Piat：基准交易执行模型中的静态与自适应最优解决方案310 2 4 6 8 10 12 14时间9095100股票价格演变确定性自适应未受影响0 2 4 6 8 10 12 14时间051015剩余股票#105最优策略确定性自适应图14：具有负初始信息的模拟策略的一条路径（Y=-5） 图12为Cdet（X，S）=1.0198×10和Cad（X，S）=1.0197×10。当Y=5时，我们发现C*det（X，S）=1.0519×10，C*ad（X，S）=1.0518×10和rel=9.85×10-特别是，使用图13所示路径获得的成本为Cdet（X，S）=1.0612×和Cad（X，S）=1.0609×10。Y=-5，我们发现C*det（X，S）=9.5908×10，C*ad（X，S）=9.5897×10和rel=1.08×10-特别是，使用图14所示路径获得的成本为Cdet（X，S）=9.3002×10和Cad（X，S）=9.3004×10。对于这条路径，适应的策略不如确定性策略有效。就永久性影响而言，这两种策略都是积极的。现在，我们对几个示例中获得的路径有了感觉，我们将分别研究每个参数的影响，就像我们在永久性碰撞情况下所做的那样，考虑参数x、T、η、ρ、γ、σY。在每个数值示例中，除了我们研究的影响外，参数将是表2的参数。这允许我们一次研究一个参数。备注2.26。由于σ在两种情况下均未出现在公式中，因此它对最佳预期成本没有影响。我们首先考虑X的影响。图15显示了X从10到10变化时预期成本的演变和相对差异。X的影响与永久性冲击的影响相似。这是因为市场影响参数η已经针对某个X进行了校准，其影响变得压倒性。Brigo，C。

。它并不能真正代表X的影响，因为η应该是X的函数。关于T的影响，图16显示了预期成本的演变以及T从1到70变化时的相对差异。两种策略之间的相对差异在足够大的时间范围内随着时间的推移而线性增加，这与产生永久影响的原因相同。在5天的时间范围内，调整后的策略比确定性策略好0.1%。10 20 30 40 50 60 70时间范围11.011.021.031.041.051.061.071.081.091.1预期成本#108确定性调整10 20 30 40 50 60 70时间范围00.10.20.30.40.50.60.70.80.91相对差异#10-3Y0=-5Y0=0Y0=5图16：T对预期成本和相对差异的影响我们现在转向η的影响。图17显示了预期成本的演变以及η从10变化时的相对差异-8至10-与永久市场影响类似，当临时影响参数η增加时，很难降低其对成本的影响。因此，这两种策略之间的差异被消除了。Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中静态与适应性最优解决方案331 2 3 4 5 6 7 8 9 10市场影响参数#10-58.899.29.49.69.81010.210.410.610.8预期成本#107确定性适应性1 2 3 4 5 6 7 8 9 10市场影响参数#10-500.020.040.060.080.10.120.140.160.18相对差异0=-5Y0=0Y0=5图17：η对预期成本和相对影响不同之处在于预计总成本。

对于较小的市场影响，例如，如果执行在一个时期内完成（η=10），则仅增加1%-6） 与确定性策略相比，自适应策略提高了0.1个百分点。备注2.27。只要σY6=0，最优预期成本趋于-∞ 当η趋于0时。当有初始信息（Y6=0）时，与最佳确定性策略相关的预期成本倾向于-∞ 当η趋于0时。这种情况的原因与永久性影响的原因相同，这是直观的，因为当没有影响时，无论是永久性的还是暂时性的，都无关紧要。现在我们分析ρ的影响。图18显示了当ρ从-0.9至0.9。与永久性影响案例一样，当信息过程呈强正相关（ρ>0.8）时，相对差异尤其相关，在这种情况下，信息过程会爆炸。但再一次，如此巨大的自相关似乎不太现实。关于γ的影响，我们有以下几点。D、 Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中的静态与自适应最优解决方案34-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8AR（1）系数0.9960.99811.0021.0041.0061.008预期成本#108确定性自适应-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8AR（1）系数0.0050.010.0150.020.025相对差异0=-5Y0=0图18：ρ对预期成本和相对差异的影响1 2 3 4 56 7 8 9信息的重要性0.9960.99811.0021.0041.0061.008预期成本#108确定性适应2 3 4 5 6 7 8 9 10信息的重要性0.0050.010.0150.020.0250.03相对差异0=-5Y0=0Y0=5图19：γ对预期成本和相对差异的影响图19显示了预期成本的演变以及γ从1到10变化时的相对差异。

