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第十一讲 多元微分学
【考试要求】
1. 理解多元函数的概念， 理解二元函数的几何意义.
2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.
3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念， 会求全微分， 了解全微分存在的
必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性.
4. 理解方向导数与梯度的概念， 并掌握其计算方法. （仅数一）
5. 掌握多元复合函数一阶、 二阶偏导数的求法.
6. 了解隐函数存在定理， 会求多元隐函数的偏导数.
7. 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念， 会求它们
的方程. （仅数一）
8. 理解多元函数极值和条件极值的概念， 掌握多元函数极值存在的必要
条件， 了解二元函数极值存在的充分条件， 会求二元函数的极值， 会用拉格朗
日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值， 并会解决一些简
单的应用问题.
考点： 二元函数的极限及连续
1. 二重极限的概念与计算
     

   

0 0 0
0
0 0
, ,
, , , ,
lim , lim , .
x x x y x y
y y
x y x y f x y A
f x y A f x y A



   

当 时, 有
则 或
定义1
   
   

   

   

0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
2
, ,
, , , ,
1
, ,
2 , lim ,
lim , , lim ,
3
x y x y
x y x y x y x y
x x x x x x
x y x y
y kx x y f x y
f x y f x y



   





一元极限中 有且仅有两种方式（ 和 ）
（ ） ；
二元极限中 有无穷任意多种方式
（ ） 若有两条不同路径（如 ） 使极限 值不相等
或某一路径使极限 值不存在 都说明 不存在；
（ ） 求二重极限的方法有, 化一元、 等价、 无穷小乘有界、 夹逼、 极坐标等；
注 :
   
   
   
0 0
, ,
0 0
4
lim , , ,
, ,
x y x y
f x y A f x y A
x y x y



   

（ ） 二重极限保持了一元极限的各种性质, 如唯一性、 局部有界性、
局部保号性、 运算规则及重要结论
其中 时, 是无穷小.