接下来，我们定义n··=Z·hηn（t），d PJn（t）iRJn=Vn+Nn，n∈ N、 带Vn∈ 如上所述，我们有Nn··=R·hηn（t），d MJn（t）iRJn∈ cMloc和Yn∈ S（P）以及[Yn，Yn]=Vn=[Nn，Nn]，对于每n∈ N、 此外，由于（N；N）∈ N） 是可预测不交集的序列，每当m 6=N时，我们有[Yn，Ym]=0=[Nn，Nm]。我们引入了p过程wn··=nXk=1kZ·dYk（t）1+Vk（t）∈ cS（P），n∈ N、 写入Wn=Bn+Ln，其中Bn∈ cFV和Ln∈ cMloc，每n∈ N、 S ince[Yk，Yk]=所有k的vk∈ N和[Yn，Ym]=0，h，m，6=N，我们得到[Wn，Wn]=Ln，Ln]=nXk=1Z·k1+Vk（t）dVk（t）=nXk=1kVk1+所有n的vk∈ N、 此外，Wnis Bn=Pnk=1的有限变化部分-klog公司1+Vk,适用于所有n∈ N、 由于集合∧上的Vn（T）>exp（2n），且P[λ]>0，因此bn（T）>N在∧上保持不变，对于所有N∈ N、 另一方面，[Lm- Ln，Lm- Ln]=mXk=n+1kVk1+Vk≤∞Xk=n+1k=n， n<m，给予超薄支撑→∞卸荷点法≥k、 n个≥k【Lm- Ln，Lm- Ln]=0，这意味着L··=cS limn→∞Lnexists是一个连续的局部鞅。从引理2.1，我们推导出F··=（[L，Ri]；i∈ （一）∈ R（C）。我们声称，在定理2.3陈述的条件（1）下，这是不可能的；托维特，那里不可能有xi街∈ S（P），F=（[Z，Pi]；i∈ 一） 。事实上，如果存在这样的Z，那么由于[L，Pi]=Fi=[Z，Pi]，这对每个i都有效∈ 一、 Zn··=R·Snk=1∏k（t）dZ（t），n∈ N、 对于所有N，我们将有[Zn，Pi]=Z·Snk=1∏k（t）d[Z，Pi]（t）=Z·Snk=1∏k（t）d[L，Pi]（t）=Ln，Pi），因此也有[Zn，Pi]=[Wn，Pi]∈ N和i∈ 一、 自Zn起∈ S（P）和Wn∈ 所有n的S（P）保持∈ N、 d映射（2.9）是一对一的，等式Zn=Wn=Bn+Ln将遵循所有N∈ N

但对于所有n，Bn（T）>n保持在正概率P[∧]>0的集合∧上∈ N、 因此序列（Zn；N）不可能∈ N） 在cS中聚合；然而，根据定义，该序列应收敛到Z.22。康斯坦丁诺斯·卡达拉斯（CONSTANTINOS KARDARASWe）已达到预期的矛盾。这表明条件A∈ R（C）是映射（2.9）为双射所必需的。步骤3：最后，我们观察到，在条件（1）下，即与刚才讨论的结构条件（2）等价，R（C）上的拓扑比S（P）上的拓扑粗糙。另一方面，正如我们所看到的，命题2.2表明映射（2.9）的逆是由R（C）给出的 F 7级-→R·hdF（t）、dA（t）idC（t）+R·hdF（t）、dM（t）idC（t）∈ S（P）。SinceZ公司·hdF（t）、dA（t）idC（t）≤sZ·kdA（t）kdC（t）sZ·kdF（t）kdC（t），S（P）上的拓扑比R（C）上的拓扑粗糙。因此，空间s（P）和R（C）是拓扑同构的。备注2.4。即使它包含在上述定理2.3的证明中，我们在这里也提供了一个简单的例子来证明，当结构条件∈ R（C）失败，映射（P） Z 7→ （[Z，Pi]；i∈ （一）∈ R（C）可能无法同时为一对一和ON。考虑一维半鞅P=A+M，其中M是标准布朗运动，A（t）=3t1/3+B（t），其中B是一个确定的非减量P过程，0=B（0）<B（1），相对于Lebesgue测度Leb是奇异的。那么，C（t）=t表示t∈ R+，R（C）由所有F组成≡R·f（t）dt与rt | f（t）| dt<∞, 对于所有T>0。选择一个确定性的{0，1}-值过程b，使Leb[b 6=0]=0，r·b（t）dB（t）=b。然后，Z≡R·β（t）dP（t）=B∈ S（P），但[Z，P]≡ 这意味着S（P） Z 7→ [Z，P]∈ R（C）不是一对一，因为[0，P]=0，B 6=0。

更进一步，让f:R+7→ R由f（t）=t定义-1/3(0,∞)（t） 堡垒∈ R、 注意R·| f（t）| dt=R·t-2/3dt的价值是确定的，因此F≡R·f（t）dt∈ R（C）。如果Z∈ 存在[Z，P]=F的S（P），它必须是Z=R·F（t）dP（t）。当定义好f（t）dM（t）时，可变的有限变化部分满足TF（t）dA（t）≥RTt公司-1dt=∞ 对于allT>0，这意味着映射S（P） Z 7→ [Z，P]∈ R（C）未接通。3、数学金融应用3.1。简单的交易和市场生存能力。就第3节而言，P≡ （Pi；i∈ 一） 将表示一系列连续的随机过程，每个过程都将模拟证券价格的波动∈ 我在市场上，通过严格的积极态度适当折扣。定义Xsas为（3.1）x+Z·Xj形式的所有非负财富过程的类别∈JθJ（t）dPj（t），无限维随机积分与数学金融23其中x∈ R+，J∈ Fin（I）和θJ≡ （θj；j∈ J） 在（3.1）中，可预测且简单，即由一定数量的分段常数（时间）部分组成。由于所涉及的被积函数很简单，随机积分可以在通常的路径传感器中定义。回想一下FV表示K（0）=0的所有非减量右连续过程K的类。根据上述理解，定义（3.2）xs（K）··=inf{x>0|十、∈ X（0）=X和X≥ K} ，K∈ FV公司.换句话说，xs（K）是流K的套期保值值∈ FV公司使用简单交易时。定义3.1。我们说市场是可行的∈ K、 xs（K）=0==> K≡ 0、生存能力表明，不可能使用简单可预测的可接受策略，投资于有限数量的资产，从任意接近零的正初始资本开始，为非平凡的stream K融资。

如【Kar10，命题】所示，市场生存能力等同于（3.3）lim的要求l→∞supX公司∈Xs，X（0）=1P[X（T）>l] = 0, T∈ R+。i、 即{X（T）| X∈ 对于所有T，X（0）=1}的xs在P-测度中有界∈ R+。尤其是，（3.3）影响了由资产组成的市场（Pi；i∈ 一） 当且仅当由资产组成的所有市场（Pi；I∈ Q） 都是可行的Q∈ Cou（一）。定义3.2。如果Y>0，Y（0）=1，则流程Y将被称为本地集线器，所有流程Y和Y P≡ （Y Pi；i∈ 一） 是局部鞅。所有此类局部鞅定义的类将用Y表示。假设Y 6=. 首先，请注意，每个Pifor i∈ 我是一个半鞅。这遵循It^o公式和乘积规则，利用我们可以写出π=（1/Y）Yπ的事实，并且同时处理1/Y和Yπ半鞅。现在，选择Y∈ Y和K∈ FV公司带xs（K）<∞. 对于x>xs（K），选择x∈ X（0）=X和X≥ K

