基于数据的非参数分布自动离散化

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收藏 2022-06-10

英文标题：
《Data-based Automatic Discretization of Nonparametric Distributions》
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作者：
Alexis Akira Toda
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
Although using non-Gaussian distributions in economic models has become increasingly popular, currently there is no systematic way for calibrating a discrete distribution from the data without imposing parametric assumptions. This paper proposes a simple nonparametric calibration method based on the Golub-Welsch algorithm for Gaussian quadrature. Application to an optimal portfolio problem suggests that assuming Gaussian instead of nonparametric shocks leads to up to 17% overweighting in the stock portfolio because the investor underestimates the probability of crashes.
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中文摘要：
虽然在经济模型中使用非高斯分布已变得越来越流行，但目前没有一种系统的方法可以在不施加参数假设的情况下从数据中校准离散分布。基于高斯求积的Golub-Welsch算法，提出了一种简单的非参数标定方法。对最优投资组合问题的应用表明，假设高斯冲击而非非非参数冲击会导致股票投资组合中高达17%的权重过高，因为投资者低估了崩溃的概率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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Data-based_Automatic_Discretization_of_Nonparametric_Distributions.pdf
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可人4

2022-6-10 01:56:35

基于数据的非参数分布自动离散化Alexis Akira Toda*2019年5月13日摘要尽管在经济模型中使用非高斯分布已变得越来越流行，但目前还没有一种系统的方法可以在不施加参数假设的情况下，从数据中校准离散分布。本文基于Golub和Welsch（1969）算法，提出了一种简单的非参数标定方法。对最优投资组合问题的应用表明，假设高斯冲击而非非非参数冲击会导致股票投资组合中高达17%的权重过高，因为投资者低估了崩溃的概率。关键词：校准、离散近似、高斯求积。JEL代码：C63、C65、G11.1简介本文研究应用理论家经常遇到的以下问题。一位研究人员想校准随机模型的参数。其中一个模型输入是冲击的概率分布，它近似于离散分布。出于计算方面的考虑，研究人员希望此分布具有尽可能少的支撑点（节点），例如五个。鉴于冲击数据，研究人员应如何校准这五个点分布的节点和概率？虽然有许多已建立的高斯冲击圆盘重定时过程的方法，如Tauchen（1986）、Tauchen和Hussey（1991）和Rouwenhorst（1995），但非高斯分布的离散化仍然相对未被探索。然而，在经济学中，研究具有非高斯冲击的模型变得越来越普遍。例如，罕见灾害模型（Rietz，1988；Barro，2006；Gabaix，2012）使用s-ra-re但较大的向下跳跃来解释资产定价难题。消除非高斯分布的一个问题是如何校准它们。

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大多数88

2022-6-10 01:56:38

如果我们有一个参数密度，可以使用Miller和Rice（1983）中的高斯求积或最大*加州大学圣地亚哥分校经济系。电子邮件：atoda@ucsd.edu.SeeFarmer和Toda（2017）以及其中的参考文献，以进行详细的文献综述。Tanaka和Toda（2013、2015）中的熵方法提供了我们可以计算一些矩的方法。然而，如何在不施加参数假设的情况下获得能很好地逼近数据的N点分布并不明显。因为N点分布的自由度很大（2N- 1），提供一种自动离散化方法很有价值，因为它消除了校准的任意性。给出数据后，本文提出了一种简单的方法，用于自动校准具有指定数量网格点的离散分布。该方法基于这样一个观察结果，即使用Golub和Welsch（1969）算法计算具有某些加权函数的N点高斯求积的节点和权重，只需知道2N阶加权函数的矩。将非参数分布离散化的一种自然方法是将2N个样本矩输入Golub-We-lsch算法。由于该方法不涉及优化（这是一个求解稀疏矩阵的特征值/向量的问题），因此实现起来既简单又快速。作为一个应用，我将美国历史股票收益数据离散化，并用恒定的相对风险厌恶效用来解决一个最优投资组合问题。我考虑了投资者使用非参数和高斯分布的两种情况。这就是为什么当投资者错误地相信股票收益率分布是对数正态分布时，股票投资组合的权重会被高估17%，因为他低估了崩溃的可能性。

