竞争市场中多经销商的最优定价模型

2022-5-10 12:59:26

竞争市场中多经销商的最优定价模型*贾文谷+杨庆庆德权萧2015年12月31日摘要本文将Avellande Stoikov[1]中关于垄断经销商的最优定价策略推广到竞争市场中多个经销商被预先分配的一般情况。当经销商被告知竞争的严重性时，他们的交易强度、他们的最优买入价和卖出价以及他们的分布都会被推导出来。还讨论了各种参数对竞争市场中经销商的报价和利润的影响。这项研究提供了一些关于竞争性交易环境中经销商的平均差价和利润的见解。1简介在证券市场中，投资者的角色是立即做好准备，以规定的买入价和卖出价交易一定数量的证券。希望立即进行交易的投资者（imm ediacy的委托人）可以通过下达市场指令，以最佳可用价格进行交易：卖出时的买入价或买入时的卖出价。流动性提供一度仅由专门的经纪人交易商（即市场庄家）执行。做市商手中有足够的流动性，以满足任何到达的交易者的供求。近年来，随着纳斯达克（Nasdaq）Inet等电子交易所的发展，任何希望在该系统中下单的人都可以轻松扮演交易商的角色。可以根据客户需求发布限价订单的代理*通讯作者。香港大学数学系高级建模与应用计算实验室，香港薄扶林道。电子邮件：wching@hku.hk.+丹麦哥本哈根大学数学科学系。

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2022-5-10 12:59:29

电子邮件：jwgu。hku@gmail.com.香港薄扶林道香港大学数学系高级建模与应用计算实验室。电子邮件：kerryyang920910@gmail.com.§澳大利亚新南威尔士州悉尼麦格理大学商业与经济学院应用金融与精算研究系2109。电子邮件：ktksiu2005@gmail.comon高频数据的可用性，形成了一个竞争激烈的交易环境。本文主要研究多个经销商竞争下的最优定价策略。微观结构文献对经销商的定价策略进行了广泛研究。交易商面临的两个最常被提及的风险来源是：（1）资产价值不确定性引起的库存风险；（2）知情交易产生的信息不对称风险。正如Demsetz（1968）[6]所指出的，当限价订单处于队列中时，下达限价订单的经销商会产生库存和等待成本。库存成本是由于交易商在其投资组合中可能持有的证券的市场价格不确定而产生的，而他的限价令尚未生效。等待成本是与下订单和执行之间的时间相关的机会成本。反作用成本的概念由Demsetz首次提出[6]。Copeland and Galai（1983）[4]在他们的论文中指出，限价指令也会受到信息劣势的影响，因此他们会被更知情的投资者选择。一般来说，执行限价指令的概率取决于限价指令价格与当前市场价格的接近程度。Cohen et al.（1981）[5]将这一现象称为现有引语的“引力”。

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nandehutu2022

2022-5-10 12:59:33

在当前m市场报价下的限价单很可能被执行，而激进限价单的执行概率接近于零。他们还指出，随着证券到达率的降低，执行限价指令的概率降低。斯托尔（1978）[21]为单个交易商开发了一个明确而严格的模型，该模型仅限于单个交易商在单一市场中的行为。他们还讨论了交易成本在经销商不同市场组织中的影响。Ho和Stoll（1981）[13]扩展了Stoll（1978）在不确定性方面的工作（引入交易不确定性），明确处理经销商的多iod策略，以及引入需求方。在供应方面，Demsetz（1968）[6]率先开展了研究工作，Tinic（1972）[22]和Stoll（1978）[21]也做出了额外的理论贡献。Garman（1976）[8]是第一个通过对买卖订单s.Ho和Stoll（1981）[13]之间的暂时不平衡进行建模来研究最优做市条件的人。他们采用了Garman的随机证券供求概念，将出售和购买证券的需求视为对经销商服务的需求，并假设对更大的销售和购买的线性需求关系。他们认为股票的“真实”价格是由一个信息集外部决定的，并假设交易商的价格是相对于“真实”价格的。Ho和Stoll最关心的是经销商面临的风险，以及这如何影响经销商提供服务的意愿。

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2022-5-10 12:59:37

在Ho和Stoll（1980）[12]的另一篇论文中，分析了竞争中经销商的问题，并证明买卖价格与代理商的保留（或差异）价格有关。基于Ho和Stoll（1981）[13]的思想和工作，Avellaneda和S toikov（2008）[1]将Garman的模型改进为一种量化的做市限制策略，产生持续的正回报；事实上，这个问题的经济背景是相似的。主要区别在于资产“真实”价格的性质、代理人的明确效用以及金融市场微观结构法律规定的交易强度。在[1]中，“真实”价格由市场中间价给出。为了对到达代理的买卖订单的到达率进行建模，他们利用了《物理学》、《波特和布乔德》（2003）[20]的最新结果，给出了市场订单的指数到达率。所采用的方法是将Ho and Stoll（1981）[13]方法的效用框架与实际极限的微观结构相结合，如物理学文献所述。该策略侧重于库存风险的影响，优于“最好的出价最好的要求”做市策略，即交易员以市场上可用的最好的出价和要求发布限价订单。最近，Cartea和Jaimungal[3]使用类似的模型为高频交易引入风险度量。他们使用了一个受Avellaneda Stoikov[1]启发的模型，其中中间价格由隐马尔可夫模型（HMM）建模。Guilbaud和Pham[11]还使用了受Avellanda Stoikov框架启发的DA模型，但包括市场订单和limitorders最佳（以及仅次于最佳）买卖以及s-tochastic价差。古伊恩泰特等。

