当两个变量一起变化时，统计学家称存在很大的共变或相关性。相关系数r量化了相关性的方向和大小。

关键概念：相关性

• 当两个变量一起变化时，统计学家称存在很大的共变活相关性。
• 相关系数r量化了相关性的方向和大小。
• 当您测量了两个变量(通常是X和Y)时使用相关性分析，如果其中一个变量在实验中是被操纵活控制的，则不适用(X值通常符合这种描述：例如，剂量-反应实验中使用的特定浓度是受控值)。
• 两个变量的值几乎总是实数(不是整数、不是分类、不是计数)。
• 相关性分析报告相关系数的值。它不创建回归线。如果您想要最佳拟合线，请选择线性回归。
• 请注意，相关性和线性回归并不相同。请回顾它们的区别。特别要注意，相关性分析不拟合或绘制直线。
• 相关性计算相关系数及其置信区间。其值范围从-1(完全反向关系；一个变量的值上升，另一个变量的值下降)到1(完全正向关系；一个变量的值上升，另一个变量的值也上升)。相关系数为零意味着两个变量的值之间完全没有相关性。
• 相关性分析还报告一个P值，可用于检验原假设：数据采样自两个变量之间不存在相关性的总体(换句话说，原假设是r=0)。
• Pearson和Spearman相关性之间的区别在于，只有当您假设两个变量的值均采样自高斯分布的总体时，才能解释Pearson相关性的置信区间和P值。Spearman校正不做此假设。
• 如果任一变量仅有两个可能的值，则Pearson相关性的结果与点双列相关相同。
  

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如何操作：相关性分析

Prism可以从XY、列和多变量数据表中执行相关性分析。点击分析按钮并选择相关性。

计算哪些列对之间的相关性？

计算两个特定列之间、所有列之间(相关性矩阵)，或每个列与对照数据集之间的相关性(如果您分析的是XY数据表，对照数据集即为X)。

如何处理缺失数据？

当选择为每一对Y数据集(相关性矩阵)计算r值时，Prism提供了在数据缺失时该如何处理的选项。默认情况下，包含缺失值的行仅从包含该缺失值的变量/列的相关系数计算中剔除。该行上的其他值(即其他变量中的值)仍包含在它们所属变量的计算中。

Prism提供了一个选项：当某一行中由任何值缺失时，排除整行数值。这确保了所有相关系数都是基于同一组行中的数据进行计算的。

假设数据采样自高斯分布？

Prism提供两种计算相关系数的方法：

• Pearson相关性计算基于以下假设：X和Y值均采样自服从高斯分布的总体，至少近似服从。对于大样本，这一假设并不太重要。
• Spearman非参数相关性不对数值的分布做任何假设，因为其计算基于秩次，而不是实际数值。
  

单尾还是双尾P值？

Prism可以计算单尾或双尾P值。我们建议几乎总是选择双尾P值。只有在收集任何数据之前，您已经指定了相关系数的预期符号，并且无论相关性多么显著，您都愿意将任何“错误”方向的相关性归因于偶然性时，您才应该选择单尾P值。

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结果解读：相关性

相关系数

相关系数r的范围从-1到+1。非参数Spearman相关系数(简写为rs)具有相同的范围。后者的值有时用希腊字母ρ(rho)表示。

r(或rs)的值	解读
1.0	完全相关
0到1	两个变量倾向于同时增加或减少
0.0	两个变量完全不共同变化
-1到0	一个变量增加时，另一个变量减少
-1.0	完全负相关或反向相关

如果r或rs远离零，有四种可能的解释：

• X变量的变化导致Y变量的值发生变化。
• Y变量的变化导致X变量的值发生变化。
• 另一个变量的变化同时影响X和Y。
• X和Y实际上根本没有相关性，您只是碰巧通过偶然性观察到了如此强的相关性。P值量化了这种情况发生的可能性。
  