由于Xis是关于p中使用分部积分的有限个半鞅积分器的随机积分，因此很容易证明yx是局部鞅。现在，R·Y（t）dK（t）- Y K=R·K（t-)dY（t）也是一个局部鞅，它给出Z··=Y（X- K） +R·Y（t）dK（t）是一个非负局部鞅，因此是一个超鞅，条件NAin[Kar10]只涉及形式为K=g1[t]的“欧洲未定权益”流，∞)forT>0和F（T）-可测量g≥ 0，但很容易看出定义是等效的。24 CONSTANTINOS Kardarash超鞅收敛定理提供了一个在单位Z上的极限(∞) ≥R∞Y（t）dK（t）。然后，给出了可选抽样定理Z∞Y（t）dK（t）≤ E[Z](∞)] ≤ Z（0）=Y（0）X（0）=X。取整个Y的上确界∈ 在上述不等式的左右两侧，Y和x>xs（K），我们分别得到（3.4）supY∈YE公司Z∞Y（t）dK（t）≤ xs（K），K∈ FV公司.使用[K P11，§2.3]和[Kar10，定理4]的组合，在I具有有限基数的情况下，如下所示：；我们证明，对于任意指数集I也是如此。（3.5）go的结构条件的出现至少可以追溯到[Sch95]。定理3.3（基本定理）。以下陈述是等效的：（1）市场在定义3.1的意义上是可行的。（2） 如定义3.2所示，e xi表示局部鞅定义：Y 6=.（3） P的组成过程≡ （Pi；i∈ 一） 是半鞅。此外，对于Doob-Meyer分解，Pi=Ai+Mi，对于Ai∈ cFV和Mi∈ cMlocfor i公司∈ 一、 结构条件A≡ （Ai；i）∈ （一）∈ R（C）保持：（3.5）ZTkdA（t）kdC（t）<∞,  T∈ R+。证据我们从含义（3）开始=> (2). 在陈述（3）的假设下，从定理2.3和（1.10）–（1.12）的角度来看，存在Z∈ S（P）使得[Z，Pi]=所有i的所有∈ 我

将Z=B+L写入适当的B∈ cFV和L∈ cMloc，并引入强正局部鞅=E(-五十） Y（0）=1。从那时起(-五十） E（Pi）=E(-L+Pi- [L，Pi]=E(-L+Mi），i∈ 一、 根据约尔公式[RY99，练习IV.（3.11）]和事实[L，Pi]=[Z，Pi]=所有I∈ 一、 我们推断Y Si=Si（0）E(-五十） E（Ri）是一个局部鞅，同样是i∈ 一、 显示Y∈ Y、 对于含义（2）=> （1） ，假设（2），让Y∈ Y、 然后选择K∈ FV公司使得xs（K）=0。然后，EPR∞Y（t）dK（t）= 从（3.4）中得出0，表示P-a.e.，R∞Y（t）dK（t）=0。因为Y是严格正的，K∈ FV公司, 它认为K≡ 0、市场可行性如下。最后，我们提出了含义（1）=> (3). 整个市场的生存能力尤其意味着，在定义3.1的意义上，每个资产数量有限的子市场都是可行的。鉴于【KP11，§2.3】，每个Pi，i∈ 一、 是一个半鞅。然后，利用连续半鞅的随机积分可以在概率上近似的事实，直到第3节结束，我们使用“E（·）”来表示随机指数。无限维随机积分和数学金融25在紧时间间隔上一致，这意味着当X被X族替代时，条件（3.3）也成立，X族由P中的有限个整数组成，所有非负随机积分组成。因此，[定理4][Kar10]允许我们推断AJ∈ R（CJJ）为每个J保持f∈ Fin（一）。假设现在，通过矛盾的方式，A/∈ R（C）。

在这种情况下，根据备注1.4，存在一个大于0的实数和一个递增序列（Jn；n∈ N） 在Fin（I）中，P[limn→∞Gn（T）=∞] > 0保持为gn··=Z·kdAJn（t）kdCJnJn（t），n∈ N、 对于每个N∈ N、 定理2.3再次给出了一个过程Zn∈ S（PJn）带[锌，Rj]=Aj表示所有J∈ 我们注意到，对于Ln=R·hdAJn（t），d MJn（t）idCJnJn（t），Zn=2Gn+Lnholds∈ cMlocwith【Ln，Ln】=2Gn。然后对于严格正连续半鞅··=E（Zn）∈ S（PJn），存在一个进程Xn∈ 具有属性P[Xn（T）的xs≤ Wn（T）- 1] ≤ 1/n。我们声称，得到的序列（Xn（T）；n∈ N） 未能在P-度量中得到证实，与（3.3）相矛盾，因此，市场是可行的。为了证明这一说法，可以证明（Wn（T）；n∈ N） 未能在P-测度中有界。实际上，我们注意到log Wn=log E（Zn）=Zn-[锌，锌]=Gn+Ln，n∈ Nand回想一下，[Ln，Ln]=2Gnholds f或所有n∈ N、 Dambis-Dubins-Schwarz表示（例如，[KS91，定理3.4.6和问题3.4.7]），结合布朗运动的标度特性，意味着永远∈ N在可能扩大的滤波概率空间上存在布朗运动βN，因此log Wn=Gn+√2βn（Gn）。布朗运动的强大数定律giveslimn→∞Pβn（Gn（T））Gn（T）≤ -√, limm公司→∞Gm（T）=∞= 0、由于log Wn=Gn+√2βn（Gn）对所有n保持∈ N、 我们获得了→∞P对数Wn（T）Gn（T）≤, limm公司→∞Gm（T）=∞= 0，这意味着LIMN→∞Phlog Wn（T）>llimm公司→∞Gm（T）=∞i=1全部保留l ∈ N、 这表明（Wn（T）；n∈ N） 未能在P-测度中有界，并完成参数。26康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯3.2。局部鞅的结构。在应用证明中（3）=> （2） 在OREM 3.3中，构造了一个特定的局部鞅消去器。

概括并设置下面使用的一些符号，带有MA∈ S（米） Cmlock使得[MA，Mi]=Ai，对于所有i∈ 一、 我们有E(-MA）∈ Y、 下一个结果给出了一个可行市场中所有局部鞅函数的结构，并且在w的情况下是众所周知的，这里我有有限的基数；例如，参见[Sch95，定理1]，了解等效局部鞅测度密度的相应分解（对于有限集市场，推广到局部鞅定义是很简单的）。提案3.4。假设市场是可行的，设MA=R·hdA（t），dM（t）idC（t）是S（M）中的唯一连续局部鞅，其中[MA，Mi]=Ai，i∈ 一、 然后，局部鞅微分的集合Y正好包含形式Y=E的过程Y(-MA）E（L）=E(-MA+L），其中L∈ Mlocis使得L（0）=0，L>-1，且对于所有i，[L，Mi]=0∈ 一、 证明。我们投射了一个任意的严格正局部鞅Y，形式为Y=E（MF+L）=E（MF）E（L），其中F∈ R（C），其中L是L（0）=0的局部鞅，L>-1，且对于所有i，[L，Mi]=0∈ 一、 根据约尔公式，我们得到Si=E（MF+L）Si（0）E（Ri）=Si（0）E（MF+L+Mi+Ai+Fi），I∈ 一、 自【L，Ri】≡ 0和[MF，Ri]=Fi，因此也包括MF+L+Ri+[MF+L，Ri]=MF+L+Ri+Fi=MF+L+Mi+Ai+Fi。我们推导出Y是所有i的局部鞅∈ I当且仅当Ai+Fi=0适用于ALI∈ 一、 即F=-A、 结束论点。3.3. 一般财富消费过程。假设市场是可行的。假设定理3.3中P的半鞅性质，可以用一般的随机积分来定义财富过程。将X定义为所有非负过程X+Z的集合，其中X∈ R+和Z∈ S（P）。

