比较这两种策略，使用第二个月的期货跟踪VIXleads以实现显著的杠杆效应。期货合约的优势之一是，由于保证金要求，易于杠杆化。如果保证金要求是名义的20%，那么就有可能达到5倍的杠杆率。VIX期货的市场需求不断变化。然而，第二个月的25×至30×既不典型也不实用。前一个月期货的权重更符合一个人可以达到的可行杠杆率。回想一下，VXX采用的策略是一种时间确定性策略。图9进一步说明，为了实现波动率指数的单位风险敞口，随机投资组合weig hts是必要的。看见http://cfe.cboe.com/margins/CurDoc/Default.aspxVIX期货的当前保证金要求。保证金要求以美元价值而非百分比表示。该美元价值基于波动率指数期货的一个单位，即所述期货价格的1000倍。

后台计算得出的历史百分比介于10%和30%之间。时间0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Vx0.160.180.20.220.240.260.280.3（a）的杠杆率暗示βtTime0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5漂移（Bps）-40-30-20-1001020VXXPortfolio（b）隐含αT图8：参考图7中的模拟路径，我们显示了（a）从VXX获得的隐含暴露系数βT，以及（b）六个月内VXX和跟踪投资组合的随机漂移αT（T=0.5）。时间0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5权重05101520253035前一个月第二个月图9：图7.4.3 CSQR模型中敞口系数β=1的动态投资组合的投资组合权重我们现在研究CIR模型扩展下的跟踪策略和滑动过程。在本节中，S将继续是均值回复，但长期均值也是随机的。该模型被称为串联平方根过程（CSQR）（参见Me nc'a和Sentana（2013））：dSt=eγ（Yt- St）dt+σpStdBQ，0t，dYt=eκ（eθ- Yt）dt+νρpYtdBQ，0t+νp1- ρpYtdBQ，1t。这里，BQ、0和BQ、1是独立的SBM。我们假设参数的选择使对（St，Yt）严格为正t型≥ 在这里，指数趋向于恢复到随机水平Y，这也意味着n-恢复。这说明了对波动率指数路径行为的实证观察，而波动率指数期货校准表明长期平均值随时间振荡（参见。

图5）。让投资者设定风险敞口系数βt的值≡ β和ηt≡ η、 然后，投资组合受到随机漂移（见命题2.1）的影响，该漂移是标准Yt的函数：αt=r-eγ（Yt- St）Stβ-eκ（eθ- Yt）Ytη。此外，应用命题2.2，我们得到了CSQR模型中的滑移过程Zt：Zt=r- βeγ年初至今- 1.- ηeκeθYt- 1+β(1 - β） σSt+η（1- η） νYt-βηνρσ√StYt公司。正如我们所见，前两项反映了林分Yt的均值回复特性。平均而言，它们的影响趋于零，但也与平均回复速度eγ和eκ以及暴露系数β和η成正比。接下来的两项计算指数及其随机平均值的方差，如果β/∈ [0，1]和η/∈ [0，1]。最终项反映了该模型中S和Y之间协方差的影响。如果（i）β、ηa和ρ三者均为正，或（ii）β、η或ρ中只有一个为正，则为负。由于d=1，我们知道需要d+1=2衍生产品才能获得所需的暴露。让我们考虑在S上使用期货合约。到期时间为Tkis的期货价格由ftkt=eθ给出+St公司-eθe-eγ（Tk-t）+eγe-eγTk年初至今-eθeeκt（Tk- t） ，eγ=eκeγ（Yt-eθ）eγ-eκe-eκ（Tk-t）- e-eγ（Tk-t）, eγ6=eκ，对于t≤ Tk；s ee Menc'ia和Sentana（2013）的推导。请注意，如果St在特定的eγ恢复到平均θ，则第一项将是未来。接下来，我们计算指数和随机平均数的敏感性：fTktS=e-eγ（Tk-t） ，和fTktY=（eγeeκt-eγTk（Tk- t） ，eγ=eκeγeγ-eκe-eκ（Tk-t）- e-eγ（Tk-t）, eγ6=eκ。此后，假设后一种情况，即eγ6=eκ。在这种情况下，相应的弹性由g（k）t=StfTkte给出-eγ（Tk-t） ，H（k）t=YtfTkteγeγ- eκe-eκ（Tk-t）- e-eγ（Tk-t）.

