如何学好大学数学类课程：数学学习漫谈2

就数学课程而言，考好与学好不同。前者更强调运用熟练，后者更强调理解深刻。当然，真正学好了，一般也能考好。所有的课程都要争取考好，而只有核心课程值得花功夫学好。

数学系的课程不少，核心的也只有几门。数学分析、线性代收(往往还包括代数方程和解析几何)、微分几何、复变函数、实变函数、抽象代数、泛函分析、拓扑学。这些核心课程仅是考得好还不够，还要学得好。其它的课程也重要，但如果这些核心课程学得好，相对比较容易。例如，常微分方程和数理方程，内容驳杂，但真正深刻的思想不多；数值分析需要上机实习，但数学本身的含量也不是很高。

如果要学好这些核心类课程，应该注意以下几点。

首先，听中国教师上课。教师的讲解总是重要的，特别是对于低年级的入门性课程。上大学交学费，却不用教师的资源，显然不是明智的选择。与中学听课更侧重解题方法不同，大学的数学课程更应该听教师的分析思路和概念解释。为有更好的听课效果，课前应简单预习，了解要讲的大致内容；课后要复习。特别注意理论的完整性。多数数学课程在具有不同尺度上的理论体系。全部数学课程是个体系，每门课程又是个子体系，课程中每章又自成体系，而教师组成材料时往往让每次课也有一定的完整性。

其次，做俄国习题集的题目。想要学好数学，必须多做练习。完成教师布置作业后仍有余力，应该把教材上比作业难的题目也都做了。在此基础上，我建议从俄国的习题集中找题目做。这出于两方面的考虑。其一，俄国的数学教学体系与中国的很接近，更准确地讲现在中国的教学体现主要是因袭俄国的，因此比较便于与课堂教学同步练习。其二，俄国很多教材没有习题或仅有很少的练习，因此必须配套专门的习题集；往往是一本习题集要配不同的教材，所以习题集的内容很丰富。当然，俄国习题集的缺点是题目太大有些是比较机械的重复性练习。最好有内行指点使用。

第三，阅读英文教材。真正的数学概念是超越语言的，因此用不同的语言思考数学问题，有助于理解的深入。一般而言，阅读英文比中文吃力，因此教材更要精选。不仅要阅读教材，而且要完成练习，这样可以检验理解程度。或许与课堂教学同步阅读英文教材不太现实，不仅是时间有限，而且教学体系差别比较大。可以学完门课程后再读英文教材。英文教材需要精选，下次再专门详细谈。

最后，课程之间打通。前面说过，全部数学课程构成个理论体系。要学好的不仅是每门课程，而且是要把各门课程融会贯通。各门课程的分别仅是为教学方便的侧重不同，彼此之间还是有联系的。例如，数学分析课程中多元曲线和曲面积分用得都是Riemann积分，而在实函数论中将学习Lebesgue积分以及其它抽象积分，这时就应该思考曲线和曲面Lebesgue积分的性质与用途。再例如，高度代数中讲线性空间都是有限维，泛函分析中引入无限维空间，两者的异同也很值得推敲。

顺便一提，坊间有大量的学习指导、习题指南之类的辅助读物。这些对考好数学或许有一定帮助，但基本上无助于学好数学。这类书的作者，在最好的情况，也只是有些教学经验，但一般缺乏职业数学家所具有的理解和洞察。

本科数学英文教材推荐：数学学习漫谈3

我选英文数学读物的原则是深度一般不超过国内数学本科的水平，教学体系尽量有所差别。最好能读大师经典，重在融会贯通。国外有些比较新的教材，在教学法方面考虑很多，确实下功夫“浅出”，但由于读者只是复习提高，我不认为这些教材合适。当然，教师还是有必要参考以充实教学内容。