因为市场生存能力等同于结构条件a∈ 命题2.2中的R（C）意味着X处的th与f ormx+R·hdF（t），dP（t）idC（t）=X+R·hdF（t），dA（t）idC（t）+R·hdF（t），dP（t）idM（t）的所有非负过程一致，其中X∈ R+和F∈ R（C）。事实上，为了将来的参考，让我们定义（3.6）Xx，F，K·=x+Z·hdF（t），dP（t）idC（t）- K、 x个∈ R、 F级∈ R（C），K∈ FV公司.解释财富过程，其中K是总资本提取流。我们只需写Xx，Ffor Xx，F，0，即不存在资本提取流程时。使用此符号，X=Xx，F≥ 0 | x∈ R+，F∈ R（C）.无限维随机积分与数学金融27在当前的金融环境中，关于R（C）isin阶被积函数解释的一点注记。（3.1）中的可预测过程θ表示在每个资产中持有的头寸，被积函数的分量F=（Fi；i∈ （一）∈ （3.6）中的R（C）解释了所得财富过程与个人资产的总协变量。有人可能会说，作为一种输入，协变量与位置一样自然（甚至比位置更合适）：人们通常关心投资对资产价格变动的敏感性，而这正是R（C）中被积函数的编码。3.4. 可选分解。具有“统一”（局部鞅测度或局部鞅定义，如此处所示）Doob-Meyer分解的特点，可选分解定理在数学金融的发展中至关重要，尤其是在§3.5后面讨论的对冲对偶的背景下。关于有限个It^o过程积分器的最早贡献是[EKQ95]，后来在[Kra96]、[FK97]中推广为一般半鞅积分器。

本文[SY98]讨论的是局部鞅定义，而不是局部鞅测度。我们将在定理3.6中给出一个固定资产的概括。我们从一个相对简单的观察开始。引理3.5。假设市场是可行的。对于任何x∈ R和F∈ R（C），我们有(-MA）Xx，对于某些H，F=x+mH∈ R（C）。证据自E起(-MA）- 1 = -R·E(-MA）（t）dMA（t）∈ S（M）和S（M）是等距toR（C），它可以表示E(-MA）X0，F∈ S（M）。由于[MA，X0，F][MA，MF]=R·hdA（t），dF（t）idC（t），我们得到E类(-MA），X0，F= -Z·E(-MA）（t）dMA，MF（t） ，并通过给定的部件进行集成(-MA）X0，F=-Z·X0，F（t）E(-MA）（t）dMA（t）+Z·E(-MA）（t）dMF（t），这表明(-MA）X0，F∈ S（M）。让Y∈ Y、 并写入Y=E(-MA）E（L）如提案3.4所示。然后，根据引理3.5，对于任何x∈ R和F∈ R（C）对于一些H，我们有Y Xx，F=E（L）（x+MH）∈ R（C），并且由于[L，MH]=0，我们得到Y Xx，F∈ Mloc。因为过程K=Z·K（t-)dY（t）+Z·Y（t）dK（t）显然是所有K的局部子鞅∈ FV公司, 我们进一步得到Y，Xx，F，Kis是所有x的局部超鞅∈ R、 F级∈ R（C）和K∈ FV公司. 此外，给定Y∈ Y、 x个∈ R、 F级∈ R（C）和K∈ FV公司, Y Xx，F，Kis是局部鞅当且仅当K≡ 0.28 CONSTANTINOS KARDARASTheorem 3.6（可选分解）。假设Y 6=, 设X是X（0）=X的非负随机过程∈ R+。然后，下列语句是等价的：（1）Y X是所有Y的局部上鞅∈ Y、 （2）对于某些F，它认为X=Xx，F，K∈ R（C）和K∈ FV公司.在上述任何等效条件下，F=（[X，Pi]；i∈ （一）∈ R（C）。证据含义（2）=> （1） 在定理3.6的陈述之前已经讨论过。蕴涵的证明（1）=> （2） 主要遵循[KK15]的发展，但我们提供了一些不同的论点，简要地解释了步骤。假设条件（1），并设置F=（[X，Pi]；i∈ （一）∈ cFVI。

根据提案2.2，F∈ R（C）；那么，由于Y 6= 暗示到∈ R（C）通过定理3.3，我们从定理2.3中得到了唯一Z的存在性∈ S（P）【Z，Pi】=Fi，对于所有i∈ 一、 从以上过程K··=Z+x确定局部约束EDP-十、 然后得出[K，Mi]=[K，Pi]=[Z，Pi]-[X，Pi]=Fi- Fi=所有i保持0∈ 一、 FurThermore的陈述（1）和引理3.5之后的讨论表明，Y K是所有Y的局部子鞅∈ Y、 我们需要证明K∈ FV公司.等效地，定义（3.7）B··=Z·E(-MA）（t）dK（t）=E(-MA）K+Z·K（t-)E类(-MA）（t-)dMA（t），其中[K，MA]=0的事实用于获得右侧等式，我们需要显示B∈ FV公司.因为K是局部子鞅，对于所有i，[K，Mi]=0∈ 一、 因此，对于所有I，[B，Mi]=0的a局部子鞅是B∈ 一、 特别是，如果N∈ cmloc表示B的唯一定义的连续局部鞅部分，对于所有i，[n，Mi]=0∈ 一、 andB-N是局部子鞅，在[L，B]的意义上，它是一个纯不连续的-N] =0所有L保持∈ cMloc。因为Y K是所有Y的局部子鞅∈ Y、 按部件和（3.7）进行集成，使用E(-mN）E(-MA）∈ Y和[N，Mi]=0表示所有i∈ 一、 给出了进程E(-mN）B是所有m的局部子鞅∈ N、 同样，使用部件积分和[B，N]=[N，N]这一事实，我们得到(-mN）B=-mZ·E(-mN）（t-)B（t-)dN（t）+Z·E(-mN）（t-)d（B（t）- 因为上述过程是所有m的局部子鞅∈ N、 下面是B- m[N，N]是所有m的局部上鞅∈ N、 只有当N=0，即N=0时，这才可能发生。因此，对于所有L，[L，B]=0∈ cMloc和LB是所有纯间断局部鞅L的局部子鞅，其中L>- 1.

