信息集在预测中的作用——及其应用

2022-5-6 04:23:11

《应用统计年鉴2014》，第8卷，第1期，595–621页，OI:10.1214/13-AOAS709c数理统计研究所，2014年，Hajo Holzmanna和Matthias EulertPhilipps Universit–at Marburg的预测信息集在风险管理中的应用是基于特定信息发布的。如果预测机制得到了正确的描述，那么大量的可用信息应该会带来更好的预测。对于分数预测，我们展示了如何通过使用严格一致的评分函数来量化增加信息集的效果，其中平均分数较小。此外，我们还表明，基于严格一致的评分函数和渐近理想预测的classicalDiebold–Mariano检验是一种一致的检验，用于检验h步点预测中一系列信息集增加的效果。对于风险价值（VaR），我们表明，对应于平均分位数风险的平均分数与预期短缺直接相关。因此，增加信息集将产生因瓦预测，平均而言，这将导致较小的预期短缺。我们在无条件风险管理和条件风险管理的股票收益模拟和应用中，以及投资组合收益的单变量模型和独立风险因素的多变量模型中，展示了我们的结果。还讨论了使用严格适当的评分规则评估概率预测的信息集的作用。1.导言。制定和评估统计预测是统计学家和计量经济学家的一项基本任务。虽然概率预测由一个完整的预测分布组成，信息量很大[cf.Gneiting，Balabdaoui and Raftery（2007）]，但人们的兴趣通常集中在单值点预测[Gneiting（2011）]。

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能者818

2022-5-6 04:23:15

例如，在定量风险管理中，目标是估计预测分布的某些函数，如风险价值（VaR）或预期短缺[McNeil，Frey and Mbrechts（2005）]。2012年10月收到；2013年12月修订。部分由DFG支持，授予Ho 3260/3-1。关键词和短语。预测、信息集、评分函数、评分规则、风险价值。这是数理统计学会在《应用统计年鉴》2014年第8卷第1期595–621中发表的原始文章的电子版。这本再版在页码和印刷细节上与原版不同。2 H.霍尔兹曼和M.欧勒特预测是根据某些信息发布的。显然，增加信息集应该会导致更好的预测，至少如果预测机制被正确指定的话。我们将这种预测称为侧预测。在这篇文章中，我们展示了如何通过使用严格一致的评分函数[Gneiting（2011）]来量化通过增加信息集对理想预测的改善，从而产生较小的平均分数。此外，我们还表明，基于严格一致的评分函数和渐近理想预测的经典Diebold和Mariano（1995）检验是一种一致的检验，用于检验一系列信息集的增加对h步点预测的影响。作为一个最重要的例子，考虑评估VaR预测。形式上，VaR是损失分布的分位数（高，比如0.99或0.999）。无条件方法将VaR建立在风险因素的无条件分布基础上，因此使用了一个微不足道的信息集，而条件方法指的是通常给定历史数据的条件分布；参见麦克尼尔、弗雷和恩布雷希茨（2005）。

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kedemingshi

2022-5-6 04:23:18

对于条件方法，信息集可能也会有所不同：从投资组合的角度来看，它只包括投资组合回报，而单个风险因素的建模涉及更大的信息集。无条件回溯测试包括检查VaR估计超出的相对频率是否对应于VaR水平。顾名思义，如果定义正确，无条件和有条件方法都能满足这一要求。如果提前一步进行估计，则有条件方法可以通过检查VaR预测的哪些超出独立发生[i.i.d.假设，参见Christo Offersen（1998）、McNeil、Frey和Embrechts（2005）]。然而，单凭超标指标的独立性并不能充分考虑条件法信息集的大小；另见Berkowitz，Christoffersen and d Pelletier（2011）。我们表明，通过评分函数评估（理想的）VaR预测，可以区分来自不同信息集的VaR预测。有趣的是，增加信息集将导致VaR预测，从而导致较小的预期缺口，除非信息集的增加不会导致VaR预测的任何变化。论文的结构如下。一般方法见第2节。为了说明这一点，我们从第2.1节开始，以回归分析为例。我们回顾了一个众所周知的事实，即通过加入额外的变量，从而增加信息集，可以减少（总体，即理想）平均回归函数的均方预测误差。

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2022-5-6 04:23:22

然后，转向一般预期回归，我们指出，我们随后的结果表明，包含额外变量将减少（理想）预期回归函数的平均不对称度量损失。在第2.2节中，我们展示了一个更大的信息集对发布的影响。通过使用严格一致的评分函数，可以量化信息集在预测某一点预测中的作用。第2.3节涉及使用适当的评分规则评估概率预测时的相同问题。另见Tsyplakov（2011）的注释，其中对Mitchell和Wallis（2011）的论文进行了评论，后者又是对片麻岩的批评性评论，Balabdaoui和Raftery（2007）。在第2.4节中，我们研究了Dieboldand Mariano（1995）检验在信息集嵌套序列和渐近理想预测中的性质。第3节详细讨论了评估VaR预测的方法。我们首先讨论VaR的应用，如交易台的风险控制、基于VaR的投资组合选择和监管用途，以及发布VaR预测的一般策略。在第3.1节中，我们将重点介绍超额指标，这是回溯测试VaR预测的典型工具，在第3节中。2我们转向分位数损失（VaR的严格一致评分函数），并将其预期值与预期短缺联系起来。在第4节中，我们进行了一项模拟研究，并在比较第一种无条件方法与条件方法以及基于投资组合收益与单个风险因素的多变量建模的第二种单变量模型时，应用股票收益序列进行风险价值估计。第5节结束，而技术p屋顶推迟到Anapendix。2.量化信息集的作用。2.1.

