"我用了 AIPW，它是双稳健的，所以估计可以信"——威斯康星大学这门课的练习第 20 题，就是拿这句话当题面，让人解释双稳健到底保证了什么、还该追问什么。讲义里那句判断更直接：双稳健这个名字容易误导，它强调的只是其中一个函数恰好正确的情形。

课程是 BMI/POP HLTH 661《Causal Inference, Surveys, and Missing Data for Population Health》，2026 年秋季，授课教师 Amy Cochran，周二、周四下午 4:00—5:15 在 726 WARF 上课。公开在网上的不是课件 PDF，而是一本可以逐章读的在线书，章节按因果推断的教学顺序排。

已公开 19 章加 4 组练习：动机部分 4 章（用数据当侦探、概率不够用、临床试验作为范例、概率作为形式语言），构造部分 6 章（结构因果模型、因果图、全局马尔可夫性、潜在结果、单世界干预图），可测混杂 5 章（结果回归、匹配、倾向得分、逆概率加权、稳健估计），不可测混杂 4 章（不可测混杂、工具变量、断点回归、其他策略）。练习按章分组，第三组做到第 21 题。

侧栏里还有三块只有标题没有正文：敏感性分析、缺失数据、复杂调查。课程进度表把它们排在 11 月 10 日之后，网页上没有对应章节，读不到就是不存在的，别把课程计划当已发布讲义。

稳健估计那一章从"模型错了会怎样"起手，先分开算两种偏差，再合成。

结果回归的偏差是拟合结果函数与真实条件均值之差的期望：E［μ(X,
1)］  E［Y
(1)］ = E［μ(X,
1)  μ(X,
1)］。如果每个协变量取值上预测都低两个单位，平均下来也低两个单位，误差不会被平均掉。

逆概率加权的偏差落在倾向得分上。用 Horvitz–Thompson 形式（除以 n 而不是权重之和），偏差写成 E［{e(X)  ê(X)}/ê(X) · μ(X,
1)］：某组的处理概率被低估，这组的处理组结果就被赋予过高权重。两个式子说明同一件事，结果回归靠结果函数对，IPW 靠倾向函数对，各只对一半。

AIPW 把两边拼起来，剩下的是两个误差的乘积：E［{μ(X,
1)  μ(X,
1)} · {ê(X)  e(X)}/ê(X)］。讲义在这里给了一句很实用的推断：结果均值误差 0.
10、相对倾向误差 0.10，乘起来是 0.01，两个模型都不精确，剩余偏差却比任一单项误差都小。所以"所有模型都错"不是放弃的理由，重点是把两个函数都估好。

讲义用四个人把三种算法算了一遍。倾向得分是 0.25、0.25、0.75、0.75，结果模型取 μ(x,
a) = 3 + 2x + 4a。四个人分别叫 Hickory、Hazel、Willow、Chestnut，处理与结果依次是 (1,
6)、(0,
2)、(1,
10)、(0,
4)。

结果的对比表是这样的：

三种方法瞄的是同一个 ATE，数值差出一截。AIPW 的算法是：先按处理值预测每个人的结果，再用该人实际观测到的结果算加权修正项，最后对全部人取平均。Hickory 在处理 1 下的预测是
7、实际
6、权重 1/0.25 = 4，修正项就是 4×(6
7) = 4，贡献 3；Willow 的权重是 4/3，修正 4/3，贡献 31/3。四个人平均得 22/3。

手算这四个数比读十遍公式有用，因为能看到修正项如何把人往真实值上拽，也能看到 IPW 换了分母（除以 n 而非权重和）结果就会变。

网页上的练习只给题不给答案。第 19 题是另一组四人格：Hickory (A=1, Y=12, ê=1/
2)、Hazel (0, 6, 1/
4)、Willow (1, 8, 3/
4)、Chestnut (0, 10, 1/
2)，结果预测也换成另一套数，要求把权重、修正项、贡献三列填完再算 ATE。

答案藏在课程仓库的源文件里：_exercises/03e-robust-estimators.qmd，171 行，三个 **Solution** 区块，对应第 19、20、21 题。网页渲染时这些块被隐藏，读源码才看得到。第 20 题给的数是一个协变量点上真实值与拟合值都已知的对照（结果均值 10 对
12、倾向得分 0.40 对 0.50），让人分别算三种方法的建模偏差；第 21 题用训练误差 1.36 与交叉验证误差 1.45 的加性线性模型，对 0.25 与 0.29 的灵活模型，问该选哪个。

讲义没有停在 AIPW 就收，接着讲"两个平庸模型合起来不如一个好模型"。它引了 2016 年 Atlantic Causal Inference Conference 竞赛的结论：灵活建模结果条件均值的方法表现突出，其中包括不建倾向模型、只做结果建模的 BART。

之后用回归树解释"用平面拼出曲线"：一棵树把协变量切成若干区间，每个区间给一个预测值，区间越窄台阶越贴曲线。再到 BART，把很多棵小树加起来，μ(x,
a) = Σ g_j(x,
a)，先验压住单棵树的贡献。

例子是 189 位母亲的出生体重数据，dbarts::bart() 拟合，nskip = 500，种子设为 661；做法是把每位母亲的吸烟值分别改成 1 和 0 各预测一次，再在两个处理值上取平均。这套"同一批人做两次预测再平均"的路子，和前面 AIPW 的计算骨架是同一个。

课程用 R，出生体重数据来自 MASS 包（网页版会先找 data/birthwt.csv，找不到就退回 MASS::birthwt），BART 部分要装 dbarts。讲义代码块带 set.seed(661)，换种子后 BART 的预测会有小幅波动，这属于后验抽样，不是错误。

练习不需要拟合任何模型，题面把预测值和评估结果都给了，纸笔加计算器就能做完，这一点在第 19 题开头写得很清楚。

公开的是课程网页与 GitHub 源文件，选课、Canvas 提交、评分与项目细则都不在公开范围内。课程评估里项目占 35 分，要求做一次目标试验模拟（target trial emulation），分六个节点交，这部分只有在校生能拿到细则。

课程页、章页与 GitHub 仓库都没有许可声明，仓库里也没有 LICENSE 文件。所以这里只做中文导读与公式转述，不转存章节页、不打包源文件；要引用请回到课程页，署名课程名、教师与学期。整批转载或用于培训之前，得先问作者。

需要课程页与 GitHub 源文件的直达地址、19 章的逐章清单、练习 19 到 21 的答案要点，以及出生体重与 BART 那段的代码口径，回帖后可见。