直接应用[KK15，引理2.1]，我们得到B实际上必须是非减量的，即B∈ FV公司, 这就完成了辩论。无限维随机积分与数学金融29备注3.7。假设Y 6=, 设X是X（0）=X的随机过程∈ 从下方局部有界的R。下面的陈述是等价的：（1）Y X是所有Y的局部鞅∈ Y、 （2）对于某些F，它认为X=Xx，F∈ R（C）。实际上，含义（2）=> （1） 在定理3.6的陈述之前进行了讨论。假设条件（1），并且由于局部可积f的局部鞅是局部超鞅，定理3.6给出了某些f的X=Xx，f，Kholds∈ R（C）和K∈ FV公司.同样，条件（1）和定理3.6陈述之前的讨论意味着k=0，条件（2）紧随其后。3.5. 套期保值。我们假设市场是可行的，允许使用§3.3中解释的财富消费过程。财富消费过程X≡ Xx，F，G，代表x∈ R+，F∈ R（C）和G∈ FV公司据说是对冲给定的K∈ FV公司如果X≥ K持有；此外，如果X，则此类X将被称为K的最小对冲≤ 只要Z是K.I f Xx，f，G，x的任何其他对冲，Z就保持不变∈ R+，F∈ R（C）和G∈ FV公司是K的树篱∈ FV公司, 然后在“纯财富”过程中，金融机构也必然进行对冲；然而，对K的最小对冲也可能涉及资本撤出。根据上述理解，并根据（3.2）确定套期保值价值（3.8）x（K）··=infx>0|F∈ R（C）带Xx，F≥ K, K∈ FV公司.自Xs起 十、 X（K）≤ xs（K）适用于所有K∈ FV公司. 如（3.4）、（3.9）supY的证明∈YE公司Z∞Y（t）dK（t）≤ x（K），K∈ FV公司持有。在p关节中，x（K）=0表示K∈ FV公司暗示K≡ 0，这似乎是市场生存能力的有力条件。

因此，x（K）=0当且仅当xs（K）=0；然而，构建K的示例是一种很好的方法∈ FV公司其中严格不等式x（K）<xs（K）有效。下一个辅助结果可以是（3.8）的“动态”版本。引理3.8。设X为K的任意对冲∈ FV公司. 然后，它认为（3.10）K（s）+ess supY∈YE“Z（s，∞)Y（t）Y（s）dK（t）F（s）#≤ X（s），s∈ R+。证据修复s∈ R+。对于任何Y∈ Y和任何停止时间T≥ s、 Y（T）X（T）≥ Y（T）K（T）=Y（s）K（s）+ZTsY（T）dK（T）+ZTsK（T-)dY（t）。30 CONSTANTINOS-KARDARASA标准局部化论点应用于局部鞅K（t-)dY（t）与单调收敛定理结合，并利用Y X，givesY（s）X（s）的上鞅性质≥ Y（s）K（s）+EZ∞sY（t）dK（t）F（s）.在最后一个等式中始终与Y（s）分开，然后在所有Y上取得基本的优先权∈ Y、 （3.10）如下。下一个结果特别表明，（3.9）中的不等式是一个实际的等式。定理3.9（对冲对偶性）。假设市场在定义3.1的意义上是可行的。然后，它认为（3.11）x（K）=supY∈YE公司Z∞Y（t）dK（t）, K∈ FV公司.此外，如果x（K）<∞ 对于K∈ FV公司, 当X（0）=X（K）时，K存在最小X对冲；对于这个最小对冲X，它认为（3.12）X（s）=K（s）+ess supY∈YE“Z（s，∞)Y（t）Y（s）dK（t）F（s）#，s∈ R+。证据考虑到可选分解定理3.6的有效性，该结果的证明是标准的，我们仅对其进行了概述。设z（K）为（3.11）右侧的数量，因此z（K）≤ x（K）保持K∈ FV公司根据（3.9）。如果z（K）=∞, （3.11）基本满足。假设z（K）<∞, 定义s的Z（s）∈ R+为（3.12）的右侧。注意Z（0）=Z（K）。

例如，根据[Kra96，命题4.3]中的论点（将局部鞅密度替换为局部鞅密度），每年∈ Y、 Y~Z是具有右连续期望的超鞅；特别是，由于Y 6=,Z允许右连续修改，我们仍然用Z表示。然后，根据可选分解定理3.6，存在F∈ R（C）和G∈ FV公司这样xz（K），F，G=Z≥ K、 特别是x（K）≤ z（K），这意味着x（K）=z（K）。更一般地说，Z是K的对冲，由于K的任何对冲都必须比Z大（3.10），我们得到Z是最小对冲，并且（3.12）如下。3.6. 完整性。我们假设这个市场是可行的。我们解释一对（T，g），当∈ R+和g∈ L+（F（T））（即g是一个非负F（T）-可测量的随机变量，作为欧洲未定权益，其中g的支付将在到期日T时收集。任何此类对（T，g）可与负债流g1[T，∞), 其中x（g1[T，∞)) 其对冲资本。更准确地说，作为定理3.9的推论，我们有x（g1[T，∞)) = 苏比∈YE[Y（T）g]；无限维随机积分与数学金融≡ x（g1[T，∞)) < ∞, 存在最小对冲，即财富消耗过程X≡ Xx，F，g使X（T）≥ g、 这也是最小的拥有这个属性。作为下一定义的一部分，给定的财富过程X∈ X将被称为最大atT∈ R+if，无论何时Z∈ X为Z（0）=X（0）和X（T）≤ Z（T），它实际上保持X（T）=Z（T）。定义3.10。一个可行的市场将被称为完整的，如果∈ R+和g∈L+（F（T））是xg1[T，∞)< ∞, 然后存在X∈ 定义3.10中的最大值是为了避免使用自杀策略来复制未定权益。

这相当于要求复制有界未定权益的财富过程应该有界，这出现在完整性的“经典”定义中。下一个结果，通常被称为“第二基础理论”（second-fundamentaltheorem），它的重要性至少可以追溯到[HP81]。定理3.11。假设市场是可行的。那么，市场是完整的，如果且仅如果存在唯一的局部鞅deflicator。证据首先假设存在唯一的局部鞅定义：Y={Y}。让T∈ R+和g∈ L+（F（T））为x≡ x（g1[T，∞)) < ∞. 根据定理3.9，x=E[Y（T）g]。通过n（t）=E[Y（t）g | F（t）]定义所有t的非负鞅n∈ [0，T]。由于Y={Y}，从定理3.9可以看出，与g1[T]相关的最小对冲X，∞)满足度Y X=N。由于Y={Y}，N是（局部）鞅，注释3.7暗示X∈ 十、 我们声称X是最大的：事实上，如果Z∈ X满意度Z（0）=X=X（0）和X（T）≤ Z（T），然后E[Y（T）Z（T）]≤ Y（0）Z（0）=x=E[Y（T）x（T）]，与Y（T）>0结合，给出x（T）=Z（T）。自T起∈ R+和g∈ L+（F（T））与x（g1[T，∞)) < ∞ 是任意的，市场完整性如下。现在假设市场（可行且）完整。通过自相矛盾的方式，假设存在多个局部鞅消元。根据命题3.4，存在>0和L∈ 对于所有i，当P[L（T）=0]<1且[L，Mi]=0时，Mloc∈ 一、 这是一种直接的检查，我们可以额外假设L s为| L |≤ 1/2. 定义（g）∈ 通过g··=（1/2+L（T））/E的L+（F（T））(-MA）（T）。注意（3.13）EY（T）Y（s）gF（s）≤Y（s）EY（T）E(-MA）（T）F（s）≤E类(-MA）（s），s∈ [0，T]，Y∈ Y、 从提案3.4开始，如下所示(-MA）是非负局部鞅。特别是x≡ x（g1[T，∞)) ≤ 1 < ∞. 让X∈ X是[0，T]过程中的最大值，使得X（T）=g。