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2022-5-6 04:23:25

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2022-5-6 04:23:28

我们下面的结果表明，如果EY<∞, 如果我们替换损失的平方（y- m）对于不对称平方损失的平均值Sα（y，τ）=1τ≥Y-α|（y）-τ）对于α期望值，则P-a.s.E（sα（Y，gα（X，X））|F）≤ E（Sα（Y，fα（X））|f）以及asE（Sα（Y，gα（X，X）））≤ E（Sα（Y，fα（X）），当且仅当gα（X，X）=fα（X）。这将通过使用以下事实进行推断，即上述损失函数对于函数是严格一致的，如下所述。2.2. Fu-nc-nations和评分函数。我们首先回顾严格一致的评分函数的概念；参见Gneiting（2011）。设Θ是闭子集D上的一组分布函数 R、我们用它们相关的概率分布来确定，让T:Θ→R是（一维）统计函数。我们让B（Θ）表示Borelσ-代数Θw.r.t.分布函数（或概率测度）弱收敛的拓扑，我们让B表示普通的Borelσ-代数。如果函数T是B（Θ），我们将其称为可测函数T-B-可测量。评分函数是一个可测量的m ap S:R×D→[0, ∞). 然后，如果发布了预测x并实现了预测y，则S（x，y）被解释为损失。对于所有x，与类Θiff相关的函数T是一致的∈ R、 F∈ Θ：EF（S（T（F），Y））≤EF（S（x，Y）），其中Y是具有分布函数F的随机变量，我们假设相关的预期值存在且不存在。因此，真函数T（F）使F下的预期损失最小化。I fEF（S（T（F），Y））=EF（S（x，Y））意味着x=T（F），预测5s的信息集的作用对于T是严格一致的。如果函数T允许一个严格一致的评分函数，那么它被称为可诱导的（相对于类Θ）。

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2022-5-6 04:23:31

对于均值、分位数和期望值等几个函数，Gneiting（2011）描述了所有严格一致的评分函数，这些函数还满足以下条件：1。S（x，y）≥ 只有当x=y，2时，d才等于0。S（x，y）在x中对所有y是连续的∈ D、（1）3。偏导数当x 6=y时，x（x，y）存在并且在x中是连续的。注意，为了简单起见，我们不考虑集值泛函。我们的结果可以扩展到包括这些，但配方将变得更加繁琐。因此，在分位数的情况下，我们假设Θ中的所有分布函数都严格递增。Gneiting（2011）还指出，方差或预期短缺等众所周知的函数是不可导出的。Heinrich（2014）对模式泛函得出了相应的否定结果，尽管模式的水平集是凸的。现在让我们考虑一下预测情况。预测是根据某些信息发布的。让(Ohm, A、 P）是概率空间，设F Abe是a（信息集）的次σ代数，让Y：Ohm →R可能是一个随机变量。目的是在定理1中预测Y的条件分布的一个特殊泛函。设FY | F（ω，·）是给定F的y的条件分布函数∈ Ohm, FY | F（ω，·）∈ Θ. 如果T:Θ→ R是可测的，那么T（F）=T（FY | F（ω，·））=Y（ω）是一个F-可测的R.v.如果它是可诱导的（超过Θ），如果S是T的严格一致的评分函数，那么对于任何F-可测的R.v.Z，我们得到（S（^Y，Y）|F）（ω）≤P-a.E.ω的E（S（Z，Y）|F）（ω）∈ Ohm（2）以及平均得分（S（^Y，Y））≤ E（S（Z，Y））（3）在（2）或（3）中相等，当且仅当^Y=Z，P-a.S。让我们转向一种情况，即可以基于两个不同的信息集F进行预测 G A.

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2022-5-6 04:23:34

显然，更大的信息集只能产生更好的理想预测，事实上，我们有以下结果。6 H.霍尔兹曼和M.欧勒特推论2。假设F G越来越多的信息集。集合^YF（ω）=T（FY | F（ω，·）），^YG（ω）=T（FY | G（ω，·））。（4） ThenE（S（YG，Y）|G）≤ E（S（^YF，Y）|G），P-a.S.，E（S（^YG，Y）|F）≤ E（S（^YF，Y）|F），P-a.S.，（5）E（S（^YG，Y））≤ E（S（^YF，Y）），当且仅当^YF=^YG，P-a.S.在（5）中的任何不等式中相等。因此，增加信息集总是导致对分数的S项进行更好的理想预测，除非较小的信息集已经对相应的函数给出了相同的预测。最后，我们指出等式^YF=^YG，P-a.s.并不意味着条件分布相等，如下面的例子所示。例1。我们给出一个涉及分位数的例子。对于严格递增的连续分布函数F，让qα（F）表示α分位数α∈ （0，1），设qα为标准范数分布n（0，1）的α分位数。修正α∈ （0,1），σ>1，并设B，X，Xbe独立随机变量为B~ 误码率（1/2），X~N（0，1），X~ N（qα（1- σ）和setY=BX+（1- B） X.如果F={, Ohm} 是平凡的，G=σ{B}，Y areL（Y | F）=N（0，1）+N（qα（1）的条件分布-σ），σ），L（Y | G）=BN（0,1）+（1-B） N（qα（1-σ），σ），在这两种情况下，条件α分位数都是常数，等于qα。事实上，为了评估完整的预测分布，需要严格正确的评分规则，如下一节所述。2.3. 概率预测和适当的评分规则。让我们简要地讨论一般正确的评分规则；详细的论述见Gneiting and Raftery（2007）。回想一下，我们识别了分布函数F∈ Θ及其相关概率度量uF∈ Θ. A可测映射：Θ×D→R被称为得分规则。

