Exhibit 8.1 AR(1) 模型拟合与残差可视化（color 数据集）

加载时间序列分析专用包 TSA，并读取其中的 color 内置数据集。该数据集可能记录了与颜色相关的时序观测值。

使用 arima() 函数对 color 序列拟合一个 AR(1) 模型（即自回归阶数为1，无差分、无移动平均项），并将结果保存为 m1.color。随后输出模型估计结果，包括系数、标准误及对数似然等统计量。



为进一步评估模型拟合效果，绘制标准化残差的时间序列图。通过 rstandard() 提取标准化残差，以 'o' 类型绘制点线结合图形，纵轴标注为“Standardized residuals”。同时添加一条 y=0 的水平参考线，便于观察残差是否围绕零值随机波动。



Exhibit 8.2 AR 模型优化（hare 数据集）

载入 hare 数据集，该数据包含野兔种群数量随时间变化的观测值。为改善序列的平稳性，先对原始数据进行平方根变换，再拟合一个 AR(3) 模型。

初步模型结果显示，AR(2) 项的系数不显著，提示可考虑将其剔除或设为零。因此构建第二个模型 m2.hare，在 arima() 中利用 fixed 参数将 AR(2) 系数固定为 0，其余参数自由估计。



重新拟合并输出新模型结果，可见参数精简后模型更简洁且有效。



接着绘制优化后模型 m2.hare 的标准化残差序列图，依然采用 type='o' 显示趋势，并加入 h=0 的横线辅助判断残差是否存在系统性偏差。



Exhibit 8.3 IMA (1,1) 模型拟合（oil.price 数据集）

导入 oil.price 数据集，代表油价的历史变动情况。首先对数据取自然对数，以稳定方差并增强线性结构。

计算并绘制对数变换后序列的自相关函数（ACF）图像，用于识别潜在的依赖结构。



同时绘制偏自相关函数（PACF）图，帮助判断自回归部分的阶数。



基于 ACF 和 PACF 的特征，选择建立 IMA(1,1) 模型，即 ARIMA(0,1,1) 模型。具体操作是对 log(oil.price) 进行一次差分处理，并引入一阶移动平均项，调用 arima(log(oil.price), order=c(0,1,1)) 实现建模。

完成拟合后，绘制该模型的标准化残差，使用 type='l' 表示连续线条形式呈现，同样添加 y=0 参考线。



进一步开展残差异常值的概率分析：计算标准正态分布下 |Z| > 3 的概率 p，约为 0.00135；然后基于二项分布计算在 241 个残差中出现至少 4 个极端值的概率，以此检验异常点是否超出预期。



Exhibit 8.4 残差正态性检验

为了验证模型残差是否符合正态假设，首先绘制 Q-Q 图。使用 qqnorm() 绘制 m1.color 模型残差的分位点，并设置点型为实心圆（pch=20）、颜色为红色（col=2），大小适当缩小（cex=0.8）。再通过 qqline() 添加理论正态分布的参考直线，颜色设为蓝色（col=4），直观判断偏离程度。



接下来执行 Shapiro-Wilk 正态性检验，调用 shapiro.test() 对同一模型的残差进行统计推断，获得检验统计量和 p 值，以量化方式评估正态性假设是否成立。



此外，还尝试 Kolmogorov-Smirnov 检验（K-S 检验），由于原始残差可能存在重复值，影响检验有效性，故使用 jitter() 对数据轻微扰动以避免问题。调用 ks.test() 并指定比较分布为正态分布 pnorm，需填入样本均值和标准差（原文省略具体数值）。

Exhibit 8.8 AR(1) 模型系数的置信区间计算

设定滞后阶数 k 从 1 到 20，提取 m1.color 模型中的自回归系数 φ（phi），以及 color 数据的长度 n。

利用解析公式 sqrt((1 - (1 - φ) × φ^(2k2)) / n) 计算每个滞后阶数下 φ^k 的渐近标准差，作为构造置信区间的依据。通过 lapply 遍历所有 k 值并返回结果列表。



Exhibits 8.9–8.10：残差自相关性检验（ACF 图）

绘制 m1.color 模型残差的样本自相关函数图（ACF），主标题设为“残差的样本自相关函数”，检查是否存在显著的剩余相关性。



Exhibit 8.11：Ljung-Box Q 检验（定量检验残差自相关）

为实现 Ljung-Box 检验做准备，首先调用 acf(residuals(m1.color), plot=F) 获取残差的 ACF 数值而不绘图，提取其 acf 属性值。



从中截取前六个自相关系数，并使用 signif() 函数保留两位有效数字，便于后续参与 Q 统计量计算或报告展示。

计算 Ljung-Box Q 统计量的过程如下：

首先确定数据长度，使用命令获取序列 color 的长度：

n = length(color)

接着根据 Ljung-Box Q 统计量的公式进行计算：

Q = n * (n + 2) * sum(a^2 / ((n - 1) : (n - length(a))))

该公式用于检验残差是否为白噪声。计算完成后输出 Q 值：

Q

然后进一步计算对应的 p 值，采用卡方分布函数：

1 - pchisq(Q, 5)

其中自由度取值为 5，对应滞后阶数减去模型参数个数（例如 6 - 1）。结果可用于判断是否存在显著自相关。

接下来生成综合残差诊断图（tsdiag），以便对模型残差进行全面评估：

tsdiag(m1.color, gof = 6, omit.initial = F)

此图包含标准化残差、自相关函数图以及 p 值序列，帮助判断模型拟合效果和残差的随机性。

以下是对 color 数据集的不同 ARIMA 模型进行比较的部分内容：

首先是已经拟合好的 AR(1) 模型，其结果可作为基准用于后续对比：

m1.color

随后构建其他几种时间序列模型以作比较：

拟合一个 AR(2) 模型，增加自回归部分的阶数：

m2.color = arima(color, order = c(2, 0, 0))

建立 ARMA(1,1) 模型，同时考虑一阶自回归与一阶移动平均项：

m3.color = arima(color, order = c(1, 0, 1))

进一步尝试更复杂的 ARMA(2,1) 模型：

m4.color = arima(color, order = c(2, 0, 1))

这些模型可用于分析不同结构在拟合精度和残差特性上的差异。

此外，针对 hare 数据集的平方根序列，拟合了一个 AR(3) 模型，并对其残差执行游程检验（runs test）以检测随机性：

m1.hare = arima(sqrt(hare), order = c(3, 0, 0))

运行游程检验命令：

runs(residuals(m1.hare), k = 0)

该检验有助于判断残差序列中是否存在系统性偏离随机模式的现象。