正在看李贤平的《概率论基础》，按照他的意思，弱收敛是一个比较广泛的概念，依分布收敛只是它的一种特殊情况。一般的弱收敛可以不收敛到一个分布函数，当一个分布函数列弱收敛到一个分布函数时，就称为依分布收敛。

楼上说的基本没错。
依分布收敛，在Durret的书里面叫做weak convergence,指的是随机变量的分布函数在极限分布函数的连续点收敛；更广泛的一类收敛叫做淡收敛，vague convergence,指的是一列单增右连续的函数在极限函数的连续点收敛。所以可以看出来依分布收敛weak convergence是淡收敛vague convergence的一种特殊情况。
另外，随机变量实际上就是一个从抽象概率空间映射到实数空间的可测函数，概率空间的测度由此可以唯一地引出实数空间的测度，进而可以定义F（x）=u(-infty,x]也就是分布函数。