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2022-5-6 04:23:37

它被称为适当的，如果为任何形式∈Θ，Eu（S（u，Y））≤ Eu（S（ν，Y））表示所有的ν∈Θ，（6）如果（6）中存在等式，则预测7的信息集的作用是严格正确的，当且仅当u=ν。Gneiting（2011）指出，一个函数T与一个一致的scoring函数S一起，会产生适当的评分规则S（uF，y）=S（T（F），y）。然而，即使S是严格一致的，S也不一定是严格正确的。让我们再来一次(Ohm, A、 P）是一个概率空间，让F A是A（信息集）的次σ代数。一个Markov核GF[from](Ohm, F） to（R，B）]是一个mapp-ingGF：Ohm ×B→ [0,1]，例如：1。对于任何ω∈ Ohm, B 7→ GF（ω，B）（B）∈ B）是（R，B）上的概率测度，2。对于任何B∈ B、 ω7→ GF（ω，B）是F- B[0，1]-可测量。给定F的（正则）条件分布uY | Fof Y是一个特殊的马尔科夫核[from(Ohm, F）到（R，B）]，使所有的B∈ B、 E（1Y）∈B | F）（ω）=P-a.e.ω的uY | F（ω，B）∈ Ohm.定理3。让我们严格遵守正确的评分规则。设uY | F（ω，·）是给定F的Y的条件分布。假设对于每个ω，uY | F（ω，·）∈Θ. 对于任何马尔可夫核GF[from(Ohm, F） to（R，B）]，其中GF（ω，·）∈ Θ对于所有ω∈ Ohm, 映射ω7→ S（GF（ω，·），Y（ω））是一个随机变量，我们有它（S（uY | F，Y）| F）（ω）≤P-a.E.ω的E（S（GF，Y）|F）（ω）∈ Ohm（7）安第斯山脉（S（μY | F，Y））≤ E（S（GF，Y））（8）在（7）或（8）中相等，当且仅当P-a.E.ω∈ Ohm, 分布gf（ω，·）和uY | F（ω，·）重合。Tsyplakov（2011年）在h is对Mitchell和Wallis（2011年）论文的评论中也观察到了这一点，这反过来也是对片麻岩、Balab daoui和Raftery（2007年）的一个关键回应。Gneiting、Balabdaoui和Raftery（2007）讨论了概率积分变换（PIT）在预测评估中的过于主导的作用。如果预测准确，他们将重点放在矿坑的均匀性上。

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2022-5-6 04:23:40

Tsyplakov（2011）还指出了与命题6（见第3.1节）相似的PIT结果，并观察到PIT值的mer eindependence没有充分考虑信息集的重要性。8 H.霍尔兹曼和M.欧勒特推论4。让F G 越来越多的信息集将成为一种趋势。如果S是严格正确的评分规则，对于每个ω，uY | F（ω，·），uY | G（ω，·）∈ Θ，thenE（S（uY | G，Y）|G）（ω）≤ P-a.E.ω的E（S（uY | F，Y）| G）（ω）∈ Ohm（9）安第斯山脉（S（μY | G，Y））≤ E（S（uY | F，Y）），（10）在（9）或（10）中相等，当且仅当P-a.E.ω∈ Ohm, 条件分布uY | G（ω，·）和uY | F（ω，·）重合。如果特别是G=σ（F，H），其中H A是另一个子σ-代数，则（9）或（10）中存在等式，当且仅当Y和H与给定F条件相关。因此，使用严格适当的评分规则来评估完整的预测分布，可以区分示例1中基于区分信息集的预测分布。然而，如果兴趣集中在单一函数上，如均值或VaR，那么这可能没有必要。推论的第二部分将Br¨ocker（2009）和Degroot and Fienberg（1983）的结果从有限扩展到一般真实状态的速度。2.4. 测试有效信息。考虑第2节的设置。2其目的是预测功能性T:Θ→ R.在以经验方式评估预测时，观察一系列预测^Y，^YNof T，以及相应的实现Y，YNand将相应的分数取平均值。更具体地说，假设（Yn）n≥1是一个平稳的遍历序列，let（Fn）n≥1过滤（增加a的次σ-代数的顺序），使Ynis Fn可测量，n≥ 1.假设h步预测^Y（h）n，F（ω）：=^YFn-h（ω）=T（FYn | Fn-h（ω，·））也是静态的和遍历的。

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2022-5-6 04:23:44

对于平均损失，N→ ∞,bmN，F:=NNXn=1S（^Y（h）n，F，Yn）→ E（S（^Y（h）1，F，Y）），P-a.S.（11）在这一节中，我们研究了经典Diebold和Mariano（1995）检验在使用严格一致的评分函数评估基于不同嵌套信息集的渐近理想预测时的行为。关于与文学的关系，请参见下文。假设（Gn）是第二个过滤，Fn GNN≥ 1，其序列^Y（h）n，G:=^YGn-他的静止和遍历也是如此。我们将为假设提出一个检验：所有n的^Y（h）n，G=^Y（h）n，F，P-a.s≥ 1、（12）信息集在预测中的作用9这两个信息集序列导致相同的预测。通过平稳性，这相当于^Y（h）1，G=^Y（h）1，F，P-a.s.基于Gn的时间n的h步预测-手放在Fn上-h实际发布的区域用Y（h）n和Y（h）n，F表示。由于我们关心理想预测，我们需要做出一个相当有力的假设，即这些预测序列中的错误（由于误判和估计影响）对分数的影响几乎可以忽略不计。更准确地说，考虑以下条件：NXn=1（S（~Y（h）n，J，Yn）-S（^Y（h）n，J，Yn））=oP(√N）（13）（或=OP(√N） J=F，G。作为检验统计，considerMN=NNXn=1（S（~Y（h）N，F，Yn）-S（▄Y（h）n，G，Yn））=bmN，F- bmN，G.定理5。在上述平稳性假设下，假设e（S（Y（h）1，F，Y））<∞ 在（12）中的无效假设H下，IF（13）与oP保持一致(√N）那么√NMNd→ N（0，σ），（14）σ=EZ+2hXn=2ZZn！，Zn=S（^Y（h）n，F，Yn）-S（^Y（h）n，G，Yn）。在另一种情况下，如果（13）与OP保持一致(√N），我们得到√NMN→ ∞ 不可能。让我们对上述结果做一些评论。