相对差异随着γ的增大而增大，与在持续冲击的情况下相同。最后，我们考虑σY.D.Brigo的影响，C.Piat：基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案350 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4波动率0.9980.99911.0011.0021.0031.0041.0051.0061.0071.008预期成本108确定性适应性0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4波动率0123456789相对差异#10-3Y0=-5Y0=0 Y0=5图20：σ对预期成本和相对差异的影响20显示当σy从0变为4时，预期成本的演变和相对差异。相对差异随着σy的增大而增大，其增长方式与间接冲击的情况相同。我们对离散时间案例的分析到此结束。我们现在转到continoustime案件。3具有风险功能的连续时间交易3.1具有基于成本和风险的标准的模型制定在本节中，我们将回顾Gatherel和Shied使用的框架[12]，并稍加修改。设xT为在时间t剩余待执行单元数的随机过程，使得x=x，xT=0。在静态情况下，x是时间的确定性函数。我们假设t 7→ XT具有绝对连续的路径并可进行调整。未受影响的价格，即在不进行交易的市场中观察到的未受影响的价格，假设遵循几何布朗运动（GBM）。因此，未受影响和受影响/受影响的资产中间价分别由dest=σeStdWt，eS=S，（3.1）St=eSt+η˙xt+γ（xt- x） ，（3.2）其中，波动率σ、临时冲击参数η和永久冲击参数γ为正常数，W为标准布朗运动。术语η˙XT是临时影响。与离散时间情况一样，它只影响当前执行。术语γ（xt- x） 是永久性影响。

与离散时间案例一样，它对价格有永久影响。事实上，影响与截至目前为止执行的股份总数成正比。D、 Brigo，C.Piat：《基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案》36备注3.1。由于未受影响的价格为GBM，因此不能为负。与贝尔西马斯和罗的反弹道导弹相比，这是一个进步。然而，我们在[7]中给出的示例中看到，在这些示例中，也考虑了位移差异，这在实践中可能不会产生很大差异。在此设置中，我们将考虑销售订单，这意味着XT是在时间t要出售的股份数量。在时间t，我们立即销售数量-˙xtdt价格为St。因此，与策略xtisC（x）相关的总执行成本：=ZTSt˙xtdt=ZTheSt+η˙xt+γ（xt- x） i˙xtdt=-XS型-ZTxtdeSt+ηZT˙xtdt+γX。问题是最小化包含预期成本和风险标准的目标函数。Gatheral和Shied isE选择的风险术语eλZTxtbStdt,其中，bst=eSt+γXt，风险规避参数λ为正常数。我们选择tousebS而不是ofeS，因为我们想考虑到对中等价格的永久影响。Gatheral和Schied还考虑了更简单的情况，其中采用了风险标准，而不是ST，请参见[7]中的移位分歧情况。最小化的目标函数是thenE[C（x）]+eλeZTxt^Stdt= -SX+γX+EηZT˙xtdt+eλZTxt^Stdt. （3.3）通过去掉常数，我们可以很容易地简化问题。设置λ=eλ/η，我们现在考虑问题minxeZT（˙xt+λxt^St）dt. （3.4）3.2暂时和永久影响下的最佳适应解我们将简要回顾问题（3.4）的一般（适应）解，因为它们已经由Gatheral和Shied获得【12，定理3.2，第9页】。Letκ：=√λγ。定理3.2（最优执行策略）。

