随机环境下多变量缺省系统的动力学

2022-5-9 06:04:52

随机环境下多变量缺省系统的动力学*Nicole El Karoui+Monique JeanblancYing Jiao§2018年10月3日摘要我们考虑一个多元默认系统，其中随机环境信息可用。我们在扩大过滤的一般背景下研究系统的动力学，并采用概率测度变化的观点。我们还利用信用风险建模中的密度方法进行了alink。最后，我们给出了一个关于marke t上可观测信息过滤的鞅特征化结果。MSC:91G40，60G20，60G44关键词：多重默认值，预测过程，乘积空间和乘积测度，概率测度的变化，密度假设，鞅特征1引言我们考虑一个有限违约时间系统，以研究其概率分布以及违约系统与环境市场之间的依赖关系。在信用风险分析中，环境信息似乎是一个重要因素。除了潜在违约之间的依赖结构，我们还需要研究其他市场信息对多重违约系统的作用，反之亦然，以及违约事件对市场的影响。在Bielecki和Rutkowski[6]的著作以及Elliott、Jeanblanc和Yor[13]的论文等信用风险建模中，有关违约时间的信息结构由过滤扩大理论描述。一般来说，我们认为*我们感谢Tahir Choulli、Delia Coculescu、Thierry Jeulin和S hiqi Song的有趣讨论。

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2022-5-9 06:04:56

我们感谢两位匿名推荐人的宝贵意见和建议。+法国巴黎皮埃尔和玛丽居里大学巴黎6号实验室（LPMA）；电子邮件：elkaroui@cmapx.polytechnique.fr埃弗里-瓦勒埃松大学数学与现代教育实验室（LaMME），UMRCNRS 807191025，埃弗里法国大学；电子邮件：莫妮克。jeanblanc@univ-埃弗里。法国里昂托尼加尼耶大道50号克劳德·伯纳德大学里昂1号科学金融与保证研究所（ISFA）；电邮：ying。jiao@univ-里昂1。在市场上由概率空间表示的(Ohm, A、 P），环境信息由参考过滤F=（Ft）t建模≥0然后添加默认信息，形成扩大的过滤G=（Gt）t≥代表市场的全球信息。然后，通过使用自下而上和自上而下的模型，从两个方向对多个违约时间的依赖结构进行建模。在form er方法中，e从每个违约时间的边际分布模型开始，然后将它们之间的相关性精确化（调查见Frey和McNeil[18]）。而在为组合信用衍生工具专门开发的自上而下的模型中（例如，见Arnsdor ff和Halperin[2]、Bielecki、Cr\'epey和Jeanblanc[5]、Cont和Minca[10]、Dassios和Zhao[11]、Ehlers和Sch–onbucher[14]、Filipovi\'c、Overbeck和Sch midt[17]、Giesecke、Goldberg和Ding[20]、Sidenius、Piterberg和Andersen[32]等），直接研究累积损失过程及其强度动态。在本文中，我们考虑了一个存在环境信息的多默认系统，使用了一个扩大过滤的一般设置。

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2022-5-9 06:05:00

为了充分研究建模中的不同关键因素，我们使用了一个随机变量χon(Ohm, A）在波兰空间进行估值，以描述违约风险，并研究违约制度与剩余市场之间的依赖关系。根据观察，过滤（净）t≥0在E=B（E）的（E，E）上，与默认系统χ相关的可观测信息由逆图像过滤（Nt:=χ）给出-1（净）吨≥0on(Ohm, A）。全球市场信息是在时间t观察到的≥ 因此，0由FTA Gt=Ft的扩大定义∨ 新界。本演示文稿的主要优点是历史悠久。首先，该设置是通用的，可以通过适当选择默认变量χ和观察过滤灵活地应用于各种情况。例如，对于多默认系统，我们可以包括有序（对应于自上而下的模型）和非有序（对应于自下而上的模型）默认时间。第二，这个框架允许我们区分不同性质的依赖结构，值得注意的是，以所谓的预测过程为特征的默认系统内的相关性，以及由概率度量变化描述的默认系统和环境市场之间的依赖性。预测过程最初是在可靠性理论中引入的（例如，参见Norros[29]和Knight[27]），该理论被定义为χ的条件定律根据其观察历史记录，描述每个默认事件时整个默认系统的动态。当我们考虑到环境信息时，市场信息表现为扩大的过滤。

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2022-5-9 06:05:03

其主要思想是通过使用概率变化方法来描述多重违约系统和剩余市场之间的依赖性，在这种方法下，多重违约系统χ和环境信息fta是独立的。在这种情况下，在任意概率测度下，违约制度与市场环境之间的依赖结构可以用动态的方式描述，并用概率变化的theRadon-Nikodym导数过程来表示。我们从产品概率空间开始分析。在这种情况下，利用市场信息，应用概率变化法推导出估计和评价公式是很容易的。市场不一定由产品概率空间代表的一般情况更为微妙，尤其是当Radon-Nikodym导数不应该像我们预期的那样非常积极时。但之前的产品空间特例将作为一个有用的工具。我们证明了计算中的关键因素确实是预测过程和Radon-Nikodym导数。我们将概率方法的变化与默认密度方法El Karoui、Jeanblanc和Jiao[15,16]建立了联系。在关于过滤放大理论的经典文献中，密度放大是由Jacod[24]在过滤的初始放大中首次引入的，是确保过滤放大中半鞅性质的基础。我们证明了密度过程和氡尼科德姆导数可以相互推导，并且这两种方法是密切相关的。最后，我们对市场过滤G的过程感兴趣。

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2022-5-9 06:05:06

我们给出了一个一般的鞅特征化结果，它可以应用于有序和非有序违约等情况，这对金融应用非常有用。我们还讨论了它的浸入性，并利用刻划结果给出了如何构造aG鞅。本文的结构如下。在第2节中，我们给出了多元默认系统和市场过滤的一般介绍。第3节重点讨论了默认系统和环境信息之间的相互作用，并介绍了产品概率空间设置中概率度量方法的变化。在第4节中，我们考虑了一般情况，并研究了过滤放大理论中密度方法的联系。最后在第5节中，我们给出了鞅刻画的结果。2多重违约系统在本演示中，我们引入一个通用变量χ来描述与多重违约系统相关的所有不确定性，如违约或故障时间、发生顺序和相关损失或恢复率。我们展示了不同层次的市场信息，尤其是可观察信息过滤的一般结构。2.1模型设置我们定义了一个概率空间(Ohm, A、 P）。让我们考虑一个由n个基础企业组成的有限族，并用随机变量χ描述所有默认不确定性，该变量取波兰空间E中的值。这些企业的默认时间由随机时间τ=（τ，·τ，τn）的向量表示。由于χ包含关于违约不确定性的所有信息，因此存在一个可测量的mapf:E→ Rn+使得τ=f（χ）和该映射f指定默认时间τ。在这个总体框架中，可以非常灵活地选择随机变量χ，这允许在信贷风险文献中考虑自下而上和自上而下的模型。

