqxv Vcosh,=e(1-β)k1-β,qx=e(1-β)x1-β,v=-12(1-β),v=Eyδ。（5.15）因此，在零相关条件下，利用上述公式，再通过数值求解（3.3）得到隐含波动率σ。在图4中，我们绘制了我们的三阶隐含波动率近似值σ，以及数值计算得出的隐含波动率σ。为了进行比较，我们还绘制了Hagan等人的隐含挥发展开式。(2002)σhklw=δx-kd(ζ）(1+tδ\"2γ-γ+1/f ey+βfδ+ργey+βf4δ+2-3ρ#),(5.16)f=(Ex+ek),ζ=δe-yβ-1e(1-β)k-e(1-β)x,γ=β/f,γ=β(β-1)/f,D(ζ）=logp1-2ρζ+ζ+ζ-ρ1-ρ！在这种情况下，我们为(i)欧式期权价格和(ii)隐含挥发提供了一族近似--对a(t)的每一个多项式展开都有一个近似。我们的期权价格扩展中的条款表示为作用于Black-Scholes价格的ADI约束的ertial opera tor。因此，为了计算近似价格s，人们只需要一个正常的CDF。我们的隐含波动率扩展是显式的，不需要特殊的函数，也不需要任何数值积分。因此，近似隐含挥发物c的计算速度甚至比Optionprices快。我们利用A(t)的Taylor se ries展开式进行了扩展计算。特别是，我们建立了严格的误差范围，我们的定价和隐含波动率的近似值。我们还实现了四种不同模型动态下的隐含波动率扩展：CEV局部波动率、Heston随机波动率、3/2随机波动率和SABR局部波动率。在每一个场景中，我们都演示了我们的隐含波动率扩展提供了在大罢工和到期日范围内真实隐含波动率的极好近似值。感谢作者Mike Staunton和两名匿名裁判对本手稿的透彻阅读。

他们的建议提高了结果的数学质量和可读性。Black-Scholes p r ice在短期内的渐近性我们证明了关于Black-Scholes价格的短期行为的一些结果。在整个附录中，τ表示成熟的时间。我们对Black-Scholesprice的以下所有可供选择的Expresion取自Roper and Rutkowski(2009)uBS(σ；τ,x,k)=ex-ek++exrτ2πzσe-x-kwττ+wττdw。(A.1)现在我们假定tF(σ，σ，τ，λ):=Zσσe-λw+τw dw,σ≤σ。(A.2)并观察到，如果x-k≤λττ(A.3)对于某个λ>0，则我们有-λττf(σ，σ，τ，λ)=zσσe-λw+wττdw≤zσσe-x-kwττ+wττdw≤zσσe-λw-τdw=eλτf(σ，σ，τ，λ)。(A.4)因此，假设(A.3)成立，从(A.1)和(A.4)我们得到了EX-λ√τRτ2πF(0,σ,τ,λ)≤uBS(σ；τ,x,k）-EX-EK~+≤EX+λττRτ2πF(0,σ,τ,λ)。(a.5)注意，(a.2)中的F是单调函数，在σ中增加，在σ、τ和λ中减少。特别地，对于任意0≤σmin≤σmax,λ>0,τ>0和τ∈[0,τ],我们有0<F(σmin,σ,T,λ)≤F(σ,σ,τ,λ)≤F(σ,σmax,0,λ)<∞,σmin≤σ≤σ≤σmax。(a.6)(a.5)中的估计被Roper和Rutkowski(2009)（另见Li(2005))用于推导出B lack-Scholes看涨价格在τ↓0时接近e x的渐近行为。下面我们用(A.5)证明了两个关于两个Bla ck-Scholes pric e s与直接挥发物的比较的两个引理。引理A.1。对于任何λ>0,σ≥σ>0和τ>0,存在一个常数C≥1,它只依赖于λ、σ、σ和τ,即对于任何τ∈[0,τ]和x-k≤λττ(σ；τ，x，k)≤CuBS(σ；τ，x，k)。证明了UBS(σ；τ,x,k)-ex-ek+≤c UBS(σ；τ,x,k）-ex-ek+，x-k≤λ√,τ∈[0,τ]。通过(A.5)我们得到了UBS(σ；τ,x,k）-ex-ek+≤ex+λττrτ2πF(0,σ,τ,λ)≤eλ√F(0,σ,0,λ)F(0,σ,τ,λ)UBS(σ；τ,x,k)-ex-ek+，其中在最后一个不等式中我们还使用了(A.6)。