比例风险模型入门指南：从Kaplan‑Meier曲线到风险比，附可运行Python代码

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收藏 2026-09-02

普通回归无法回答的问题

有这样一份数据集：432名刑满释放人员，为期一年随访，观测唯一结局事件：再次被捕。一部分人在第8周、第30周再度被捕；大多数人（318人）在研究结束时从未被捕。

研究核心问题：犯人再次犯罪需要经历多长时间？

我们不能直接对被捕时间求平均值：四分之三的样本从未被捕，没有对应的被捕时间。也不能直接剔除这部分样本——只分析发生事件的样本，会错误得出“所有人最终都会再犯罪”的结论，该结论既不符合事实也非常片面。同样，也不能把未被捕人员粗暴标记为第52周被捕，现实中他们要么是52周之后才被捕（未观测到），要么永远不会被捕。

以上情形：我们只知道样本至少存活这么久，但不知道确切的事件发生时间，这就叫删失（Censoring）。生存分析这门学科正是为处理删失问题而生。普通线性回归只能接收确定数值，无法表达“至少52周”这类信息。而生存分析专门应对大量样本在观测终止时，事件仍未发生的场景。

本文围绕删失这一核心问题展开，首先介绍生存分析三大基础概念，之后完成三项实操：

使用Kaplan‑Meier法，直接基于数据估计生存曲线
重点讲解Cox比例风险回归模型
Python拟合模型，解读输出的风险比

生存分析三大核心概念

生存分析几乎全部建立在下面三个基础要素之上：

事件与时间：选定一个明确定义的结局事件，可以是死亡、再次被捕、设备故障、订阅流失、贷款违约。对每个样本记录两项信息：观测时长；观测终止原因，即事件标识变量（二元，1代表发生事件，0代表删失）。时间、事件标识两列是所有生存模型的核心输入。
生存函数 S(t)：样本存活超过时间t、尚未发生目标事件的概率。初始时刻t=0，S(t)=1；随着时间推移逐步下降趋近于0。


示例：12个月生存概率等于0.7，代表70%样本在一年后仍未发生目标事件。
”

风险函数 h(t)：在已经存活至t时刻的前提下，样本在t瞬间发生事件的瞬时速率。通俗理解：活到此刻的人群当中，有多大比例会在当下发生事件。

需要分清S(t)与h(t)：生存函数是累积结果，风险函数是瞬时速率。人活到80岁的总概率很低（生存值小），但人刚满80岁那一刹那的瞬时风险是完全不同的指标。可以打比方：生存函数代表水箱剩余水量；风险函数代表此刻水箱的出水速度。二者通过微积分关联：风险等于事件密度除以生存函数；对风险函数积分，又可以还原得到生存函数。

为什么重点研究风险，而不是直接对生存函数建模？因为协变量天然适合作用于风险。例如“经济补助可以将再被捕的瞬时风险每时每刻乘以0.68”，这句话描述的就是风险，也正是Cox模型输出的结果。

Kaplan‑Meier：无假设生存曲线估计

建模之前，可以直接由数据估计生存函数S(t)。Kaplan‑Meier估计量（1958），统计学领域引用量极高的经典论文，它不需要预先假设生存曲线的函数形态。

原理很直观：顺着时间向前遍历；每当有事件真实发生，统计发生事件前一刻仍处于风险集合的总人数，以及实际发生事件的人数；不断把“本时刻继续存活的比例”连乘。删失样本在离开研究之前，始终计入风险人群；退出之后安静离开，不会让生存曲线向下跳变。

下面使用Rossi再犯罪数据集，该数据集内置在Python lifelines库，来自Rossi、Berk、Lenihan1980年随机对照实验：跟踪432名释放囚犯一年，记录是否再次被捕，同时包含种族、教育等协变量。实验将受试者随机分为两组：出狱后获得经济补助组、无补助组，分组随机，对比具备可比性。

from lifelines import KaplanMeierFitter
from lifelines.datasets import load_rossi
import matplotlib.pyplot as plt

df = load_rossi()
# 432行：week观测周数，arrest(1=发生被捕事件)，以及各类协变量

kmf = KaplanMeierFitter()
for value, label in [(0, "无经济补助"), (1, "获得经济补助")]:
    g = df[df.fin == value]
    kmf.fit(g["week"], g["arrest"], label=label)
    kmf.plot_survival_function()

plt.ylabel("S(t)：保持未被捕状态概率")
plt.show()