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2022-5-10 12:59:40

[10] 当交易者愿意清算投资组合时，提供了一些简单易计算的最优报价表达式。最近的其他一些作品包括阿拉维·法德（2014）[23]和宋等人（2012）[24]等。文献中似乎更多地关注了单个交易商框架中的交易策略，而对多个交易商案例的关注相对较少。我们致力于后一种情况。本文确定了多个交易商情况下的最优报价。最优定价策略考虑了两个关键因素：经销商的库存水平和竞争的公平性。我们的论文从多个方面为高频贸易文学做出了贡献。首先，当经销商被告知竞争的严重性（例如，市场上有多少活跃的经销商）时，我们推导出每个经销商的最优出价和要价。考虑到市场信息，每个交易商都会给出自己的最优价格。经济物理学是一个跨学科的研究领域，它应用物理学的理论和方法来研究经济问题。信息和他自己的库存水平，以最大限度地提高他在终端时间t的最终利润。其次，我们将报价与[1]中的报价进行比较，以了解市场上的交易竞争。第三，我们还对竞争市场中的经销商与单一经销商市场中的经销商产生的利润进行了比较。这种比较有望增强我们对高频交易交易商如何通过提供股票流动性获得利润的理解。本文其余部分的结构如下。在第2节中，为了给读者提供研究背景，我们回顾了两个模型，一个是Ho和Stoll在[13]中提出的，另一个是Avellaneda和Stoilov在[1]中提出的。

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2022-5-10 12:59:44

在第3节中，我们在[1]中给出了由N个经销商组成的市场的扩展模型和结果。推导了经销商的极限订单簿强度。在第4节中，我们考虑了多经销商问题的两种情况：非活跃经销商和活跃经销商。对于处于竞争市场中的经销商，我们需要利用近似方法和动态规划（DP）原理，即解决方法将反向归纳与状态正向模拟相结合。在第5节中，给出了数值结果，并对一个经销商和多个经销商的情况进行了比较。最后，第6节给出了结束语，以讨论进一步的研究问题。2.两个模型的回顾在本节中，我们通过回顾两个相关模型来描述本研究的背景，一个由Ho和Stoll在[13]中提出，另一个由Avellaneda和Stoilov在[1]中提出。下面的发展遵循[1,13]中的发展。2.1 Ho-Stoll模型Ho和Stoll（1981）[13]提出的模型施加了以下假设。（i）根据inGarman（1976）[8]所述的泊松跳跃过程，假设事务随时间演化。使用两个泊松过程，一个用于经销商的购买，另一个用于经销商的销售，如下所示：dqa=X{a市场购买订单的到达}QλADD和DQB=X{a市场销售订单的到达}QλBDT其中Xe是事件E的指示函数，Q是市场订单的大小，λa和λ表示交易的强度。这里DqA和DqA分别显示了市场购买订单数量和市场销售订单数量的增加。（ii）如果市场的ale订单到达，经销商会立即确定价格b，如果市场的购买订单到达，经销商会立即确定价格a。

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2022-5-10 12:59:48

经销商不直接引用b和a，而是分别引用其出价和要价，如下所示：pb=p-b和pa=p+a。这里p是交易商在设定报价时对股票真实价格的看法，该价格应该是给定的常数。（iii）强度λA和λb分别取决于经销商的销售费和购买费。（iv）除了后续交易时间的不确定性外，交易商还面临着现有投资组合回报的不确定性。因此dF=rF-dt- （p- b） dqb+（p+a）dqadI=rIIdt+pdqb- pdqa+IdZIdY=rYY dt+Y dZY。这里F、I、Y分别是现金账户、存货账户和基本财富的余额。这里rI，Ry分别代表单位时间内存货账户和基本财富的平均回报。r是恒定的连续复合无风险利率。这里，Zi和Zy分别是具有平均零和恒定方差率σi和σY的维纳过程。交易商的目标是在终端时间T时，最大化h的预期效用，即总财富Et[U（WT）]，其中WT=FT+IT+YT。请注意，Et[U（WT）]是给定时间t之前信息的U（WT）的条件预期。t和t之间发生了大量交易和价格变化。2.2 Avellanda Stoikov模型Avellanda和Stoikov（2008）[1]在某些方面修改了Ho和Stoll（1981）[13]的模型。（i）假设货币市场不支付利息，股票的中间市场价格或中间价格根据以下零漂移扩散过程随时间演化：dSu=σdWu（1），其中初始值St=s，{Wu}t≤U≤这是一个标准的一维布朗运动，σ是常数，即常数波动模型。（ii）代理人的目标是使其投资组合在终端时间T的预期指数效用最大化。

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2022-5-10 12:59:51

指数效用由u（w）=-经验(-γw）（2），其中γ是风险规避参数。（iii）执行代理命令时的泊松强度应为指数。在对称情况下，假设指数到达率采用以下形式：λ（δ）=Ae-kδ（3）（iv）引入了预定买入价和卖出价rb（s，q，t）和ra（s，q，t），这两种价格可以分别解释为买入和卖出的不同价格，并且满足以下条件：v（x）- rb（s，q，t），s，q+1，t）=v（x，s，q，t）v（x+ra（s，q，t），s，q- 1，t）=v（x，s，q，t）（4）其中v（x，s，q，t）=Et[U（WT）]，x是t时的初始财富，q是t时的初始库存水平。在他们的模型中，假设交易系统中只有一个垄断交易商。交易商在市场上买卖一只股票。交易商报出投标价格PBP和askprice pa，并承诺分别以这些价格买卖一股股票。只要有买入或卖出指令，且受DXT=padNat控制，现金财富就会增加- pbdNbt。（5）这里是交易商购买的股票数量，而这里是卖出的股票数量。假设它们分别遵循强度为λ带λa的泊松过程。然后，经销商持有的库存单位数或库存水平由DQT=dNbt控制-德纳特。（6）能够设定限价单的交易商的目标是u（s，x，q，t）=maxδa，δbEt[-经验(-γ（XT+qTST））]（7）式中δa=pa-s、 δb=s-Pb和交易商在时间t持有q股票。请注意，从交易商的角度来看，δA和δ分别显示了卖出和买入的即时价格。对于非活动tr ad er的情况，没有选择变量δA和δB。