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2022-5-9 06:05:09

例如，可以选择一个χ作为默认的时间向量τ本身：在这种情况下，波兰空间E就是Rn+和f:E→ Rn+是身份地图。还可以考虑相关损失的信息，即E=Rn+×Rnandχ=（τi，Li）ni=1：Ohm → Rn+×Rn，其中表示第i家公司在默认时间造成的损失。在自上而下的模型中，我们考虑了理论违约时间σ≤ · · · ≤ σn.我们可以选择E作为子空间{u=（u，···，un）∈Rn+| u≤ · · · ≤ Rn+和χ的un}是连续的默认向量σ=（σ，···，σn）。如果我们打算在自上而下的设置中考虑每个默认公司的标签（在这种情况下，连续默认向量σ由随机向量τ的顺序统计组成），我们可以选择χ=（σ，J）值为E={u∈ Rn+| u≤ · · · ≤ un}×Sn，其中J将所有双射的置换群Sno中的值从{1，…，n}取到自身，并描述连续默认值的基础组件的索引。因此，默认时间向量τ可以通过从E到Rn+的可测量映射来确定，该映射将（u，…，un，π）发送到（uπ）-1（1），·uπ-1（n））.2不同的信息水平和过滤呈现不同的信息水平：总信息和可访问信息。设F=（Ft）t≥0是对a的过滤，代表与违约事件不直接相关的市场环境信息。我们假设F满足通常的条件，F是平凡的σ-代数。

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2022-5-9 06:05:12

Eis上可观察到的默认信息由σ-代数σ（χ）的过滤描述，我们在下面对其进行了精确描述。与本框架相关的第一个自然过滤是过滤的规范化≥0其中Ht:=英尺∨ σ（χ）σ-代数表示总信息，且不完全可见，因为投资者在任意时间t都不知道未知变量χ。在关于过滤放大的文献中，这种过滤称为F的初始放大。我们记得（例如Jeulin[25，引理4.4]，另见Son g[31]）任何Ht可测量的随机变量都可以写成Yt（χ）形式，其中Yt（·）是一个Ft E-可测量函数。在时间t时，并非所有市场参与者都能获得关于χ的全部信息≥ 0.我们通过过滤（Nt）t呈现违约事件的可观察信息流≥0在A上。通常可以选择它作为计数过程生成的过滤。在本文中，我们构建了过滤（Nt）t≥以更一般的方式。让（净）t≥对Borelσ-代数E=B（E）进行过滤。如果（净）t≥0由观察过程生成（Nt，t≥ 0）如波兰空间E中定义的默认计数过程或累积损失过程，然后是过滤（Nt）t≥0onOhm 定义为反向图像（参见Resnick[30，§3.1]），由p进程（Nt）生成o χ，t≥ 0). 更一般地说，过滤（净）t≥0决定对(Ohm, A）通过χasNt的逆图像：=χ-1（净）={χ-1（A）| A∈ NEt}，t≥ 0.（1）然后通过过滤G=（Gt）t给出全球可观察市场信息≥0GT=∩s> t（Fs∨ Ns），t≥ 0.请注意，G满足通常条件，以下关系保持不变燃气轮机嗯。可以将过滤视为一种渐进式的扩大，但它是以一种普遍的方式构建的。经典的初始放大和渐进放大都包含在这个框架中。

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2022-5-9 06:05:15

下面是一些例子。例2.1（1）如果所有t的NEt=E，则Nt=χ-1（E）=σ（χ）。S o过滤G与H重合，H是过滤F的初始放大倍数χ。（2）在n=1和E=R+的情况下，其中χ=τ表示任何t≥ 0，由形式为1l[0，s]的f函数与s生成NEtbe≤ t、 thenNt=σ（1l{τ）≤s} ，s≤ t）。过滤G是F乘以τ的经典渐进式放大。（3）一般来说，（净）t≥0可以对（E，E）进行任何过滤，从而使G不同于初始放大和渐进放大。考虑一位知情人士，他有额外的信息，知道公司是否会在确定的时间之前违约。设χ=τd为默认时间。无论如何≥ 由形式为1l[0，s]的函数生成的σ-代数网络≤ tor s=t。那么内幕人士的过滤系数由Nt=τ给出-1（净）=σ（1l{τ）≤s} ，s≤t或s=t），t≥ 0.过滤G=（英尺）∨ Nt）t≥0通常大于F的τ的渐进放大。（4）在具有高级或延迟信息的情况下，如果代理知道默认情况发生时，时间>0，则NEtis由形式为1l[0，s+]和s的函数生成≤ t和Nt=σ（1l{τ）≤s+}，s≤ t）。同样，对于CollinDufresne、Goldstein和Helwege[9]或Gu o、Jarr ow和Zeng[22]中的延迟信息，NEtis由1L[0]生成-）+]带s≤ t和Nt=σ（1l{τ）≤（s）-）+}，s≤ t）。（5）对于n个非有序企业的默认时间族，其中χ=τ，我们有E=Rn+。让NEtbe由函数族{1l{ui生成∈[0，s]}（u），i∈ {1，··，n}，s≤ t} withu=（u，··，un）。那么Nt=σ（1l{τ）≤s} ，s≤ t）描述了默认事件的发生。

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2022-5-9 06:05:18

如果默认时间是有序的，我们让χ=σ和E={（u，···，un）∈ Rn+| u≤ · · · ≤ 联合国。在这种情况下，计数过程不包括每个默认指标，而是给出连续默认值的信息（参见[16]）。让NEtbe由formpni=11l{ui∈[0，s]}（u）带s≤ t、那么Nt=σ（1l{σ≤s} ，s≤ t）。（6）如果，除了违约事件，我们还包括每个违约时间的非零r和dom标记，例如给定违约的损失或恢复，我们让χ=（τ，L）取值为E=Rn+×Rn。无论如何≥ 0，让NEtbe由{1l{ui形式的函数生成∈[0，s]}（u）f（li）：i∈ {1，··，n}，s≤ t、 f是R}上的任意Borel函数。然后相应的违约过滤(Ohm, A）由Nt=σ（1l{τi）给出≤s} 李，我∈ {1，··，n}，s≤t）。然后我们可以考虑σg和σg的顺序。如果我们可以考虑σg和σg的顺序。σ-代数是由公式pni=11l{ui的函数生成的∈[0，s]}（u）f（li），s≤ t、那么Nt=σPni=11l{σi≤s} 李，s≤ T因为随机标记s Lido不接受零值。3预测过程和乘积空间我们对不同信息条件下的χ定律感兴趣。在本节中，我们首先关注一种只涉及默认信息的情况，并在Knight[27]和Norros[29]之后介绍了预测过程的概念。