图1：按经济补助分组的Kaplan‑Meier曲线。每一处向下台阶代表有人再次被捕；阴影带为95%置信区间。补助组（蓝色）全程生存曲线位置更高。第52周，补助组再被捕约22%；无补助组约31%。
”

判断两组曲线差异是否属于随机波动，使用对数秩检验（log‑rank test）：对比每组实际事件数，和假设两条曲线完全相同时的理论期望事件数。

from lifelines.statistics import logrank_test

results = logrank_test(
    df[df["fin"] == 1]["week"],
    df[df["fin"] == 0]["week"],
    event_observed_A=df[df["fin"] == 1]["arrest"],
    event_observed_B=df[df["fin"] == 0]["arrest"],
)
results.p_value

本数据集得到p≈0.05，处于显著性临界值。注意：Kaplan‑Meier+对数秩检验只能做单变量分析，无法校正年龄、前科等混淆因素。想要控制协变量，就要使用Cox模型。

Cox模型：对风险做回归

当我们需要类似回归的能力：输入协变量，输出变量效应，但目标对象是风险。朴素思路是完整写出h(t)函数表达式全部参数。但现实中我们往往不知道风险随时间变化的函数形态，也不想强行指定。

Cox的核心洞见：不需要指定基线风险的具体形态，依旧可以估计协变量的效应。

模型表达式由两部分相乘：

：基线风险，所有协变量全部取0的假想样本随时间变化的风险。形态完全不做限定，可以是任意曲线，属于模型的非参数部分。
：协变量效应项，根据个体特征，对基线风险做整体放大或缩小，属于参数部分。

所以Cox是半参数模型。

Cox模型的巧妙之处：取两个样本风险的比值。基线风险对两者完全一样，做比值时分子分母抵消。最终风险比表达式不再含有时间t。第1周、第20周、第52周的风险比完全相等，无需知道基线风险的形状——这就是Cox模型的核心。

Cox进一步提出偏似然函数：在每一个事件发生时刻，提出问题：


当前所有仍处于风险集合的人当中，为什么偏偏是这个人发生事件，而不是其他人？
”

删失样本适配这套机制：在退出研究之前留在风险集合，之后退出，不发生事件；但提供了“截止删失时刻仍然没有出事”的信息。

拟合前两个概念：

结（Ties）：偏似然假设事件可以严格排序；同一时间点发生多个事件时，软件需要校正，现代默认采用Efron方法，精度优于Breslow方法。
即为风险比(Hazard Ratio, HR)。系数，则，无效应；，，保护性因素，降低风险；升高风险。论文报告一律输出指数化后的风险比。

Python拟合Cox模型并解读风险比

lifelines库实现Cox模型非常简便：

from lifelines import CoxPHFitter

cph = CoxPHFitter()
cph.fit(df, duration_col="week", event_col="arrest")
cph.print_summary()

输出结果汇总：

协变量	风险比(\exp(\beta))	95%置信区间	p‑value
经济补助	0.68	0.47‑1.00	0.047
年龄（每增长一岁）	0.94	0.90‑0.99	0.009
前科次数（每一次）	1.10	1.04‑1.16	0.001
种族	1.37	0.75‑2.50	0.31
工作经历	0.86	0.57‑1.31	0.48
已婚	0.65	0.31‑1.37	0.26
处于假释期	0.92	0.63‑1.35	0.67

解读：

经济补助 HR=0.68：任意时刻，领取补助会让再被捕瞬时风险降低32%，也是原始实验想要验证的处理效应。
年龄 HR=0.94：年龄每增加一岁，再犯罪风险下降约6%；年纪更大的释放人员犯罪速率更低。
前科 HR=1.10：每多一次前科，风险上升10%，效应是相乘形式；5次前科，风险大约为倍。