基于上述考虑，如果想学好数学，在大学4年里至少应该读下列各书，并完成其中至少部分习题。

第1种，两卷本Introduction to Calculus and Analysis (Vols. 1,2) by Richard Courant and Fritz John。该书1974年由John Wiley and Sons作为Interscience系列初版，1989年由Springer-Verlag作为Classics in Mathmatics重印。2000年的重印本被世图公司2008年在大陆发行。该书由汉译本，收入“数学名著译丛”。该书的内容与国内数学分析基本接近，但还包含线性代数、微分方程、变分法和复变函数的导论性内容。作者Courant是应用数学的大师，Fritz John也是偏微分方程方面的顶级专家。该书可以在学过数学分析后阅读。

第2种，Finite-Dimensional Vector Spaces by Paul R. Halmos。该书1942年作为Annals of Mathematics Studies丛书的第7种由Princeton University Press出版。修改后的第2版1958年由Van Nostrand出版，1974年由Springer-Verlag出版作为Undergraduate Texts in Mathematics丛书中的一种，国内出版了盗印本。2008年世图公司出版在大陆发行了Springer-Verlag的1987年重印本。作者Paul R. Halmos或许不是一流的数学家，但毫无疑问是一流的数学教育家和教科书作者。该书强调有限维空间与无限维空间的联系。因此，不仅是线性代数的复习，也是泛函分析的初步导引。该书可以在学过线性代数后阅读。

第3种，Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra by Morris H. Hirsch and Stephen Smale。该书1974年由Academic Press出版，有高教版的汉译本。2004年由Elsevier出了新版Differential Equaitons, Dynamical Systems, and An introduction to Chaos by Morris H. Hirsch, Stephen Smale and Robert L. Devaney，新版本于2007年由世图公司在大陆发行，后来又有人民邮电出版社的汉译本。虽然新版中有些更时髦的内容，但线性代数的内容有所消弱。我个人更偏爱旧版。Smale是当代大师级的数学家，Hirsch也在顶级数学家之列。该书内容基本涵盖国内高度代数和常微分方程两门课程，但在某些方面论述的更为深刻。该书可以在学过常微分方程后阅读。

第4种，Complex Analysis by Lars V. Ahlfors。1979年McGraw-Hill出版该书第3版，有上海科技出版社的汉译本，2004年机械工业出版社在大陆发行影印本。作者Ahlfors是大师级的数学家，曾获Fields奖(1938)和Wolf奖(1981)。该书选材精练、论证严谨，有些内容的处理别具一格。有些习题，但不算很多。该书可以在学过复变函数后阅读。

第5种，A Survey of Modern Algebra by Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane。该书于1941年由Macmillan出了第1版，多次修订再版，到1976年出了第4版。第4版大陆有当年光华出版社的盗印版，并有高教的汉译本。1998年由A K Peters出了第5版，2007年人民邮电出版社在大陆发行了第5版。该书内容丰富，几乎涵盖本科水平的全部代数内容，而且从统一的观点组织材料。该书可以在学过抽象代数后阅读。

第6种，Principles of Mathematical Analysis by Walter Rudin。该书1976年McGrawhill出了第3版，并有高教出的汉译本。2007年机械工业出版社在大陆发行了重印本。该书内容比国内的数学分析课程多，还包括属于拓扑学的度量空间的拓扑和属于实变函数的Lebesgue积分，特别是有流形上积分的简明导论。Rudin写过多种分析教材，但都不是本科生程度的。该书论述简明扼要，习题量比较大，而且有些题目很难。该书应该在学过实变函数后阅读，但不用等学完拓朴学。

第7种，Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry by I. M. Singer and J. P. Thorpe。该书1967由Scott-Foresman出版，年Springer-Verlag作为Undergraduate Texts in Mathematics丛书出版。该书有高教的汉译本。两位作者都是著名数学家。该书名称中的 “Elementary”有些误导。事实上，该书包含点集拓扑、代数拓扑和微分几何等内容，比较难读。该书可以在学过拓扑学也就是完成了数学系本科全部主干课程后阅读。