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2022-5-10 12:59:55

根据Avellaneda和Stoikov（2008）[1]，在终端时间T之前持有qstock s库存的非活跃经销商的价值函数可以写为：u（x，s，q，T）=-exp（γx）exp(-γqs）expγqσ（T）- （t）. （8） [1]中引入了保留或差异价格的定义，我们都给出了inEq。(11). Dealer的预订出价和要价RB和RAR分别由u（x）- rb（s，q，t），s，q+1，t）=u（x，s，q，t）u（x+ra（s，q，t），s，q- 1，t）=u（x，s，q，t）（9）即。，rb（s，q，t）=s+(-1.- 2q）γσ（T）-t） ra（s，q，t）=s+（1）- 2q）γσ（T）-t）。（10）因此，上述两种价格的平均值，如保留价格或差异价格，由（s，q，t）=s给出- γqσ（T）- t）。（11）为了考虑活跃经销商的情况，在[1]中，他们将在终端时间T之前做出购买或出售的决定，作者推导了以下HJB方程（例如，参见[1]第3节）：Ut+σUs+maxδbλbhu（s，x- s+δb，q+1，t）- u（s，x，q，t）i+maxδaλa[u（s，x+s+δa，q- 1.t）- u（s，x，q，t）]=0u（s，x，q，t）=-经验(- γ（x+qs））。（12）为了求解HJB方程，在[1]中，作者考虑了最简单的情况，假设泊松强度采用以下形式（c.f.等式（3））：λb（δ）=λa（δ）=Ae-kδ。（13）然后采用以下试验方案：u（s，x，q，t）=-经验(-γx）exp(- γθ（s，q，t））（14）其中θ（s，q，t）近似为关于库存变量q的泰勒展开式的二阶：θ（s，q，t）=θ（0）（s，t）+θ（1）（s，t）q+θ（2）（s，t）q+…+。（15）当库存水平为q时，库存的预定出价和库存的预定要价分别由rb（s，q，t）=θ（s，q+1，t）- θ（s，q，t）ra（s，q，t）=θ（s，q，t）-θ（s，q）- 1，t）。（16）将θ代入eq。

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2022-5-10 12:59:59

（12）屈服θt+σθss-σγθs+最大δbλb（δb）γ（1）- eγ（s）-δb-rb）+ 最大δaλa（δa）γ（1）- E-γ（s+δa）-（拉）= 0θ（s，q，T）=qs。（17）利用一阶最优性条件，可以将问题转化为以下问题：θt+σθss-σγθs+Ak+γE-kδa+e-kδb= 0θ（s，q，T）=qs。（18）在[1]中，作者考虑了θ关于q的渐近展开，并且假设高阶项足够小，可以忽略不计。通过考虑q和q的系数，得到了以下结果：r（s，t）=s- qγσ（T）- t）（19）与等式（11）匹配，然后通过δb+δa=γσ（t）给出买卖价差- t） +γln1+γk. （20） 3.限价订单定价在本节中，我们考虑竞争市场中多个经销商的情况。我们主要讨论经销商在市场上的交易情况。在[1]中，对于市场上只有一个交易商，将到达该交易商的买卖订单的到达率遵循泊松过程，等式（13）中的共同指数到达率取决于交易商的报价。在多个经销商竞争市场的情况下，我们假设市场订单的总体频率将取决于市场中所有经销商的报价。假设市场上有N个经销商，并且经销商对市场订单的到达有影响。在某些假设下，我们将证明市场秩序遵循泊松过程，具有共同的指数到达率λa（δ，···，δN）=λb（δ，··，δN）=Ae-k（βδ+·βNδN）。这里β反映了经销商i对市场订单总体频率的影响（例如竞争力）。在许多研究[1,2,7,9,19]中，已经表明，当执行大型市场订单时，距离δai，δbi（c.f.Eq.（7））和限制订单簿的当前形状决定了执行的优先级。

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2022-5-10 13:00:02

例如，当购买Q股票的大型市场订单发出时，最低要价的Q限价订单将自动执行。让PQ作为该交易中执行的最高限额订单的价格，我们定义p=pQ- s将是规模Q贸易的临时市场影响。如果代理人的限价指令在该市场指令的范围内，即δai<p、他的限价令将被执行。为了量化交易商的交易强度，除了市场订单的总体频率之外，我们还需要了解市场订单规模的分布以及大型市场订单的暂时影响。我们有以下建议。命题1假设交易商对市场订单总体频率的影响，即λa（δa，…，δaN）和λb（δb，…，δbN）是“可分离的”，并且具有“相同的函数形式”，即（我们以λaas为例），采取以下形式：λa（δa，··，δaN）=f（δa）f（δa）·fN（δaN）。fi（δai）=f（δai）βi。这里βi描述了交易商i对市场订单总体频率的影响。那么λa（δa，…，δaN）=Ae-k（βδa+·βNδaN）。此外，如果市场订单数量Q的分布服从“幂律”[7,9,19]，即fQ（x）∝ 十、-1.-α和市场影响遵循“对数定律”[2]，即：。，P∝ ln（Q），那么我们有λai=Ae-k（βδa+·βNδaN）e-(1-N） βiδai。这个命题的证明可以在附录A中找到。4多交易商问题在本节中，我们将讨论多个交易商在竞争市场中买卖股票的情况。特别是，我们考虑两种情况：不活跃的经销商和活跃的经销商。根本问题是一个状态反馈控制问题。本节讨论了非活跃经销商的“冻结”策略和活跃经销商的最优报价策略。