引理A.2。对于任一λ>0，σ>σ>0和C>0，存在τ，0<τ<C，仅依赖于λ，σ，σ，σ，C,如对于任一τ∈[0，τ]和x-k≤λ-k≤λ=τ，σ，x，k)≤(1-Cτ)uBS(σ；τ，x，k)，(a.7)(1+Cτ)uBS(σ；τ，x，k)≤uBS(σ；τ，x，k)，(a.8)。为了建立第三不等式(A.7)，我们证明了uBS(σ；τ,x,k）-uBS(σ；τ,x,k）≥CτuBS(σ；τ,x,k）,x-k≤λ√τ,τ∈[0,τ]。(A.9)我们用(A.1)估计(A.9)中的LHS。我们有uBS(σ；τ，x，k)-uBS(σ；τ，x，k)=ττex√2πzσσe-x-kwττ+wττdw≥ττex-λττ2πf(σ，σ，τ，λ)≥cex√τ，c:=e-λ√c√2πfσ，σ，c，λ，(a.10)，其中在下一个不等式中我们使用了(a.3)和(a.4)，在最后一个不等式中我们使用了d(a.6)和τ<c，因此c是正的，与τ无关。其次，再次利用(A.5)，我们可以证明(A.9)RHS的如下估计:UBS(σ；τ,x,k)≤UBSσ；C,x,k≤ex1+eλ√cr2cπf0,σ,C,λ！，因此，对于τ为正且适当小的情况，我们得到CτUBS(σ；τ,x,k)≤cex√。这就建立了figurrst不等式(A.7)。为了使seco nd不等式(A.8)稳定，我们在上一个不等式中使用了(A.7),我们用到了(1+Cτ)uBS(σ；τ,x,k)≤uBS(σ；τ,x,k)+CτuBS(σ；τ,x,k)=uBS(σ；τ,x,k),即(1+Cτ)uBS(σ；τ,x,k)≤uBS(σ；τ,x,k)≤(1-Cτ)uBS(σ；τ,x,k)=uBS(σ；τ,x,k)。本文给出了Fa\'a di Brun o公式和Bell多项式的证明。首先，我们回想起著名的Fa\'a di B Runo公式（se e Riordan（194 6）和Johnson(2002))，确切地说，是它的Bell多项式版本。设f和g是R上的两个C∞实值函数，其表示形式为:dndxnf(g(x))=nxh=1f(h)(g(x))·Bn,h ddxg(x),ddxg(x),···,dn-h+1 dxn-h+1 1g(x),n≥1,(b.1),Bn,h(z)=xn！j！j！···JN-H+1！Z1！JZ2！j···ZN-H+1(n-H+1）！JN-H+1,1≤h≤n,(b.2)其中的和是所有非负整数的s等式j，j,···,JN-H+1上的ta ken,如j+j+···+JN-H+1=h和j+2j+···+(n-H+1）JN-H+1=n。

(b.3)C隐含波动率的表示在本附录中，我们假设一个时间齐次的假设，并使用a的泰勒级数展开式，如例子2.3，其中(X，Y)=(X，Y):=(X，Y)。对于给定的by(2.4)，我们引入了符号ηi，j=ix jyη(*x,我！J！，η{a,b，c、f}。我们计算，显式地(τ以下为成熟时间）σ=P2a0,0,σ=σ1,0+σ0,1,σ=σ2,0+σ1,1+σ0,2,其中σ1,0=A1,02σ(k-x),σ0,1=τa0,1(c0,0+2f0,0)4σ+a0,1c0,02σ(k-x),以及σ2,0=τσA2,0-A1,08σ+τ-σA1,0+2σA2,0-3A1,012σ(k-x),σ1,1=τ12σσA1,1c0,0+a0,1A1,0c0,0-2σc1,0~+τ48σ-a0,1A1,0~2σc1,0~2σc1,0~2σc1,0~4σA1 0+τ24σ2σA1,1(c0,0+2f0,0)+a0,12σ(c1,0+2F1,0)-5A1,0(c0,0+2f0,0)Ω(K-x)+6σσA1,1c0,0+a0,1σc1,0-5A1,0c0,00.