2021年9月《数学物理方法》作业考核试题及答案参考
1.证明A=(y2+2xz2)i+(2xy—z)J+(2x2z—y+2z)k为有势场，并求其势函数．
证明A=(y2+2xz2)i+(2xy—z)J+(2x2z—y+2z)k为有势场，并求其势函数．
正确答案：由A的雅可比矩阵\r\n\r\n得rot A=[(-1)-(-1)]f+(4xz-4xz)j+(2y-2y)k=0\r\n故A为有势场．\r\n  一般说来有势场的势函数可用如下公式来计算\r\n\r\n此外它还可以用不定积分的方法来求出为了说明这种方\r\n法下面就用它来求本例的势函数v：\r\n  因势函数v满足A=-grad v即有\r\n  vx=-y2-2xz2 vy=-2xy+zvz=-2x2z+y-2z．  (1)\r\n将第一个方程对x积分得\r\n  v=-xy2-x2z2+φ(yz)  (2)\r\n其中φ(yz)暂时是任意的为了确定它将上式对y求导得\r\n  vy=-2xy+φ\"y(yz)\r\n与(1)式中第二个方程比较知φ\"y(yz)=z\r\n于是  φ(yz)=yz+ψ(z)．\r\n代入( ...