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2022-5-10 13:00:06

对于活跃的经销商，每个经销商都遵循一个多阶段策略，该策略最大化了其目标函数，不仅考虑了自己未来可能采取的行动，还考虑了竞争对手的行动。这比单一经销商案例要复杂得多。讨论了动态经销商的离散模型和连续模型。此外，还比较了活跃经销商和非活跃经销商的绩效。我们的目标是研究竞争市场中不同经销商的交易策略，每个经销商都有自己的库存储备价值。卖方希望在市场上买卖股票，并且假设m id价格由以下随机微分方程（c.f.等式（1））控制：dSu=σDWW，初始值=s。这里{Wu}是标准布朗运动，σ是正常数。每个交易商i（i=1，2，…，N）引用其b id价格pbi（u）和要价pai（u），并承诺在时间u分别在这些价格买入和卖出一股股票。因此，每当执行买入或卖出指令时，交易商i的现金财富Xi（u）就会跃升。dXi（u）=pai（u）dNai（u）- pbi（u）dNbi（u）（21），其中Nbi（u）是买入的股票数量，Nai（u）是Dealeri截至u时卖出的股票数量。它们应该分别遵循泊松过程，强度为λbian和λai。鉴于命题1中的结果，泊松强度的形式如下：λai=Ae-k（βδa+·βNδaN）e-βi（1）-N） δaiλbi=Ae-k（βδb+·βNδbN）e-βi（1）-N） δbi。（22）股票数量由DQI（u）=dNbi（u）管理- 德奈（u）。

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2022-5-10 13:00:09

（23）设δai（u）=pai（u）- Suandδbi（u）=Su- 然后我们有（Xi（u）+qi（u）Su）=dXi（u）+Sudqi（u）+qi（u）dSu=pai（u）dNai（u）- pbi（u）dNbi（u）+Su（dNbi（u）- dNai（u））+qi（u）σdWu=δai（u）dNai（u）+δbi（u）dNbi（u）+qi（u）σdWu。（25）4.1非活跃交易者我们首先考虑一个非活跃交易者，即交易者i，他在m市场上没有任何限价订单，只是在终端时间T之前持有一个合格库存s，这是反馈控制问题的一个特例，其中（δai，δbi）=(∞, ∞). 在[1]之后，不需要区分thatui（s，xi，qi，t）=-经验(-γixi）exp(-γiqis）expγ像质计σ（T）- （t）（26）这与在垄断市场中计算的价值函数相同，直接表明其对市场参数的依赖性。预订的出价和要价由相关部门提供六、xi- rbi（s，qi，t），qi+1，t）=vi（s，xi，qi，t）vi（s，xi+rai（s，qi，t），qi- 1，t）=vi（s，xi，qi，t）（27），这意味着代理人在保持不活跃和以保留出价rbi购买一只股票（或以保留出价rai出售一只股票）之间没有区别。这是直截了当的计算rbi（s，qi，t）=s- （1+2qi）γiσ（T-t） rai（s，qi，t）=s+（1）- 2qi）γiσ（T-t）（28）预订（或差异）价格由i（s，qi，t）=rai（s，qi，t）+rbi（s，qi，t）=s给出- qiγiσ（T）- t）。（29）4.2积极的经销商一般来说，在竞争性市场中确定经销商的最佳报价策略可能并不容易。在市场上，每个经销商的行为不仅取决于自己，还取决于竞争对手的特点。它们都需要解决一个相对复杂的动态规划（DP）问题，而不是单一经销商案例中遇到的问题。在本节中，我们使用线性近似方法和DP原理制定了一个可行的质量控制策略。

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能者818

2022-5-10 13:00:14

我们首先推导出一个离散模型，然后给出一个递推公式，用于报价和询价。然后我们将离散模型扩展为连续模型。通过直接使用线性近似和theDP原理来解决最优控制问题，可以在连续竞争模型中获得经销商的最优报价策略。4.2.1单周期模型假设市场上有N家经销商，即经销商1、经销商2、。，经销商编号。在一段时间的情况下，我们假设交易商只能在最后一个交易日进行交易-1，tn）并在时间tn后立即交易h ap笔-1.交易商在交易时段开始时选择其出价和询问报价，tn-1.通过对照（δi，bn）确定-1，δi，an-1） Ni=1。这些报价影响时间间隔内市场订单的到达率（tn-1，tn）。根据公式（22），到达率采用以下形式：λi，an-1=Ae-k（βδ1，an）-1+··+βNδN，an-1） e-(1-N） βiδi，an-1λi，bn-1=Ae-k（βδ1，bn）-1+··+βNδN，bn-1） e-(1-N） βiδi，bn-1.（30）对于这个竞争激烈的市场中的任何经销商，目标是确定最佳出价和询价，以最大化其自身的预期效用函数：Vi（sn）-1.xin-1，γ，γ，γN，qn-1，···，qNn-1，田纳西州-1） =maxδi，an-1，δi，bn-1.E-经验(-γiXiT+qiTST)|Fn-1.（31）这是一个随机反馈控制问题。对于任何交易商来说，他只能确定自己的最优出价并询问报价δi，bn-1和δi，an-1.然而，随机反馈问题与最优报价和询问报价δ1，bn有关-1，··，δN，bn-1和δ1-1，··，δN，an-所有经销商中的1位。这也是博弈竞争的问题，尤其是同时博弈问题。