此外，设Z是g1[T]的最小对冲，∞). 因为Z（0）=x≤ X（0）32 CONSTANTINOS KARDARASholds根据对冲价值的定义和定理3.6，以及Z（T）=g=X（T），X的最大值意味着X=Z，即X必然是g1[T]的最大对冲，∞).使用（3.13），Th eorem（3.6）表示X≤ 1/E(-MA）。设置N=E(-MA）X，注意N（T）=1/2+L（T），N是[0，T]上的非负有界局部鞅，即实际鞅。此外，从引理3.5来看，N=x+mh对H保持不变∈ R（C）。因为L也是鞅，所以N（t）=1/2+L（t）对所有t都成立∈ [0，T]。这意味着[L，L]=MH，L≡ 0，这导致L≡ 0，产生矛盾。我们得出结论（1）=> （2） 是有效的。考虑一个可行且完整的市场。在定理3.11的证明过程中，证明了欧洲未定权益的最小对冲不涉及资本撤出。事实上，这也是与任何K相关的最小对冲的情况∈ FV公司这样x（K）=EZ∞Y（t）dK（t）< ∞,其中，根据定理3.11，Y是唯一的局部鞅定义。事实上，根据（3.12），最小对冲K满意度的过程X（3.14）Y（s）X（s）=Y（s）K（s）+E“Z（s），∞)Y（t）dK（t）F（s）#，s∈ R+。自流程Y K-R·Y（t）dK（t）Y K=R·K（t-)dY（t）是局部鞅，从（3.14）可以看出Y X也是局部鞅。鉴于备注3.7，流程X（其主要对冲K）在没有任何资本提取的情况下进行对冲。3.7. 例如：Heath Jarrow Morton模型。我们现在将指数集I设为非负实数线R+，对应于零息债券的所有可能到期日，即到期时支付单一货币单位的工具。我们将在此类市场的背景下，说明我们迄今为止发展的理论。

我们首先将自己置于希思·贾罗·莫顿的零息票债券价格框架中。为了说明这一背景，让我们看一下时间t的价格∈ 到期日为T>T的债券的零耦合的R+。其思想是明确建模远期利率的演变，远期利率正式从债券价格viaf（T；T）获得= logePT（T；T），0≤ t型≤ T<∞.特别是r（t）≡ f（t；t）表示t∈ R+表示在极小区间（t，t+dt）内的瞬时短期利率。因此，根据惯例f（s；t）=f（t；t）=R（t）无限维随机积分和数学金融330≤ t型≤ s<∞, 贴现零息票债券价格应等于（t；t）=exp-Ztr（u）dueP（t；t）=经验-Ztr（u）du经验值-ZTtf（t；u）du= 经验值-ZTf（t；u）du, t型∈ R+。我们注意到，即使t>t，上述定义也延长了债券价格P（t；t）的“寿命”，在这种情况下，P（t；t）=P（t；t）成立。无需实际担忧：在时间T后投资于以价格P（·；T）表示的模型T债券不会产生任何结果（因为实际上债券在到期后不再存在）。一些规范定义是必要的。考虑集合W≡ （Wλ；λ∈ 当指数集∧最多是可数的时，独立布朗运动的∧）。我们回忆起备注1.6中的随机RKHS设置，它是为匹配此处使用的独立dentBrownian运动的可数集合而定制的。根据此设置，我们表示为l≡ l∧由所有序列y=（yλ；λ）组成的希尔伯特空间∈ ∧）的性质为λ∈∧yλ|<∞, 和内积h·，·il定义viahy，zil=Xλ∈∧ylzl, y=（yλ；λ∈ Λ) ∈ l, z=（zλ；λ∈ Λ) ∈ l.我们现在假设远期利率的动态。

B（R+）表示Borelσ-代数R+，P表示可预测的σ-代数Ohm ×R+，考虑函数f（0；·）：R+→R、 κ：Ohm ×R+×R+→ R、 以及σ：Ohm ×R+×R+→ l具有以下性质：of（0；·）是B（R+）可测量的，而rt | f（0；u）| du<∞ 适用于所有T∈ R+.o随机场κ和σ为P B（R+）-可测量，且每当0时满足κ（t；u）=0和σ（t；u）=0≤ u<t，以及P-a.e.，Zt|κ（s；t）|+kσ（s；t）kldsdt<∞, T∈ R+。在上述条件下，可以定义一个联合测量的随机场f：Ohm ×R+×R+→ R、 使得（3.15）f（·；T）=f（0；T）+Z·κ（T，T）dt+Z·hσ（T，T），dW（T）il适用于所有T∈ R+。注意，对κ和σ的假设意味着f（t；s）=f（s；s）在0时成立≤ s≤ t<∞.我们引入了贴现国债价格过程ESP（·；T）··=exp-ZTf（·；u）du, T∈ R+，34 CONSTANTINOS KARDARASin与本小节开头的讨论一致。由此定义的连续半鞅PT（·）≡ P（·；T），由索引集I中的成熟度参数T索引≡ R+，是由此产生的债券市场中的资产价格。在给定假设的情况下，随机Fubini理论适用，导致分解对数P（·；T）=-ZTf（0；u）du-Z·κ*（t；t）d t-Z·hσ*（t；t），dW（t）il,其中过程κ*（·；T）和σ*（·；T）通过（3.16）κ定义*（·；T）=ZTκ（·；u）du，σ*（·；T）=ZTσ（·；u）du，T∈ R+。因此，我们有P（0；T）=exp-RTf（0；u）du定义C（·；S，T）··=hσ*（·；S），σ*（·；T）il, （S、T）∈ R+×R+以及（3.17）α（·；T）··=-κ*（·；T）+kσ*（·；T）kl, T∈ R+，则P（·；T）=P（0；T）EZ·α（t；t）dt-Z·hσ*（t；t），dW（t）il备注1.5的设置适用于此处。实际上，O（t）=Leb（t）=t，t∈ R+，Lebesgueclock，映射T 7→ σ*（ω，t；t）∈ l对于（P×Leb）-a.e.是连续的。

（ω，t）∈ Ohm ×R+。那么，当且仅当（3.17）满足P-a.e.，（3.18）ZTkα（t；r+）kc（t；r+，r+）dt<∞, T∈ R+。这正是当前设置中的结构条件（3.5）。检查所有进程P（·；T），T∈ R+是局部鞅if，an donly if，对于每T∈ （3.15）、（3.16）中的动力学满足以下条件：（3.19）κ（·；T）=hσ（·；T），σ*（·；T）il, （P Leb）-a.e.上述过程κ和σ之间的关系（3.19）描述了（3.15）中远期利率的动态，构成了所谓的Heath-Jarrow-Morton漂移限制。[HJM92]在经典框架内，通过假设存在一个等价的局部鞅测度，并表达模型在该测度下的动力学，证明了这一点。当然，要求（3.18）仍然会产生一个可行的市场，并且弱于（3.19），后者相当于要求α≡ 0英寸（3.17）。例如，参见[Ver12]；虽然在[Ver12]中使用了一个布朗运动（实际上是连续局部鞅），但对具有l-这里使用的标准很简单。无限维随机积分和数学金融35附录A.再生核希尔伯特空间我们在这里记录了再生核希尔伯特空间理论的某些元素（在续集中缩写为rkHs）。我们采用从givenkernel开始定义RKH的方法，而不是从给定的RKH获取内核。根据Moore-Aronszajn定理，这两种观点是等价的；参见[Aro50]。关于rkHs理论，有很多可以参考的地方；例如，[BTA03]和[PR16]。下面的讨论将在固定的环境中进行。