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2022-5-9 06:05:22

然后，我们将环境信息F包含在产品概率空间的玩具模型中，并表明预测过程在这种情况下起着关键作用。3.1预测过程给定默认观测信息，则（Nt）t≥随机变量χ的0-条件概率定律被给出为P（E）值c`adl`ag（Nt）t≥0-适应过程（ηt，t≥ 0），其中p（E）表示E上所有Borel概率测度的集合，具有弱收敛拓扑，使得对于任何ν∈ P（E）和E上的任意有界连续函数h，映射ν7-→REh dν是连续的。使用[27,29]中的术语，我们称这个过程（ηt，t≥ 0）随机变量χw的预测过程与观察过滤（Nt）t有关≥0.我们请读者参考[29，T heorem 1.1]，了解该过程是否存在c`adl`ag版本（ηT，T≥ 0）且唯一性u p为不可区分性。此外，过程（ηt，t≥ 0）是一个（Nt）t≥关于弱拓扑的0-鞅：对于任何有界Borel函数，积分过程（REh dηt，t≥ 0）是一个（Nt）t≥0-鞅。带有随机标记的默认计数过程示例。我们考虑的情况是，观察过滤（净）≥0由标记的点进程nxi=11l{ui生成≤t} f（li），t≥ 0与默认事件的发生顺序以及示例2.1（6）中的随机标记相关联。请注意，（1）中定义的相应Nt与{Nσt=i}={σi]集合上的向量（σ，L）（i）：=（σk，Lk）ik=1生成的σ代数相同≤ t<σi+1}，其中Nσt=Pni=11l{σi≤t} 。此外，正如我们所提到的，默认向量σ=（σ，…，σn）可以写成形式σ=（u（χ），un（χ）其中u，E.预测过程（ηt，t≥ 0）在时间t≥ 0，即。

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2022-5-9 06:05:26

ηt（dx）=P（χ∈ dx | Nt）可以通过使用贝叶斯公式并考虑每个事件{σi）来计算≤ t<σi+1}，其中η作为给定（σ，L）（i）的条件分布，限制在生存集{σi+1>t}上，并由σi+1的条件生存概率（σ，L）（i）归一化，即ηt（dx）=nXi=01l{σi≤（1）1.1（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）元元元朗（t<t<ui+1（x）及1（x）上周上周）以及（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（t<t<ui+1（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）本人））本人）本人）本人）元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元朗<t<t<t<表示E上发送有界Borel函数h:E的随机测度→ R toZEh（x）η|（σ，L）（i）（1l{t<ui+1（x）}·dx）：=E[h（χ）1l{t<σi+1}|（σ，L）（i）]。在每一个违约时间，新出现的违约事件都会带来一个机制切换到预测过程，这可以解释为违约传染现象的影响。在特殊情况下，当eχ与（σ，L）相一致，且（σ，L）的概率定律与勒贝格测度有关，类似于[16]，我们得到了预测过程的更明确形式，如下所示：ηt（d（v，L））=nXi=01l{σi≤t<σi+1}δ（σ，L）（i）（d（v，L）（i））1l{t<vi+1}α（v，L）d（v，L）（i+1:n）R∞tα（v，l）d（v，l）（i+1:n），其中（v，l）（i）=（vk，lk）ik=1，（v，l）（i+1:n）=（vk，lk）nk=i+1，和z∞tα（v，l）d（v，l）（i+1:n）：=Z（]t，∞[×R）n-iα（v，l）d（vi+1，li+1）···d（vn，ln）。3.2乘积测度下的条件缺省分布我们现在考虑了χ的条件定律，给出了信息G中的一般观察，但在乘积空间的一个简单情况下。我们假设全球市场(Ohm, A）可以写成(Ohmo×E，Ao E）过滤时，F由（F）给出oT {, E} ）t≥0，在哪里(Ohmo, A.o)是一个可测空间，Fo= （F）ot） t≥0是对o. 假设A-可测随机变量χ由第二个投影给出，即χ（ω，x）=x。

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nandehutu2022

2022-5-9 06:05:29

然后，总信息的过滤率为（Ht=FoT E） t≥0.我们让Po是P的边际概率测度吗(Ohmo, A.o), 即对于任何有界Ao-可测量的f onOhmo,ROhmof（ω）o)Po（dω）o) :=ROhmf（ω）o)P（dω）o, dx）。设η为χ的概率定律。在乘积空间中，概率测度η与（E，E）上的P的边际测度相同。默认变量χ和环境信息F之间最简单的依赖结构是当它们独立时。我们引入了产品概率测度EP=Po ηon(Ohm, A）在这种情况下，风险的两个来源χ和F是独立的。这个案例将成为我们论文的基石。特别是，这些计算很容易在这种情况下应用Fubini定理。我们添加了一些在续集中有用的符号。如果Y是乘积空间上的随机变量Ohm = Ohmo有时我们省略了可测函数Y表达式中的第一个坐标，并使用符号Y（x），x∈ E、它实际上表示随机变量Y（·，x）。默认信息。回想一下，η是给定n和（ηt，t）的条件概率定律≥ 0）是χ的预测过程。因为χ独立于F undop，对于任何有界或正的A-可测函数ψonOhm = Ohmo×E，一个hasEP[ψ| F∞∨ Nt]=ZEψ（·，x）ηt（dx）=：ηt（ψ），P-a.s.由Dellacherie和Meyer[12，VI.4]提出，存在一个c`adl`ag版本的m artin gale（ηt（ψ），t≥0）作为条件期望。总信息H。对于总信息H的情况，我们必须考虑不可忽略集。一般来说，等式X（·，X）=Y（·，X），Po-a、美国为所有x∈ E并不意味着X（·，χ）=Y（·，χ），P-a.s。。我们需要一个适合这种过程的版本。

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nandehutu2022

2022-5-9 06:05:32

迈耶[28]和斯特里克[33]可以克服这一困难。（i）给定一个非负a-可测函数ψOhm, 在[28,33]中，存在一个c`adl`agH适应过程（ψFt（·），t≥ 0）对于任何x∈ E、不管怎样≥ 0，ψFt（x）=EPo[ψ（·x）|Fot] ，Po-a、在p关节中，如果XT是FoE中的t-可测随机变量，其中一个有ψFt（Xt）=EPo[ψ（·Xt）|Fot] ，Po-a、我们称之为（ψFt（x），t）≥ 0）x∈Ea参数化（Fo, Po)-依赖于参数的鞅∈ E、因为条件期望属性对空集合的x和t的所有值都有效。（ii）F的参数化版本o-作为两个变量（ω，x）函数的条件期望是研究与H有关的投影的基本工具o η、 EP[ψ| Ht]=ψFt（χ），P-a.s.（3）此外，我们还可以将ηttoagt随机测量推广到(Ohm, 将任何非负的Ht可测随机变量Yt（·）发送到Gt可测随机变量ηt（Yt（·））=REYt（x）ηt（dx）。在下文中，通过滥用语言，我们使用ηtto表示与NTA和GTUBP相关的条件法则。（iii）上述结果可以解释为（H，P）-鞅在参数化（F）下的一个刻画o, Po)-依赖于参数x的鞅∈ E.我们将在第5节中更详细地讨论martin gale性质。可获取的信息G。对于可观察的信息G，预测首先在一个更大的过滤上进行，该过滤包含比G更多的信息Ohmo或者在E.（i）上，由于ηt表示给定Gt和NtUntp的χ的条件定律，对于任何非负的可测随机变量Yt（χ），我们有EP[Yt（χ）|Gt]=ZEYt（x）ηt（dx）=ηt（Yt（·））。（4）（ii）现在考虑一个非负的a-可测随机变量YOhm.