（4.8）正如第3.2节所述，由于该模型中只有一个外部因素，因此H（k）THA上的第二个数值supe rscript被抑制。我们考虑一个由两个期货合约组成的投资组合，两个合约都在S上，且价格都大于T≥ T重申跟踪在赫斯顿模型中不适用于两种期货，因此其中一种必须包括另一种类型的衍生工具（例如期权）。现在在CSQ R模型中，我们通过验证G（1）tH（2）t6=G（2）tH（1）t，（4.9）来检查该期货组合是否有效。有关这种形式的模型的讨论，请参见Duffee和Kan（1996）示例。附录A.2和A.3中可以找到eγ=eκ的类似证明。对于所有t∈ [0，T]。插入上述弹性后，我们发现该条件等于6=T（见附录A.4）既然我们已经假定T<T，这个条件成立。因此，线性方程组βη=G（1）tG（2）tH（1）tH（2）t！u（1）tu（2）t！，（4.10）得出两个期货合约的策略总是可解的。解决系统产生的投资组合权重su（1）t=βfTtSteeγ（T-t）- eeκ（T-t） eeγ（t-T）- eeκ（T-T）-ηfTtYt1.-eκeγeeκ（T-t） eeγ（t-T）- eeκ（T-T）, （4.11）andu（2）t=-βfTtSteeγ（T-t）- eeκ（T-t） e类-eκ（T-T）- e-eγ（T-T）+ηfTtYt1.-eκeγeeκ（T-t） e类-eκ（T-T）- e-eγ（T-T）. （4.12）例如，取β=1，η=0。然后，只有（4.11）和（4.12）中的第一项保留下来，u（1）为阳性，但u（2）为阴性。这种期货合约组合允许直接暴露于波动率指数，而不暴露于波动率的随机平均值。5结论性意见我们研究了一类策略，用于跟踪指数，并在一般连续时间差异框架中产生对给定因素集的期望敞口。我们的分析结果提供了在任何给定模型下的跟踪条件和衍生品交易策略。

我们已经说明了交易策略的路径行为以及一些众所周知的模型下的相关跟踪性能，例如股票跟踪的Black-Scholes和Heston模型，以及波动率跟踪的CIR a ndCSQR模型。这对寻求构建衍生品投资组合以进行跟踪的投资者或基金管理人具有实际意义。我们的结果还揭示了跟踪误差在一般金融市场中是如何产生的。这项研究有许多自然而有用的扩展。我们的示例包括权益指数和波动率指数，但还有更多资产类别，包括商品、固定收入和货币。在所有这些资产类别中，许多ETF的设计都是为了跟踪相同或相似的指数。我们有可能应用并扩展我们的方法来分析各种基于期货/衍生品的ETF和衍生品投资组合的价格动态和跟踪表现。有了杠杆化ETF的期权，投资者现在可以使用衍生品来生成杠杆化指数。这就要求在杠杆比率上对LETF期权进行一致的定价（seeLeung和Sircar（2015）；Leung等人（2016年））。此外，我们的工作表明，在某些模型中，不可能完全控制指数和所有事实上的风险敞口。这应该促使设计新的交易策略，最大限度地减少与目标风险敞口的偏差。追踪误差的洞察力原则上可以用于统计套利，但它也可以帮助投资者和监管机构更好地了解与衍生品投资组合相关的风险。A证据A。1 SDE（2.5）的推导根据伊藤公式，期权价格满足SDEdc（k）t=c（k）tdt+dMt型c（k）+dMt型c（k）dMt。（A.1）这里，梯度和Hessian是对所有市场变量（S，Y（1），…）进行考察的结果。。。，Y（d））。