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能者818

2022-5-10 13:00:17

假设在这个博弈问题中所有的交易者都达到了纳什均衡，那么下面的命题的结果如下。命题2：单周期情况下的最优报价策略为δi，an-1=γiln1+γi（k+1）-N）我+γiσ（T）- tn-1)(-2秦-1+1）δi，bn-1=γiln1+γi（k+1）-N）我+γiσ（T）- tn-1）（2）秦-1+1）（32）和经销商i的效用由vi（sn）给出-1.xin-1，γ，γ，γN，qn-1，···，qNn-1，田纳西州-1)= -经验-γi（xin）-1+秦-1sn-1)经验γiσ（秦）-1）（T）- tn-1)h1-γitn-1（k+1）-N） βi+γiλi，an-1+λi，bn-1.我（33）在哪里tn-1=tn- tn-1.证据见附录B。我们注意到（i）仅在一个周期的情况下，经销商的报价和要价独立于h is竞争对手。然而，即使在一个周期的情况下，每个经销商的价值函数也不是独立于库存状况和其他参数的，例如竞争对手经销商的风险规避。（ii）交易商i的买卖价差由δi，bn给出-1+δi，an-1=γiln1+γi（k+1）-N） βi！+γiσ（T）- tn-1）（34）与存货无关。在对到达项进行一阶近似后，我们得到λi-1+λi，bn-1=A2.- （k+1）-N） βi（δi，an-1+δi，bn-1) - kXj6=iβj（δj，an-1+δj，bn-1) + ···+（35）线性项不取决于库存变量。因此，如果我们将公式（35）替换为公式（33），我们会得出结论，即经销商i的效用仅取决于他自己的库存-1.

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nandehutu2022

2022-5-10 13:00:21

我们将这种近似定义为FI（sn-1.xin-1、秦-1，γ，γ，γN，tn-1）等于-经验-γi（xin）-1+秦-1sn-1)经验γiσ（秦）-1）（T）- tn-1)欣-1（36）其中-1= 1 -γitn-1（k+1）-N） βi+γin2- （k+1）-N） βihγiln1+γi（k+1-N） βi！+γiσ（T）- tn-1）我- kXj6=iβjhγiln1+γj（k+1-N） βj！+γjσ（T）- tn-1）伊奥。（37）（iii）Setfi（sn）-1.xin-1、秦-1，γ，γ，γN，tn-1) = -经验-γi（xin）-1+秦-1sn-1)杜松子酒-1（秦）-1，田纳西州-1） wheregin-1（秦）-1，田纳西州-1） =expγiσ（秦）-1）（T）- tn-1)欣-1独立于股价sn-1和现金财富-1.（iv）我方确定市场报价和询价，单位：十亿美元-1=最小{δi，bn-1，i=1，2，N} 和δan-1=最小{δi，an-1，i=1，2，N} 以及市场买卖价差sn-1=δbn-1+δan-1这取决于经销商的库存。我们注意到，交易商i的买卖价差始终是正的，但市场买卖价差可能是负的。（v）注意vi（sn-1.xin-1，γ，γ，γN，qn-1，···，qNn-1，田纳西州-1)= -经验-γi（xin）-1+秦-1sn-1)经验γiσ（秦）-1）（T）- tn-1)h1-γitn-1（k+1）-N） βi+γiλi，an-1+λi，bn-1.我>-经验-γi（xin）-1+秦-1sn-1)经验γiσ（秦）-1）（T）- tn-1)这意味着活跃的经销商总是比不活跃的经销商有优势。在下一节中，我们将使用这种线性近似技术来分析多周期情况下的早期市场动态。4.2.2两阶段模型假设经销商i只能在间隔（tn）内交易-2，田纳西州-1）和（tn）-1，tn）。交易商在交易时间选择出价和询问报价-2和tn-1控制δi，bn-2，δi，an-2，δi，bn-1和δi，an-1.交易在时间之后立即发生-2和tn-1.

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2022-5-10 13:00:24

采用上述线性近似，可以建立以下命题。命题3在两阶段模型中，经销商的最优报价和询价如下所示：δi，bn-2=γiln1+γi（k+1）-N）我+γiσ（T）- tn-2）（2）秦-2+1）δi，an-2=γiln1+γi（k+1）-N）我+γiσ（T）- tn-2)(-2秦-2+1）（38）和经销商i的效用由VI给出锡-2.xin-2，γ，γ，γN，qn-2，··，qNn-2，田纳西州-2.= -经验(-γi（xin）-2+秦-2sn-2））经验γiσ（秦）-2）（T）- tn-2)h1-γitn-2（k+1）-N） βiλi，an-2+λi，bn-2.伊欣-1（39）在哪里tn-2=tn-1.- tn-2.证据见附录C。我们注意到（i）价差（与公式（34）相比）δi，bn-2+δi，an-2=γiln1+γi（k+1）-N） βi！+γiσ（T）- tn-2）与库存无关。通过对阶数到达滤波器M进行一阶近似，我们得到了（与公式（35）相比）λi，bn-2+λi，an-2=A2.- （k+1）-N） βi（δi，an-2+δi，bn-2) - kXj6=iβj（δj，an-2+δj，bn-2) + ···+.（40）我们注意到线性项不依赖于库存。与单周期情况类似，替换λi，bn的线性近似-2+λi，an-2在公式（38）中，可以得到经销商i的效用fi（sn）的近似值-2、秦-2.xin-2，γ，γ，γN，tn-2），相当于- 经验(-γi（xin）-2+秦-2sn-2））经验γiσ（秦）-2）（T- tn-2)欣-2hin-这只取决于他自己的库存。（ii）Setfi（sn）-2.xin-2、秦-2，γ，γ，γN，tn-2) = -经验-γi（xin）-2+秦-2sn-2)杜松子酒-2（秦）-2，田纳西州-2） wheregin-2（秦）-2，田纳西州-2） =expγiσ（秦）-2）（T）- tn-2)欣-2hin-1独立于股价sn-2.现金财富-2.通过重复本分析的论点，我们可以得到多周期模型的以下结果。4.2.3多期模型假设[t，t]中最多发生N次交易。将时间段划分为n+1个小子间隔（t=t，t），··，（tn-1，tn），（tn，T）。