关于相关系数的说明：

• 如果您选择Spearman非参数相关性，Prism会通过近似法计算Spearman相关系数的置信区间。根据Zar(Biostatistical Analysis)，这种近似法只应在n＞10时使用。因此，当n较小时，Prism不会报告Spearman相关系数的置信区间。
• 如果您要求Prism计算相关性矩阵(计算每对变量的相关系数)，它会为每一对计算简单的相关系数，而不考虑其他变量。它不计算多重回归或偏回归系数。
• 如果所有Y值都相同，则无法计算相关系数(无论是参数还是非参数)，并且Prism会报告“水平线”。相关性询问的是X和Y共同变化的程度。如果Y根本没有变化，这个问题就毫无意义，相关性计算也无法进行(除以零)。
• 如果所有X值都相同，则无法计算相关系数，并且Prism会报告“垂直线”。
  

r2

也许解读r值最好的方法是将其平方以计算r2。统计学家称这个量为决定系数，但科学家称它为“r平方”。它的值范围从0到1，代表两个变量中“共享”的方差比例。例如，如果r2=0.59，那么X中59%的方差可以由Y的变异来解释。同样，Y中59%的方差可以由X的变异来解释。更简单地说，X和Y之间共享了59%的方差。

Prism仅从Pearson相关系数计算r2值。使用非参数Spearman相关系数计算r2是不合适的。

P值

P值回答了这个问题：

如果总体上X和Y之间确实没有相关性，随机抽样导致相关系数远离零的程度达到(或超过)本实验中观察到的程度的概率由多大？

如果P值很小，您可以拒绝相关性由随机抽样导致的这一观点。

如果P值很大，数据没有给您任何理由得出相关性是真实的结论。这并不等同于说完全没有相关性。您只是没有令人信服的证据证明该相关性是真实的，而不是由偶然性造成的。请查看r的置信区间。它将从负相关延伸到正相关。如果整个区间由您认为在生物学上微不足道的接近零的值组成，那么您就有强有力的证据表明总体中要么没有相关性，要么存在微弱的(在生物学上微不足道的)关联。另一方面，如果置信区间包含您认为在生物学上重要的相关系数，那么您无法从该实验中得出任何强有力的结论。要得出强有力的结论，您需要来自更大实验的数据。

如果您在列数据表上输入数据并请求生成相关性矩阵，Prism将报告每一列与其他所有列相关性的P值。这些P值不包括任何多重比较的校正。

Prism总是报告双尾(双侧，two-sided)P值。

Prism如何计算Spearman非参数相关的P值

对于17对或更少的值对，Prism会计算非参数(Spearman)相关的精确P值，它会查看数据的所有可能排列。精确计算可以毫无问题地处理并列值。对于18对或更多的值对，Prism会计算非参数相关的近似P值。这种近似法是标准的。它首先从Rs计算t比率，然后据此计算P值。

如果Spearman相关系数的精确P值计算被中断(例如，通过按下“ESC”键取消)，Prism将为任何剩余的相关系数报告近似P值。在分析结果中，Prism将报告Spearman相关系数的每个计算出的P值是精确的还是近似的。

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分析核查清单：相关性

√ 数据点是否独立？

相关性分析假设任何随机因素仅影响一个数据点，而不影响其他数据点。如果您从一个组选择一半受试者，从另一个组选择另一半，则违反了此假设。组间的差异会影响一半受试者，而不影响另一半。

