r(u，v)=(x(u，v)，y(u，v)，z(u，v))(2)S是这个映照的像。球面、环面都是紧致的，而平面则是非紧致的。一般地，曲线可能穿过若干个坐标区域，那么在每一坐标区域中都可有它自己的表达式，在每个区域中的部分，就可以计算出它的弧长。假设D是S上的一个区域，它的边界是由互不相交的n条简单的分段光滑闭曲线所组成；这些弧之间除连接点外没有交点，由拓扑学可知，可以把D三角剖分，即把D分割成许多以3条曲线段为边界的曲面三角形。如果所考察的曲面是定向的，设法线方向为大拇指方向，依右手规则可以定出每一三角形的边界的定向，这时内部边界的定向刚好相互抵消。经过这样剖分后得出3个数：F是三角形的个数，E是边的条数，V是顶点的个数，它们就是前面欧拉-庞加莱示性数(1)中符号表示。正是庞加莱提出的亏格表示的洞数，直指庞加莱猜想正定理和庞加莱猜想逆定理；也直指超弦理论中构造的开弦和闭弦这两个不同的庞加莱猜想版本。因为按庞加莱猜想在一个三维空间中，开弦曲线及其开弦运动形成的2维膜上的每一条封闭的曲线，都能收缩成一点，因此它们形成的空间是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球的；相反，闭弦曲线及其闭弦运动形成的2维膜上的每一条封闭的曲线，都不能收缩成一个庞加莱猜想点，因此它们形成的空间不是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球，而是类似我们说的曲点。(2)、庞加莱猜想证明封顶，对解决超弦理论和圈量子引力理论的统一带来了曙光。道理就在单孔收缩与双孔收缩的性质不一样，其统一路线图如下。1、庞加莱猜想证明揭示了点有3种实在论的性质，可联系宇宙中的物质、能量和信息3个要素。例如，在一张纸页上放一粒沙(类似实物)，是一个点；在纸上打个针孔眼(类似破裂、虚空)，是一个点；在纸上作个笔尖墨迹印子(类似中性)，是一个点。物质类实，可对应粒沙点；能量类虚，可对应针孔点；信息类中性，可对应墨迹点。所以对庞加莱猜想中的点首先要作个约定，证明才不会有矛盾。即约定：粒沙点和墨迹点是归属庞加莱猜想点；而针孔点是归属我们说的曲点。其次，数学要考虑形式上的构造，也要考虑实际意义，对庞加莱猜想中的收缩也要作个约定：它类似连续统假设。所谓连续统假设指：在可数集基数和实数集基数之间再没有别的基数。但中国古人对于无限的认识有一日之棰，日取其半，万世不竭；又有至大无外，至小无内。连续统假设建立在明确集合元素的意义和集合之间的关系是否兼容，现有了连续统的收缩假设，就用不着反复讨论，否则可以无限的分下去，用老话讲就叫不着边不靠谱。2、用庞加莱猜想证明分析超弦理论并列构造的开弦、闭弦两个不同的庞加莱猜想版本，即开弦是对应在三维空间中，开弦曲线及其开弦运动形成的膜上的每一条封闭的曲线都能收缩成庞加莱猜想点，因此是类似庞加莱猜想正定理对应的一个三维的圆球；而闭弦曲线及其闭弦运动形成的膜上的每一条封闭的曲线都不能收缩成庞加莱猜想点，因此是类似庞加莱猜想逆定理对应的一个三维的曲点。在超弦理论中开弦和闭弦是如何统一的呢？它是避开了庞加莱猜想这个程序，直接跳入轨形拓扑这个程序才解决的。因为在有弦论之前，就有Kaluza-Klein理论考虑过有可能实际的空间是超过三维的：一加一维的弦运动出来的这个曲面，存在的2维空间像一个管子一样，假设这个管子很细的话，在管子的截面方向上均匀地分布的就是微小圈。把它变成三维跟2维的模拟的话，就是有两个三维的空间，但是其中一个方向是被限制在一个很小的范围上，也许这个很小的距离加上周期的边界条件，要求所有的物理量都有周期性的性质。但是为什么可以假设大部分的东西都是在这个小的维度上均匀地分布呢？ 3、用庞加莱猜想证明的分析，不但能分出了开弦与闭弦的对立，也能分出三维空间与额外维空间以及宏观与微观的定量区别。因为早在庞加莱猜想诞生之前，人们已经开始注意到了庞加莱猜想中的连续与间断的共轭与区别，特别是19世纪末玻尔兹曼的乌托子球原子论对应庞加莱猜想的一个三维的圆球，能令人满意地解释固体、液体、气体和等离子的许多性质，用其中的波尔兹曼常数能推出每立米中某种空气的原子(分子)数，为宏观与微观作出第一个的定量区别，从而加深了宏观与微观中粒子与波场的对立。