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nandehutu2022

2022-6-10 01:56:41

这些示例表明，校准方法的选择可能会在数量上产生影响。1.1相关文献与我密切相关的是Miller和Rice（1983），他们使用高斯分布来离散分布。虽然他们只考虑参数分布的离散化，但我的重点是从数据估计的非参数分布的离散化。Tanaka和Toda（2013）通过使用最大熵原理匹配矩，考虑了预先分配节点上分布的离散化，Tanaka和Toda（2015）证明了收敛性并得出了误差估计。Farmer和Toda（2017）通过将Tanaka-Toda方法应用于条件分布，对一般非高斯马尔可夫过程的圆盘重定时进行了简化。在其中一个应用中，他们在预先指定的网格上用高斯混合近似非参数密度，从而将其离散化。由于计算高斯分布的节点和权重不需要对参数进行优化（不同于高斯混合参数的最大似然估计或解决最大熵问题），因此我的方法更容易实现，速度更快，网格是内生的。另一方面，Farmer和Toda（2017）方法可以离散一般马尔可夫过程，而本文提出的方法旨在离散单个分布。2离散非参数密度假设非参数密度f（x）已知。

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大多数88

2022-6-10 01:56:44

由于随机模型通常涉及期望，我们希望找到节点{xn}Nn=1，权重{wn}Nn=1，即[g（X）]=Z∞-∞g（x）f（x）dx≈NXn=1wng（xn），（2.1），其中g是一般被积函数，X是密度为f（X）的随机变量。（2.1）右侧定义了一个N点求积公式。当（2.1）为事后（即。，≈ 变为=）对于阶数达到toD的所有多项式，我们说求积公式具有精确度D。由于N点求积公式中的fre edom阶数为2N（因为有Nnodes和N个权重），我们不能期望积分超过2N个单项式SF（x）=1，x，x2N型-1正确。当这些单项式的求积公式（2.1）是精确的，或当其精确度为2N时，相等- 我们称之为高斯公式。下面的Golub-Welsch算法提供了计算高斯求积的节点和权重的有效方法。（附录B提供了更多的理论背景。）算法1（Golub和Welsch，1969）。1、选择多个正交节点N∈ N、 2。对于k=0，1，2N，计算密度的k阶矩mk=Rxkf（x）dx。确定矩矩阵M=（Mij）1≤i、 j≤N+1，由Mij=mi+j-2.4. 计算Cholesky分解M=R′R。设R=（rij）1≤i、 j≤N+1.5。定义α=r/r，αn=rn，n+1rnn-注册护士-1，nrn-1，n-1（n=2，…，n）和βn=rn+1，n+1rnn（n=1，…，n- 1). 定义N×N对称性矩阵=αβ0 · · · 0βαβ......0 βα...............βN-10··0βN-1αN. (2.2)6. 计算tn的特征值{xn}Nn=1，以及相关的特征向量{vn}Nn=1。{xn}Nn=1是高斯q值的节点，权重{wn}Nn=1由wn=mvn1/kvnk>0给出，其中vn=（vn1。

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mingdashike22

2022-6-10 01:56:47

，vnn）′。一旦我们计算出节点{xn}Nn=1和权重{wn}Nn=1，我们就可以使用它们作为密度f的离散近似值。请注意，Golub-Welsch算法1的唯一输入是节点数N和密度f的矩mk=Rxkf（x）dx，其中k=0，第2条。因此，如果da ta{xi}Ii=1，对非参数密度进行离散化的一个自然想法就是将s充分的矩输入到GolubWelsch算法1中。总结以上观察结果，我们得到以下基于数据的非参数分布自动离散算法。算法2（无参数分布的自动离散）。1、给定数据{xi}Ii=1和所需的离散点数量N，对于k=0，2N计算第k个样本动量bmk=IIXi=1xki。(2.3)2. 将这些矩{bmk}2Nk=0输入Golub-Welsch算法1，以计算节点{xn}Nn=1和权重{wn}Nn=1。所需的离散化将概率wn分配给点'xn。因为N点高斯求积的精确度为2N- 1，通过构造，N点圆盘重定时匹配数据的样本矩，最大为2N阶- 1（最大数值误差）。由于根据高斯-马尔可夫定理，样本矩（2.3）是总体矩的最佳线性无偏估计量（蓝色），也就是说，bmkha是formPIi=1aixki的所有估计中的最小均方误差，其中{ai}Ii=1是一些权重，因此算法2在某种意义上是最优的。附录A表明，当参数分布不准确时，拟议方法的精度超过了使用参数分布的精度。3应用：最优投资组合问题在本节I中，使用最小经济示例说明拟议方法的有用性。