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2022-5-10 13:00:27

假设每次交易仅在这些子区间开始后发生，并且（tn，T）中没有交易发生。所有经销商在tl时间（l=0，1，…，n）选择他们的报价和询问报价-1），由控制δi，blandδi，al定义。采用经销商效用函数的近似值，并使用前向分析方法，很容易得到以下命题，我们跳过了证明。命题4在n期模型中，经销商的最优出价和要价由以下公式给出：δi，bl=γiln1+γi（k+1-N）我+γiσ（T）- tl）（2qil+1）δi，al=γiln1+γi（k+1）-N）我+γiσ（T）- （tl）(-2qil+1）（42）和经销商i的效用由VI给出sl，xil，γ，γN，ql，qNl，tn-2.= -经验(-γi（xil+qilsl））expγiσ（qil）（T）- （tl）h1-γitl（k+1）-N） βiλi，al+λi，bliQn-1m=l+1他（43）在哪里tl=tl+1- tl.4.2.4连续模型在前向模型的每个步骤中，我们采用效用函数中出现的到达滤波器的一阶近似值。然后我们发现，一个近似的经销商的效用函数只取决于他们自己的库存。然后我们考虑连续模型的情况。将近似效用定义为ui（s、xi、qi、t）。下列定理是应用动态规划（DP）原理得出的。定理1竞争条件下经销商市场的最优买入和卖出报价由下式给出：δi，bt=γiln1+γi（k+1-N）我+γiσ（T）- t）（2qi+1）δi，at=γiln1+γi（k+1）-N）我+γiσ（T）- （t）(-2qi+1）（44）和经销商在报价策略下的近似效用函数大于非活动情况下的近似效用函数；也就是说，ui（s，xi，qi，t）>-经验(-γi（xi+qis））expγ像质计σ（T）- （t）.（45）证明：我们注意到ui（s，xi，qi，t）=maxδai，δbiEt[-经验(-γi（XiT+qiTST））]当经销商遵循最优策略f或在时间段[t，t]内的每个点设置δbian和δaiat时得出。

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2022-5-10 13:00:31

为了简化我们的讨论，我们假设其他经销商在古诺竞争环境下是不平衡的[15]。古诺竞争模型是描述一个市场的经济环境，在这个市场上，企业根据产出量进行竞争，并相互依赖地做出决策。利用动态规划（DP）原理，在值函数ui的一定光滑性条件下，得到以下HJB方程。用户界面t+σ用户界面s+最大δbiλbi[ui（s，xi- s+δbi，qi+1，t）- ui（s，xi，qi，t）]+最大δaiλai[ui（s，xi+s+δai，qi- 1.t）- ui（s，xi，qi，t）]=0ui（s，xi，qi，t）=-经验(-γi（xi+qis））。（46）如[1]中所述，以下ansatz被认为是dui（s，xi，qi，t）=-经验(-γixi）exp(-γiθi（s，qi，t）），其中θi（s，qi，t）是库存变量qi中的一个近似二次多项式。HJB方程可以写成如下：θit+σθiss-σγi（θis）+maxδbiλbi（δb，··，δbN）γi1.- exp（γi（s）- δbi- 印度储备银行（rbi）+ 最大δaiλai（δa，··，δaN）γi1.- 经验(-γi（s+δai）- rai）= 0θi（s，qi，T）=qis。（47）根据式（47）中的一阶最优性条件，我们可以在所有经销商的平衡值满足以下条件的情况下，获得最佳距离δA和δis- rbi（s，qi，t）=δbi-γ-iln1.-γiλbiδbiλbi（δb，···，δbN）雷（南、齐、t）- s=δai-γiln1-γiλaiδaiλai（δa，···，δaN）！（48）在哪里rbi（s，qi，t）=θi（s，qi，t）- θi（s，qi）- 1，t）rai（s，qi，t）=θi（s，qi+1，t）- θi（s，qi，t）。（49）以上是经销商i给出的其他经销商报价值的最佳响应函数。在纳什均衡中，所有的经销商都会做出最好的反应。因此，我们可以同时求解上述方程，以获得最优反馈控制δa、··、δana和δb、··、δbN。我们称之为λai=Ae-k（βδa+βδa+·βNδaN）e-βi（1）-N） δai。我们就这样λaiδai=-k+1-Nβiλai（50）和类似，λbiδbi=-k+1-Nβiλbi。

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2022-5-10 13:00:35

（51）将等式（48）给出的最优值代入等式（47），并使用命题1中的极限订货率，我们得到θit+σθiss-σγi（θis）+λai+λbik+1-Nβi+γi=0θi（s，qi，T）=qis。（52）我们考虑库存变量qiθi（s，qi，t）=θi，（0）（s，t）+θi，（1）（s，t）qi+θi，（2）qi+·+）中θi（s，qi，t）的渐近展开。（53）根据差异出价和要价的确切关系，RBI和rai，我们得到rai（s，qi，t）=θi，（1）（s，t）+（2qi）- 1） θi，（2）（s，t）++rbi（s，qi，t）=θi，（1）（s，t）+（2qi+1）θi，（2）（s，t）+…+。（54）回顾一阶最优性条件s- rbi（s，qi，t）=δbi-γiln1+γi（k+1-N）我！雷（南、齐、t）- s=δai-γiln1+γi（k+1-N）我！（55）我们有δbi+δai=-2θi，（2）（s，t）+γiln1+γi（k+1）-N）我！（56）不取决于库存合格中介机构。采用orderarrival项λbi+λai=a的一阶近似值2.- （k+1）-N） βi（δai+δbi）- kXj6=iβj（δaj+δbj）+·+（57）我们注意到线性项不依赖于qi。Sin ceθi（s，0，t）=θi，（0），ui（s，xi，0，t）=g（x），然后θi，（0）=0。因此，通过对qi阶项进行分组，我们得到θi，（1）t+σθi，（1）ss=0θi，（1）（s，t）=s（58），其解为θi，（1）（s，t）=s。有序项的分组θi，（2）t+σθi，（2）ss-σγi（θi，（1）s）=0θi，（2）（s，T）=0（59），其解为θi，（2）（s，T）=-σγi（T）- t）。（60）我们获得的活性剂的价值函数与非活性剂的价值函数ui（s、xi、qi、t）几乎相同≈ -经验(-γixi）exp(-γiqis）expγ像质计σ（T）- （t）同样的差异priceri（s，qi，t）=s- qiγiσ（T）- t）。现在我们分析我们的近似值和我们的HJ方程的精确解之间的差异。假设θi（s，qi，t）=wqi（t）+sqi-σγi（T）- t）齐（61）何处（wqi）齐∈Nis是一个连续函数族。