我们考虑一个任意非空指数集I，并使用Fin（I）（resp.，Cou（I））表示具有有限基数（resp.，至多可数）的I的所有n个空子集的集合。就附录A而言，我们将采用c≡ cII公司∈ RI×Ito是I上的核，即：对称：cij=cjiholds for（I，j）∈ I×I；和o正定义：P（i，j）∈J×JθicijθJ≥ 0适用于任何J∈ Fin（I）和（θI；I）∈ J）∈ RJ。我们将使用下标来说明具有包含原始子集的域的函数的参数；例如，我们应该为（i，j）写cijin而不是c（i，j）∈ I×I.A.1。有限维rkHs。首先，我们考虑一个非空的指数集I。在这种情况下，尽管有点滥用符号，我们也将c视为RIvia配方RI上的线性转换 （θj；j∈ （一）≡ θ 7-→ cθ≡Pj公司∈IθjcIj∈ R（c） 国际扶轮社。虽然人们可能认为c是一个对称的正定义矩阵，但我们将使所有随后的定义与后来发展的有限维设置一致。Let R（c） RIdenote“列”函数{cIj | j的线性跨度∈ 一} ，其中我们设置（A.1）cIj··=（cIj；I∈ （一）∈ RI，j∈ 一、 实际上，R（c）是c的图像。我们引入双线性形式h·，·ic:R（c）×R（c）→ R通孔（A.2）hf，hic··=X（i，j）∈I×Iθicijηj，对于f≡Xj公司∈IθjcIj=cθ，h≡Xj公司∈IηjcIj=cη。使用上述符号，请注意标识SPI∈Iθihi=hf，hic=Pi∈Iηifi，我认为hf的数量不取决于R（c）中f或h的表示。很容易检查双线性形式h·，·icis是R（c）上的内积，并且具有所谓的再生核性质hcIi，f ic=fi，对于f∈ R（c）和i∈ 一、 本手册中定义的有限维内部产品空间（R（c），h·，·ic）是与c相关的RKH。

我们引入了通常的范数kf kc··=phf，ficf∈ R（c）由于（A.2）的原因；对于未来的符号一致性，定义kfkc=∞ 每当f∈ RI\\R（c）。我们用RI上的idRIthe id entity操作符表示，并定义（A.3）θf；n··=（c+（1/n）印尼盾）-1f、f∈ RI，n∈ N、 36 CONSTANTINOS KARDARASLemma A.1（广义逆）。使用上述符号，我们得到（A.4）kfkc=limn→∞↑θf；n、 f级RI，f∈ 国际扶轮社。特别是对于f∈ RI\\R（c），（A.4）的两侧等于单位；另一方面，如果f∈ R（c），我们有（A.5）f=Xj∈JθfjcIj=cθf，其中θf··=limn→∞θf；n=limn→∞（c+（1/n）印尼盾）-1f。证据设u是RI上的线性算子，相对于h·、·iri是酉的，使得c=u*du，其中u*是u的伴随，d是正对角算子。定义J··={J∈ I | djj>0}。让f∈ RI，并将f=cθ+η写入s omeθ∈ RIandη∈ RIsuch，cη=0；然后，f∈ R（c）等于η=0。我们注意到，cη=0导致（c+（1/n）idRI）-1η=nη表示所有n∈ N、 设ξnbe为ξnij=δij/（δij+N）的对角算子-1） 对于（i，j）∈ J、 对于（i，J），ξnij=0∈ 直接代数表明（c+（1/n）idRI）-1cθ=u*ξnuθh oldsfor n∈ N、 从（A.3）可以得出θf；n=u*ξnuθ+nη也适用于n∈ N、 首先考虑案例f∈ R（c），即η=0。然后，序列（ξn；n∈ N） 收敛到对角线算子ξ，对于j，ξjj=1∈ J、 对于J，ξjj=0∈ I\\J；因此θf··=limn→∞θf；n=u*ξuθ∈ 国际扶轮社。由于dξ=d，我们推导出cθf=u*弟弟*ξuθ=u*dξuθ=u*duθ=cθ=f。特别是limn→∞θf；n、 f级国际扶轮社=θf，fRI=k f kHolds。假设接下来，f∈ RI\\R（c），即η6=0。那么，limn→∞（1/n）θf；n=ηimplieslimn→∞（1/n）θf；n、 f级RI=hη，cθ+ηiRI=kηkRI>0。我们获得limn→∞θf；n、 f级RI=∞ =kfkc完成了证明。引理A.1的重要性是显而易见的。

θfin（A.5）的定义将始终确保表示f=cθf在f∈ R（c），即使c（视为RI的线性变换）不可逆。（A.3）中的限制程序不应与Tychono FF正则化混淆，后者用于获得c下f的Moore-Penrose伪逆；该程序将取代所定义的θf；nbyψf；n··=c+（1/n）idRI-1cf，forn∈ N、 然后，使用引理A.1的p屋顶的符号，limn→∞ψf；n=u*ξuθ成立，并表示limn→∞ψf；n、 f级Ri始终是一个有限的实数；但这使得我们无法识别f是否属于R（c）。A、 2。一般rkHs。现在，假设I是一个任意的非空索引集。如§A.1所述，我们考虑“列”函数{cIj | j∈ 一} 如（A.1）所示。对于任何给定J∈ Fin（I），由R（c；J）定义 Rit柱的线性跨度{cIj；j∈ J} ；与§A.1一样，我们定义了R（c；J）双线性形式h·、·ic；Jvia hf、gic；J··=P（i，J）∈J×JθicijηJ，其中f=Pj∈Jθjcij和h=Pj∈JηjcIj。因此（R（c；J），h·，·ic；J） 成为有限维内积空间。任意J的无限维随机积分与数学金融∈ Fin（I），Q∈ 带J的翅片（I） Q、 有限维希尔伯特空间R（c；Q）、h·、·ic；Q是的扩展R（c；J），h·，·ic；J. 这意味着R（c；J） R（c；Q）成立，h·，·ic；Jis h·、·ic的限制；Qon乘积空间R（c；J）×R（c；J）。我们得出在向量空间（A.6）R（c；Fin）上可以一致地定义内积h·、·Ic·=[J∈Fin（I）R（c；J） 国际扶轮社。我们还介绍了相关的范数R（c；Fin） f 7级→ kfkc··=phf，fic。

通过定义，我们再次获得了再生内核属性（A.7）hcIi，f ic=fi，f∈ R（c；Fin），i∈ 我这意味着| fi |≤ kcIikckfkc=√ciikfkc，i∈ 一、 建立了线性重估函数R（c；Fin）的连续性 f 7级-→ 金融机构∈ R、 每一个我∈ 一、 集合I不一定具有有限的基数，因此生成的内部产品空间（R（c；Fin）、h·、·ic）不需要是完整的。以下定义说明了这一事实。当定义（R（c），h·，·ic）时，与正定义核c相关的RKH，作为（A.6）中内积空间（R（c；Fin）h·，·ic）的希尔伯特空间完成，与之前的扩展内积h·，·icas相同。通常，上述完备空间R（c）与R（c；Fin）中Cauchy序列的等价类在抽象上是相同的。然而，事实证明，rkHs R（c）还有另一个非常具体和有用的描述；下文§A.4对此进行了讨论。我们注意到，对于任何Cau-chy序列（fn；n∈ N） 在R（c；Fin）中，实值序列（fni；N∈ N） R中为Cauchy；这源于求值函数的连续性，并得出极限fi··=limn→∞F每个i都存在∈ 一、 因此，空间R（c）可以并且将始终用RI的子集来识别；实际上，rkHs R（c）与Ricon的子集相一致，Ricon包含（R（c；Fin），h·，·ic）中所有Cauchy序列的点方向极限。我们从J的情况进一步扩展了R（c；J）的定义∈ Fin（I）到任意子集J的Fin（I） 一、 通过将其设置为列函数{cIj | j的线性跨度R（c）中的k·kc闭包∈ J} 。我们还观察了识别码（c）≡ R（c；I）=[J∈Cou（I）R（c；J）。事实上，集合包括∈Cou（I）R（c；J） R（c）显然是正确的。