(K-x),σ0,2=τ24σ4σa0,23σB0,0-c0,0+a0,1a0,19c0,0-8σB0,0-4σc0,0c0,1σ+τ24σa0 0,1B0,0+c0,0σ(c0,1+2f0,1)-3a0,1f0,0.10+a0,1f0,02σ(c0,1+2f0,1)-3a0,1f0,0+σa0,2(c0,0+2f0,0)+τ24σa0,1c0,04σ(c0,1+f0,1)-18a0,1f0,0-9a0,1c0,0+4σc0,1f0,0+4σa0,2c0,0(c0,0+2f0,1)(k-x)+12σa0,1c0,0+4σc0,1f0,0+4σa0,2c0 A 0,1 4σb 0,0-9c0,0,0+2σc 0,0c0,1+2σa 0,2c0,0(k-x),高阶ter ms太长，不能合理地包含在本文中。然而，使用作者网站http://explicitsolutions.wordpress.comreferencesAlexander,C.and L.Nogueira（2004）上免费提供的Ma thematica代码，可以很容易地计算σ和（对于局部挥发模型）σ。随机局部波动。第二次IASTED Int的论文集。康夫。《金融工程与应用》，美国马萨诸塞州剑桥，136-141.Andersen,L.B.和V.V.Piterbarg(2007)。随机波动模型中的矩爆炸。金融与随机11（1）,29-50.Antonov,A.和M.Spector（2012,3月）。sabr模型的高级分析。SSRN.Baldeaux,J.和A.Badran(2012)。波动率指数和股票衍生品的一致性建模使用3/2加跳跃模型。arXivpreprint arxiv:1203.5903.Benhamou,E.,E.Gobet,和M.Miri（2010）。含时Heston模型。暹罗J.金融数学。1（1）,289-325.Berestycki,H.,J.Busca和I.Florent（2002）。局部波动率模型的渐近性和校正。定量研究2（1）,61-69。Berestycki,H.,J.Busca,I.Florent（2004）。随机波动率模型中隐含波动率的计算。《纯粹数学与应用数学通讯》57(10)，1352-1373.庞皮斯，R.E.Gobet(2012)。期权估值的渐近和非渐近逼近。T.Gerstner和P.Kloeden（编辑），世界科学出版公司，1-80.Clark,I.（2010）。外汇期权定价：实践者指南。奇切斯特:Wiley.Cox，J.(1975)。关于选项pri ci ng I的注记：不含杂质的常弹性。未出版的草稿，斯坦福大学。该论文的修订版于1996年发表在《投资组合管理杂志》(Journal of Portfolio Management）上。Drimus，G.G.(2012)。基于转换方法的已实现方差期权：一个非a&ne随机波动率模型。Quant.Finance 12（11）,1679-1694.Du.E,D.,J.Pan,K.Singleton（2000）.一个新的跳跃式投资项目的转换分析和资产定价。经济计量学68（6）,1343-1376.（2005年）。Heston模型中的局部波动性：Malliavin演算方法。J.Appl。数学。施托奇。肛门。（3）,307-322.Forde,M.和A.Jacquier(2009)。heston模型下隐含波动率的小时间渐近性。《国际理论与应用金融杂志》12(06)，861-876.Forde,M.和A.Jacquier(2011)。不相关局部随机波动率模型的小时间渐近性。应用数学金融18（6）,517-535.Forde,M.,A.Jacquier,R.Lee（2012）。Heston模型下隐含波动率的小时间微笑和期限结构。《暹罗金融数学学报》3(1)，690-708.Fouque,J.-P.,M.Lorig,R.Si rcar（2012）。二阶多尺度随机波动渐近：随机终端分析与校正。ArXiv预印本ArXiv:1209.0697.Fouque,J.-P.,G.

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