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何人来此

2022-6-10 01:56:50

考虑相对风险规避γ>0的CRRA投资者。假设R>0是股票收益率，Rf>0是总无风险率，θ是投资于股票的财富（投资组合份额）的分数，投资者的最优投资组合问题是maxθ1- γE[（Rθ+Rf（1- θ))1-γ]. （3.1）我从Amit Goyal的电子表格中获得了1927年至2016年期间美国名义股票收益率、无风险利率和NDI的年度数据。对于股票收益，我使用包括股息在内的CRSP成交量加权指数。电子表格位于http://www.hec.unil.ch/agoyal/docs/PredictorData2016.xlsx.Using月度或季度数据给出的结果在质量上相似，但极端程度稍低。将这些返回值转换为实际日志返回值，并将日志无风险率校准为样本平均值。结果为Rf=1.0045。然后，我将算法2应用于log excess returns log R- log Rfto获得一个离散分布，其中节点{xn}Nn=1，权重{wn}Nn=1，其中我选择点数N=5（进一步增加点数不会改变结果）。n状态下的总股票收益率由Rn=Rfe'xn定义，其发生概率为wn。最后，我数值求解了最优投资组合问题（3.1）。图1显示了在γ范围内改变相对风险规避时的结果∈ [1, 7].-0.15-0.1-0.05 0.05 0.1 0.15对数消耗增长直方图非参数高斯（a）直方图和密度。相对风险规避0.51.5非参数高斯（b）最优投资组合。1相对风险规避（c）投资组合错误。图1：超额收益分布和数值解。图1a显示了对数超额收益分布的直方图，以及非参数核密度估值器和高斯分布的最大似然分布。

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大多数88

2022-6-10 01:56:53

我们可以看到，直方图和非参数密度有一条与股市崩盘对应的左长尾，而高斯分布忽略了这一点。图e 1b显示了这两个模型的最优投资组合θ。我们可以看到，当投资者错误地认为股票收益率分布是对数正态分布时，他会高估股票投资组合的权重，因为他低估了崩溃的概率。图1c显示了这种超重（投资组合误差）的百分比θG/θNP-1，其中G和NP表示高斯密度和非参数密度。投资组合误差很大，在4-17%的范围内。本文提出了一种简单、自动的非参数分布离散化方法。以资产定价模型和非最优投资组合问题为实验室，我证明了使用非参数分布（如高斯分布）的误差可能很大。一个自然的扩展是考虑无参数冲击的马尔可夫过程的离散化。例如，人们可能会尝试在Tauchen和Hussey（1991）方法中应用核密度估计和高斯求积来离散AR（1）processxt=ρxt-1+εt，其中|ρ|<1和新值{εt}∞t=0是根据某个概率密度函数f独立且相同分布的。然而，众所周知，当持久性ρ中等偏高时，Tauchen-Hussey方法并不准确（Flod\'en，2008）。

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何人来此

2022-6-10 01:56:57

使用Farmer和Toda（2017）在线附录中的AR（1）资产定价模型评估解的精度，我发现，当冲击分布为非参数时，基于高斯平方e的圆盘重定时马尔科夫过程方法的精度更低。因此，对于此类过程，最好使用Farmer和Toda（2017）的最大熵方法，并使用均匀间距的网格（示例见第4.3.3节）。最后，虽然我提出了我的方法作为椎间盘再矿化的工具，但它也可以作为一种求积方法。例如，Pohl et al.（2018）使用投影方法和高斯-埃尔米特求积求解了theBansal和Yaron（2004）长期风险模型，但这是因为假设模型具有高斯冲击。相反，如果研究人员希望使用非参数冲击，我的方法可以直接用于从数据构建正交规则。参考Ravi Bansal和Amir Yaron。长期风险：资产定价混乱的潜在解决方案。《金融杂志》，59（4）：1481–1509，2004年8月20日。内政部：10.1111/j.1540-6261.2004.00670。x、罗伯特J。巴罗。二十世纪罕见的灾难和资产市场。《经济学季刊》，121（3）：823–8662006。内政部：10.1162/qjec。121.3.823.Leland E.Farmer和Alexis Akira Toda。用exac t条件矩离散非线性非GaussianMarkov过程。《定量经济学》，8（2）：651–683，2017年7月。内政部：10.3982/QE737。马丁·弗洛登。关于高持久AR（1）过程马尔可夫链逼近精度的注记。《经济学快报》，99（3）：516–520，2008年6月。内政部：10.1016/j.econlet。2007.09.040.泽维尔·加拜克斯。变量r是灾难：macr金融中十大难题的精确解决框架。《经济学季刊》，127（2）：645–700，2012年5月。内政部：10.1093/qje/qjs001。Gene H.Golub和John H.Welsch。高斯四元规则的计算。