关于反向归纳，我们注意到∈ R（c），任意R（c；Fin）值序列（fn；n∈ N） 收敛到f，和任意序列（Jn；N∈ N） 在Fin（I）中，属性为fn∈ R（c；Jn）forevery n∈ N、 我们有明确的f∈ R（c；Q），其中Q≡序号∈新泽西州∈ Cou（一）。38康斯坦丁诺斯·卡拉萨。限制和预测。对于任意J 一、 用fJ表示≡ （fi；i）∈ J）∈ RJ f的限制∈ RIto J；和cJJ≡ （cij；（i，j）∈ J×J）c对J×J引理A.2的限制。对于任意J 一、 映射R（c；J） f 7级→ fJ公司∈ R（cJJ）定义良好，是希尔伯特空间同构。证据首先，我们认为J∈ Fin（I）；则f=Pi∈JθjcIj∈ R（c；J）对（θJ；J）成立∈J）∈ RJif且仅当fJ=Pi∈JθjcJj∈ R（cJJ）；根据定义，我们还有KFKC；J=X（i，J）∈J×JθicijθJ=kfjkjjjj。任意子集的情况，在重新校正线性求值函数的连续性后，由一个简单的密度变元来证明。根据Lemm a a.2，R（cJJ） rj正好由R（c；J）元素的限制组成 RIon子集J；坐标（fi；i∈ I\\J）任何f∈ R（c；J），完全由fJ确定≡ （fi；i）∈ J） 通过核c的s结构。对于任意子集J 一、 我们用πc表示；J（f）∈ f的h·、·ic投影∈ R（c；J）上的R（c）。由于再生内核属性hcIj，f ic=fjof（A.7）适用于所有j∈ J、 和{cIj；J的线性跨度∈ J} 是R（c；J）中的密度，我们有πc；J（f）J=fj，对于所有f∈ R（c）和j∈ J、 实际上，πc；J（f）是唯一的元素h∈ R（c；J） RI，其限制hJon jc与限制fJof f f on J一致。作为上述讨论和引理a.2的结果，我们注意到fJ∈ R（cJJ）和kfjkcjj=kπc；J（f）kc≤ f的kfkchold∈ R（c），J 一、 使用索引集Q I代替I，我们获得了相等的kfJkcJJ≤ KFQKCQQQJ Q 一、 fQ公司∈ R（cQQ）。

事实上，很容易检查（A.8）f∈ RI，J Q 我==> kfJkcJJ≤ kfQkcQQ≤ k f kc。我们在这里使用的惯例是，那些不属于相应空间的元素的规范被理解为等于完整性。A、 4。rkHs的另一种描述。以下结果将用作rkHs R（c）的替代、具体特征描述及其希尔伯特空间结构的基础。该特性在下面的备注A.4中进行了阐述。引理A.3。它认为（A.9）supJ∈Fin（I）kfJkcJJ=maxQ∈Cou（I）kfQkcQQ=k f kc，f∈ 国际扶轮社。无限维随机积分与数学金融39证明。在（A.8）的强度上，我们有一组不等式（A.10）ν（f）··=supJ∈Fin（一）kfJkcJJ≤ supQ公司∈Cou（I）kfQkcQQ≤ kf kc，f∈ 国际扶轮社。Let（Jn；n∈ N） 是Fin（I）中的序列，以便limn→∞kfJnkcJnJn=ν（f）。根据（A.8），我们可以选择（Jn）n∈不减损。带R··=Sn∈新泽西州∈ Cou（I），（A.8）的不等式再次影响ν（f）≤ kfRkcRR公司≤ kf kc。如果ν（f）=∞, 然后（A.9）直接从一串不等式（A.10）开始。因此，对于其余的证明，假设ν（f）<∞. 对于每个n∈ N、 引理A.2暗示gn的存在∈ R（c；Jn） R（c），gnJn=FJN，kgnkc=KFJN。此外，形式≤ n、 由于gmJm=fJm=gnJm，§A.3中的讨论意味着gmis是gnon R（c；Jm）的h·、·ic投影；因此，kgn- gmkc=kgnkc-kgmkc=k Fjnkcjn-Kfjmkjmjm。Giventhat limn公司→∞kfJnkcJnJn=ν（f）<∞, 因此（gn；n∈ N） 是（R（c），h·，·ic）中的柯西序列；我们用g表示它的极限∈ R（c），注意kgkc=ν（f）。我们声称g=f；一旦确定了这一点，（A.9）将遵循不等式ν（f）≤ kfRkcRR公司≤KFKC已经讨论过。我们继续显示g=f。

我们固定任意指数i∈ 一、 并遵循上一段的论证，使用集合Jn∪ {i} 代替Jn，沿途获得新的Cauchy序列（hn；n∈ N） 代替（gn；N∈ N） ，以及新的极限h∈ R（c）代替g∈ R（c）。注意，我们仍然有khkc=ν（f）。自从我∈ Jn公司∪ {i} ，我们注意到Hni=所有n的fiholds∈ N因为R（c）中的求值函数是连续的，所以这就给出了hi=fi。此外，对于每m≤ n、 gm是hnon R（c；Jm）的h·、·ic投影。这意味着gm是h在R（c；Jm）上的h·，·ic投影，对于每m∈ N因此，将h在R（c；R）上的h·、·ic投影转化为gis。但由于kgk=k hk，我们有g=h，这意味着gi=hi=fi。自从我∈ I是任意的，我们得到g=f，从而得出证明。备注A.4。引理A.3的直接等式是任意元素f的下列语句的等价性∈ RI：（1）f∈ R（c）。（2） fQ公司∈ R（cQQ）每Q∈ Cou（一）。（3） fJ公司∈ R（cJJ）每J∈ Fin（I）和supJ∈Fin（一）kfJkcJJ<∞.引理A.3的另一个重要方面是，它提供了空间R（c）的另一个特征 RIA及其内部产品结构。为了表示这种扩展，我们定义了νc（f；J）··=limn→∞↑qhfJ，（cJJ+（1/n）idRJ）-1fJiRJ，f∈ RI，J∈ 如§A.1中所述，通过与（A.4）的类比，设置（A.11）νc（f）··=supJ∈鳍（I）νc（f；J），f∈ 国际扶轮社。40 CONSTANTINOS KARDARASA（A.4）和引理A.3的组合导致识别R（c）=f∈ RI |νc（f）<∞, νc（·）=k·kc，分别适用于rkHs R（c）和（A.11）的范数。