唯一的最优策略是X*t=正弦（κ（t- t） ）Xsinh（κt）-λ2κZteSs1+cosh（κ（T-s） ）ds！。（3.5）D.Brigo，C.Piat：《基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案》37命题3.3（最小化问题的价值）。极小化问题的值isEZT（（˙x*t） +λx*t^S*t） dt公司= κXcoth（κT）+λXSκtanhκT-λSeσT4κZTtanhκte-σtdt。（3.6）3.3暂时和永久冲击下的最优静态解我们现在将解决限制在确定性策略集的问题（3.4）。定理3.4（最优确定性执行策略）。最优确定性策略是x*t=正弦（κ（t- t） ）sinh（κt）X+sinh（κt- t） ）+信使（κt）- sinh（κT）sinh（κT）S2γ。（3.7）证明。为了解决问题（3.4），我们假设策略x在时间0时是完全已知的。我们要最小化isE的函数ZT（˙xt+λxt^St）dt=ZT（˙xt+λxtE[^St]）dt，因为xtis确定性=ZT（˙xt+λxt（S+γxt））dt。找到最佳策略x*为了最小化此函数，我们考虑过程x和˙x的标准摄动（参见示例【10】）：xt=x（t）+ht，˙xt=˙xt+˙ht，其中扰动过程h是满足h=ht=0和 是恒定的。将扰动路径代入前面的公式，我们得到() =ZT（˙xt+˙ht）+λ（xt+ht）（S+γ（xt+ht）dt。H关于 isH公司() =ZT˙ht（˙xt+˙ht）+λ（xt+ht）（γht）+λht（S+γ（xt+ht）dt。D、 Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中的静态与自适应最优解38评估之前的表达式 = 0 givesH（0）=ZT˙ht˙xt+λxtγht+λht（S+γxt）dt=2（ht˙xt- h˙x）-ZT2ht–xtdt+ZTλht（2γxt+S）dt=ZTht(-2–xt+2λγxt+λS）dt。通过设置H（0）=0，可获得最佳路径。

由于h是一个任意函数，因此必须满足以下微分方程∈ [0，T]：¨xt- κxt=λS，（3.8），其中设置κ：=√λγ与适配情况相同。由于λ为正（理性交易者规避风险），γ为正（市场对我们的执行作出反应），因此特征方程的根是真实的。因此，对于某些常数A、B和C，该微分方程的解的形式为A cosh（κt）+B sinh（κt）+C。替换为（3.8）：κA cosh（κt）+κB sinh（κt）- κ（A cosh（κt）+B sinh（κt）+C）=λS，C=-S2γ。根据边界条件，我们得到：x=A+C=x，A=x+S2γ，xt=A cosh（κT）+B sinh（κT）+C=0，B=-X cosh（κT）sinh（κT）+S2γ（1- cosh（κT））sinh（κT）。（3.8）isx的解*t=（X- C） cosh（κt）-（十）- C） cosh（κT）+Csinh（κT）sinh（κT）+C=（X- C）cosh（κt）sinh（κt）- cosh（κT）sinh（κT）sinh（κT）+ C1.-sinh（κt）sinh（κt）.备注3.5。当λ↓ 0（标准中无风险），确定性策略倾向于aVWAP。D、 Brigo，C.Piat：《基准交易执行模型中的静态最优解和自适应最优解》39定理3.6（确定性策略最小化问题的值）。确定性框架isE中极小化问题的价值ZT（（˙x*t） +λx*t^S*t） dt公司= κXcoth（κT）+κSγX+S2γtanh公司κT-λT S4γ。（3.9）证明。遵循方程式3.7的确定性策略时获得的最小化问题值isD。Brigo，C。