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2022-5-9 06:05:35

其Gt条件期望值的计算可以通过以下两种不同的方式完成：YF∞∨新界Ht=英尺∨σ（χ）//EP[Y|Ht]GtEP[Y | F∞∨ Nt]Gt//EP[Y|Gt]（5）一方面，使用（3）中介绍的符号，EP[Y|Gt]=EP[EP[Y|Ht]|Gt]=EP[YFt（χ）|Gt]，通过（4）等式EP[Y|Gt]=ηt（YFt（·））=ZEYFt（x）ηt（dx）。（6）另一方面，如（5）所示，上述结果也可以通过中间σ-代数F得到∞∨ 新界。注意，根据单调类定理，它必须考虑形式为Y的Y（ω，x）o（ω） h（x）其中Yo是F吗o∞-可测且h是E上的Borel函数，则EP[Y | Gt]=EP[EP[Yoh | F∞∨ Nt]| Gt]=EP[Yoηt（h）|Gt]=ηt（h）EPo[Y]o|Fot] =ηt（EPo[Y]oh | Fot] ）=ηt（EPo[Y | Fot] ）等于（6）。（iii）通过（6）我们可以将（G，P）-鞅刻画为参数化（F）的积分o, Po)鞅YF（x），x∈ E、关于随机测度ηt（dx）。3.3概率测度的变化在本小节中，我们考虑乘积空间上的概率测度P(Ohm, A） =(Ohmo×E，Ao E）这对于产品测量是绝对连续的。我们假设P对乘积的Radon-Nikodym导数由dpdp给出HT=βT（χ）（7），其中T≥ 0是水平时间，βT（·）是非负FT E-可测随机变量。我们注意到，P不一定是P的等价概率度量，也就是说，βT（χ）几乎肯定不是严格正的。η在概率测度P下与χ的概率定律一致这一事实意味着EPo[βT（x）]=1，η-a.s.表示x∈ E.（8）在P下，违约变量χ与其他市场环境F之间的依赖性以概率的动态变化为特征。我们仍在研究不同的信息水平。

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2022-5-9 06:05:38

由于（8），χ的条件律在P和P下是非对称的，在两种概率测度下都表示为ηt。总信息H.P的氡Nikodym d密度与参数化（Fo, Po)-鞅（βFt（x）=EPo[βT（x）| Fot] ，t∈ [0，T]）取决于参数x∈ E.对于任何t∈ [0，T]，βFt（χ）是P的氡Nikodym d密度，在Ht上分别为TOP。当不存在歧义时，我们使用旋转βt表示βFt（χ）。（i）对于非负HT可测随机变量YOhm, 通过概率的变化和P下的富比尼定理，我们得到了EP[Y|Ht]=EP[YβT|Ht]βt1l{βT>0}=（Yβ）Ftβt1l{βT>0}，P-a.s.（9），其中最后一个等式来自（3）。注3.1注意，我们仅假设P是绝对连续的w.r.t.P。特别是，任意P可忽略集是P可忽略的。然而，相反的说法并不一定正确。特别是，虽然β不一定是严格正的EP-a.s.，但在P下，集合{βt=0}可以忽略不计。事实上，一个hasP（βt=0）=EP[βt1l{βt=0}]=0，因为β是Ht上的氡-尼科德姆导数dP/dP（注意，这个公式并不表示P（βt=0）=0）。在下面，为了简化表示，我们省略了指示符1l{βt>0}，等式（9）可以写成EP[Y | Ht]=（Yβ）Ft/βt。此外，在概率型下，由于β是非负（H，P）-鞅，集合{βt=0}上的βt=0 a.s。实际上，让Tx=inf{t≥ 0：βt-（x） =0}，然后在[[0，Tx]]上βt（x）>0，在[[Tx]上βt（x）=0，∞]].（ii）根据（9），H-适应过程是（H，P）-鞅当且仅当其与βisan（H，P）-鞅的乘积，或等价地，是参数化（F）鞅o, Po)-依赖于参数x的鞅∈ E.可获取的信息。

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2022-5-9 06:05:42

我们使用ηgf表示概率P下给定的χg的条件定律。（i）贝叶斯公式允许直接计算条件定律ηGbyηGt（dx）=ηt（βt（x）·dx）ηt（βt（·））（10），其中对于非负的a-可测函数ψonOhm, 符号ηt（ψ（x）·dx）表示E上的A-随机测度，它在E上发送一个非负Borel函数f到zef（x）ηt（ψ（x）·dx）=ηt（f（·ψ（·））（11）（ii）非负Ht可测随机变量Yt（χ）isEP[Yt（χ）|Gt]=ZEYt（x）ηGt（dx）=：ηGt（Yt Gt）（Yt）（Yt）（Yt·））（12）（iii）对于非负Ht可测随机变量YOhm, 我们首先研究更大的σ-代数，然后使用（9）和（12）得到EP[Y | Gt]=EPEP[Y|Ht]|Gt=ZE（Yβ）Ft（x）βt（x）ηGt（dx）。（13）通过使用贝叶斯公式asEP[Y | Gt]=ηt（（Yβ）Ft（·））ηt（βt（·））（14）可以得到一个等价形式（13）和（14）之间的等式也可以用（10）表示。（iv）相应地，a（G，P）-鞅可以如下描述：G-适应过程是a（G，P）-鞅当且仅当其与ηt（βt（·））的乘积是参数化（F）的积分o, Po)-鞅（Yβ）F（x），x∈ 关于η（dx），或者，当且仅当ifit可以写成两个参数化（F）商的积分o, Po)-关于ηGt（dx）的鞅（Yβ）Ft（x）/βt（x）。4与环境信息的相互作用在本节中，我们回到第2.1节中建模的一般金融市场环境，其中概率空间(Ohm, A、 P）不一定以产品形式给出。然而，我们在上一节中讨论的产品空间模型将为一般情况提供有用的工具。从财务角度来看，概率测度的变化方法可以用来描述违约风险变量χ和基础市场信息过滤F之间的动态依赖结构。