然后可以通过极化回收内积h·、·Ic，即hf、gic·=（νc（f+g））+（νc（f- g） （）, （f，g）∈ RI×RI。上述构造构成了一个非常直接的过程，性质上是代数和限制的，用于获得rkHs R（c）；它不涉及任何抽象完成。该方法在第1节中用于定义这些概念的随机对应项。A、 5。rkHs中元素的连续性。当索引集I带有拓扑时，研究R（c）元素的连续性是很有意义的，因为这些元素尤其是函数空间RI的元素。显然，R（c）的所有元素连续的一个必要条件是“列”函数cIj的连续性≡ （cij；i）∈ （一）∈ R（c），代表everyj∈ 一、 事实上，下一个结果表明，不需要更多。引理A.5。假设我被赋予了拓扑，并假设：ocIj≡ （cij；i）∈ （一）∈ R（c）是连续的，对于每个j∈ 一、 o映射I j 7→ cjj公司∈ R是局部有界的：对于每个i∈ 一、 存在开放邻域J（I） I与supj∈J（i）cjj<∞.那么，R（c）中的所有元素都是连续的。证据函数cIjis对于每个j是连续的∈ 一、 表示R（c；Fin）的所有元素都是连续的。修复f∈ R（c），i∈ I和a网（Iλ；λ∈ ∧）在I中，其中∧是一个有向集，收敛于toi。修复开放邻域J（i） 我这样认为l（i） ··=supj∈J（一）√cjj<∞. 考虑一个序列（fn；n∈ N） 在R（c；Fin）中，使limn→∞kfn公司- f kc=0。对于k∈ N、 让nk∈ Nbe足够大，以便kfnk- f kc≤ （4kl（i） （）-1保持。然后，选择uk∈ 性质为iλ的∧∈ J（i）和| fnkiλ- fnki |≤ （2k）-1在λ时保持≥ uk，观察| fiλ- fi |≤ |fiλ- fnkiλ|+| fnkiλ- fnki |+| fnki- 金融机构|≤√ciλiλ+√cii公司kfnk公司- f kc+| fnkiλ- fnki |≤ 1/k对于所有λ≥ uk。由此得出（fiλ；λ∈ ∧）收敛到fi，完成参数。备注A.6。

除了引理A.5的假设之外，假设存在I的可数稠密子集Q。使用§A.2和§A.3中的符号，每当f∈ R（c）和G∈ R（c；Q）是πc；Q（f）=g，在这种情况下，我们有f=g；这是因为f和有限维随机积分和数学金融41g都是连续的，fQ=gQ，Q在I中是稠密的。因此，R（c）=R（c；Q），也就是说，R（c）与R（cQQ）是希尔伯特同构的，而kfkc=kfqqq对所有f都成立∈ R（c）。参考文献[AB06]Charalambos D.Aliprantis和Kim C.Border，《有限维分析》，第三版，柏林斯普林格，2006年，《搭便车者指南》[Aro50]Nachman Aronszajn，《再生核理论》，Trans。美国。数学Soc。68 (1950), 337–404.托马斯比约克、乔瓦尼·迪·马西、尤里·卡巴诺夫和沃尔夫冈·隆格尔迪耶，致力于建立债券市场的一般理论，金融斯托克。1（1997），第2号，141-174。Alain Berlinet和Christine Thomas Agnan，《概率统计中的再生核hilbert空间》，Springer US，2003年。【CKT16】Christa Cuchiero、Irene Klein和Josef Teichman，《大型金融市场资产定价基本定理的新视角》，理论Probab。附录l.60（2016），第4、561–579号。【CS05】Alexander Cherny和Albert Shiryaev，关于达到可积性的完整性和可预测性标准的随机积分，S’eminaire de Probabilit’es XXXVIII，数学笔记讲座。，第1857卷，柏林斯普林格，2005年，第165-185页。【CT06】Ren\'e A.Carmona和Michael R。Tehranchi，《利率模型：有限维随机分析视角》，Springer Finan ce，Springer Verlag，柏林，2006年。【DDGP05】Marzia De Donno、Paolo Guasoni和Maurizio Pratelli，《大型金融市场中的超级复制和效用最大化》，随机过程。应用程序。115（2005）号。

12, 2006–2022.[DPZ14]Giuseppe Da Prato和Jerzy Zabczy k，《有限维随机方程》，第二版，《数学百科全书及其应用》，第152卷，剑桥大学出版社，剑桥，2014年。Freddy Delbaen和Walter Schachermayer，资产定价基本定理的一般版本，数学。安。300（1994），第3463-520号。[E79]Michel'Emery，《半鞅空间地形学》，S'eminaire de Probabilit'es，XIII（斯特拉斯堡大学，1977/78），数学讲稿。，第721卷，柏林斯普林格，1979年，第260-280页。[EKQ95]Nicole El Karoui和Marie Claire Quenez，《不完全市场中的意外成本的动态规划和定价》，暹罗J.Control Optim。33（1995），第1期，第29-66页。Hans F¨ollmer和Dmitry Kramkov，《约束下的可选分解》，Probab。《理论相关领域109》（1997），第1、1-25号。[HJM92]David Heath、R obert Jarrow和Andrew Morton，《债券定价和利率期限结构：未定权益估价的新方法》，Econometrica 60（1992），第1期，77–105。[HP81]J.Michael Harrison和Stanley R.Pliska，《连续交易理论中的鞅和随机积分》，随机过程。应用程序。11（1981），第3号，215-260。[Kab97]尤里·卡巴诺夫，关于Kreps Delbaen Schachermayer的FTAP，《随机过程的统计与控制》（莫斯科，1995/1996），世界科学杂志。出版物。，《River Edge》，新泽西州，1997年，第191-203页。[Kar10]康斯坦丁诺斯·卡达拉斯，《有限可加概率与资产定价基本定理》，当代定量金融，斯普林格，柏林，2010年，第19-34页。【KK94】尤里·卡巴诺夫和德米特里·克拉姆科夫，《大型金融市场：渐进套利和连续性》，Teor。Veroyatnost公司。我是Primenen。39（1994），第1期，222–229.42 CONSTANTINOS KARDARAS【KK98】，大型金融市场中的渐进套利，金融斯托克。2（1998），无。

2, 143–172.【KK07】Ioannis Karatzas和Constantinos Kardaras，半鞅金融模型中的num’eraire投资组合，金融Stoch。11（2007），第447–493号。[KK15]，任意过滤条件下连续半鞅的可选分解，电子。公社。概率。20（2015）第59、10号。【KKS16】尤里·卡巴诺夫（YuriKabanov）、康斯坦丁诺斯·卡达拉斯（Constantinos Kardaras）和宋士奇（Shiqi Song），《第一类无套利和局部鞅数》（No Arbigation of the First Kinds and localmartingale num'eraires），金融斯托克（Finance Stoch）。20（2016），第4号，1097–1108。[KP11]Constantinos Kardaras和Eckhard Platen，关于贴现资产定价过程的半鞅性质，随机过程。应用程序。121（2011），第11、2678–2691号。[Kra96]Dmitry Kramkov，《不完全证券市场中的超级鞅和对冲未定权益的可选分解》，Probab。理论相关领域105（1996），第4期，459–479。【KS91】Ioannis Karatzas和Steven E.Shreve，《布朗运动和随机微积分》，第二版，《数学研究生教材》，第113卷，Springer Verlag，纽约，1991年。[KS99]Dmitry Kramkov和Walter Schachermayer，《效用函数的渐近弹性与不完全市场中的最优投资》，Ann。应用程序。概率。9（1999），第3904-950号。[KS03]，不完全市场最优投资问题的必要条件和充分条件，Ann。应用程序。概率。13（2003），第4期，1504-1516年。Michel M'etivier，《半鞅》，《德格鲁伊特数学研究》，第2卷，Walter de Gruyter&Co.，柏林-纽约，1982年，随机过程课程。【Mos15】Oleksii Mostovyi，《中间消费最优投资问题的必要和充分条件》，金融学。19（2015），第1号，135–159。【MR98】Remigijus Mikulevicius和Boris L.Rozovskii，《拓扑向量空间中的规范化随机积分》，S’eminaire de Probabilit’es，XXXII，《数学课堂讲稿》。，第1686卷，施普林格，柏林，1998年，pp。