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kedemingshi

2022-5-6 04:23:48

假设^σ是长期方差σ的一致估计。然后形成t-statisticTN=√NMN/^σN，在假设H是渐近N（0，1）-分布的情况下。选择一个单边拒绝区域，并以渐近水平αifTN>q1拒绝-α. 如果在备选方案^σn有界的情况下，我们得到TN→∞在概率上，所以测试是一致的。长期方差σ的估计是一项微妙的任务。有大量文献从纽伊和韦斯特（1987）开始，他们已经在（14）中提出了10 H.霍尔兹曼和M.欧勒特权重，保证了非负性和一致性。在我们的情况下，可以在固定的预测窗口h处截断序列，并使用权重1。虽然这是在假设下进行的，但在我们的模拟中，对于具有恒定权重的截断，较高的2h值可以提供更好的功率特性。此外，sin-ce在另一种情况下，观测值不具有平均值零，我们计算了实际协方差，包括居中（不只是二阶矩）。从迪博尔德·马里亚诺（Dieboldand Mariano，1995）的经典论文开始，有大量的计量经济学文献对竞争预测的预测准确性进行了比较。对于一系列预测，^y，^yN，以及相应的观察结果y，yN，通常是预测误差en=yN- ^y被转化，这些被插入到某个损失函数l（e）中。对于一系列相互竞争的预测，^z，^zN，采用相同的工艺，导致en=yn- ^zn。

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2022-5-6 04:23:51

Diebold和Mariano（DM）检验统计量现在是基于分析MN=NNXn=1（l（en）的不对称分布-l（~en））。在误差序列（en）和（en）的平稳假设下，可以分析mn的渐近分布，并且可以形成具有双边拒绝区域的t统计量。我们注意到，如果预测^yn对应于某个函数T和一系列信息集，如果评分函数S是差异en中的一个函数，那么我们的测试就是DM测试，我们分析了基于两个不同的有序信息集的渐近理想预测的行为。总之，在目前的情况下，DM测试作为一种单向测试，是一种一致的测试，用于测试增加信息集对预测活动的影响。当然，渐近预测的假设是一个强有力的假设。然而，如果它不成立，只要观测值和预测序列保持不变，并且CLT仍然适用（参见Durrett（2005），第416页，定理（7.6），有效条件），测试就仍然有效（当然，测试不再一致）。计量经济学文献中通常不追求将损失函数与要预测的函数精确关联的观点[但见Gneiting和Ranjan（2011）]，这通常对实际预测的是什么（即预测d分布的哪个函数）并不特别精确。对特定函数使用“g上的wr”损失函数可能会导致严重偏差的结果；参见《片麻岩》（2011）第1.2节中的示例。此外，还有一些评分函数不是线性预测误差e=y中的函数- ^y；查阅

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2022-5-6 04:23:54

Gneiting（2011）。预测信息集的作用11 Diebold（2012）重新审视了DM测试，并特别指出了比较预测模型（特定经济模型产生的预测）、预测方法[来自模型，但考虑到参数估计的影响；参见，例如，Giacomini和White（2006）]或DM测试中的单纯预测之间的区别，不管这些是如何产生的。我们的方法完全符合迪堡，因为我们只是比较预测。如果这些都是（至少在总体上是）理想的，那么增加功能上的信息集的效果可以得到一致的测试。3.我们在总结本小节时指出，上述测试可扩展到适当评分规则的情况，以评估增加完整预测分布信息集的效果。3.回溯测试风险估值。定量金融中最广泛使用的风险度量是风险价值（VaR）；例如，见Jorion（2006年）、Christo Offersen（2009年）或McNeil、Frey和Embrechts（2005年）。从形式上讲，这是损失分布的（高，比如说，0.99或0.999）数量。对于发布VaR预测，存在不同的变化。无条件方法以风险因素的无条件分布为基础，使用一个历史信息集，而条件方法指的是通常给定历史数据的条件分布。在这里，信息集也可能不同；从投资组合的角度来看，它只包括投资组合的回报，而单个风险因素的建模涉及到更大的信息集。详见第4 f节。继Berkowitz、Christo Offersen和Pelletier（2011）之后，VaR估计的典型应用领域包括：A.交易台的风险控制。

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2022-5-6 04:23:57

不同的交易台（股票、货币、衍生品、固定收益）对其交易头寸的VaR有限制，通常提前一天。这些由管理层设置，并由后台实时监控。B.投资组合选择。在形成最优投资组合时，VaR被用作风险度量，而不是经典的Markowitz均值-方差组合优化。在这里，考虑了更长的时间范围（月、季），需要对风险因素进行多变量建模；见克里斯托弗森（2009）。C.监管用途。商业银行被要求持有一定数量的安全资产。基于内部方法时，该金额被确定为VaR的一个函数，在两周的期限内，在99%的水平上。对于每一次会议中报告的特定变量，可能会追求不同的目标。例如，在案例C中，银行将有兴趣报告一个“小”（但仍然有效）风险值，以使监管资本的要求金额合理地小。此外，C中报告的VaR不应随时间变化过多，因为监管资本可以也不应突然改变。在这三种情况中的任何一种情况下，重要的是量化并最小化因报告的VaR估计值超标而导致的预期损失金额。为此，我们将VaR的预期分数与预期的s hortfall联系起来的结果具有重大意义。下面，我们从推论2中推断，理想的VaR预测是通过增加信息集来改善因其超出预期而产生的短缺。3.1. 超越指标。评估VaR预测被称为回溯测试。在无条件回溯测试中，我们会检查VaR估计超出的相对频率是否对应于VaR水平；见McNeil、Frey和Embrechts（2005）。

