第 九 章  時間序列分析


第 一 節   前言

通常我們所面臨的決策中，時間往往是一個重要的變數。管理者作預測時，亦常以過去的歷史資料(historical data)為依據，預測將來的銷售量、國民生產毛額、股價的變動以及人口成長等變數。過去的歷史資料，我們稱之為時間序列(time series)。更明確的定義，時間序列是一群統計資料，依其發生時間的先後順序排成的序列。例如，某高地每日的平均溫度、某盆地的每月降雨量、股票市場中每天的收盤價格、某型電視機每年的產量，以及歷年來國民所得與出口總額等，是每年或一段較長時間一直重覆出現的資料，其皆為時間序列。

對時間序列之研究，稱為時間序列分析。時間序列的資料往往不能以迴歸分析的方法來建立模型加以分析，因為迴歸分析想要建立的是因果模型。而時間序列中之各觀測值間通常都存在相關性，時間相隔越短之兩觀測值，其相關性越大，時間序列並不滿足所謂”各觀測值為獨立”的必要假設。因此，時間序列分析和其他傳統分析不同的是，它不需藉助預測變數，僅依照變數本身過去的資料所存在的變異型態來建立模型。

現代的商業和經濟活動，本質上是動態的，而且是多變化的。如何對未來做一可靠的預測，乃為近代各企業組織最重視的課題之一。欲以時間序列預測未來，須對以往若干時日連續不斷所產生的時間序列，加以詳細的分析，以明瞭其變動的趨勢。


第 二 節  時間序列的成分

為分析時間序列資料的模式或趨勢，通常須先了解時間序列資料的組合成份(component)。通常將時間序列寫成 ，其中t=0，1，2…為下標代表時間；並以時間為橫軸，將各時點的觀測值描繪出，如此或可大略瞭解該變數隨著時間而變動的趨勢。一般皆視時間序列由下列4個成份所構成，即﹕長期趨勢(long-term trend)、季節變動(seasonal variation)、循環變動(cyclical fluctuation)及不規則變動(irregular fluctuation)。特將此四個成份涵意進一步詳述如下﹕

1、        長期趨勢—時間序列依時間進行而逐漸增加或減少的長期變化之趨勢。時間序列在一較長的時間內，往往會呈現出不變、遞增或遞減的趨向。此趨勢可肇因於長期人口的逐漸改變、GNP，科技的進步或消費者的結構等結果。如可支配收入、銀行儲蓄存款及貨幣供給額每年均隨時間而成長。然而，並非所有時間序列資料均有向上的趨勢。如：每年死亡率，因為醫療技術的進步及生活水準的提高而有長期向下的趨勢。值得一提的是，幾乎所有產品在整個生命週期均經過不同的長期趨勢；在各時間點卻有不同的銷售趨勢，如：在產品初期具有向上趨勢；產品成長期加速向上趨勢；產品成熟期緩慢成長；產品末期呈向下趨勢。當分析時間序列資料時，通常將長期趨勢分離主要有下列兩個原因：趨勢本身即有興趣，因會使未來的映象更為明確；另外，也可使其他三個因素之影響更為凸出。長期趨勢一般以T表示。

2、        季節變動--時間序列之季節變動係指一年中或固定時間內，呈現固定的規則變動。季節變動發生的原因，主要由於受到季節的影響與習俗的形成。例如，電風扇與冷氣機在夏季的銷售量多而冬季少﹔一天的交通流量在上下班時間出現高峰，而其餘時間流量較為穩定；耶誕節前玩具之銷售量增加；暑假旅遊活動增加…等等。季節變動分析之重要性在於規劃生產量及預測銷售量。另外，一旦季節因素能夠獨立出來在季節外，那就可能以漸近的作法穩定全年的變動。季節變動一般以S表示。

