第二十一章 一元二次方程
21 . 1 一元二次方程
在一个等式中， 只含有一个未知数， 且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点： (1 ) 只含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2； (3) 是整式方程． 要判断一个方
程是否为一元二次方程， 先看它是否为整式方程， 若是， 再对它进行整理． 如果能整理为 ax
2 +bx+c=0(a≠0) 的形式，
则这个方程就为一元二次方程． （4） 将方程化为一般形式： ax
2 +bx+c=0 时， 应满足（a≠0）
21 . 2 降次——解一元二次方程
1 ． 一元二次方程的解法
(1 ) 直接开平方法： 根据平方根的意义， 用此法可解出形如
a x
2

(a≥0) ，
b ) a x (
2

(b≥0) 类的
一元二次方程．
a x
2

， 则
a x  
；
b ) a x (
2

，
b a x   
，
b a x  
． 对有些一元二次方程， 本
身不是上述两种形式， 但可以化为
a x
2

或
b ) a x (
2

的形式， 也可以用此法解．
(2) 因式分解法： 当一元二次方程的一边为零， 而另 一边易分解成两个一次因式的积时， 就可用
此法来解． 要清楚使乘积 ab＝0 的条件是 a＝0 或 b＝0， 使方程 x(x－3) ＝0 的条件是 x＝0 或 x－3
＝0． x 的两个值都可以使方程成立， 所以方程 x(x－3) ＝0 有两个根， 而不是一个根．
(3) 配方法： 任何一个形如
bx x
2

的二次式， 都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一
个二项式的完全平方， 把方程归结为能用直接开平方法来解的方程． 如解
0 7 x 6 x
2
  
时， 可把方程
化为
7 x 6 x
2
  
，
2 2
2
2
6
7
2
6
x 6 x




   





， 即
2 ) 3 x (
2

， 从而得解．
注意： (1 ) “方程两边各加上一次项系数一半平方” 的前提是方程的二次项系数是 1 ．
(2) 解一元二次方程时， 一般不用此法， 掌握这种配方法是重点．
(3) 公式法： 一元二次方程
0 c bx ax 2   
(a≠0) 的根是由方程的系数 a、b、c 确定的． 在
0 ac 4 b 2  
的前提下，
a 2
ac 4 b b
x
2
  

． 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①先把方程化为一般形式， 即
0 c bx ax 2   
(a≠0) 的形式；
②正确地确定方程各项的系数 a、 b、 c 的值(要注意它们的符号) ；
③计算
0 ac 4 b 2  
时， 方程没有实数根， 就不必解了 (因负 数开平方无意义) ；
④将 a、 b、 c 的值代入求根公式， 求出方程的两个根．
说明： 象直接开平方法、 因式分解法只是适宜于特殊形式的方程， 而公式法则是最普遍， 最适
用的方法． 解题时要根据方程的特征灵活选用方法．
2． 一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根有三种情况： ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数
根． 而根的情况， 由
ac 4 b 2
的值来确定． 因此
ac 4 b 2   
叫做一元二次方程
0 c bx ax 2   
的根的判
别式．
△>0  方程有两个不相等的实数根．
△＝0  方程有两个相等的实数根．
△<0  方程没有实数根．
判别式的应用
(1 ) 不解方程判定方程根的情况；
(2) 根据参数系数的性质确定根的范围；