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2022-5-6 04:24:00

虽然无条件方法和条件方法（如果规定正确）都保持了这一水平，但仅凭经验水平的超标并不意味着预测序列实际上与质量有关。事实上，假设α=0.99，然后简单地系统地使用99个极高值，后跟一个极低值（导致非平稳预测）。通过这种方式，将观察到经验超标与非预期水平的非常快的收敛，但预测没有意义。条件方法通常伴随着独立性检查，其基础是以下众所周知的命题。对于严格意义上的a，连续分布函数F让qα（F）表示α分位数。提议6。假设每个ω∈ Ohm, 条件分布函数FY | F（ω，·）是连续且严格递增的。设Z为可测随机变量，I=1Y>zb为超标指标。那么下面的断言1和2是等价的：1。P（I=1）=1-α、 I和F是独立的。2.对于P-a.e.ω，Z（ω）=qα（FY | F（ω，·））∈ Ohm.这一命题暗示了以下所谓的i.i.d.和jointhy pothesis[见Christo Offersen（1998）]。推论7。假设（Yn）是一个随机变量序列，（Fn）是（Yn）适应的任何过滤（即，Yn是可测量的）。进一步假设所有条件分布函数FYn | Fn-1持续且严格增加。然后对于一步预测^Yn=qα（FYn | Fn-1（ω，·）），超过指标在=1Yn>^yn中的顺序是独立的，并且以成功概率1分布-α.预测13条评论的信息集的作用是有序的。1.

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2022-5-6 04:24:03

该推论有助于检查对于给定的信息集序列，基于规范和测试的特定预测方法是否有效。考虑到模型误判和估计方案的影响，提出了几项测试；参见Escanciano和Olmo（2011）。然而，如Escanciano和Olmo（2011）所述，仅仅依赖于超越指标并不能恰当地考虑信息集序列（Fn）的作用，因为所需要的只是（Yn）适应（Fn）。例如，当通过对风险因素进行多变量建模来增加信息集时，我们不能期望超越指标的平均值系统性地接近1级-α、然而，这有时被视为一个标准[见麦克尼尔、弗雷和恩布雷切茨（2005），第55-59页]。实际上，收敛速度innpn=1In→1.-独立（In）的α由中心极限定理控制√NNNXn=1In-(1 - α)!D→N（0，α（1）-α)).为了减小渐近方差α（1-α），需要负相关的超额指标，以达到比预期更快的速度√N、非平稳预测需要像上面的样式化示例一样发布。4.h步预测的情况更糟，因此在学术研究中很少进行研究。这里，^Y（h）n=qα（FYn | Fn-h（ω，·）），并且超过指标In=1Yn>^Y（h）仅对滞后独立≥ h、五,。原则上，VaR基于特定信息集Fn-通过对照信息集Fn检查完全独立性，可以从超标指标中识别出Hc-H见提案6。一些测试考虑了超越指标与额外滞后变量之间所需的独立性；参见Berkowitz、Christo Offersen和Pelletier（2011）。

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2022-5-6 04:24:06

然而，问题是，这种扩展的独立性属性带来了什么特殊的额外收益。3.2. 分位数损失和预期短缺。在什么意义上，通过增加信息集来改善理想的预测？上一节的理论似乎提供了一个合适的答案，使用了scoringfunctions。实际上，α分位数是可导出的，满足（1）的严格一致的scoringfunctions由（x，y）=（1x）给出≥Y-α）（g（x）-g（y）），（15）14 H.HOLZMANN和M.Eulert，其中g严格增加（且所有相关预期值假设存在）；参见Gneiting（2011）。注意，我们可以从（15）中去掉术语αg（y），并保留严格一致的评分函数[尽管不再是非负的，也不一定满足（1）]。一个有吸引力的特例是选择g（x）=x/α。在减去y之后，我们得到了（不再是非负的）严格一致的评分函数*（x，y）=αx≥y（x）-y）-x=x（α）-1x≥Y-1) - yα-1x≥y、现在我们把分数和S联系起来*以弥补预期的短缺。提议8。假设Y是可积的，每个ω都是可积的∈ Ohm条件分布函数FY | F（ω，·）是连续且严格递增的。对于条件分位数^YF（ω）=qα（FY | F（ω，·））我们得到*（YF，Y）|F）（ω）=-αZ^YF（ω）-∞P-a.e.ω的yFY | F（ω，dy）∈ Ohm .（16）此外，如果F G A和^YG（ω）=qα（FY | G（ω，·）），然后-αZ^YG（ω）-∞yFY | G（ω，dy）≤-αZ^YF（ω）-∞P-a.e.ω的yFY | F（ω，dy）∈ Ohm,E-αZ^YG（·）-∞yFY | G（·，dy）F(ω)(17)≤-αZ^YF（ω）-∞P-a.e.ω的yFY | F（ω，dy）∈ Ohm,ZOhm-αZ^YG（ω）-∞yFY | G（ω，dy）dP（ω）≤ZOhm-αZ^YF（ω）-∞yFY | F（ω，dy）dP（ω），当且仅当^YG=^YFa，在（17）中的一个不等式中相等。s、对于解释，假设Y对应于利润和损失分布（例如，是对数回归），因此α确实是一个小值，例如α=0.01或0.001。