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2022-5-9 06:05:45

在最近的一项工作中，Coculescu[8]构造了一个显式的非马尔可夫违约传染模型，其中采用了概率变化方法。从数学的角度出发，我们得到了一些计算结果，其中可以放松标准假设，即Radon-Nikodym导数是严格正的。在扩大过滤的过程中，雅科德的密度假说（见[24]）起着至关重要的作用，该假说最初是在过滤初始扩大的背景下提出的。在信用风险分析中，在逐步扩大过滤中采用了违约密度法，以研究违约事件和一系列有序多重违约的影响（c.f.[15,16]，Kchia，Larsson and Protter[26]和Gapeev，Jeanblanc，L I and R utkowski[19]）。在多缺省系统的一般情况下，我们给出了条件密度和概率变化的Radon-Nikodym导数之间的联系。4.1基本假设我们首先在模型设置中对密度假设进行精确分析。假设4.1给出过滤F的χ的条件概率定律允许（E，E）上的σ-有限测度ν存在差异，即对于任何≥ 0，存在一个Ft 可测函数（ω，x）→ αt（ω，x）使得对于任何非负Borel函数f，EP[f（χ）|Ft]=ZEf（x）αt（x）ν（dx），P-a.s.In[24]，选择η作为χ的概率定律。实际上，另一种选择是Lebesgue度量，尤其是对于多默认模型。在概率P下，对于任意x∈ E、 p过程（αt（x），t≥ 0）是F-鞅。χ的概率定律η对于测度ν是绝对连续的，由η（dx）=α（x）ν（dx）给出。在ν与η重合的情况下，我们得到α（x）=1。χ的Ft条件概率定律对于η是绝对连续的。

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2022-5-9 06:05:47

LetP（χ∈ dx | Ft）=：βt（x）η（dx），（15）那么下面的关系表示αt（x）=α（x）βt（x），P η-a.s。。根据[24，引理1.8]，存在（ω，t，x）7的非负c`adl`ag版本→ βt（ω，x）对于任何x∈ E、 βt（x）是F-鞅。我们可以用概率测度的变化语言来解释密度。在过滤初始放大的情况下，即关于过滤H，其中ν与η重合，Grorud和Pontier[21]（另见Amendinger、Becherer和Schweizer[4]）证明，如果βt（·）严格为正，P-a.s.，则可测空间上存在概率测度(Ohm, A）这相当于P，使得在概率测度bp下，χ独立于F，并且bp分别与P在F和σ（χ）上重合。事实上，这个过程（βt（χ），t≥ 0）是期望1的（H，P）-鞅，概率bp由Radon-Nikodym导数（c.f.[21，引理3.1]）dbPdP刻画Ht=α（χ）αt（χ）=βt（χ）。（16）上述结果对研究INSIDER的信息非常有用。受这一想法的启发，我们通过结合密度和概率测量的变化来研究观察过滤过程（在不一定是过滤的初始或渐进扩大的一般环境中）。备注4.2我们注意到概率空间上通常不存在概率BP(Ohm, A）尤其是当ηfti绝对连续但不等于η时。事实上，虽然βt（χ）>0，P-a.s.（见备注3.1），但一般来说，EP[βt（χ）]可以严格小于1，因此我们不能使用（16）定义等效的概率度量EBP。我们提供了一个简单的反例。允许Ohm = {ω，ω}，其中P（{ω}）=P（{ω}）=和F={, Ohm},F={, {ω}, {ω}, Ohm}. 让χ：Ohm → E={0，1}由χ（ω）=0和χ（ω）=1定义。

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2022-5-9 06:05:51

关于η，χ的非条件定律与密度β（ω，x）绝对连续：Ohm ×E→ R+由21l{ω，0}+21l{ω，1}给出。然而，β（·）并不是在所有的序列上都是严格正的，也不存在一个解耦概率测度，在这个测度下，χ是独立的，并且P相对于tobP是绝对连续的。关于这个问题的进一步讨论，请参见Aksamit、Choulli和Jeanblanc[1]。在一般情况下，这里βt（·）不一定是严格正的，也就是说，χ的Ft条件概率定律是绝对连续的，但与概率定律η不等价，我们不能再使用[21]中的方法，因为概率（16）的变化没有很好的定义。为了克服这个困难，我们建议使用从初始概率空间构造的更大的乘积可测量空间(Ohm, A）。正如我们将在下一小节中解释的那样，前面第3.2节中确定的结果将是有用的。4.2一般设置中的条件期望本小节主要关注与可观察信息相关的计算，这是第2.2节中定义的一般过滤。回想一下，G是F asGt=∩s> t（Fs∨ Ns）何处（Nt）t≥0是由Nt=χ给出的反像-1（净），并满足通常条件。我们仍然假设假设4.1。请注意，βt（·）不应完全呈阳性。为了确定主要的计算结果，[21]中的想法是使用解耦概率测度，其中χ和F是独立的。然而，在最初的空间里(Ohm, A），该概率测量BP不一定存在（见备注4.2）。我们的方法是通过引入辅助产品空间来扩展原始概率空间(Ohm ×E，A E）它配备了产品概率测度P=P η.

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2022-5-9 06:05:55

我们考虑χ的图映射，通过定义图Γχ：Ohm → Ohm×E s结束ω∈ Ohm to（ω，χ（ω））。在上被视为一个变量(Ohm, A）产品空间中的价值Ohm x E，映射Γχ在P下承认一个概率定律P′。更准确地说，P′是乘积空间上的概率测度(Ohm ×E，A E）这样，对于任何n on负的A E-可测函数fOhm x E，ZOhm×Ef（ω，x）P′（dω，dx）=ZOhm（f）o Γχ（ω）P（dω）=EP[f（χ）]。（17）注意，P′与r是绝对连续的，与乘积概率有关，相应的r ad on-Nikodym导数由Ft上的βt（·）给出 E在假设4.1下，因为EP[f（χ）]=EP[EP[f（χ）|Ft]=ZOhmZEf（ω，x）βt（x）η（dx）P（dω）=ZOhm如果f是Ft，则x Ef（ω，x）βt（x）P（dω，dx）电子测量。此外，Γχ与第二投影的合成Ohm×E→E与χ一致。因此，我们可以使用第3.3节中开发的方法。在β（·）为严格正且（16）中存在概率测度的特殊情况下，则ΓχunderbP的概率律与乘积概率测度一致。我们首先描述过滤G中的过程。请注意，如果Y（·）是Ohm 那么表达式Y（χ）实际上表示Y（·）o Γχ作为Ohm. 我们在下面的引理中对应用的可测量性进行了精确的描述：OhmΓχ//Y（χ）Ohm ×EY（·）//R。（18）引理4.3 Le t F是a上的次σ-代数Ohm Ebe是E上E的一个子σ代数。然后1）映射Γχ：(Ohm, F∨χ-1（E））→ (Ohm×E，FE）是可测量的，其中χ-1（E）={χ-1（B）|B∈E} 是σ-代数吗Ohm;2）如果地图Y（·）：Ohm ×E→ R是F E-可测量，然后Y（χ）：Ohm → R是F∨ χ-1（E）可测量。证明：对于1），必须证明f或所有A∈ F和B∈ E、一个是Γ-1χ（A×B）∈ F∨ χ-1（E）自F 由表A×B的集合生成的Eis。实际上，Γ-1χ（A×B）={ω∈ Ohm | (ω, χ(ω)) ∈ A×B}={ω∈ A |χ（ω）∈ B} =A∩ χ-1（B）∈ F∨ χ-1（E）这意味着第一个断言。