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2022-5-10 13:00:38

将上述表达式直接代入HJB方程，我们得到wqit+gqi（t）=0wqi（t）=0（62），其中（gqi（t））qi∈Nis是一个正函数家族。因此，wqi（t）=ZTtgqi（u）du对于t<t总是大于零。因此我们有θi（s，qi，t）>sqi-σγi（T）- t）齐。e、，ui（s，xi，qi，t）>-经验(-γi（xi+qis））expγ像质计σ（T）- （t）.（63）现在我们将买卖价差设置为δai+δbi=γiσ（T）- t） +γiln1+γi（k+1-N）我！（64）以及价格调整asmi=δai- δbi=rai+rbi- 2s=2ri- 2s=-2qiγiσ（T）- t）。（65）我们注意到（i）对于“冻结库存”问题，我们Et[xi+qiST]=xi+qisui（s，xi，qi，t）=-经验(-γixi）exp(-γiqis）expγ像质计σ（T）-（t）.对于活跃的经销商，我们有Et【Xi（T）+qi（T）ST】=Xi+qis+EthRTtδaidNai+RTtδbidNbii>Xi+qisui（s，Xi，qi，T）>-经验(-γixi）exp(-γiqis）expγ像质计σ（T）-（t）.这意味着，使用我们的策略报价的活跃经销商始终比不活跃经销商具有优势。（ii）当N=1时，则βi=1，δbi+δai=γiσ（T- t） +γiln1+γik这与Avellanede和Stoikov（2008）的结果一致[1]。（iii）价格调整mi=-2qiγiσ（T）- t），取决于经销商的库存。它是一个库存响应方程，规定当库存为正（负）时，价格调整变量为负（正）。当mi<0时，出价和askprice都是“低”的，在这种情况下，经销商更喜欢出售而不是购买，因此这将减少经销商的库存。另一方面，如果mi>0，则经销商更愿意购买而不是销售。

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2022-5-10 13:00:42

价格对库存变化的反应程度取决于决定投标和询价规模的相同因素（T- t）、交易商i的风险规避（由γi决定）和方差（由σ决定）；（iv）与“冻结库存策略”相比，我们的策略最终可以改善德莱尔的最终收益，这不亚于原始差异曲线（在“冻结库存”问题中，（δai，δbi）可以被视为(+∞, +∞)).5数值实验在本节中，我们介绍并讨论竞争市场中单个垄断经销商和多个经销商的数值结果。5.1买卖报价Vellaneda和Stoikov（2008）测试了他们“库存”策略的性能，主要关注损益表的形状和最终库存。他们将其与在中间价左右对称的阿本马克策略进行了比较，在垄断经销商的假设下，不管库存如何。在本节中，我们将测试我们的策略在竞争激烈的股市中对多个交易商的表现。假设一个市场里有N个卖家。在数值实验中，我们假设βi’相同，即βi=1/N。就我们的模拟而言，我们选择了以下参数：s=100，t=0，t=1，σ=2，dt=0.005，qi=0，γi=0.1，k=1.5和A=140，其中i=1，2，N（选择与[1]中相同的参数值）。通过以下程序获得模拟结果：（i）在时间t，代理商的报价，δbian和δaii，对于经销商i，（i=1，2。

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2022-5-10 13:00:46

，N）进行计算，给定状态变量；（ii）在时间t+dt时，状态变量被更新：随着概率λai（δai）dt，交易商i的存货减少1，其财富增加s+δai；随着概率λbi（δbi）dt的增加，经销商i的库存变量增加1，财富减少s- δbi，其中i=1，2，N.中间价格通过随机增量±σ进行更新√dt。图1和图2分别给出了垄断经销商和竞争经销商（两个经销商）的最优买卖报价及其利润。在两个经销商案例中，每个经销商的利润约为垄断案例的一半。这似乎与βi=0.5（i=1，2）的假设一致。Avellaneda-Stoikov的库存策略产生持续的正回报，而我们的扩展策略在竞争激烈的市场中保持了良好的性能。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 19899100101102103104中-要价-价格标-价格0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 101020030405060利润图1：一家垄断经销商的中间价和最优买卖报价。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 19899100101102103104105经销商1 mid-要价-价格标-价格0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1051015202530经销商-1利润（a）经销商10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 19899100101102103104经销商2 mid-要价-价格标-价格0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1051015202530经销商-2利润（b）经销商2图2：两个经销商的中间价和最优买卖报价。5.2竞争性经销商及其优势我们考虑在经销商数量不同的竞争性市场中，从一个垄断经销商转变为多个经销商的影响。