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2022-5-6 04:24:10

然后-αZ^YF（ω）-∞yFY | F（ω，dy）预测15的信息集的作用是条件分布的较低尾部预期短缺，因此，E（S）*（^YF（ω），Y））如（17）所示，是使用信息集F.Rockafellar和Uryasev（2000）得出与（16）相似的结果时，平均较低的尾部预期短缺；参见他们的定理1.4。模拟和应用。在本节中，我们将在风险价值估计的背景下，在模拟的例子中，以及在几个股票和股票指数的对数收益率中，研究所提出的方法。我们：Θ→ R是α分位数，设S（x，y）=x（α）-1x≥Y-1) -yα-1x≥Y见第3节。虽然分位数损失函数已用于一些数值研究[cf.Bao、Lee和Saltoglu（2006）]，但到目前为止，似乎尚未研究信息集的特殊影响。4.1. 无条件与有条件风险管理。我们认为有条件的风险管理是无条件的风险管理；见McNeil、Frey和Embrechts（2005）。让（Rt）t∈Zbe是一个平稳的时间序列，对应于股票或股票指数的日对数收益率，letFt={, Ohm}, Gt=σ{Rs:s≤t} 。因此，基于微不足道的Ft的预测关注回报的无条件分布，而基于Gt的预测关注的是有条件分布的每日日志回报。修正一些预测范围≥ setYt+h=Y（h）t+h=Rt+1+····+Rt+h，即h步日志返回。我们的目标是对Yt的分位数进行h步预测，即^Y（h）t+h，F=t（FYt+h | Ft）和^Y（h）t+h，G=t（FYt+h | Gt）。由于FTI很小，所以^Y（h）t+h，Fare常量a.s.等于Yt的非条件分位数，而^Y（h）t+h，Gis是h步返回的条件分位数，给出了e步返回到时间t的历史。

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2022-5-6 04:24:13

对于条件法，指标1^Y（h）t+h，G>Yt+hare中的超越与滞后无关≥ h、虽然无条件方法没有这种普遍的独立性。然而，请注意，对于较大的h值，很难区分基于（非）独立性的两种方法。模拟作为数据生成过程，我们使用GARCH（1，1）-modelRt=σtεt，σt=κ+φRt-1+βσt-1，其中（εt）为i.i.d.N（0，1）-分布，不同的参数值（κ，φ，β）根据表1中的情景确定。作为预测范围，我们认为h=1，2:e和两天，h=10:2周，h=66:16 h.霍尔兹曼和M.尤勒特一年中的四分之一。给定GARCH模型的参数（真实值或估计值）以及一步波动率σt的估计值，作为条件预测，我们在h=1的情况下使用准确的预测分布n（0，σt+1），而对于h>1，我们通过大小为M=1000的蒙特卡罗样本的经验分位数来近似每个t的分位数。作为一种无条件预测，我们使用一个适当的h步收益序列的α分位数。（a）首先，我们使用（近似）理想预测快速调查无条件和有条件风险管理的真实预期平均分数，其（17）对应于平均预期不足。为此，我们使用了一个N=100000的大样本（对于h=1，N=300000）。对于条件预测^Y（h）t+h，G，我们使用GARCHmodel的真实参数，而对于无条件情况，我们将^Y（h）t+h，Fconstant设置为长度为300000的不同模拟序列（Yt）的经验分位数。最后，我们通过样本平均bmN、Fand bmN、Gasin（11）来计算平均分数。配置1的结果见表2；对于其他配置，它们是类似的。

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2022-5-6 04:24:17

正如埃尔比和塔什（2002）命题3.4中所述，我们发现对于固定h和α的增加值，bmN、Fand bmN、GDE的值降低。此外，对于固定的α和增加的h、bmN、Fand bmN、GinRise值。相对差值MN/^uN，F表示将条件法转换为条件法时平均预期短缺量的减少，对于小α，其最大值为31%。σ=E（Z+2P）的估计∞k=2ZZk），其中Zkare如（14）所示，通过在2h处用恒定权重1进行截断获得，其中，在计算协方差之前，观测值居中。这种选择在我们的模拟中是可行的。最后一列包含t统计量的值以及基于渐近近似的p值。对于h=1、2和10的值，所有α的差异显著大于0，而对于h=66的差异不显著。（b）接下来，我们研究了在考虑估计影响时，实际样本量的DM测试结果的威力。我们在Rwind=500的滚动窗口上估计了无条件方法的GARCH模型参数和无条件方法的分位数参数。对于无条件方法，我们研究了两种变化，第一种是使用t之前最后一个rwind步骤返回的经验分位数，第二种是使用时间平方根规则得出^Y（h）t+h=√h^stqα+h^mt，其中^stand^mt是t之前最后一个Rwindone阶跃返回的经验标准偏差和平均值，qα是标准正态的α分位数。由于时间平方根规则在大多数情况下，预测信息集的作用17表1 GARCH（1，1）模型的参数配置在条件和无条件变量估计的比较中。

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2022-5-6 04:24:21

κφβ1 0.01 0.088 0.9022 0.02 0.2 0.783 0.05 0.3 0.65表2参数配置1的条件和非条件VaR估计的平均得分，见表2平均得分差异。（=MN）Rel。差别。hα^mN，F^mN，G^mN，F- ^mN，GMN/^mN，1.0.116 0.573 3.547 3.3 3.3 3.3 3.3 3.573 3.573 3.573 0.974 0.21 18.8.8 8 8.1<0.0011 0.0 0.1 0.0 0 0.0 0 0.1 0.0 0 0.1 0 0.9 9 9.1 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0.0.18.18.8 8 8 8.8 8 8 8 8 8 8 8.1 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.1.1<0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.18 18 18 18 18 8 8 8 8 8 8 8 9.579 3.272 0.25 115.8 4.5<0.00110 0.05 6.749 5.988 0.761 0.11 19.5 6.2<0.00110 0.20 3.991 3.8900.101 0.03 4.6 3.5<0.00166 0.01 25.331 24.746 0.585 0.02 320.9 0.3 0.38766 0.05 17.726 17.398 0.328 0.02 76.4 0.7 0.24966 0.20 11.552 11.407 0.145 0.01 28.2 0.8 0.209导致得分较小的病例，我们仅显示相应的结果。请注意，由于估计范围有限，无条件方法实际上也是部分有条件的。然后，我们用上述长期方差估计值计算DM t统计量tn。这是重复1000次。表1的三种配置的结果、各种样本大小N（因此观察次数为N+逆风）、测试水平0.05和d 0.1以及H=1、2、10显示在表3和表4中。对于h=66，测试没有超出水平的任何功率。否则，功率特性是合理的。应用最后，我们研究了无条件风险管理与条件风险管理在对数收益率下的应用。我们使用雅虎金融（Yahoo Finance）公开的德国股票价格（每日）(http://finance.yahoo.com).数据集从18 H.HOLZMANN和M.Eulert表3测试功率（在0.05水平）运行，用于条件和无条件VaR估计（α=0.01）；有关参数配置，请参见。