Piat：基准交易执行模型40E中的静态与自适应最优解决方案ZT（（˙x*t） +λx*t^S*t） dt公司=ZT公司-κcosh（κ（T- t） ）sinh（κt）X+κcosh（κt）- κcosh（κ（T- t） ）sinh（κt）S2γdt+λSZTsinh（κ（T- t） ）sinh（κt）X+sinh（κt- t） ）+信使（κt）- sinh（κT）sinh（κT）S2γdt+κZTsinh（κ（T- t） ）sinh（κt）X+sinh（κt- t） ）+信使（κt）- sinh（κT）sinh（κT）S2γdt=κZTcosh（κ（T- t） sinh（κt）X+cosh（κt）+cosh（κt- t） （）-2 cosh（κt）cosh（κt- t） ）sinh（κt）S4γdt+2κZTcosh（κ（T- t） （）-cosh（κ（T- t） ）cosh（κt）sinh（κt）SX2γdt+κZTsinh（κ（T- t） ）sinh（κt）SXγ+sinh（κt- t） ）+信使（κt）- sinh（κT）sinh（κT）S2γdt+κZTsinh（κ（T- t） ）sinh（κt）X+（sinh（κt- t） ）+信使（κt）- sinh（κT））sinh（κT）S4γdt+κZTsinh（κ（T- t） ）sinh（κt）sinh（κt- t） ）+信使（κt）- sinh（κT）sinh（κT）SX2γdt=κXZTcosh（κ（T- t） ）+sinh（κ（t- t） ）sinh（κt）dt+κS4γZTcosh（κt）+cosh（κt- t） （）-2 cosh（κt）cosh（κt- t） ）sinh（κt）dt+κS4γZTsinh（κt- t） ）+信使（κt）- sinh（κT）+2 sinh（κT- t） ）sinh（κt）sinh（κt）dt+κSXγZTcosh（κt- t） （）-cosh（κ（T- t） ）cosh（κt）+sinh（κt- t） ）+sinh（κ（t- t） ）sinh（κt）sinh（κt）dt=κXZTcosh（2κ（t- t） sinh（κt）dt+κS4γZTcosh（2κt）+cosh（2κt-t） （）- 2 cosh（κ（T- 2t）sinh（κT）- 1dt+κSXγZTcosh（2κ（T- t） （）-cosh（κ（T- 2t）sinh（κT）dt=κXsinh（2κT）2κsinh（κT）+κS4γ2 sinh（2κT）- 4个sinh（κT）2个κsinh（κT）- κST4γ+κSXγsinh（2κT）-2 sinh（κT）2κsinh（κT）=κXcosh（κT）sinh（κT）+κS4γ2 cosh（κT）- 2sinh（κT）- κST4γ+κSX2γ2 cosh（κT）- 2sinh（κT）。D、 Brigo，C。

Piat：基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案413.4最优静态和适应性解决方案的比较我们现在将以数字方式尝试量化确定性策略和适应性策略获得的最小目标函数中的差异。由于我们进行了从（3.3）到（3.4）的线性变换，我们将用η乘以最小化问题（3.6）和（3.9）的值，并加回该项-SX+γx沿最优解求目标函数的值。我们将分别表示它们J*ADF适用于完全适应的情况和J*确定/静态情况下的详细信息。推论3.1（目标函数的最小值）。objectivefunction的最小值是j*ad（X，S）=-SX+γX+ηκXcoth（κT）+λXSκtanhκT-λSeσT4κZTtanhκte-σtdt！，以及使用最优确定性策略时获得的目标函数值Isj*det（X，S）=-SX+γX+ηκXcoth（κT）+κSγX+S2γtanh公司κT-λT S4γ.与无风险标准的情况类似，我们定义了绝对和相对差异。定义3.1（绝对差异）。abs：=J*det（X，S）- J*ad（X，S）=κS2γtanhκT-λT S4γ+λSeσT4κZTtanhκte-σtdt。提案3.7。当不存在随机性时，两种策略的预期成本相同。因此，在执行之前完全决定策略就相当于假设价格变动不存在随机性，就像前一节研究的离散设置一样。证据对于σ=0，ABS变abs=κS2γtanhκT-λT S4γ+λS4κZTtanhκtdt=κS2γtanhκT-λT S4γ+λS4κT-κtanhκT= 命题3.8（绝对差异的标志）。正如所料，调整后的策略总是比确定性策略更好，因为它产生的标准小于或等于确定性策略。D、 Brigo，C.Piat：《基准交易执行模型中的静态与自适应最优解决方案》42Proof。