我们在（A.1）中写下最后一个术语如下：dMt型c（k）dMt=（eγtdt+∑tdBQt）c（k）（eγtdt+∑tdBQt）=dBQt∑t型c（k）∑tdBQt=TrhdBQt∑t型c（k）∑tdBQti=Trh∑t型c（k）∑tdBQtdBQti=Trh∑t型c（k）∑tIdti=Trh∑t型c（k）∑tidt。（A.2）将（A.2）代入（A.1），我们得到dc（k）t=c（k）t+Trh∑t型c（k）∑tidt公司+c（k）SdSt公司+c（k）Y（1）dY（1）t++c（k）Y（d）dY（d）t.（A.3）另一方面，费曼-卡茨公式告诉我们，衍生品价格满足c（k）t+eγ（0）tc（k）S+eγ（1）tc（k）Y（1）+…+eγ（d）tc（k）Y（d）+Trh∑t型c（k）∑ti=rc（k），（A.4），终端条件n:c（k）（Tk，s，y（1）。。。，y（d））=具有三次正分量的所有向量（s，y，…，yd）的h（k）（s，y，…，yd）。使用（A.3），我们得到了dc（k）t=rc（k）t- eγ（0）tc（k）S- eγ（1）tc（k）Y（1）- ... - eγ（d）tc（k）Y（d）dt公司+c（k）SdSt公司+c（k）Y（1）dY（1）t++c（k）Y（d）dY（d）t。使用（2.6）中列出的定义，将两侧除以c（k）tand，我们得到SDE（2.5）。A、 2验证（4.9）当eκ=eγ时，我们现在证明，在CSQR模型下eκ=eγ的特殊情况下，使用不同到期日的两个期货跟踪策略性别歧视。

指数对应的弹性与（4.8）中的相同；然而，关于随机平均值的弹性isH（k）t=YtfTktfTktY=YtfTkteγeeκt-eγTk（Tk- t） 。（A.5）将（A.5）替换为（4.9），我们有-eγ（T-t） YtfTteγeeκt-eγT（T- t） 6=标准温度-eγ（T-t） YtfTteγeeκt-eγT（T- t）<==> e-eγ（T-t） eeκt-eγT（T- t） 6=e-eγ（T-t） eeκt-eγT（T- t）<==> T6=T。在T<T的假设下，产生的系统是可解的，并产生实现给定暴露的策略。A、 3（4.10）的解当eκ=eγ，在CSQR模型下，弹性关于（A.5）和eκ=eγ给出的随机平均值，解系统（4.10）的投资组合权重为u（1）t=βfTtSteeγ（T-t） （t- t） t型- T-ηfTtYteeγ（T-t） eγ（t- T）,andu（2）t=-βfTtSteeγ（T-t） （t- t） t型- T+ηfTtYteeγ（T-t） eγ（t- T）.具体而言，取β=1，η=0。然后，投资组合权重简化了tou（1）t=fTtSteeγ（T-t） （t- t） t型- T, 和u（2）t=-fTtSt公司eeγ（T-t） （t- t） t型- T.经检测，u（1）为阳性，u（2）为阴性。A、 4验证（4.9）当eκ6=eγ时，我们将（4.8）中的弹性替换为（4.9），然后直接检查以下是否成立：StfTte-eγ（T-t） YtfTteγeγ- eκe-eκ（T-t）- e-eγ（T-t）6=标准温度-eγ（T-t） YtfTteγeγ- eκe-eκ（T-t）- e-eγ（T-t）<==> e-eγTe-eκ（T-t）- e-eγ（T-t）6=e-eγTe-eκ（T-t）- e-eγ（T-t）<==> T6=T。由于我们假设T<T，因此产生的系统是可解的，并允许采取策略来获得所需的曝光。参考Sahn，D.和Gao，B.（1999）。期限结构动力学的准度量非线性模型。《金融研究评论》，12（4）：721–762。Alexander，C.和Barbosa，A.（2008年）。对冲指数交易所交易基金。《银行与金融杂志》，32（2）：326–337。Alexander，C.和Korovilas，D.（20 13）。波动性交易所交易票据：诅咒还是治愈？《另类投资杂志》，16（2）：52–70。Avellaneda，M.和Zhang，S.（2010）。

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