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2022-5-6 04:24:25

政府卫生福利福利局局长现现向政府提供的资料资料，包括政府统计调查资料及政府统计调查资料资料及政府统计调查资料资料及政府统计资料资料及政府统计调查0.0 0 0 0.951 0.0 0 0.9 9 0.0 0 0 0.9 9 9 0 0.9 9 9 9 9 0.0 0 0 0.9 9 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 9 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 9 9 9 9 9 9 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 9 306 0.1624000 0.634 0.620 0.412表4测试功率（在0.1水平）用于条件和无条件VaR估计（α=0.01）；对于参数配置，政府统计数字资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料资料表表表所0.790 0.921 0.792100.792100.920.920.920.980.980.980.980.980.980.980.980 0.980.956161616161610 0 0 0 0.980 0.980 0 0 0.980 0 0 0.980 0 0 0 0 0 0.980 0.980.980 0 0 0 0 0 0 0 0 0.980 0 0.980 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.980 0.970.590.597 0.4104000 0.819 0.842 0.689预测信息集19表5几种股票的对数回报的条件和非条件VaR估计（α=0.01）的平均分数（日期值至少从2001-01-02开始，结果为n≥ 每行3211）平均得分差异。（=MN）Rel。差别。股票名称h^mN，F^mN，G^mN，F- ^mN，GMN/^mN，6.6.1.0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.00012 12.14 9 9 9.9 0.0 0 0.36.20 36.0 0 0.6 6 6.6 6 6.6 6 6.6 6 6 6.6 6 6 6.6 6 6 6.3.3.3 3.0 0 0 0.3 3.3 3.0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3.3 3.3.3.3 3 3 3.3 3.3.3 3 3 3.3.3.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 3.08 0.00110 38.56 29.39 9.17 0.24 450.7 1.06 0.144慕尼黑RE1 7.49 6.06 1.42 0.19 17.9 4.14 0.0002 10.92 8.75 2.17 0.20 35.0 3.22 0.00110 21.17 19.92 1.25 0.06 124.4 0.52 0.300西门子1 8.89 6.85 2.04 0.23 28.5 3.75 0.0002 12.07 9.32 2.75 0.23 39.0 3.70 0.00010 31.33 26.09 5.24 0.17 95.7 2.87 0.00 2001年1月21日至2013年7月31日。

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2022-5-6 04:24:29

在两个共享的直接比较中，为了简单起见，我们通过交叉点限制可用数据点的子集（对于每个共享）。在任何情况下，我们分析的股价子集都大于2727（每个都包括2003年初）。让St表示价格，Rt=log St-洛格街-1日志返回，因此y（h）t+h=日志St+h-log STI是h步日志返回。我们按照上面的模拟部分（b）进行，使用大小为500的滚动窗口以及无条件方法的时间平方根规则。各种股票的结果见表5。当从无条件方法传递到条件方法时，h=1和h=2的平均得分显著降低，其中相对差异的最大值为0.3。对于更大的滞后，减少是不重要的。结论。对于h=1和h=2，无论是在模拟中还是在股票收益率中，条件方法比无条件方法的性能都有明显改善。另一方面，对于h=66（本季度），股票回报率没有显著改善，模拟显示的潜在改善也很小。对于H=10（两周），模拟表明有很大的改善潜力，20 H.HOLZMANN和M.Eulert，但实际股票回报率（如果存在）的影响通常还不显著。4.2. 风险管理的单变量与多变量建模。现在我们考虑基于投资组合收益的单变量模型，而不是单个风险因素的多变量模型。为了简单起见，我们只调查了两个不可靠的风险因素。让（Rt）t∈Z、 Rt=（Rt，1，Rt，2）t是一个平稳的二元时间序列，对应于投资组合中单个股票的日常收益。

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可人4

2022-5-6 04:24:33

对于固定权重向量w=（w，w）T，0≤ wi≤ 1，w+w=1，我们将其解释为由两支股票组成的投资组合的回报。注意，根据投资组合的价格，这对应于每个步骤中的重新加权；请参阅下面的应用程序。作为信息集，考虑ft=σ{Ys:s≤t} ，Gt=σ{Rs:s≤t} ，投资组合收益率的历史和个人风险因素的历史。我们的目标是对Yt的分位数进行一步预测，即^Y（1）t+1，F=^Yt+1，F=t（FYt+1 | Ft）和^Y（1）t+1，G=^Yt+1，G=t（FYt+1 | Gt）。因此，^Yt+1表示基于投资组合收益历史的预测，而^Yt+1表示基于单个风险因素历史的预测。注意，在这两种情况下，对于理想预测，超越指标系列（It，F）和（It，G），其中It，F=1^Yt，F>Yt和It，G=1^Yt，G>Yt，都是成功概率α的伯努利序列。模拟我们从Engle（2002）的二元DCC GARCHmodel模拟了序列（Rt），其中Rt=H1/2tεtwithεti。i、 d。~ N（0，I），Ht=DtCtDt，Dt=diag（σt，1，σt，2），σt，I=κI+φiRt-1，i+βiσt，i-1，（18）Ct=diag（q-1/2t；1,1,q-1/2t；2,2）Qtdiag（q-1/2t；1,1,q-1/2t；2,2），Qt=（Qt；j，k）j，k=1,2，Qt=（1）-γ -η） \'\'Q+γut-1uTt-1+ηQt-1，ut=（Rt，1/σt，1，Rt，2/σt，2）t，`Q=cov（ut），根据表6中列出的情景选择参数，w=（1/2，1/2）和α=0.01。（a）同样，我们首先通过样本平均值bmN，Gand bmN，fB，基于单个样本来模拟（近似）理想预测的真实平均分数。预测信息集在表6配置f中的作用，或DCC GARCH模型（N=500000，α=0.01，w=0.5，w=0.5）的模拟。