还应该有分析类的书。不过，这方面我不太能吃准本科和研究生课程的分界所在，暂时先不推荐了。

数学分析的推荐读物：数学学习漫谈4


国内的数学分析教材可谓汗牛充栋，保守估计也有几十种之多。北大、复旦等高校的教授，陆续各出过4、5种教材。这些国内教材虽然各有特色，但差别并不是很明显。无论用那种教材，另外再参考一种似乎就够了。

如果要看参考书，我觉得已故北大张筑生教授的3卷本《数学分析新讲》最有特色。毕竟张筑生是微分拓扑特别是动态系统的专家，某些问题的处理是从更的高观点。如一般隐函数定理的证明用的是迭代逼近方法，引入微分形式证明了Brouwer不动点定理等。还有为配合其它课程应用需求比较早的讲了微分方程，而且微分学在几何中的应用比较系统。但那本书没有习题，因此不能检验自己的理解程度。

经典内容最全的参考书还是菲赫金哥尔茨的3卷本《微积分学教程》。内容丰富如百科全书，真可谓一套在手，别无所求。缺点是过于繁琐。或许可以查阅参考，但不必通读。我熟悉的是依据50年代俄文版译出的老版本。高教新出版了俄文第8版的汉译本，基本特点没变。

或许比看参考书更重要的是做习题。我推崇的是吉米多维奇《数学分析习题集》，全书有4千多道题目。当然不需要每道题目都做，特别是一些计算题和作图题。但把其中的所有证明题都做了或至少思考过，将大有裨益。该书的不仅是题目合适，而且难度适中。天资一般但用功的学生，就算不能独立完成全部题目，不会的题目稍加点拨就可以理解。还有些更难的数学分析问题分析之类，或者需要很高的数学解题天赋，或者更适合高年级“经典分析方法”之类选修课用。

数学分析这种基础核心课程需要看英文教材。学完1学期后可以读Introduction to Calculus and Analysis的卷1，全部学完后再读卷2。

高等代数的推荐读物：数学学习漫谈5

所谓高等代数其实是代数最基础的内容，一般包括线性代数基础再加上多项式。国内的教材也出了许多。高等代数与数学分析不同，没有特别深刻费解的概念，整个课程都是些记号和算法。如果没入门，难免晕头转向；但入了门，发现一切都很简单，经过练习，比较容易达到如鱼得水的境界。

这门课国内的标准教材是北大代数小组编写的《高等代数》。当年我读的是第一版，现在已经出了第3版。那本书的特点是内容丰富，选材均衡。如果单独讨论某部分的特点，还真不太容易。第一版版题目少些，后来还专门出个补充题目的小册子，新版又补充了习题。美中不足的是，习题没有答案，或许是其中证明题比例很大的缘故。对于这样本堪称经典的教材，有些不可思议。顺便说句题外话，该书初版有个不甚严密的论断，我当时还是年轻人比较好事，为此给位北大教授写信指出个反例，该教授是第3版修订工作的负责人之一，当年给我肯定性的回复。

线性代数也有本译自俄文的习题集，普罗斯库烈柯夫的《线性代数习题集》。在我看来，该书远不如吉米多维奇的《数学分析习题集》。全书有近2千道题目，而且如书名所示，不包括多项式的习题。作者似乎特别喜欢行列式的题目，收集了550多道。有些较难的题目有提示或解答。

学完该课程后，可以读本英文书Finite-Dimensional Vector Spaces，也算是著名教材。学过常微分方程后，还可以再学Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra。

数学分析推荐读物补充：数学学习漫谈6

看到本很有特点的教材，常庚哲和史济怀编《数学分析教程(上、下册)》(高教，2003)。该书是作者在中国科技大学数学系教学经验的总结。

该书最初的雏形是何琛、史济怀和徐森林的3卷本《数学分析》。直接前身是常庚哲和史济怀3卷本的《数学分析教程》(江苏教育，1998)。我对史济怀的印象特别深刻，中学和大学时读过他的小册子《平均》和《母函数》，后来才知道他还当过中科大的副校长。我一直对国内教材以及所效仿的俄书教材中的多元微积分部分不满意，后来看了的徐森林《流形和Stokes定理》，才在一定程度上满足了这方面的好奇心。该书与Calculus on Manifolds by M. Spivak相比，与国内的教材衔接得更好些。顺便一提，徐森林最近有套3卷本的《数学分析》由清华大学出版社出版。