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2022-5-9 06:05:58

第二个断言是由于两个可测映射的组合仍然是可测的。上述引理4.3直接暗示了以下结果。推论4.4 Let（Yt（·），t≥ 0）是一个适应过滤的过程 NE，然后（Yt（χ），t≥0）是一个G适应的过程。下面的命题计算了G-条件期望s，它概括了[15，定理3.1]对于经典的渐进式过滤放大，以及[16，命题2.2]对于成功的多次违约时间。它为计算和应用提供了一个非常简洁的公式（该公式的形式与乘积空间第3.2节中的特殊情况相同）。此外，我们还表明，要对过滤G进行估计，关键项是预测过程和Radon Nikodym导数。命题4.5假设YT（·）为非负FT电子可测函数Ohmx E和t≤ T然后nep[YT（χ）|Gt]=REEP[YT（x）βT（x）|Ft]ηT（dx）REβT（x）ηT（dx），（19）其中η是给定的χ的条件定律，βT（x）如（15）所示。证据：回想一下P表示产品概率测度P ηon(Ohm ×E，A E）。那么对于任何t≥ 0，在（17）中定义的概率P′与r特别是toPon Ft是绝对连续的由βt（·）给出的Radon-Nikodym导数。的确，如果f是非负EFT E-可测函数，然后通过定义（17），f对概率测度P′isZ的期望Ohmx Ef（ω，x）P′（dω，dx）=EP[f（·χ）]=EP[EP[f（·χ）|Ft]=EPZEf（·，x）βt（x）η（dx）=ZOhm×Ef（ω，x）βt（x）P（dω，dx）。（20）接下来我们考虑一个非负的a E-可测r上的dom变量Y（·）Ohm x E.ByLemma 4.3和P′的定义，对于A的任何次σ-代数F和任何次σ-代数EofE，我们有EP[Y（χ）|F∨ χ-1（E）]=EP′[Y（·）|F E] （χ）（21）其中表达式EP′[Y（·）|F E] （χ）表示成分EP′[Y（·）|F E]o Γχa由（18）指示。

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2022-5-9 06:06:01

因此，我们得到了Gt=Ft∨ χ-1（净）等式EP[Y（χ）|Gt]=EP′[Y（·）|F 净]（χ）。（22）最后，我们通过（22）和（20）得到EP[YT（χ）|Gt]=EP′[YT（·）|Ft 净（χ）=EPYT（·）βT（·）| Ft 网EPβt（·）| Ft 网（χ），P-a.s.，这意味着等式（19）sinceP是乘积概率测度P η.备注4.6类似于备注3.1中所述，在集合{REβt（x）ηt（dx）=0}上，一个hasREEP[YT（x）βt（x）| Ft]ηt（dx）=0，P-a.s，我们省略了（19）右侧的指示符1l{REβt（x）ηt（dx）>0}。同样的规则也适用于以下内容。在下文中，我们将上述命题应用于例2.1中介绍的几个特殊情况。一次违约的情况：我们考虑χ=τ，过滤G是F按τ的标准渐进放大的情况。然后τ的Nt条件定律由ηt（du）=1l{t<u}α（u）ν（du）R给出∞tα（u）ν（du）1l{τ>t}+Δτ（du）1l{τ≤t} 对于任何非负FT B（R+）-可测函数YT（·），一个有（c.f.[15，定理3.1]）EP[YT（τ）|Gt]=R∞tEP[YT（u）αT（u）| Ft]ν（du）R∞tαt（u）ν（du）1l{τ>t}+EP[YT（u）αt（u）| Ft]αt（u）u=τ1l{τ≤t} 。（23）一次内幕信息违约等同于一次内幕信息违约，如例2.1（3）所示，其中过滤G由（Ft）给出∨ Nt）t≥0nt=σ（1l{τ）≤s} ，s≤t或s=t）。

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2022-5-9 06:06:04

然后根据t<tor t，给出了τ的Nt条件律≥ t、由ηt（du）=1l{t<u≤t} α（u）ν（du）Rttα（u）ν（du）1l{t<τ≤t} +1l{t<u}α（u）ν（du）R∞tα（u）ν（du）1l{τ>t}+Δτ（du）1l{τ≤t} ，如果t<tηt（du）=1l{t<u}α（u）ν（du）R∞tα（u）ν（du）1l{τ>t}+Δτ（du）1l{τ≤t} ，如果不是≥ t、对于任何非负FT B（R+）-可测函数YT（·），我们分别有ep[YT（τ）|Gt]=RttEP[YT（u）αT（u）| Ft]ν（du）RttαT（u）ν（du）1l{T≥τ>t}+R∞tEP[YT（u）αT（u）| Ft]ν（du）R∞tαt（u）ν（du）1l{τ>t}+EP[YT（u）αt（u）| Ft]αt（u）u=τ1l{τ≤t} 如果t<t.EP[YT（τ）|Gt]=R∞tEP[YT（u）αT（u）| Ft]ν（du）R∞tαt（u）ν（du）1l{τ>t}+EP[YT（u）αt（u）| Ft]αt（u）u=τ1l{τ≤t} ，如果不是≥ t、我们注意到当t≥ t、信息流与标准投资者的信息流相同，因此本例中的条件预期公式与（23）一致。多顺序默认值：χ=σ=（σ，···，σn），其中σ≤ · · · ≤ σ与E={（u，···，un）∈ Rn+| u≤ · · · ≤ 联合国。过滤（Nt）t≥0由过程生成（Pni=11l{σi≤t} ，t≥ 0). 假设ν是勒贝格测度，且χ的Ft条件律具有关于ν（du）=du的密度αt（·）。然后Nt条件律由ηt（du）=nXi=01l{t<ui+1}α（σ（i），u（i+1:n））δ（σ（i））（du（i））du（i+1:n）R给出∞tα（σ（i），u（i+1:n））du（i+1:n）1lEit（σ）（24），其中eit:={（u，…，un）∈ E | ui≤ t<ui+1}。（25）然后通过命题4.5，我们得到ep[YT（σ）|Gt]=nXi=01l{σi≤t<σi+1}R∞tEP[YT（u）αT（u）| Ft]du（i+1:n）R∞tαt（u）du（i+1:n）u（i）=σ（i），对应于[16，命题2.2]。多个非有序默认值：χ=τ=（τ，·τ，τn）和E=Rn+。过滤（Nt）t≥0由一系列指示过程（1l{τi）生成≤t} ，t≥ 0），i=1，··，n。此外，假设χ的Ft条件定律对于Lebesguedu测度有一个密度αt（·）。那么η的Nt条件定律可以写成ηt（du）=XI的形式{1，··，n}1l{uIc>t}α（·，uIc）δ（·）（duI）duIcR∞tα（·uIc）duIc1lEIt（τ），（26）其中I {1, . . .