将绝对差异视为σ的函数。abs（σ）=κS2γtanhκT-λT S4γ+λSeσT4κZTtanhκte-σtdt。让我们计算Abs关于σ。abs（σ）=λS4κZT2（T- t） σtanhκteσ（T-t） dt。由于通过积分和乘法，上述表达式中的每个项对于σ>0都是正的Abs始终为正值所以Abs是σ在[0]上的增函数，∞). 根据命题3.7，我们知道abs（0）=0。因此ABS从不为负。定义3.2（相对差异）。相关信息：=abs | J*det（X，S）|。对于数值应用程序，我们将考虑当前价格S=100的单个股票，从而直观地使用波动率百分比。我们想在T=1天内卖出X=10股。股票的日波动率百分比σ=1.89%，与离散时间情况相同。γ=2×10-6的选择应确保永久影响在10%左右，前提是不存在风险规避。临时市场影响参数η=2×10-6的选择应确保即时执行的影响为每股2美元。采用风险规避系数λ=0.05，以便目标函数中的风险项与市场影响的顺序相同。表3总结了上述数值。X 10ST 1σ1.89%γ2×10-6η2×10-6eλ0.05表3：基准参数值标记3.9。由于这是一份销售订单，预期成本应为负（假设贸易商没有亏损销售的动机）。为了了解风险规避因素对策略的影响，我们在图21、23和22中给出了几个eλ值不同的路径示例。D、 Brigo，C。

Piat：基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案4300.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间9899100101股价演变0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间0510剩余股份#105最优策略决策适应性图21：带有基准参数（eλ=0.05）的模拟策略的一条路径0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.91 TIME99100101102股价演变0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 TIME0510剩余股份#105最优策略确定性调整图22：具有较小风险规避（eλ=10）的模拟策略的一条路径-10） 根据基准参数，我们发现J*det=-9.4736×10，J*ad=-9.4736×10和rel=2.45×10-7.D.Brigo，C.Piat：Eλ=10的基准交易执行模型中的静态与自适应最优解44-10，我们发现J*det=-9.7000×10，J*ad=-9.7000×10和rel=0。这两种策略都是直线，这意味着它们实际上遵循VWAP。这与这样一个事实相一致，即对于很小的λ，我们几乎没有标准中的风险，从而导致VWAP解决方案。当eλ=10时，我们发现J*det=-5.0391×10,0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间9698100102股价演变0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-15-10-505剩余股份#106最优策略决策适应图23：具有较大风险规避（eλ=10）J的模拟策略的一条路径*ad=-5.0385×10和rel=1.14×10-4、当eλ=10时，我们发现J*det=-1.1678×10，J*ad=-1.1680×10和rel=1.68×10-最后的图很有趣，因为它们说明了一个事实，即当风险规避因素很大时，如图23和图24所示，我们往往会很快执行所有事情，甚至超过我们应该执行的金额。在这段时期结束时，我们回购了我们需要的东西，以实现我们的目标。

风险因素越大，执行速度越快。当λ很小时，策略趋向于VWAP。λ前的合理值介于两者之间，如图21中的微曲线所示。然而，请注意，风险规避因子是完全任意的，并且只取决于交易者，因此eλ的任何值都是可能的。D、 Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案450 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间99100101102股票价格演变0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-3-2-101剩余股票#107最优策略决策适应性图24：具有巨大风险规避（eλ=10）的模拟策略的一条路径，以更准确地了解差异在完全适应和静态优化策略之间，我们研究了每个参数对最小化目标函数的影响及其相对差异。在每个数值示例中，参数将为表3中的参数，但我们研究其影响的参数除外。我们将考虑参数和输入sx、T、σ、γ、η、eλ。我们从X的影响开始。图25显示了X从10到10变化时预期成本的演变和相对差异。与离散时间情况一样，当要执行的初始股份数量增加时，两种策略之间的相对差异呈指数下降，因为预期成本随X而增加，而非绝对误差。再一次，市场影响参数γ和η已经针对某个X进行了校准，当X太大时，它们的影响变得势不可挡。虽然预期成本似乎大幅下降，但我们应该记住，我们正在寻找一个销售订单，因此当我们出售更多股票时，利润确实应该增加。实际上，随着X的增加，我们利润的百分比损失更大。现在我们来看一下T的影响。D、 Brigo，C。