4、第2是在20世纪后的电子和光子等微观粒子的双缝实验中，庞加莱猜想球与庞加莱猜想孔在单缝实验中的粒子与波场的对立并不明显，从而加深了庞加莱猜想对宏观与微观的再认识：即庞加莱猜想虽然把时空中分成了连续与间断的共轭，但在只有一个庞加莱猜想孔的间断空间内，庞加莱猜想是等价的，即在间断的空间也能收缩成一点；但在双缝实验类似有两个庞加莱猜想孔的情况下，连续与间断不能兼容，三维与额外维就以粒子与波场对立的几率幅的定量形式显示出来了。5、第3是把单缝和双缝的缝宽与普朗克尺度作比较，电子等粒子的半径在大约10的-12次方厘米到10的-15次方厘米对应的缝宽范围，动量和位置出现的不确定性显示的量子干扰，是确定宏观与微观的又一定量区别；而且粒子的物质性与粒子的能量性的区别，定量地显示出能利用庞加莱猜想反证的曲点，按戴德金的分割观点建构量子化---曲点自旋分割，产生时空和质能量子化曲点，沿相反方向的趋势飞散。其次，也不能再把时空曲点和质能曲点当成是单独的一样东西；量子化由时间曲点和空间曲点对组成时空曲点群、质量曲点和能量曲点对组成质能曲点群。6、于是再通过著名物理学家费曼拓展双缝实验建立的量子路径求和概念，就可以把超弦理论和圈量子引力理论的统一起来：费曼关于量子振幅的路径求和观点是：A、原始的双缝实验，电子有两条可能的路径。B、源与探测器之间有两块屏，屏上共有5条缝，可能的路径数目现在变成了6。C、插入更多的屏幕，每块屏幕上刻更多的缝，最后就跟完全没有屏幕一样，电子从源S到探测屏D的总几率幅就变成了所有可能路径的求和。把费曼以上观点变成庞加莱猜想证明就是，A、原始的双缝实验，是两个庞加莱猜想孔式的曲点，电子有两条可能的路径。B、源与探测器之间有两块屏，屏上共有5条缝，是5个庞加莱猜想孔式的曲点，可能的路径数目现在变成了6。C、插入更多的屏幕，每块屏幕上刻更多的缝，类似时空全都是由曲点组成，最后时空就跟完全没有屏幕一样，电子从源S到探测屏D的总几率幅就变成了所有可能路径的求和。这个总几率幅是所有可能路径的求和，叫做超弦理论或圈量子引力理论的作用量，它是时空与质能内禀的度规和位置的矩阵的泛函，即可推出与现在超弦理论或圈量子引力理论相似的作用量公式。(3)、把超弦/膜、圈量子引力、全息论变成傻瓜普及理论，接下来是利用庞加莱猜想证明仔细分析针孔眼点的那种庞加莱猜想式曲点的情况：时空是穿过针孔眼的，它实际上是环面。不管是用一张膜或一张纸，还是用两张膜或两张纸，作类似黎曼切口的轨形拓扑，可作25种卡--丘流形的规范轨形拓扑，且只能作25种；其中无孔的4种，有孔的21种。这实际是25种子流形，可联系25种宇宙模型或25种物质族基本粒子问题。由此，黎曼切口可等价环量子膜；点外时空或线外时空，点内时空或线内时空，它们的势能与动能，可分别对应能量与暗能量；而物质和暗物质，也可从环量子3旋规范夸克立方周期全表出发，以量子避错编码眼光看待，发现物质与暗物质共约162个量子编码，按广义泡利不兼容原理及夸克的味与声的避错选择原则，宇宙物质约占24个。即可定义物质为宇宙量子避错码；暗物质为宇宙量子冗余码。从上面已知，在数学上，从庞加莱猜想对球量子与环量子亏格的几何拓扑分类看，超弦理论因保留有弦和圈不分，因此存在圈在先还是弦在先的问题。如果是弦在先，圈在后，有如下的天使悖论：在普朗克尺度数量级，这实际近乎一个点，超弦理论却认为它是一根不同振动模式的基本弦或膜，这实际近乎是一种曲线或曲面。如果赞成物质和时空存在连续与间断的想法，而对应实体和虚空，那么在高达10的15至19次方GeV的尺度上来观察自然时，就应赞成自然的终极组成不是粒子或场。就是说，在10的15至19次方GeV高能的作用下，可以聚焦到万有引力和量子理论中的基本长度单位---约为10的-33次方厘米的普朗克长度范围；由于场是多粒子系综状态，而对于是10的-33次方厘米之小，也许只能容下一个粒子。所以，若问在乌托子环3旋的针尖上能站几个天使跳舞？回答即使一个天使，也能由环量子自旋涨落分叉出正反粒子对的时空和物质场系综。但若问在超弦的针尖上能有几个天使跳舞？由于超弦用弦的场振动描述作用量，其悖论是，弦的振动驻波的波节，超出9个必然超出普朗克尺度规定的数量级；就是说，超弦针尖上的天使超出9个的小与多，都会与普朗克尺度规定的数量级相矛盾。若再问在圈量子引力理论的针尖上能有几个天使跳舞？圈量子引力理论没有困境，是因为它一开始就把普朗克尺度微单元和场的自旋网络并列的，即它的针尖既是站一个天使又是多个天使等着的，它们类似用圈套圈的纽结图组合的，自旋不是真正的环量子自旋。