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大多数88

2022-6-10 01:57:00

《计算数学》，23（106）：221–230，1969年5月。内政部：10.1090/S0025-5718-69-99647-1。艾伦·C·米勒三世和托马斯·R·赖斯。概率分布的离散近似。《管理科学》，29（3）：352–3621983年3月。内政部：10.1287/mnsc。29.3.352.沃尔特·波尔、卡尔·施梅德斯和奥勒·威尔斯。具有长期风险的资产定价模型中的高阶效应。《金融杂志》，73（3）：1061–11111918年6月。内政部：10.1111/工作日。1 2615.托马斯·A·里兹。股权风险预警：解决方案。《货币经济学杂志》，22（1）：117–131，1988年7月。内政部：10.1016/0304-3932（88）90172-9。K、吉特·鲁韦·恩霍斯特。均衡商业周期模型的资产定价影响。《商业周期前沿研究》（Frontiers of Business Cycle Research），第10章，第294-330页。普林斯顿大学出版社，1995年。田中健一郎和亚历克西斯·丰田章男。连续分布的最大熵离散近似。《经济学快报》，11 8（3）：445–450，2013年3月。内政部：10.1016/j.econlet。2012.12.020.田中健一郎和亚历克西斯·丰田章男。用精确矩离散分布：误差估计和收敛性分析。《暹罗数值分析杂志》，53（5）：2158–21772015。内政部：10.1137/140971269。乔治·陶琛。一元和向量a自回归的有限状态马尔可夫链近似。《经济学快报》，20（2）：177–1811986年。内政部：10.1016/0165-1765（86）90168-0。乔治·陶琛和罗伯特·侯赛因。获得非线性资产定价模型近似解的基于求积的方法。《计量经济学》，59（2）：371–3961991年3月。内政部：10.2307/2938261。在线附录A精度在任何数值方法中，评估精度都非常重要。在本节中，我使用第3节中的最优组合问题作为实验来评估所提方法的准确性。我设计了如下的数值实验。

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kedemingshi

2022-6-10 01:57:03

首先，将具有两个分量的高斯混合分布输入年度对数超额回报数据。各混合物成分的比例、平均值和标准偏差arep=（pj）=（0.1392，0.8608），u=（uj）=(-分别为0.2242、0.1064）和σ=（σj）=（0.2164、0.1453）。接下来，我假设true超额收益分布是这种高斯混合，并解决了相对风险厌恶γ的最优投资组合问题∈ {2，4，6}使用高斯求积（Golub-Welschalgorithm 1）计算具有11个点的高斯混合。最后，我用不同的样本大小从这个高斯混合中提取随机数，用不同的方法离散这些分布，并计算最优投资组合。我用M=1000蒙特卡罗复制品重复此过程，并计算相对偏差和平均绝对误差（MAE）偏差=MMXm=1bθm/θ*- 1., （A.1a）MAE=MMXm=1bθm/θ*- 1., （A.1b）其中bθmis模拟m和θ的最优投资组合*是理论上最优的投资组合。对于样本量，我考虑T=100、1000、10000，对于正交节点的数量，我考虑N=3、5、7、9。对于离散化方法，我考虑了三种情况。FIRS t是非参数高斯回归法（算法2），我称之为“NP-GQ”。其次是高斯-厄米特求积，其中平均值和标准偏差通过最大似然估计。如果回报分布为对数正态分布，则这是最自然的方法。thir d是田中和Toda（201 3，2015）以及Farmer和Toda（2 017）提出的最大熵方法，其中引入了核密度估计器（带高斯核），我称之为“NP-ME”。对于这种方法，需要指定网格和匹配的动量数。