Piat：基准交易执行模型中的静态与自适应最优解461 2 3 4 5 6 7 8 9 10初始股份数量#106-7-6-5-4-3-2-10目标函数值#108确定性自适应1 2 3 4 5 6 7 8 9 10初始股份数量#10600.511.522.5相对差异#10-6图25:X对预期成本和相对差异的影响5Time-12-11.5-11-10.5-10-9.5-9-8.5-8-7.5-7目标函数值#107确定性适应0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Time00.20.40.60.811.2相对差异#10-4图26：T对预期成本和相对差异的影响图26显示了预期成本的演变以及从1/14（半小时）到5天的相对差异。这两种战略之间的相对差异随着时间的推移而增大，因为适应的战略更有利于有更多的时间来适应。在一个交易周的时间范围内，相对差异为1.2×10-关于σ的影响，图27显示了σ从0到100%变化时预期成本的演变和相对差异。当σ增加时，在战略过程中使用最新价格信息的重要性增加，因为新信息的内容更加不确定。与确定性策略不同，适应性策略考虑了收入价格信息。因此，相对差异随着σ的增加而增加。然而，即使σ=1（相当于1588%的巨大年变率）时，两种策略之间的相对差异甚至不到0.1%。这是D。Brigo，C。

Piat：基准交易执行模型47中的静态与自适应最优解决方案似乎表明，在这个特定模型中，当将策略类从自适应减少到确定性时，最优性不会发生太大变化。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1挥发性-9.482-9.481-9.48-9.479-9.478-9.477-9.476-9.475-9.474-9.473目标函数值#107确定性适应0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1挥发性0 123456789相对差异#10-4图27：σ的影响关于γ影响的预期成本和相对差异，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10永久市场影响#10-5-10-9-8-7-6-5-4目标函数值#107确定性适应1 2 3 4 5 6 6 7 8 10永久市场影响#10-522.533.544.5相对差异#10-7图28：γ对预期成本和相对差异的影响图28显示了预期成本的演变以及γ从10变化时的相对差异-8至10-与离散时间情况不同，相对差异随着永久冲击参数的增加而增加。然而，它总是非常小。现在考虑η的影响。D、 Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中静态与适应性最优解决方案481 2 3 4 5 6 7 8 9 10临时市场影响#10-5-14-12-10-8-6-4-202目标函数值#107确定性适应性1 2 3 4 5 6 7 8 9 10临时市场影响#10-500.511.522.5相对差异#10-5图29：η对预期成本和相对差异的影响图29显示了η从10变化时的预期成本和相对差异-8至10-4、相对差异随着η的减小而减小，因为两种策略都被一个巨大的临时市场参数压得喘不过气来，并且难以显著降低成本。

即使η=2×10-7，与即时执行相比，每股仅增加0.2美元，相对差异仅为2.2778×10-同样，对于这个特殊的模型，最优性实际上已经在静态策略的箭头类中实现了。备注3.10。与Bertsimas和Lo的设置一样，预期成本往往-∞ 当η或γ趋于0时。最后，我们来看一下风险规避参数λ的影响。图30显示了预期成本的演变以及λ从10变化时的相对差异-5至10。相对差异随着风险规避因子的增加呈对数增长。当λ=10时，如图23所示，相对差值为1.1×10-4.D.Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案491 2 3 4 5 6 7 8 10风险规避因子-6-5-4-3-2-10目标函数值#109确定性适应性风险规避因子00.20.40.60.811.2相对差异#10-4图30：Eλ对预期成本和相对差异的影响4结论和进一步研究我们得出了最优针对完全适应交易策略和确定性交易策略这两种不同类别中的交易执行问题的解决方案，试图评估当从较大的适应类别转移到狭窄的静态类别时，失去了多少最佳性。我们在两个不同的框架中实现了这一点。第一个是Bertsimas和Lo的离散时间框架，具有信息流动过程，处理永久性和暂时性影响的情况。第二个框架是Gatherel和Schied的连续时间框架，其中目标函数是预期成本和风险价值（或预期短缺）风险标准之和。从这些作者的原著[6]和[12]中可以看出，在这两个框架中都存在最佳的适应性解决方案。

