要了解这意味着什么，请考虑一个简单的例子，即reθ是一个scalar。假设我们对θ的符号感兴趣。假设Θ*iTunes显示为正实线，即Θ*我 R++。那么，定理5意味着θ为正的陈述，即θ∈ R++，是非冲突的。这意味着某些子模型将θ的符号识别为正，而当一个子模型可以识别θ的符号时，θ的符号总是正的。我们是*是∧if S中的最小元素*∈ ∧与S* 这是给纽约人的∈ Λ. 什么时候*是∧中最小的元素，然后是θ∈ S是非冲突的当且仅当Θ*我 在这种情况下，Θ*除了定理5，我还有更丰富的解释。再考虑一下上一个简单的例子。假设结果是Θ*我∩ R++6= Θ*我∩ R--6=  所以θ∈ Θ*我没有暗示θ的符号。如果我们知道Θ*如果是∧中的小元素，那么我们得到以下结论：θ是正的，θ是负的，这两种说法都是矛盾的。换句话说，Θ的价值*这种情况意味着数据和模型不能提供关于θ符号的明确说明。在下一个定理中，我们研究当Θ*是∧的小t元素。定理6。假设定理5中的相同假设成立。对于以下三种说法：（S1）Θ*iI∧中最小的元素，（S2）有一个最小的元素，（S3）至少满足以下两个条件之一：（T6.C1）存在唯一的最小数据一致松弛，（T6.C2）对于任何最小数据一致松弛，ΘI（eA）是一个单态，我们有（S3）=> （S1）=> （S2）。此外，如果下列条件成立：（T6.C3）对于任何带ΘI（A′）的A′和A′） ΘI（A′）和ΘI（A′）6=, 我们有ΘI（A′）∪ A′6=,然后我们有（S3）<=> （S1）<=> （S2）。定理6提供（S3）作为Θ的充分条件*i是∧中最小的元素。在上一节中，我们已经讨论了（T6.C1）的情况。

要理解（T6.C2），请注意，当完整模型出现错误时，数据一致性子模型的识别集将在a中施加越来越多的假设时逐渐缩小，最终缩小为空集。条件（T6.C2）意味着，在此过程中，子模型的识别集在变为空之前将始终为单个。正如我们稍后将看到的，这种情况出现在我们的介绍者示例中。当条件（T6.C3）成立时，定理6指出（S3）不仅有效，而且对Θ而言还必须对错误指定的模型进行不协调的松弛*i是∧中最小的元素。它还意味着每当∧有一个小元素时，最小的元素必须是Θ*定理6还表明，唯一的情况是∧有一个最小的元素，但它不等于Θ*违反（T6.C3）时使用Iis。我们不认为这是一种限制*I.相反，我们认为∧中的小元素在（T3.C2）无法保持时不太可靠。要了解这一点，请考虑一个带有a={a，a}的示例。设F为可观测随机变量的分布。因为我∈ {1,2}，定义为不可观测和可观测随机变量的分布G的集合，使得G满足假设ai，且G在可观测变量上的边际分布等于F。那么，如果ΘI（a），就会违反（T6.C3） ΘI（a）而G∩ G=. 在这种情况下，ΘI（A）= {a}和{a}都是最小数据一致松弛。因此，Θ*I=ΘI（a）∪ΘI（a）=ΘI（a）。同时，可以证明ΘI（a）是∧中最小的元素。在这个例子中，Θ*Iis仍然在∧中，但它不再是∧中最小的元素。这种差异是由于∧中的smallestelement隐式地cho ose G∈ 戈弗G∈ G关于信息性，而Θ*它会吃掉两个G∈ 甘德·G∈ Gequaly的健壮性。5.1.1. 介绍性示例继续。