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2022-5-10 13:00:50

数值结果如表1-4以及图3和图4所示。表1：对一家γ=0.1和β=1的经销商进行1000次模拟。代理平均差价标准（Pro fit）qT标准（qT）交易商1.49 64.26 5.68 0.20 3.40表2：两个交易商的1000次模拟，其中γ=γ=0.1，β=β=0.5。代理商平均差价标准（Pro fit）qTStd（qT）经销商1 2.11 29.15 6.09-0.02 2.88经销商2 2.11 29.40 6.22 0.08 2.7910 15 20 25 30 35 40 50 55010203040506070经销商-1个利润调节器-图3：γ=γ=0.1和β=β=0.5。表3：对三家γ=γ=γ=0.1和β=β=β=1/3的经销商进行1000次模拟。代理平均差价标准（Pro fit）qT标准（qT）交易商1 2.79 15.69 5.65 0.14 2.51交易商2 2.79 15.85 5.69-0.11 2.58交易商3 2.79 15.88 5.53-0.01 2.44-5 0 5 10 15 20 25 30 35 4001020304050607080经销商-1个利润调节器-2.利润调节器-图4：γ=γ=γ=0.1和β=β=β=1/3。表4:1000个模拟的s偶数发生器，γi=0.1，βi=1/7。代理平均差价标准差（Pro fit）qTStd（qT）交易商1 5.40 1.76 2.34 0.028 0.79交易商2 5.40 1.93 2.52-0.045 0.84交易商3 5.40 1.95 2.57 0.003 0.82交易商4 5.40 1.79 2.46-0.03 0.80交易商5 5.40 1.83 2.49 0.003 0.796交易商6 5.40 1.86 2.50-0.001 0.837交易商1.40 1.86 2.60-0.019 0.86相比之下，我们观察到QTW的标准差相对较大在大多数情况下| qT |的值。就s偶数经销商而言，与相应的利润相比，利润的标准偏差也相对较大。当经销商数量增加时，我们观察到利润减少，但平均利润增加。连续市场的特点是买卖双方可以进行交易。b id ask价差反映了活跃买家必须支付的金额与活跃卖家收到的金额之间的差异。

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2022-5-10 13:00:55

它是交易成本和市场流动性不足的指标。我们可以从结果中看到，当越来越多的代理人进入竞争性市场时，一个小时内，竞争变得激烈，这降低了每个代理人可以从股票市场获得的利润。另一方面，股票的流动性增强，这为交易员s.5.3γ的敏感性研究提供了支持。我们现在考虑改变参数γ的影响。假设竞争市场中的经销商数量固定，且除风险规避参数外，所有经销商的初始状态相同。我们可以从表5和表6以及图5和图6中看到，风险交易商的仓位比风险厌恶交易商的仓位更大。它们的平均价差值较小，利润较大，但也受到利润和最终库存qT差异较大的影响，这会导致更高水平的不确定性。表5：对γ=0.01、γ=1和β=0.5的两个经销商进行1000次模拟。代理平均差价标准（Pro fit）qTStd（qT）交易商1 2.01 23.97 7.44 0.07 4.30交易商2 3.39 17.98 4.25-0.074 1.610 10 20 30 40 50 600010203040506070 10 20 40 50 600010203040506070交易商-1个利润调节器-2利润图5：γ=0.01、γ=1和β=0.5表6：三家经销商的1000次模拟，γ=0.01、γ=0.1、γ=1和β=1/3。代理平均差价标准（Pro fit）qtsd（qT）。经销商1 2.77 14.36 6.26-0.09 3.43经销商2 2.79 14.21 5.68-0.01 2.70经销商3 3.74 10.99 3.74 0.08 1.47-10 0 10 20 30 40 5001020304050607080经销商-1个利润调节器-2.利润调节器-3利润图6：γ=0.01、γ=0.1、γ=1和β=β=β=1/35.4初始库存头寸的敏感性研究我们还考虑了不同库存对经销商绩效的影响。

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2022-5-10 13:00:58

为了简单起见，我们考虑了两个经销商的案例。表7：两个经销商的1000次模拟，γ=γ=0.1，β=β=0.5，q=10，d q=1。代理平均差价标准（Pro fit）qTStd（qT）交易商1 2.11 14.85 19.59 0.19 2.94交易商2 2.11 30.24 6.34-0.13 3.00-50 0 50 100010203040506070经销商-1个利润调节器-图7：γ=γ=0.1，β=β=0.5，q=10和q=1。表8：对γ=γ=0.1、β=β=0.5、q=50和q=0的两个经销商进行1000次模拟。代理平均差价标准（Pro fit）qTStd（qT）交易商1 2.11-391.98 84.14 2.09 2.99交易商2 2.11 37.55 12.45-1.98 2.91表9：两个交易商的1000次模拟，γ=γ=0.01，β=β=0.5，q=50和q=0。代理商平均差价标准（Pro fit）qT标准（qT）经销商1 2.01 13.11 40.42 25.31 4.74经销商2 2.01 32.69 16.18-7.12 4.57将所有参数设置为相同，我们假设经销商仅在其初始库存位置有所不同。从表7和表8以及图7可以看出，在两个例子中，当初始头寸较大时，交易商1获得的利润较小。当初始头寸显著较大（表8）时，交易商1获得的利润为负，因为人们可能更喜欢风险较小、负利润的头寸，而风险较大、现金流为正的头寸。从表9可以看出，当降低交易商1的风险规避时，其最终收益将相应增加。我们向感兴趣的读者推荐Ho和Stoll（1980）[12]的论文中关于初始库存影响的分析。6结论市场微观结构领域包括两种一般类型的模型，即库存模型和信息模型。在本文中，我们重点讨论了库存的影响，并将Davellanede Stoikov的垄断经销商最优价格策略推广到竞争市场中多个经销商的最优价格策略。

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