常庚哲是初等数学界的当年的名家，与张景中、杨路、单樽等齐名，不过张后来入选了中科院院士。我中学时在《数学通报》等期刊上读过他的文章，也读过他脍炙人口的小册子《抽屉原则及其他》和《复数与几何》，后者后来又扩充为《复数计算与几何证题》。这本书预示了他后来的主要研究方向是计算几何。最近才知道59年是他便是关肇直数学分析课的助教。

该书的突出特点是初等数学以及微积分基本知识的精妙运用。既给出了某些经典内容的新的处理，也引进些新的教学内容。具体的在书的序言中说得很清楚，这里不重复了。这个特点的负面影响是对教材使用者的数学成熟性要求很高。因此该书很难大面积推广。

常庚哲和张筑生都当过中国国际数学奥林匹克队的教习，不过他们各自的教材《数学分析新讲》和《数学分析教程》却有截然不同的特点。《新讲》的长处是观点和视角，从更高的角度阐述微积分，当然也有些技巧性的习题。《教程》长于技巧，用微积分的方法处理了许多“高级”题材。其实数学中不同层次和领域的一些研究技巧是类似的。此外，从教材反映的教学经验看，《教程》的作者大占优势。我估计，多数人会认为《教程》是更好的教材，因此我在漫谈4中没有推荐该书未免不公平。我个人更偏爱《新讲》。

该书的例题和习题都偏难。习题中更难的被称为问题，好在有个附录给出问题的解答和提示。部分题目的提示比较详细，因此对难题也不会无处下手。

如何读数学分析教材：数学学习漫谈7

我个人赞同要读3本数学分析的书，每本读3遍。第1本当然是教材，各校所用不同。所有书的每次阅读都要逐字逐句的看，但侧重各有不同。依次达到学习数学分析的4个不同境界，懂、熟、巧、通。这里先谈教材。

第1遍读教材要在教授讲解之前，即是所谓预习。预习的目的是要弄清楚懂和不懂的，虽然自以为懂的未必真懂，但不懂的一定是不懂了。预习要用铅笔做些标注，好在大陆的教材便宜不需要循环使用。标注分两类，1类是自己认为重要的概念、定理、证明思路等，这自然是有一定理解的；另1类是不理解的，如果有兴致还可以按不理解的程度分星级。预习后不要动手做题，这时做题事倍功半，既耽误时间，又浪费了题目。

第2遍读教材是在上课之后。听课要基本解决懂的问题，这次阅读要由“懂”到“熟”，甚至“巧”。关键是要把教材中的字面内容基本弄懂，而且要比较熟悉。对于数学分析这种课程，充分理解是个趋于无穷的过程。第2遍阅读，要能用自己的话复述概念、定理及其证明思路。重要的概念如极限、连续、一致连续、可导、可积、一致收敛等，要能用肯定方式叙述否定命题。比较长的理论性证明，如Cauchy收敛准则、闭区间上连续函数性质、积分存在条件、隐函数定理、Stokes类公式、Fourier级数收敛定理等，要掌握证明的主要步骤和关键要点。还要琢磨例题中具体的解题方法。这遍读完，就可以做习题了。在做习题的过程中，也许还要回头再看，但不用从头到尾阅读了。

第3遍通读是在解完习题之后。这次要努力读出书上没有的内容，开始由“熟”到“通”。首先，重要定理要能用反例说明条件的必要性。如果书上有反例，再自己想1个，哪怕是与书上的反例类似。其次，注意推广和特例，特殊的结论要一般化，而一般的结论要想出非平凡的特例。第三，平衡几何直观和严格证明。对严格的分析陈述要想几何图象，而对几何直觉要能严格证明。最后，运用类比和移植。数列极限与函数极限、数列与级数、积分与极限等，都是有同有异，有些类似的结论，比较这些结论，有助于深入理解。