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能者818

2022-6-10 01:57:07

根据Farmer和Toda（2017）的推论3.5，我使用了以样本平均值That spansp2（N）为中心的等距网格- 1）乘以两侧的样本标准偏差，其中N是网格点的数量。我匹配4个样本时刻，如果N可能≥ 5，否则我匹配2个样本矩（均值和方差）。有关exactalgorithm的更多详细信息，请参阅Tanaka和Toda（2013、2015）以及Farmer和Toda（2017）的第2节和第3.2节。表1和表2分别显示了最优投资组合的相对偏差和平均绝对误差。正如预期的那样，使用高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite）计算的最优投资组合偏向上，因为它使用高斯分布，这低估了崩溃的可能性。在两种非参数化方法中，NP-GQ在偏差和平均绝对误差方面均优于NP-ME，尤其是当样本量较小（T=100）时。对于N=3个gr id点，在这种情况下，不可能用NP-ME匹配4个矩，建议的NP-GQ方法表现明显更好。

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mingdashike22

2022-6-10 01:57:10

最后，将N增加到5以上不会改善NP GQ的偏差或平均绝对误差，这表明使用五点分布就足够了（至少对于解决这个投资组合问题而言）。表1：最优投资组合的相对偏差。方法NP-GQ Gauss-Hermite NP-MET Nγ=2 4 6γ=2 4 6γ=2 4 6 3 0.054 0.053 0.053 0.168 0.123 0.109 0.140 0.113 0.1055 0.051 0.053 0.053 0.159 0.123 0.109 0.096 0.082 0.0777 0.051 0.053 0.053 0.158 0.123 0.109 0.082 0.074 0.051 0.053 0.053 0.053 0.157 0.109 0.070 6 0.071 0.06810003 0.005 0.005 0.005 0.105 0.060 0.047 0.089 0.059 0.0505 0.004 0.005 0.005 0.103 0.060 0 0.047 0.031 0.0190.0167 0.004 0.005 0.005 0.103 0.060 0.047 0.022 0.014 0.0119 0.004 0.005 0.005 0.103 0.060 0.047 0.018 0.012 0.010100003 0.001 0.001 0.001 0.098 0.054 0.041 0.084 0.054 0.0455 0.001 0.001 0.001 0.001 0.098 0.054 0.020 0.011 0.0087 0.001 0.001 0.098 0.051 4 0.041 0.012 0.006 0.0049 0.001 0.001 0.001 0.098 0.054 0.041 0.008 0.004 0.003注：该表报告了最佳投资组合由（A.1a）定义。对于离散化方法，“NP-GQ”使用算法2，“Gauss-Hermite”使用Gauss-Hermite求积（通过最大似然估计平均值和标准偏差），“NPME”使用最大熵方法和核密度估计器。T是每个模拟中的样本大小。N是求积公式中的节点数。γ是相对风险厌恶。所有结果均基于1000次蒙特卡罗复制。B高斯求积在本附录中，我们证明了高斯求积的一些性质。为了符号的简单性，让我们省略a，b（soRmeansRba），并假设所有n的tRw（x）xndxexists≥ 对于函数f，g，通过（f，g）=Zbaw（x）f（x）g（x）dx定义内积（f，g）。（B.1）通常，通过kf k=p（f，f）确定f的范数。

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nandehutu2022

2022-6-10 01:57:13

第一步是构造与内积（B.1）相关的正交多项式{pn（x）}Nn=0。定义1（正交多项式）。多项式{pn（x）}Nn=0称为正交多项式，如果（i）deg pn=n，且pn的前导系数为1，（ii）对于所有m 6=n，我们有（pm，pn）=0。一些作者要求多项式是正交的，所以（pn，pn）=1。在本文中，我们通过要求前导系数为1来规范化多项式，这对计算很有用。以下三项复发率表2：最优投资组合的相对平均绝对误差。方法NP-GQ Gauss-Hermite NP-MET Nγ=2 4 6γ=2 4 6γ=2 4 63 0.239 0.247 0.249 0.323 0.306 0.301 0.296 0.293 0.2925 0.236 0.247 0.249 0.314 0.305 0.301 0.267 0.271 0.2707 0.236 0.247 0.313 0.305 0.301 0.256 0.264 0.2659 0.236 0.247 0.312 0.305 0.301 0.251 0.262 0.26310003 0.068 0.072 0.073 0.125 0.100 0.095 0.112 0.098 0.0955 0.067 0.072 0.073 0.124 0.101 0.095 0.078 0.0780.0787 0.067 0.072 0.073 0.124 0.101 0.095 0.074 0.076 0.0769 0.067 0.072 0.073 0.124 0.101 0.095 0.072 0.075 0.07610003 0.021 0.023 0.098 0.056 0.045 0.084 0.056 0.0485 0.021 0.023 0.098 0.056 0.045 0.0257 0.0257 0.021 0.023 0.023 0.098 0.056 0.045 0.024 0.0249 0.021 0.023 0.023 0.098 0.056 0.045 0.023 0.023 0.023注：表r报告了相对平均绝对误差（A.1b）定义的最佳投资组合。变量定义见表1。关系（TTRR）证明了正交多项式的存在性，并给出了计算它们的显式算法。命题2（三项递推关系，TTRR）。设p（x）=1，p（x）=x-（xp，p）kpk，对于n≥ 1定义n+1（x）=x-（xpn，pn）kpnk！pn（x）-kpnkkpn-1kpn-1（x）。（B.2）那么pn（x）是n次正交多项式。证据