圈套圈的纽结应用到普朗克尺度物理中，其耦合来自类似麦克斯韦的电磁场理论：变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场的联系，而形成一个不可分离的统一的场，这实际是一种庞加莱猜曲点套庞加莱猜曲点的线旋运动。这跟圈量子引力强调的理论必须背景独立是一致的：圈量子引力把广义相对论看成是一个以联络为位形变量，密度化的标架为动量变量的规范场论；因此利用曲点类似希尔伯特空间的由自旋网络函数为基构成的平方可积函数空间---相当于是无穷多个有限维希尔伯特子空间的直积空间，使其数学上可严格的定义出位形算符和动量算符，如几何算符的量子化，即面积、体积等几何量像原子能谱一样分立取值，而不是像经典理论那样可以连续的取值；这种分立性对应于动量在普朗克尺度下的截断，可解出曲点量子引力的运动学约束，得到了运动学希尔伯特空间。而对于超弦理论的一根弦出现的又一个悖论是：弦只有普朗克尺度10的-33方厘米长，却具有普朗克质量大的质量；普朗克质量大约是质子质量的10的19次方倍。质量是由希格斯粒子提供，希格斯粒子质量大约是115GeV。根据物质族质量谱计算公式得出的Ve中微子质量是1.47X10的-11次方GeV，如以Ve中微子的质量作希格斯粒子质量的单位，希格斯粒子是Ve中微子的10的13次方倍。质量是由小组成大，没有由大组成小的；但超弦理论和标准模型就有这个矛盾。质量曲点论主张希格斯粒子质量有微单元质量0.01X10的-11次方GeV，从而可把希格斯微单元与磁单极联系起来，解决弦在先圈在后的天使悖论。这是把磁单极作弦，联系构筑闭弦旋圈。因为费曼认为，虽然至今尚无人见到磁单极，但磁单极的根本因素是粒子转动性质与它们的统计性质之间的联系：可以想象它像一根很长的条形磁铁，从磁铁的一端发出的磁通，就有点像这种磁单极发出的，因为另一端离开得很远。而一个电荷附近有一个磁单极，这个复合客体具有一个角动量的最简单方式是，一个电荷和一个磁单极连线组成的复合客体，以ω角度作圆锥面转动。而庞加莱猜想的曲点3旋是：体旋---曲点绕圈面内轴线的旋转，面旋---曲点绕垂直于圈面的圈中心轴线的旋转，线旋---曲点绕圈体内环状中心线的旋转。如果曲点3旋是内禀运动，就只能存在于环量子中。在这里，曲点3旋称电荷和磁单极的连线为转轴，称电荷或磁单极为转点；环量子就是超弦理论认为的一维弦的包含着卷缩在普朗克尺度中的卷缩维。弦的微单元可分到10的-33次方厘米，因这仅是长度单位，不和质量单位的希格斯微单元0.01X10的-11次方GeV矛盾。对比弦的质量是质子质量的10的19次方倍，弦实际是希格斯微单元质量的系综，其数目也不是趋于无限大。这也说明，为什么至今尚无人见到磁单极？就因为相通的磁单极，只能存在于弦及希格斯的微单元。这个形象思维是，一般的开弦和闭弦是由若干有限的希格斯质量微单元类似的曲点串联起来的，如果这些希格斯微单元类似电荷和一个磁单极连线组成的像一端不动，另一端连同整体作圆锥面转动的复合客体，那么开弦就存在内禀的类似三维圆球的体旋自旋运动，而闭弦则存在内禀的类似超导线圈磁场的线旋自旋运动。再由量子环的3旋密码，也可以建构夸克3旋模型。

庞加莱猜想证明应用于类似时空全都是由曲点组成的三维空间，自恰的弦论要求空间必须是9或者以上数目，就不成问题，因为庞加莱猜想证明时空在波尔兹曼常数计数粒子的地方，或大约在10的-12次方厘米到10的-15次方厘米以上范围，是属于三维空间，小于这个界面由于动量和位置的不确定性，额外的空间维数，可由理论的约定推导选择。5维时空就是曲点选择的基本时空。庞加莱认为这里，对于不连续的几率函数的情况，它将起哈密顿微分方程的作用；而任何孤立系统乃至宇宙也象粒子一样，会突然地从一个状态跃迁到另一个状态，但是在间歇期间，它依然是不动的。