3、        循環變動—又稱景氣循環變動(Business Cycle Movement)，係沿著趨勢線如鐘擺般地循環變動。循環變動的週期大約二至十五年，其變動的原因甚多，而且週期的長短與幅度亦不一致。通常一個時間序列的循環是由其他多個小的時間序列循環組合而成，如：總體經濟指標的循環往往是由各個產業的循環組合而成。有時總體經濟會受到重大政治事件很大的影響，如總統大選或戰爭。同樣地，各產業的循環往往受到整體經濟環境的影響，例如：經濟膨脹往往在循環的頂點，而經濟蕭條則在循環的谷底。循環變動一般以C表示。在圖一，循環伴隨著趨勢線而振盪，且循環的長度定義為A與B兩點之間的距離，即與趨勢線首次交叉的點(A)與回到趨勢線完成循環的點(B)的距離。循環在商業決策時往往是一個判斷的準則。循環確認之重要有如下兩個原因：第一、只要決策者能決定公司目前所在循環的位置，即可依此來預測下一季或下一階段的走勢，第二、若一因子的循環能從趨勢中被獨立出來且受到確認，則其他因子對此序列的影響將更為容易了解。

圖一、趨勢與循環         循環曲線
觀測值(y)                                                                              趨勢線
B     

A





                                                                                                   時間

4、        不規則變動—係不規則因子使所關心的變數之變動完全不可預測。不規則變動是在時間序列中將長期趨勢，季節變動以及循環變動等成份隔離後，所剩下隨機狀況的部份。一般而言，長期趨勢，季節變動以及循環變動皆受到規則性因素的影響，而只有不規則因素是屬於隨機性的，其發生原因為﹕自然災害、人為的意外因素、天氣突然改變及政治情勢巨大變化等。不規則變動一般以R表示。

分析時間序列的初步工作，係將時間序列繪製歷史資料曲線圖。根據此種圖形，可觀察出單一時間序列的變動情況，亦可知多種時間序列變動的相互關係。除了根據歷史資料圖可概略了解時間序列之變動情況外，統計學家尚根據時間序列之四種成份的不同結合方式，而提出了所謂的相加模型與相乘模型來進一步地分析時間序列。茲將此二種古典模型簡略說明如下﹕

1、        相加模型—假定時間序列係基於四種成份相加而成的。相加模型中，各成份彼此間互相獨立，無交互影響﹔亦即長期趨勢並不影響季節變動。若以Y表示時間序列，則其方程式為﹕
Y=T+S+C+R

2、        相乘模型—假定時間序列係基於四種成份相乘之結果。相乘模型中，各成份之間明顯地存在相互依賴的關係，即假定季節變動與循環變動為長期趨勢的函數。如以方程式來表示此模型，即為﹕


依據此兩種假設，分析時間序列的方法亦有兩種﹕如果時間序列屬於相加模型，則可自序列中減去某種影響成份的變動，而求出另一種成份的變動。如果假設時間序列屬於相乘模型，則可將其他成份除時間序列，而求出某種影響成份的變動。然而，在時間序列分析中，大都採用乘法模型的假設，因乘法模型比加法模型更能正確代表一時間序列，故以下皆以此一模型探討時間序列資料。下表為英國1986年至1990年的每季新車銷售量，在下面的說明中，我們以Y來表示。將表一畫成以時間為橫軸的時間圖，見下圖二。

表一、 英國每季新車銷售量 (每千台)
        第一季        第二季        第三季        第四季
1986        491.4        457.5        713.2        376.2
1987        443.7        622.2        377.6        563.8
1988        565.9        371.6        615.0        460.2
1989        338.3        564.9        546.1        613.3
1990        511.6        498.9        704.0        305.0
       

圖二、英國每季新車銷售量


首先，分離出時間序列資料中的季節因子(S)，一旦季節因子找到之後，即可由下式來表示移除季節因子過後的資料：
         

第二步，找出趨勢效應（T）的資料之後，即可由下式來表示移除季節因子、趨勢效應過後的資料：
                                       

第三步，找出循環因子（C）之後，即可由下式來表示移除季節因子、趨勢效應及循環因子過後的資料：
                                          

最後留下的只有不規則因子，因之即可確認此不可預測的不規則事件受何種突發事件所影響。

第 三 節   季節變動分析

季節變動係指時間序列所有週期變動中最主要的一種，通常都是以一年為週期的波動。季節變動產生的原因可分為兩大類：一為自然的，例如自然界季節變化對財貨供需的影響而產生的經濟活動之變動。另一為人為的，例如由於法律、風俗習慣、制度等的因素而造成季節性的變動(諸如年節或宗教節日而增加有關財貨需求的變化等)。