我们推导了bothapproaches的最优静态解。我们用这些来定量研究通过调整我们的策略而不是将其完全设置在时间0所获得的优势。我们的结论是，除了看起来不现实的极端情况外，没有明显的差别。这似乎表明，只要我们使用简单的模型，如本文提出的基准模型，在更大的适应类中搜索解决方案与在箭头静态/确定性类中搜索解决方案没有太大区别。这间接证实了在Almgren和Chriss[2]的类似框架中，从静态解决方案开始是可以的，而静态解决方案恰好更容易处理，正如该论文中所做的那样。在进一步的研究中，我们可能会考虑更近期的包含跳跃的模型，如【1】所示，或者考虑每日周期，如【3】所示。在这些情况下，最佳完全适应解决方案与静态解决方案之间的差异可能更大。D、 Brigo，C.Piat：《基准交易执行模型中的静态与自适应最优解决方案》50参考文献[1]Alfonsi，A.，and Blanc，P.（2014）。混合市场冲击霍克斯价格模型中的动态最优执行。可用位置：https://hal-enpc.archives-ouvertes.fr/hal-00971369v2[2] Almgren，R.，和Chriss，N.（2000年）。投资组合交易的最佳执行。J、 风险3，5-39（2000年）。[3] Almgren，R.和Lorenz，J.（2006年）。具有每日周期的贝叶斯自适应交易。J、 交易，1（4）：38–46。[4] Almgren，R.和Lorenz，J.（2011年）。均值方差最优自适应执行。[5] Almgren，R.（2012）。具有随机流动性和波动性的最优交易。《金融数学杂志》（SIAMJournal on Financial Mathematics），第3卷，第163-181页【6】Bertsimas，D.，和Lo，A.W.（1998）。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》1，第1-50页【7】Brigo，D.和Di Graziano，G.（2014）。

跨不同风险标准的置换差异动态下的最佳交易执行。《金融工程杂志》，1（2）：1-17。[8] Bonart，J.、Brigo，D.和Di Graziano，G.（2014年）。跨模型的最佳执行策略。研究论文草稿，伦敦帝国理工学院，未出版。[9] Busseti，E.和Boyd，S.（2015年）。批量加权平均价格最优执行。[10] Di Graziano，G.（2014年）。伦敦帝国理工学院数学系数学与金融硕士关于算法交易和机器学习的课堂讲稿。[11] Forsyth，P.、Kennedy，J.S.、Tse，S.T.、Windcliff，H.（2011）。最优交易执行：平均二次变异法。可获得的athttps://cs.uwaterloo.ca/~paforsyt/quad贸易公司。pdf【12】Gatheral，J.和Schied，A.（2011年）。Almgren和Chriss框架下几何布朗运动下的最优交易执行。《国际理论与应用金融杂志》，第14卷，第3期，第353-368页【13】Ieda，M.（2015）。随机价格恢复下的动态最优执行策略。可用位置：https://arxiv.org/abs/1502.04521v1[14] 加藤，T.（2014）。具有几何OrnsteinUhlenbeckPrice过程的最优执行问题。可用位置：http://arxiv.org/abs/1107.1787v4[15] 库拉克，J.B.（2015）。最优执行问题：信息和主动交易策略的影响。在伦敦帝国理工学院D.Brigo的指导下获得数学和金融硕士学位论文。D、 Brigo，C.Piat：《基准交易执行模型中的静态与自适应最优解》51【16】Lorenz，J.（2008）。最佳交易算法：投资组合交易、多周期投资组合选择和竞争性在线搜索。在A.Steger、ETH Z¨urich的指导下获得博士学位的博士论文。[17] Obizhaeva，A.和Wang，J.（2006）。

《最优交易策略与供需动态》，金融市场杂志16（1），第1-32页。[18] Shen，J.，和Yu，Y.（2014）。风格算法交易和MV-MVP风格。可用位置：http://ssrn.com/abstract=2507002