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2022-5-9 06:06:07

，n}，δ（·）（duI）表示坐标系上的狄拉克测度，I表示向量（uj）j∈Ic，事件{uIc>t}表示stj∈Ic{uj>t}，andEIt:={（u，…，un）∈ E| 我∈ 一、用户界面∈ [0，t]， J∈ Ic，uj>t}。通过命题4.5，我们得到[YT（τ）|Gt]=XI∈{1，··，n}1l{τI≤t、 τIc>t}R∞tEP[YT（u）αT（u）| Ft]duIcR∞tαt（u）duIcuI=τI此处τI:=（τI）I∈Iland 1l{τI≤t、 τIc>t}对应于1lEIt（τ）。如果有序缺省值σ被定义为τ的递增排列，那么通过使用有序统计量，σ的密度过程ασ（·）和τ的ατ（·）之间存在明确的关系。对于任何你∈ Rn+使得u<···<un，对于任何t≥ 0，ασt（u，···，un）=1l{u<···<un}X∏ατt（u∏（1），··，u∏（n）），其中（∏（1），··，u∏（n）是（1，··，n）的排列。此外，如果τ是可交换的（参见[18]），那么对于任何置换，（τ∏（1），···，τ∏（n））具有与（τ，···，τn）相同的分布，因此ασt（u，···，un）=1l{u<··<un}n！ατt（u，··，un）。在这种情况下，我们说违约投资组合是同质的。5鞅特征研究鞅性质对于金融应用（如对信用敏感的未定权益定价）非常重要。在本节中，我们感兴趣的是在不同的放大过滤中，尤其是在观察信息过滤G中，对可压缩过程的描述。我们首先回顾了Amendinger[3]中过滤初始放大的鞅标准（另见Callegaro、Jeanblanc和Zargari[7]）。在我们的设置中，它对应于总信息过滤H=（Ht）t≥0，Ht=∩s> t（Fs∨ σ(χ)). 为了便于读者阅读，我们还提供了以下证据。提案5.1安（金融时报）E） t≥0-适应过程（Mt（·），t≥ 0）是一个（英尺）E） t≥（17）中定义的概率测度P′下的0-鞅当且仅当（αt（x）Mt（x），t≥ 0）是一个依赖于x的参数化（F，P）-鞅∈ E

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2022-5-9 06:06:11

此外，如果满足该条件，则（Mt（χ），t≥0）是上的（H，P）-鞅(Ohm, A）。证据：任何金融时报 E-r是一个dom变量MT（·）和t≤ T，因为P′对toP的RadonNikodym导数是FT上的βT（·） E、我们有αt（·）EP′[MT（·）|Ft E] =EPMT（·）αT（·）英尺 E= EP[MT（·）αT（·）| Ft]。注意，在P′下αt（·）>0几乎是肯定的。事实上，通过（17）一个hasEP′[1l{αt（·）=0}]=EP[1l{αt（χ）=0}]=EPZE1l{αt（x）=0}αt（x）ν（dx）= 因此，过程M（·）是（P′，Ft）E） t≥0-鞅当且仅当（αt（x）Mt（x），t≥ 0）x∈Eis是一个依赖于x的参数化（F，P）-鞅∈ 最后，（21）表示EP[MT（χ）|Ht]=EP′[MT（·）|Ft E] （χ）。因此，我们得到了这个命题的第二个断言。5.1过滤GWe中的鞅现在从命题4.5推导出以下可访问信息过滤G的鞅标准。定理5.2 Let（Mt（·），t≥ 0）be（英尺）净）t≥0适应过程。如果过程fmt（χ）=Mt（χ）ZEβt（x）ηt（dx），t≥ 0验证 T≥ T≥ 0，ZEEP[fMT（x）|Ft]ηt（dx）=fMT（χ），（27）然后（Mt（χ），t≥ 0）是（G，P）-鞅。证据：对于任何t≥ 0，设ηEt为给定网络（E，E）的条件律，即对于E上的任何有界或非负Borel函数f，ZEf（x）ηt（dx）=ZEf（x）ηEt（dx）(χ). （28）然后，根据命题4.5，对于T≥ T≥ 0，EP[MT（χ）|Gt]=REEP[MT（x）βT（x）|Ft]ηEt（dx）REβT（x）ηEt（dx）（χ）。根据Fubini条件期望定理，ZEEPhMT（x）βT（x）FtiηEt（dx）=EPhMT（·）βT（·）英尺 NEti（29）指出，通过（20），dP′=FT上的βT（·dP） E.由于P′由图映射Γχ导出，对于任何有界或非负FT E-可测量的随机变量φT（·），一个hasEPhφT（·）βT（·）i=EP′[ηT（·）]=EP[ηT（χ）]，这只取决于Ohm. 因此，随机变量ep[MT（·）βT（·）|Ft NEt），它是等式（29）的右侧，只取决于MT（χ）的值。

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2022-5-9 06:06:14

在计算（29）之前，我们可以在不损失一般性的情况下假设fmt（·）=MT（·）ZEβT（x）ηET（dx）。（30）根据Bayes公式，一个h asZEEPhMT（x）βT（x）FtiηEt（dx）=EPhMT（·）ZEβT（x）ηEt（dx）英尺 NEti，（31）由（30）导致zeephmt（x）βT（x）Et=124ft。最后，条件（27）意味着ep[MT（χ）|Gt]=fMt（χ）REβt（x）ηt（dx）（χ） =Mt（χ）。由此证明了这个定理。备注5.3条件（27）尤其满足以下条件：对于任何x，当enZEEP[fMT（x）| Ft]ηEt（dx）=fMT（x）∈ E、也就是说（fMt（·））t≥0是一英尺净）t≥乘积测度下的0-鞅。这个观察允许构造（G，P）-鞅。我们从（（英尺）开始净）t≥0，P）-鞅（·）（可以很容易地选择它作为乘积概率空间上的条件期望Ohm x E sinceP是产品度量）。然后进程mt（χ）：=fMt（χ）ZEβt（x）ηt（dx）-1，t≥ 0是（G，P）-鞅。推论5.4给出了严格正（G，P）-鞅（Mt（χ），t≥ 0）对于P-期望值1，假设Q是由dqdp定义的P的等效概率度量Gt=Mt（χ）。然后，对于E上的任何非负B-orel函数f（·），一个hasEQ[f（χ）|Ft]=EP[f（χ）Mt（χ）|Ft]EP[Mt（χ）|Ft]=REf（x）Mt（x）αt（x）ν（dx）REMt（x）αt（x）ν（dx）。换句话说，Q下χ的Ft条件密度为αQt（x）=Mt（x）αt（x）REMt（x）αt（x）ν（dx）。过滤F和G之间的浸入性质表明，任何F-鞅仍然是aG鞅。我们在下面介绍了eorem 5.2关于浸入特性的直接结果。推论5.5假设≤ T≤ T，一个hasZEβT（x）ηEt（dx）=ZEβT（x）ηEt（dx），（32）然后（F，G）满足信息性质。证明：设M是（F，P）-鞅。对于t≥ 0和x∈ E、 letfMt（x）=MtZEβt（x）ηEt（dx）。一个hasEP[fMT（x）| Ft]ηEt（dx）=EPMTZEβT（x）ηEt（dx）英尺= MtZEβt（x）ηEt（dx），其中最后一个等式来自（32）。通过定理5.2，我们得到了M是（G，P）鞅。