√ X和Y是否独立测量？

如果X和Y相互交织，计算式无效的。如果您将期中考试成绩与课程总成绩进行相关分析，则违反了此假设，因为期中成绩是总成绩的组成部分之一。

√ X值是测量得到的(而非受控的)吗？

如果您控制了X值(例如，浓度、剂量或时间)，则应计算线性回归，而不是相关性。

√ 共变是否呈线性？

如果Y随着X增加而增加直至某一点，随后Y随着X继续增加而减少，那么相关性分析将没有帮助。即使这两个变量强相关，您也可能获得较低的r值。相关系数仅量化线性共变。

√ X和Y是否服从高斯分布？

要接受标准(Pearson)相关性的P值，X和Y的值必须分别采样自服从高斯分布的总体。Spearman非参数相关不做此假设。

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相关性矩阵

除了比较单对变量或将每个变量与对照进行比较外，您还可以让Prism计算每一列与其他每一列的相关性。该分析的结果是一个相关性矩阵。

相关性矩阵分析的结果会显示在多个结果页面上：

• 相关系数(Pearson或Spearmanr)。这是针对每一对变量计算的，并不考虑其他变量。Prism不计算偏相关系数。
• 每个计算出的相关系数的P值。在这种情况下，原假设是一对变量的真实总体相关系数为零。双尾P值可用于同时检验相关系数是否大于或小于零，而单尾P值只能用于检验某一个方向。
• P值类型(仅限Spearman相关性)。此矩阵指示为每个相关系数计算的是精确P值还是近似P值。如果Spearman相关系数的精确P值计算被中断(例如，通过按下“ESC”键取消)，Prism将为任何剩余的相关系数报告近似P值。在分析结果中，Prism将报告Spearman相关系数的每个计算出的P值是精确的还是近似的。
• 样本量。此矩阵提供了用于计算每个相关系数的值对数量。请注意，如果存在缺失数据，所有相关系数(变量对)的样本量可能并不相同。
• 置信区间。此矩阵中报告了每个相关系数的置信区间。
  

勾选一个选项以创建R2值的热图。要从P值或样本量制作热图：在该页面中，点击新建并选择现有数据的图表。选择分组图，然后选择热图选项卡。

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相关性与回归的区别

相关性和线性回归并不相同。

目的是什么？

相关性量化了两个变量相关的程度。相关性不会再数据点之间拟合直线。您只是计算一个相关系数(r)，它告诉您当一个变量发生变化时，另一个变量倾向于变化多少。当r为0.0时，没有关系。当r为正时，存在一个变量上升而另一个变量也上升的趋势。当r为负时，存在一个变量上升而另一个变量下降的趋势。

线性回归寻找从X预测Y的最佳直线。

什么样的数据？

当您测量两个变量时，几乎总是使用相关性分析。当其中一个变量是您在实验中操纵的变量时，它很少适用。

线性回归通常用于X是您操纵的变量(时间、浓度等)的情况。

哪个变量是X、哪个是Y有关系吗？

使用相关性分析时，您不必考虑因果关系。两个变量中哪个叫“X”、哪个叫“Y”并不重要。如果您交换这两个变量，您将得到相同的相关系数。

在回归分析中，决定哪个变量叫“X”、哪个叫“Y”很重要，因为如果您交换这两个变量，您将得到不同的最佳拟合线。从X预测Y的最佳直线与从Y预测X的最佳直线不相同(然而，这两条直线的R2值相同)。

假设

相关系数本身只是一种描述两个变量如何共同变化的方法，因此它可以对任何两个变量进行计算和解释。然而，进一步的推断需要额外的假设，即X和Y都是被测量的(是等距或等比变量)，并且两者都是采样自高斯分布。这被称为二元高斯分布。如果这些假设成立，那么您可以解释r的置信区间以及检验原假设的P值，即两个变量之间确实没有相关性(并且您观察到的任何相关性都是随机抽样的结果)。

对于线性回归，X值可以是测量得到的，也可以是实验者控制的变量。不假设X值采样自高斯分布。假设数据点与最佳拟合线之间的距离服从高斯分布，散点的标准差与X或Y的值无关。

结果之间的关系

相关性计算Pearson相关系数r的值。其值范围从-1到+1。

线性回归使用r2来量化拟合优度，有时以大写字母R2表示。如果您将相同的数据进行相关性分析，来自相关性分析的r的平方将等于来自回归分析的r2。