季節變動有時確實存在，但往往為其他成因所擾亂而無法顯露。例如米價在秋收時常有大幅的下落，但基於政府的農業政策，糧食局往往被指定進行收購稻穀，故米價下跌幅度不大。另外，在春夏之交，米價理應大漲，但事實上所漲卻有限，此亦由於糧食局此時拋售食米的原因。以上所說的是政府政策足以改變原有的季節變動之一典型例子。

測定季節變動的目的一般而言有以下三點：(a)分析過去季節動向，用以建立季節模型；(b)進行短期預測，擬訂短期計劃；(c)消除季節變動的影響，以顯示時間序列的真正循環週期。至於季節變動的特性則可歸納如下：(a)有規律的波動；(b)每年重覆出現；(c)各年之變化幅度約大略相同。基於這三點特性，以下所介紹的季節變動皆具有其固定的型式，也就是說，某種現象的所有季節變動每年同月份都是一樣的(至少在資料所及的時間內不變)。因此我們才可以用季節指數(Seasonal Index)來表示此固定的型式。至於所謂的季節指數是指季節變化之百分比，亦即以所有年份全年之平均為100%，計算各月的指數，高於100%或低於100%，即產生在一年內起伏變動，並由此可觀察季節規律的變化。

季節變動的測定通常採用移動平均比例法（Ratio-to-Average Method）。這一方法一九二二年美國國家經濟研究局首先採用，共有六個步驟，以英國1986-90年每季註冊的新車為例說明，見表二。首先，須先計算四季的移動總和(4-Qtr moving total)。因此，移動總和第一項等於491.4 + 443.7 + 565.9 + 338.3 = 1839.3。同理，第二項等於443.7 + 565.9 + 338.3 + 511.6 = 1859.5。計算四季的移動總和的目的是使不規則因子的效應相互抵消或較不明顯。

接下來計算四季的移動平均（4-Qtr moving average），也就是(四季的移動總和) / 4。值得注意的是，因為移動總和已不包含明顯的季節變異及不規則效應，所以移動平均僅顯示出趨勢效應及循環效應。
第三步驟，計算移動平均中心（4-Qtr centered M.A），也就是計算相鄰兩個移動平均的平均，如：（459.8+464.9）/ 2 = 462.4，即表二中的第五欄。移動平均中心的目的是移除季節變異及不規則因子效應。（見下圖三）

第四步驟，計算實際資料與移動平均中心的比率，例如，1986年第三季之比為

其中之565.9，即為 ，而462.4為 ，故計算後的序列即是 ，此即代表季節因子與不規則事件之效應。因此，此序列的第一項即是565.9 / 462.4 = 1.224(表二中的第六欄)；這代表1986年的第三季實際資料比趨勢效應及循環效應多22.4%。

第五步驟，收集每季的實際資料與移動平均中心的所有比例值，計算其季節指數，有以下三種方法:
        計算每季比例的算術平均數。
        去除各季的最大比例及最小比例之後，取各季比例的平均數。
        計算各季比例的中位數。

何時採用何種方法端看資料的長度所得之比例及研究人員的喜好。因為所得比例反應季節因子與不規則事件效應，則常常選取中位數去消除或減低不規則或隨機事件特殊效應至最小；其理由為中位數很少被極值所影響，削除平均數之計算也可得相似的結果。無論如何，若每季四個數之變動不大，則使用算術平均數，它表示出每年平均為1之特性。表二中之季節指數(第七欄)採用算術平均數，因每季只有四個數，而且變化不大。