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2022-5-9 06:06:17

5.2有序和非有序多重违约的特殊情况我们将鞅特征化结果应用于几个特殊情况。当χ=τ且E=R+时，在单一违约的情况下，定理5.2导致[15，定理5.7]。下面，我们利用定理5.2给出了多违约情形的一些扩展。有序默认情况：这种情况可以看作是singledefault情况的推广。到（24）时，我们有任何v∈ E={（v，··，vn）∈ Rn+| v≤ · · · ≤ vn}，ZEβt（u）ηt（du）（v） =nXi=0R∞tαt（v（i），u（i+1:n））du（i+1:n）R∞tα（v（i），u（i+1:n））du（i+1:n）1lEit（v）。因为（净）t≥0由进程生成（Nt=Pni=11l{ui≤t} ，t≥ 0），F NE自适应过程M（u）可以写入f或MMT（u）=nXi=0Mit（u（i））1 Leit（u），t≥ 0其中Mi（·）是F B（Ri+）-适应并在（25）中定义EIT，那么一个hasfMt（u）=nXi=0麻省理工学院（u（i））R∞tαt（u）du（i+1:n）R∞tα（u）du（i+1:n）1莱特（u）。因此，对于T≥ T≥ 0，EP[fMT（u）|Ft]=nXi=0EP[MiT（u（i））R∞TαT（u）du（i+1:n）| Ft]R∞Tα（u）du（i+1:n）1lEiT（u）和ZEEP[fMT（u）| Ft]ηt（du）（v） =nXj=0xi≥jRTtEP[MiT（v（i））R∞TαT（v（i），u（i+1:n））du（i+1:n）|Ft]dv（j+1:i）R∞tα（v）dv（j+1:n）LejT（v）。所以条件（27）等于，对于任何j∈ {0，…，n}，Xi≥jZTtEPhMiT（u（i））Z∞TαT（u）du（i+1:n）Ftidu（j+1:i）=Mjt（u（j））Z∞tαt（u）du（j+1:n），t≥ uj（33），这意味着以下表征结果。命题5.6条件（27）等同于以下内容：对于任何j∈ {0，…，n}andany u（j）∈ Rj+，u≤ · · · ≤ uj，Mjt（u（j））Z∞tαt（u）du（j+1:n）-ZtMj+1uj+1（u（j+1））Z∞uj+1αuj+1（u）du（j+2:n）duj+1，t≥ uj（34）是（F，P）-鞅。证据：任何j∈ {0，··，n}，设（Aj）为T的等式（33）≥ T≥ 0和u（j）=（u，···，uj）∈ Rj+使u≤ · · · ≤ uj≤ 设（Bj）是（34）的鞅性质。我们将通过对j的反向归纳来证明( 我≥ j、（Ai）<==> ( 我≥ j、（二）。（35）注意条件（An）和（Bn）实际上是相同的。

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nandehutu2022

2022-5-9 06:06:20

证明了j′的等价性（35）≥ j、我们将证明f或j的等价性。通过归纳假设证明（Aj）<=> （Bj）考虑到（Ai）和（Bi）对所有i>j都是满意的，因此对于i≥ j+1和t<uj+1one-h-asEPhMiT（u（i））Z∞TαT（u）du（i+1:n）Fti=以弗米特（u（i））Z∞TαT（u）du（i+1:n）FuiiFti=EPhMiui（u（i））Z∞uiαui（u）du（i+1:n）Fti-ZTuiEPhMi+1ui+1（u（i+1））Z∞ui+1αui+1（u）du（i+2:n）Ftidui+1。因此等式（33）等于phmjt（u（j））Z∞TαT（u）du（i+1:n）Fti- Mjt（u（j））Z∞tαt（u）du（j+1:n）=Xi>j+1ZTtEPhMiui（u（i））Z∞uiαui（u）du（i+1:n）Ftidu（j+1:i）-ZTtEPhMi+1ui+1（u（i+1））Z∞ui+1αui+1（u）du（i+2:n）Ftidu（i+2:n）=ZTtEPhMj+1uj+1（u（j+1））Z∞uj+1αuj+1（u）du（j+2:n）Ftiduj+1。因此我们得到了（Aj）和（Bj）的等价性。非有序违约案例：非有序违约案例和有序违约案例可以以类似方式处理。唯一的区别是精确地预测相应的过程。为了v∈ Rn+，一个有（26）个ZEβt（u）ηt（du）（v） =XI{1，··，n}R∞tαt（vI，uIc）duIcR∞tα（vI，uIc）duIc1lEIt（v）。F NE适应的过程M（u）可以写成MT（u）=XI的形式{1，…，n}MIt（uI）1lEIt（u），t≥ 0其中MI（·）是F B（RI+）-适应，那么一个hasfMt（u）=XI{1，…，n}麻省理工学院（uI）R∞tαt（u）duIcR∞tα（u）duIc1 Leit（u）和for T≥ T≥ 0，EP[fMT（u）|Ft]=XI{1，…，n}EP[MIT（uI）R∞TαT（u）duIc | Ft]R∞Tα（u）duIc1lEIt（u）。因此ZEEP[fMT（u）| Ft]ηt（du）（v） =XJ{1，…n}xiJZ∞tEP[MIT（vI）R∞TαT（vI，uIc）duIc | Ft]R∞Tα（vI，uIc）duIc1lEIT（v）α（v）dvJc1lEJt（v）R∞tα（v）dvJc=XJ{1，…，n}xiJRTtEP[MIT（vI）R∞TαT（vI，uIc）duIc | Ft]dvI\\JR∞tα（v）dvJc因此，对于任何J，条件（27）实际上等于 {1，…，n}，和uJ∈ RJ+使得umaxJ:=maxj∈Juj≤ t、 XIJZTtEPhMIT（uI）Z∞TαT（u）duIcFtiduI\\J=MJt（uJ）Z∞tαt（u）duJc。（36）与有序情况类似，对于非有序默认，我们有以下特征化结果。

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