对于模型（2.1），以下结果给出了误判鲁棒界：命题2。假设假设1成立，那么：Θ*我=[γ，γ]如果γ≤ γ、 [γ，γ]如果γ<γ，P（E[Y | Z]≤ γ] ）>0和P（E[Y | Z]≥ γ] ）>0，（γ，γ]如果γ<γ，P（E[Y | Z]≤ γ] ）=0和P（E[Y | Z]≥ γ] 如果γ<γ，P（E[Y | Z]≤ γ] ）>0和P（E[Y | Z]≥ γ] ）=0，（γ，γ）如果γ<γ，P（E[Y | Z]≤ γ] ）=0和P（E[Y | Z]≥ γ]) = 0 .（5.1）此外，条件（T6.C2）保持不变，因此*Iis是∧中的最小元素，即Θ*我=∩s∈∧S.P位置2的直接含义是如果P（E[Y | Z]≤ γ] ）>0和P（E[Y | Z]≥ γ] ）>0hold是温和的技术要求，错误定义将简化为Θ*I=[min（γ，γ），max（γ，γ）]，无论完整模型是否被反驳。5.1.2. 二元IV模型继续。在第4.1.1节讨论的二元IV模型中，Θ*I=ΘI（A）*)等式（4.7）中定义的是唯一的最小数据一致松弛，那么定理6意味着Θ*是∧中最小的元素。此外，最小数据一致性松弛的唯一性意味着我们可以从最小数据一致性松弛和Θ中推断出违反初始模型的原因*I.例如，如果{a，a，a}是最小的数据一致性松弛，我们知道a被违反了，因为ACDE（1）=0是冲突语句，而leacade（1）>0是非冲突语句。类似的解释适用于第4.1.2节中的自适应单调IV示例。错误指定模型的不协调松弛215.2。离散松弛与连续松弛。错误定义鲁棒边界以离散方式放松了被驳斥的模型：在松弛过程中，假设要么完全保持，要么放弃。有许多其他方法可以放松和挽救被驳斥的模型。人们也可以像马斯滕和波里耶（20）那样持续放松假设。

一般来说，不同的放松会导致不同的结果，很难比较所有可能的方法。然而，在一个特殊的情况下，不连续的放松总是比任何其他放松方式产生更强烈的结果。为了说明下一个结果，我们需要介绍Masten和Poirier（2020）中使用的术语。不管怎样∈ [0,1]和任何a∈ A、 让A表示放松假设后的假设A。弛豫的程度由来衡量：当=0时，a=a；什么时候∈ （0,1），假设a部分放松，但a的确切形式取决于研究人员选择的具体放松方式；当=1时，假设a完全放松，而a是不施加任何限制的空假设。假设放松是单调的：如果≤ ，a比a长，因为a意味着a。对于任何δ：A→ [0,1]，定义A（δ）：={Aδ（A）：A∈ A} 作为purturbed的完整模型。对于任意两个δ：A→ [0,1]和δ：A→ [0,1]，如果δ（a），我们写δ<δ≤ δ（a）对于所有a∈ A和δ（A）<δ（A）对于某些A∈ A.那么，马斯滕和波里耶（2020年）的渔业边界可以定义为F={δ：A→ [0,1]：ΘI（A（δ））6= 不存在δ′，使得ΘI（A（δ′）6=, ΘI（A（δ′）（ΘI（A（δ））和δ′<δ}。我们稍微修改了Masten和Poirier（2020）对错误边界的定义，以确保在某些特殊情况下F的非空性。然后，falsi fifi fication adaptive setΘ+I定义为+I=∪δ∈FΘI（A（δ））。请注意，Θ+定义了一种特定的方式，即人们选择放松假设。如果一个人选择离散地放松它们，即，如果任何和a的a=a（>0），那么+Iis等于最小数据一致性放松*我

如果一个人选择了不同的放松方式，那么+II通常是不同的。然而，在某些特殊情况下*无论是哪种放松方式，Iis总是包含在Θ+中。定理7。假设定理6中的条件（S3）成立。那么Θ*我 Θ+对于研究人员选择的任何类型的放松。这个定理意味着Θ*当（S3）保持时，我提供了上述所有可能关系中信息最丰富的结果。在这种情况下，定理6也表明Θ*我是最小非冲突声明的解释。这些结果表明Θ*我提供了一个很好的方法来解释Masten和Poirier（2020）中的原始定义，用我们的符号写成，即F={δ：a→ [0,1]：ΘI（A（δ））6= 不存在δ′，使得ΘI（A（δ′）6= δ′<δ}。通过我们修改定义，我们不必担心存在{δi:i序列的可能性≥ 1} 这样δn→ δ*, ΘI（A（δ）*)) = , ΘI（A（δn））=ΘI（A（δ））6= 对于所有n，δn+1<δ≥ 1.22错误指定模型的不协调松弛在（S3）的情况下给出一个被反驳的模型。特别是，（S3）的一个重要子类是存在唯一的最小数据一致松弛。6.实证说明。1.背景和数据。由于教育水平的内生性，对经济学家来说，估计大学教育对后来收入的因果影响一直是一件令人困惑的事情。为了评估学校教育的回报，人们采用了不同的方法，其中大多数方法依赖于工具的有效性，如父母教育、学费、出生季度、到大学的距离等。所有这些IVs的有效性都受到了广泛的批评，因为它们与儿童未被观察到的技能有潜在的相关性。