表二、季節因子的分析及季節性調整過後的資料
季
       Quarter        註冊數
Registration        四季移動總和
4-Qtr moving total        四季移動平均
4-Qtr moving average        四季中心移動平均
4-Qtr centered M.A.        實際與中心移動平均比%
Actual/centred M.A.        季節指數
Seasonal index        季節調整資料 Seasonal adjusted data
1986 1        491.4                                        108.5        452.8
1986 2        443.7                                        94.3        470.4
1986 3        565.9        1839.3        459.8        462.4        122.4        126.4        447.8
1986 4        338.3        1859.5        464.9        466.6        72.5        70.8        477.6
1987 1        511.6        1873.3        468.3        475.4        107.6        108.5        471.4
1987 2        457.5        1929.6        482.4        486.6        94.0        94.3        485.1
1987 3        622.2        1962.9        490.7        497.4        125.1        126.4        492.4
1987 4        371.6        2016.2        504.1        509.2        73.0        70.8        524.6
1988 1        564.9        2057.6        514.4        525.8        107.4        108.5        520.6
1988 2        498.9        2148.6        537.2        537.9        92.7        94.3        528.9
1988 3        713.2        2154.6        538.7        544.9        130.9        126.4        564.4
1988 4        377.6        2204.7        551.2        557.1        67.8        70.8        533.1
1989 1        615.0        2251.9        563.0        561.8        109.5        108.5        566.7
1989 2        546.1        2242.7        560.7        560.5        97.4        94.3        579.0
1989 3        704.0        2241.3        560.3        553.9        127.1        126.4        557.1
1989 4        376.2        2190.1        547.5        536.8        70.1        70.8        531.1
1990 1        563.8        2104.2        526.1        514.7        109.5        108.5        519.6
1990 2        460.2        2013.5        503.4        494.5        93.1        94.3        487.9
1990 3        613.3        1942.3        485.6                        126.4        485.3
1990 4        305.0                                        70.8        430.6


既然季節性因子已藉由移動平均比率得知，則接下來的工作就是將之分離。這並不難，只要將原始資料除以移動平均比率即可得到去季節效應後的序列資料，即表二中的最後一欄。如﹕1986第一季的去季節效應後資料為491.4 / 1.085 = 452.8。


一般而言，去季節效應的步驟是處理時間序列資料的第一環，如此一來方能確切的了解其他因子（趨勢效應及循環效應）的影響。如﹕失業率在暑假期間必會大幅減少，然而這並不是真正的失業率﹔而是因為在暑假期間的短期工作會增加。

圖四為去季節因子後的時間序列資料。整體而言，比圖三更為平緩，因為僅包括了趨勢效應，循環效應及不規則效應。
最後，在上述的方法中，假設每年每季的季節效應是一樣的。這並不是一個合理的假設，因為在實務上，每一年的季節效應不一定固定。

第 四 節  長期趨勢分析

長期趨勢是時間序列構成的主要成份，表示某一現象在長時間內之一定傾向的趨勢。這種趨勢是持續而漸進，緩慢的，有時會很有規律。在長時間內，這些現象趨勢值的變動，既有其規則性，便可用數學方程式表示。此外，若將之繪成時間序列的變動圖，則必為一平滑的曲線。

本節將介紹時間序列長期趨勢的分析方法。若欲作分析則必須了解長期趨勢測定的方法。測定長期趨勢的方法很多，常用的方法有四種：隨手繪法、半平均數法、移動平均法及最小平方法。以下將簡單討論這四種方法：

1、        隨手繪法(freehand method)
用隨手繪法測定長期趨勢乃是最簡單的方法。此種方法的步驟如下：
(1) 將時間序列資料繪製成歷史曲線圖。
(2) 將不規則的歷史曲線圖依其原有的趨勢變動，隨手自由繪出一平滑的曲線，此曲線(亦可能為一直線)即為該時間序列的長期趨勢。
隨手繪法應盡量使所描出的線與觀察資料的圖示相接近。

2、        半平均數法(Semi-average method)
半平均數法係直線趨勢配適法的一種，乃將時間序列的全期分為相等的兩部分，各求其算術平均數。當期總數n為偶數時，每一部分有n/2期；當n為奇數時，中間一期不予考慮。接著，分別以兩部分的中點期數為橫座標，各部分的平均數為縱座標，可得出兩點。連接此兩點直線，即為長期趨勢曲線。半平均數法的優點在於簡單容易瞭解，缺點是不夠精確。

3、        移動平均法(moving average method)
移動平均係將時間序列之兩期或多期的觀測值平均，以之代替其中間一期的趨勢值；值得注意的是，這裡所指的平均可用中位數或幾何平均數，但一般都採用算術平均數。因為時間序列可能具有循環變動及不規則的變動，經由平均的結果，數列中過大與過小的觀測值可互相補償，致使平均數成為一種適中而正常的量數。移動平均之意，是將所分析的時間序列逐期(週、月或年)順序移動，陸續取若干期的數字平均之後得到一連串由平均數構成的數列，結果即為所求的趨勢值。