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2022-5-6 04:24:37

0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 790.970.75 0.05 0.947 0.0028 0.0031 0.300 0.500 0.690 0.480 0.88 0.010.98样本大小N=500000。在^Yt+1，Gand bmN，G的多变量情况下，我们使用DCC GARCH模型的真p参数和精确的预测分布N（0，wTHtw）。对于^Yt+1，Fand^uN，F，我们首先确定GARCH（p，q）模型类中（Yt）系列的适当模型，然后在此单变量GARCH模型中使用一步预测。尽管这类多元GARCH模型不是紧密聚集的，但结果表明，一个具有正常创新的简单GARCH（1，1）-模型工作得出奇地好。结果见表7。虽然在所有情况下，由于样本量大，平均分数之间的差异显著，但平均分数的相对减少幅度较小，最大值为0.06。对一类闭合的区域切换模型的模拟也得到了类似的结果。（b）接下来，我们研究了在考虑估计影响时，实际样本量的DM测试结果的威力。同样，我们根据大小为Rwind=500的滚动风ow进行估算，并按照第7部分单变量和多变量VaR估算的平均分数进行计算（N=500000，α=0.01）；对于参数配置1至7，参见表6平均得分差异。（=MN）Rel。差别。Con fig。

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2022-5-6 04:24:41

^mN，F^mN，G^mN，F- ^mN，GMN/^mN，6.1.0.0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0.0.595 0.595 0.575 0.574 0.5 0.0.0.0 0.0.0.5 6 0.6 0.0 0.0 0.0.0 0.0.0 0.5 0.5 0.5 6 0.0.0.5 6 0.0.0.0 0 0.5 6 0.0.0.0.0 0 0.0 0.0 0 0 0 0.0.0 0.0 0 0 0 0.0.0 0.5 0.0 0 0.5 5 5.574 0.574 0.0 0 0 0.574 0.0 0 0 0 0 0 0.574 0 0 0 0 0 0 0.574 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.574 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 4 4 4 4 4 4 4 4.HOLZMANN和M.EULERTTable 8单变量和多变量的试验功率（在0.05水平）多元VaR估计（α=0.01）；为参数配置，为参数配置，为参数配置，为参数配置，参考表6。为参数配置，参考表6。为参数配置，参考表6。为表6。为参数配置，参考表6。为参数参数，参考表6。为表6。中国1 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 707 0.528 0.116 0.035 0.545 0.322 0.104（b）以上。测试水平0.05和0.1产生的功率估计值（至少对于更大的样本量而言，这两个值相当高）可在表1和表9中找到。应用我们继续应用于由两种股票组成的投资组合。设St，i，i=1，2，表示股票i在时间t（dailyclosure）的价格。考虑相关的返回srt，i=St，i-圣-1.iSt-1，i，i=1，2。让λt，i记下从时间t到时间t+1从股票i持有的金额，并让Vt=λt，1St，1+λt，2St，2。然后对于投资组合收益率（Yt），Yt+1=Xi=1Rt+1，iλt，iSt，iVt，表9单变量和多变量VaR估计（α=0.01）的检验幂（在0.1水平）；有关参数配置，请参见。

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2022-5-6 04:24:46

政府统计数字1个2 3 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 50 0 0 0 0 0 0.1620 0 0 0.1590 0 0.106500 0.2620 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1590 0 0.1060 0 0 0 0.1060 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1060 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1060 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1060.0 0 0 0.0 0 0.0.490 0.490.490 0 0 0.496 0 0 0 0 0.496 0 0 0 0 0 0 0 0 0.496 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.490 0 0 0.496 0 0 0 0 0 0 0 0 0.496 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 710 0.468 0.184预测信息集的作用23表10表格缩写全名缩写全名广告中使用的共享名称缩写列表。阿迪达斯公司。德费雷森尤斯·维扎尔夫。德安联喜。海德堡。贝尔斯多夫3号。德汉高诉ZBMW。德宝马MRK。德默克代伊。戴姆勒MUV2。慕尼黑雷德布克酒店。德意志银行RWE。德尔韦恩。德·E·安·西。西门斯夫。DE Fresenius Medical Care，为了获得恒定的权重wi，i=1，2，我们在返回的基础上，选择初始值V=1的λt，i=wiVt/St，i。我们使用上述DCC GARCH模型对这些序列（Rt），Rt=（Rt，1，Rt，2）T进行建模，并使用简单的GARCH（1，1）模型对投资组合收益的单变量序列（Yt）进行建模。在这两种情况下，在时间t时，我们使用滚动窗口将估计值建立在最后一次逆风=500 obs-er的基础上。结果见表11。估计平均得分的差异（在考虑中的5/12病例中为负值）并不显著，每次为6=0。结论。在考虑中的模型中，使用单个风险因素的多变量DCC模型，而不是表11F的简单GARCH（1，1）-模型，或单变量和多变量VaR估计（α=0.01），对几个股票的对数回报（日期值至少从2003-01-01开始）进行改进的可能性似乎很小；有关股票全名，请参阅表Mean scoresShare No缩写：ShareNo缩写为^mN，F^mN，GDi ff。（=MN）^MN，F- 嗯，格雷尔。

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