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何人来此

2022-6-10 01:57:16

让我们通过对n的归纳来证明：（i）pn是一个前导系数为1的n次多项式l，并且（ii）（pn，pm）=0表示所有m<n。对于n=0，这种说法是微不足道的。对于n=1，通过构造一个导频系数为1的1次多项式，由于p（x）=1，我们得到（p，p）=x-（xp，p）kpk！p、 p！=（xp，p）- （xp，p）=0。假设权利要求的有效期为n。那么对于n+1，由（B.2）可知，pn+1的领先系数与xpn的领先系数相同，即1。如果m=n，则（pn+1，pn）=x-（xpn，pn）kpnk！pn编号-kpnkkpn-1kpn-1，pn！=（xpn，pn）- （xpn，pn）-kpnkkpn-1k（pn-1，pn）=0。如果m=n- 1，然后（pn+1，pn-1） =x-（xpn，pn）kpnk！pn编号-kpnkkpn-1kpn-1，pn-1!= （xpn，pn-1) -（xpn，pn）kpnk（pn，pn-1) - kpnk=（pn，xpn-1) - kpnk。由于pn的领先优势，pn-1关于1，我们可以编写xpn-1（x）=pn（x）+q（x），其中q（x）是最大n的degr e的多项式- 1、清晰的q可以表示为p，p，…，的线性组合，pn编号-1，SO（pn，q）=0。因此（pn+1，pn-1） =（pn，pn+q）- kpnk=kpnk+（pn，q）- kpnk=0。最后，如果m<n- 1，则（pn+1，pm）=x-（xpn，pn）kpnk！pn编号-kpnkkpn-1kpn-1，pm！=（xpn，pm）-（xpn，pn）kpnk（pn，pm）-kpnkkpn-1k（pn-1，pm）=（pn，xpm）=0，因为xpmis是1+m<n次的多项式。下面的引理表明，n次正交多项式正好有n个实根（因此它们都很简单）。引理3。pn（x）在（a，b）上正好有n个实根。证据根据代数基本定理，pn（x）在C上有n个正根。相反，假设pn（x）在（a，b）上的实根少于n个。Letx，xk（k<n）pn（x）改变其符号的根。设q（x）=（x- x） ···（x）- xk）。

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mingdashike22

2022-6-10 01:57:19

由于pn（x）q（x）>0（或<0）几乎在（a，b）上的任何地方，我们得到（pn，q）=Zw（x）pn（x）q（x）dx 6=0。另一方面，由于deg q=k<n，我们得到（pn，q）=0，这是一个矛盾。以下定理表明，使用阶N正交多项式pN（x）的N根作为求积节点，并选择特定的权重，我们可以积分所有阶数高达2N的多项式- 1完全正确。因此，高斯性质总是存在的。定理4（高斯求积）。设a<x<···<xN<b是N次正交多项式pn的N根，对于N=1，…，定义N=Zw（x）Ln（x）dx，N、式中，ln（x）=Ym6=nx- xmxn- Xm是N度- 1个多项式，在x取1，在xm取0（m∈{1，…，N}\\N）。然后zw（x）p（x）dx=NXn=1wnp（xn）（B.3），对于阶数为t到2N的所有多项式p（x）- 1.证明。自deg p起≤ 2N个- 1和deg pN=N，我们可以写ep（x）=pN（x）q（x）+r（x），其中deg q，deg r≤ N- 因为q可以表示为N次正交多项式的线性组合- 1，我们有（pN，q）=0。HenceZw（x）p（x）dx=（pN，q）+Zw（x）r（x）dx=Zw（x）r（x）dx。另一方面，由于{xn}Nn=1是pN的根，所以对于所有n，我们有p（xn）=pN（xn）q（xn）+r（xn）=r（xn），特别是rnxn=1wnp（xn）=NXn=1wnr（xn）。因此，对于阶数高达N的多项式r，必须显示（B.3）- 让我们证明r（x）=NXn=1r（xn）Ln（x）相同。要看到这一点，请将r设为右侧。因为Ln（xm）=δmn（Kroneckerδ），我们有▄r（xm）=NXn=1r（xn）Ln（xm）=NXn=1δmnr（xn）=r（xm），所以r和▄r在N个不同的点{xn}Nn=1上。因为每个Ln（x）是一个degreeN- 1多项式，我们有deg▄r≤ N- 因此，它必须是r=~r。因为r可以表示为Ln的线性组合，所以必须显示所有Ln的（B.3）。