移動平均法的優點亦在於其計算簡單(相對於最小平方法而言)，但其缺點則為移動期數的選擇，往往缺乏客觀的標準。雖然如此，若無找出最適當的數學方程模型以配合此趨勢，則本法亦相當適用。

4、        最小平方法(method of least square)
最小平方法係以數學方法，根據統計資料配適一代表時間序列長期趨勢的數學方程式，藉以求得各長期趨勢值的一種最佳方法。以最小平方法配適時間序列的長期趨勢線時，必須符合二個條件，即：(a)各期的趨勢值 對實際觀察值 的誤差之總和必為0，即 ；(b)所有誤差的平方和為最小  。
採用最小平方法時，前置工作是，必須先將時間的單位轉換成穩定遞增或穩定遞減的序列；因此，若以表二為例，可令1980第一季為1，1980第二季為2，依此類推至1990年第四季為44。則可建立一趨勢模型為﹕




上式中， 、 為迴歸係數﹔ 即轉換單位後的第t時間序列﹔ 為估計的第t新車銷售量。則結果如下﹕

雖然 很低，但這是可以預期的，因為此資料有很明顯的季節效應﹔然而，ｔ(3.681)仍顯示趨勢效應的存在。
上式指出，長期而言，英國的新車銷售量每季約增加4.274（千）台。

第 五 節  循環變動分析
       
循環變動係指在一定時間內依規則(週而復始)進行的波形變動，如經濟學家所提出的景氣循環即為一例。

        某一現象在長期內可能發生一連串的循環變動，每一個循環的型態相似卻不盡相同，變動的幅度大小不等，循環週期的長短尤其不一致。凡此種種均與季節變動之為一年的週期及每年變動之為固定型式者不同。但其循環性的變動確實存在而非偶然出現，故循環變動乃介於規則的及不規則的變動之間。

        循環變動往往以實際觀測值對趨勢的百分比表示，而百分比有大有小，故循環變動乃是圍繞著長期趨勢線而上下波動。

去季節效應後的序列資料僅包含了趨勢效應、循環變動及不規則效應﹔再將其除以趨勢效應，所得的序列僅有循環效應及不規則效應。

若再將此序列做一次移動平均，則可合理地移除或降低不規則效應，見表三，而得循環變動指數。

表三、三期的移動平均及循環因子
季
Quarter        季節調整資料
Seasonal adjusted data        趨勢
Trend        季節調整資料與趨勢比%
Seasonally adjusted data / Trend        三期移動平均
Three period M.A.        循環指動
Cyclical index
1986 1        452.8        461.5        0.98               
1986 2        470.4        465.8        1.01        0.98        98.1
1986 3        447.8        470.1        0.95        0.99        99.0
1986 4        477.6        474.4        1.01        0.98        98.1
1987 1        471.4        478.6        0.98        1.00        99.9
1987 2        485.1        482.9        1.00        1.00        100.0
1987 3        492.4        487.2        1.01        1.03        102.7
1987 4        524.6        491.5        1.07        1.04        104.3
1988 1        52.6        495.7        1.05        1.06        105.8
1988 2        528.9        500.0        1.06        1.08        107.6
1988 3        564.4        504.3        1.12        1.08        107.5
1988 4        533.1        508.6        1.05        1.09        109.1
1989 1        566.7        512.8        1.11        1.09        109.1
1989 2        579.0        517.1        1.12        1.10        109.8
1989 3        557.1        521.4        1.07        1.07        106.6
1989 4        531.1        525.7        1.01        1.02        102.0
1990 1        519.6        529.9        0.98        0.97        96.8
1990 2        487.9        534.2        0.91        0.93        93.2
1990 3        485.3        538.5        0.90        0.87        86.9
1990 4        430.6        542.8        0.79               

最後，不規則或隨機事件之效應也能夠由 求得。乘以100，則為一百分數而可得不規則變動之指數。



第 六 節  指數平滑法


6.1  簡單指數平滑
如前所述，那些移動平均的目的是為了去除季節效應及不規則效應，使原始數據資料變得較為平滑，因之移動平均數列使趨勢效應或循環效應之圖像更清晰，便於分析。