⚠️风险比不等于生存概率差值。风险比是瞬时事件速率的倍数，假设随访全程倍数恒定。引出关键问题：倍数真的恒定吗？
”

模型名称背后的假设：比例风险假设

模型之所以叫比例风险模型，根源就在于风险比不随时间t变化：任意两个个体之间的风险比值全程不变。

经济补助在第2周降低32%风险，到第50周依旧降低32%。两组风险同步升降，一组始终是另一组的固定倍数；两条生存曲线不能相交。

现实情况未必满足：干预措施初期效果极强，后期衰减；风险因素只在长期随访才显现危害。一旦真实风险比随时间漂移，普通Cox模型给出的单一系数，在早期、晚期都会出现偏差。因此必须检验比例风险假设。

主流检验基于Schoenfeld残差（Schoenfeld 1982；Grambsch & Therneau 1994提供缩放残差与正式检验）。每个事件发生时刻，Schoenfeld残差衡量发生事件样本的协变量取值，对比此刻风险集合内协变量平均值的偏差。比例风险假设成立，则残差相对时间没有趋势；残差出现明显斜率，代表效应随时间改变，比例性假设破坏。

cph.check_assumptions(df, p_value_threshold=0.05, show_plots=True)

本数据集检验发现两个变量违反假设：age年龄、wexp工作经历，p值分别0.0007、0.0063。

这是真实数据集暴露的典型问题：如果只看模型系数p值就结束分析，问题会被完全掩盖。年龄HR=0.94本身不算错误，但不够完整，模型把随时间变化的效应强行压缩成单一常数。

比例风险假设不满足时如何处理

假设检验不通过不等于分析作废，往往反而是分析最有价值的发现，三种常用解决方案：

分层（Stratify）：变量违反比例风险，但我们只需要做混杂校正，不需要估计该变量本身效应，则使用分层。分层会为该变量每一个类别拟合独立基线风险，不再强制效应比例恒定。

cph_strat = CoxPHFitter()
cph_strat.fit(
    df,
    duration_col="week",
    event_col="arrest",
    strata=["wexp"]
)
cph_strat.print_summary()

对工作经历分层修复比例风险问题之后，核心结果保持稳定：经济补助HR=0.68；年龄每岁HR=0.94；前科HR=1.09依旧统计显著。种族、婚姻、假释无显著性。模型一致性指数0.61，说明模型对“谁会更早被捕”具备中等排序能力。

允许效应随时间变化：如果希望研究效应如何随时间改变，增加协变量与时间函数的交互项，得到时变系数。lifelines中使用CoxTimeVaryingFitter，需要把数据按事件时刻拆分。
优先检查变量函数形式：Schoenfeld检验对协变量函数形式错误很敏感。年龄的真实效应是非线性（风险快速下降之后趋于平稳），直接以线性形式放入模型，即便风险本身满足比例，也会触发检验报错。在使用时变模型前，可以尝试给违规变量增加平方项。

核心要点总结

删失不是缺失值，是有效信息。生存分析方法的目标就是正确使用删失样本携带的部分信息。千万不要直接删掉未发生事件的样本，这恰恰会引入生存分析要规避的偏差。
Kaplan‑Meier用于探索，Cox模型用于校正混杂。优先绘制KM曲线，假设条件少，建立生存形态直观认知；需要控制协变量再切换Cox回归。报告输出风险比带上置信区间，不只输出p值。
风险比是风险的倍数，不是加减法。HR=0.68代表补助把瞬时再被捕速率变为原来三分之二；并不直接告诉我们多少人免于被捕，也不告诉我们延长多久无罪时间。并且默认倍数全程不变，该假设必须检验。
务必检验比例风险假设，仅几行代码，是一份严谨生存分析和脆弱分析的分水岭。不满足假设时，可以分层建模、拟合时变效应、修正协变量函数形式。
模型拟合优度看一致性指数 Concordance，不要用R²。一致性指数衡量模型对事件发生先后顺序的排序能力。

生存分析本质上就是一套回归，坦然接纳“部分结局我们尚未观测到”。吃透风险比，重视比例风险假设，你的分析结论才能经得起时间检验。