福建师范大学2021年9月《近世代数》作业考核试题及答案参考
1.奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。( )
奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。( )
正确答案：√
2.一个m×n的棋盘只有白色与黑色两种方格，其中m和n都是奇数。如果黑色方格比白色方格多一个方格，试证明：当棋盘
一个m×n的棋盘只有白色与黑色两种方格，其中m和n都是奇数。如果黑色方格比白色方格多一个方格，试证明：当棋盘上恰有一个黑方格禁止放子，那么该棋盘有一个用多米诺牌的完美覆盖。
设禁止放子的黑方格位于第i行第j列上。下面分别就i与j的不同奇偶性情况进行讨论。
(1)i与j同为偶数或同为奇数。此时，将棋盘划分为如图7.14所示的区域A1(为i×(j-1)的区域)、区域A2(为(m-i)×j的区域)、区域A3(为(i-1)×(n-j+1)的区域)、区域A4(为(m-i+1)×(n-j)的区域)以及禁止放子的黑方格(图中阴影部分)。由于A1，A2，A3与A4无论i与j同为偶数还是同为奇数，总有偶数边长，故可知，它们都有完美覆盖。
  (2)i与j为一奇一偶。此时，如果不要求白格与黑格的位置，则不一 ...