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可人4

2022-6-10 01:57:22

但由于根据定义zw（x）Ln（x）dx=wn=NXm=1wmδmn=NXm=1wmLn（xm），该说法是正确的。在实践中，我们如何计算n点高斯求积的节点{xn}Nn=1和权重{wn}Nn=1？解决方案由以下Golub-Welsch算法给出。定理5（Golub和Welsch，1969）。对于每个n≥ 1，定义αn，βnbyαn=（xpn-1，pn-1） kpn公司-1k，βn=kpnkpn-1k>0。定义（2.2）中的N×N对称三对角矩阵TNas。然后高斯求积节点{xn}Nn=1是TN的特征值。让vn=（vn1，…，vnn）′是TN的特征向量，对应于特征值xn，那么权重{wn}Nn=1由wn=vn1kvnkZw（x）dx>0给出。（B.4）证明。根据（B.2）和αn，βn的定义，对于所有n≥ 0我们有pn+1（x）=（x- αn+1）pn（x）- βnpn-1（x）。请注意，通过定义p，这对于n=0是正确的-1（x）=0，β=0。对于每个，让p*n（x）=pn（x）/kpnk是非标准化正交多项式。然后上述方程变成skpn+1k p*n+1（x）=kpnk（x- αn+1）p*n（x）- 荷兰皇家电信-1kβnp*n-1（x）。将两侧除以kpnk>0，使用βn、βn+1的定义和重新排列项，我们得到βnp*n-1（x）+αn+1p*n（x）+βn+1p*n+1（x）=xp*n（x）。特别是，设置x=xk（其中xkis是pN的根），我们得到βnp*n-1（xk）+αn+1p*n（xk）+βn+1p*n+1（xk）=xkp*n（xk）。对于所有n和k=1，N定义β=0，p*N（xk）=0（sinc e xkis a root o f pn，因此p*N=pN/kpNk），让P（x）=（P*（x），p*N-1（x））′，并将上述方程收集到一个向量中，我们得到NP（xk）=xkP（xk），对于k=1，N、通过P=（P（x），…，定义N×N矩阵P，P（xN））。然后tnp=诊断（x，…，xN）P，so x，假设p是可逆的，则取tn的特征值。现在自{p*n} n个-1n=0是归一化的，高斯求积将所有次数高达2N的多项式进行积分- 确切地说，我们有δmn=（p*m、 p*n） =Zw（x）p*m（x）p*n（x）dx=NXk=1wkp*m（xk）p*n（xk）表示m，n≤ N- 1、设W=diag（W。

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何人来此

2022-6-10 01:57:25

，wN），该方程变成sp WP′=I。因此P，W是可逆的，x，n的特征值。求W并求逆，我们得到W-1=P′P<==>wn=N-1Xk=0p*k（xn）>0对于所有的n。为了显示（B.4），设Vn为与IgenValue xn对应的t的特征向量。对于某些常数c 6=0，则vn=cP（xn）。取范数，我们得到kVnk=ckP（xn）k=cN-1Xk=0p*k（xn）=cwn<==> wn=ckvnk。比较vn=cP（xn）的第一个元素，注意p（x）=1和hencep*= p/kpk=1/kpk，我们obta inc=vn1kpk=vn1Zw（x）p（x）dx=vn1Zw（x）dx，这意味着（B.4）。

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