另一種方法就是所謂的指數平滑法；和移動平均不同的是，指數平滑使用以前全部的資料來決定一特別時間序列之平滑值。本節所要介紹的是簡單(或單一)指數平滑法，此法在無趨勢效應時具有十分良好的效果。一般而言，無趨勢效應且變異數固定的資料稱之具有穩定性(stationary)。在本節後面會提到具趨勢效應及季節效應資料的指數平滑方法。

令 為時間t之實際資料， 為平滑後資料，A為一介於0到1之間的實數。則以下式求平滑後資料最為簡便：



上式中之A表平滑常數。越小的A值（A<0.1）適用於變動越明顯的時間序列資料，亦即不規則效應越明顯的時間序列資料﹔相反的，越大的A值適用於越穩定的時間序列資料。

在平滑化的過程中，第一個平滑資料即等於第一個實際資料﹕

依此類推。

此法之所以為「指數」平滑法的原因是﹕

         
因此，

舉例來說，若A=0.5，則﹕

由此可知，每一個平滑後的資料都是由過去的資料加權後而得。越近當期的資料，其權重越大，對當期之影響越大﹔反之，越早期的資料，其權重越小，對當期之影響愈小，十分符合我們的直覺。也因為其權重呈指數遞減，因此稱之為指數型平滑。


6.2 趨勢效應存在的指數平滑
簡單指數平滑法僅適用於無趨勢效應存在時候。接著介紹霍特兩參數線性指數平滑法（Holt’s two parameter linear exponential smoothing）來處理具有趨勢效應的時間序列資料。

首先，以下式將觀察值平滑﹕


接著，將趨勢效應bt的平滑﹕

在以上兩式中， 是第t期的平滑後資料﹔ 是第t期的趨勢效應﹔A及B是平滑參數，介於0與1之間。前式與簡單指數平滑法十分類似，不同的是將 以 取代，如此可一併處理趨勢效應。一般在使用線性指數平滑法時，將A設為0.3。後式是簡單指數平滑法所沒有的，也表示平滑後趨勢效應的值。和A一樣，B也是一個平滑參數，一般也設為0.3或小於。其實平滑趨勢估計值，即後式，考慮了兩種情況，並將之加權平均，其一是本期與前期平滑後資料的差，另一是前期的趨勢效應。如此程序，即可顯著的消除趨勢效應內所存在的不規則因子。

一時間序列若為年資料，則僅含有長期趨勢，循環變動與不規則變動，此乃因為季節變動係在一年內完成整個循環的規則變動，故對一年以內的資料並無影響。在這種情況下對於時間序列的完整分析，應先建立趨勢線，然後找出循環變動。至於若時間序列資料係以季或月為單位，則應先消除季節變動，然後據以建立長期趨勢線，最後再找出循環變動。

本章介紹了時間序列的基本觀念及藉由過去的資料來分析的基本處理技巧---因子的分離及指數平滑；但要注意的是，仍有其他的技巧可用來分析時間序列的資料，如：迴歸分析等。


習題九

1. 下列數據為英國一九八六~一九九○年國內生產毛額(單位千元)：
        1986        1987        1988        1989        1990
第一季        78,389        84,663        93,629        104,748        113,386
第二季        78,743        85,995        94,869        104,877        116,554
第三季        81,960        90,657        100,950        109,789        120,459
第四季        87,303        96,641        107,214        107,214        126,670






(1)        繪製上述時間序列圖；
(2)        計算每季季節指標及季節調整資料；
(3)        繪製季節調整資料圖，並解釋之。


2. 下列數據是台灣一九六四~一九九○年國民所得第五等分位(最高所得20%)等於第一等分位(最低所得20%)倍數：

1964        1966        1968        1970        1972        1974        1976
5.33        5.25        5.28        4.58        4.49        4.37        4.18
1978        1980        1982        1984        1986        1988        1990
4.18        4.17        4.29        4.40        4.60        4.85        5.18
(1)        以A=0.30及0.60指數平滑上述資料；
(2)        繪製預測值對真實值圖；
(3)        那一A值顯示擬合較佳，並解釋之。

4# yeahguy 谢谢~~

这个有很多经典的书啊，推荐几本：
1. 国内杨叔子编的上下册不错；
2.时间序列的理论和方法（田铮 译）
3.非线性时间序列（范剑青）
呵呵