为了适应可能无效的工具，Manski和Pepper（2000年、2009年）引入了mo notone IV（MIV），该IV不要求IV有效，但只在IV和潜在收益之间施加积极的依赖关系。例如，父母教育可能与潜在工资无关，但似乎不会对未来收入产生负面影响。在这种情况下，可以推导出平均教育回报的界限。在本应用程序中，我们将考虑第4.1.2节中引入的AMIV组件。因此，我们认为父母的教育可以对孩子未来的收入产生积极的影响，但这种边际的积极影响可能在某种程度上被削减后变得无效。我们方法的独特之处在于，利用我们的误判鲁棒边界，让数据决定这种切分效果。我们考虑了Heckman、Tobias和Vytlacil（2001年，HTV）中使用的数据。数据包括从1979年全国青年纵向调查（NSLY）中抽取的1230名白人男性样本。这些数据包含关于对数周工资、大学教育、父亲教育、母亲诱惑等诸多变量的信息。在HTV之后，我们认为大学入学指标是一种待遇：如果个人完成了至少13年的教育，则等于1，否则等于0。在这一经验练习中，我们使用父母教育的最大值作为候选仪器变量。表1列出了一些汇总统计数据。表1。汇总统计总计观察1230日志工资2.4138（0.59 37）学院0。4325（0.49 56）父亲的教育12。44715（3.26 38）母亲的教育12。1781（2.2781）max（父亲教育程度，母亲教育程度）13.1699（2.7123）平均值和s标准偏差（括号中）错误指定模型的不协调松弛236.2。方法和结果。

我们首先为平均结构函数E[Yd]，d的识别集构造95%置信域∈ {0,1}和平均治疗效果[Y]- Y] 在Manski（1990）的平均独立假设下，表示为ΘI（MI），在MIV假设下，表示为ΘI（MIV）。此外，我们在AMIV假设下构造了一个误判鲁棒界的估计值，表示为Θ*我（阿米夫）。和命题1一样，让az*表示最小数据一致松弛中的最强假设。回想一下当z*等于支持Z，Θ的lowes t值*I（AMIV）等于ΘI（MI）。当z*等于支持Z，Θ的最高值*I（AMIV）等于ΘI（MIV）。结果总结在表2中。在第（1）列中，我们计算了平均独立性假设下ATE的95%置信区间，结果是空的，这意味着数据显示了反对将父母教育用作第四个变量的明确证据。在第（4）列中，我们考虑了MIV假设，我们使用许志强、刘志强和施（2019）提出的测试来测试MIV的有效性，即使在10%的水平上，我们也不拒绝MIV假设，那么第（4）列给出了ΘI（MIV）的估计值。可以看出，当使用Mansk i和Pepper（2000）MIV松弛时，我们从一个空的识别区域转移到一个广泛的非信息识别区域。然而，我们的误判稳健指数为ATE提供了相对较小的估计值。第（3）列显示了当对提议1中的两种潜在结果施加相同的切分时，我们对错误指定稳健界限的估计，而第（2）列显示了当我们允许切分与备注2中讨论的潜在结果不同时的估计。在后一种情况下，我们发现所提出的方法几乎可以识别ATE的标志。表2。

结果（1）（2）（3）（4）设定估计值/ΘI（MI）Θ*我（阿米夫）Θ*I（AMIV）ΘI（MIV）95%形态界限（z）*, Z*) = （0,11）（z）*, Z*) = (11, 11)θ≡ E[Y][2.535,2.815][2.535,2.815][2.412,2.816][0.933,2.815]θ≡ E[Y]空[2.547,2.591][2.547,2.591][2.548,2.814]≡ E[Y]- Y] 空的[-0.056, 0.268] [-0.179, 0.269] [-1.881,0.267]第（1）列中的所有值均为95%置信区间。第（2）-（4）列中的所有值都是基于ΘI（az）的95%置信区间设定的估计值。7。在本文的讨论中，我们发现在存在模型误判的情况下，在很多模型中都可能存在不协调的子模ls。这提供了另一个使用夏普公式的原因，因为我们在本文中主要关注的是识别，我们不试图研究与推导错误识别稳健界的有效置信区域相关的统计数据。我们将这个问题留给未来的研究。24错误指定模型的不一致松弛尽可能对识别集进行分形：识别集不仅耗尽了模型结构和假设中的所有识别限制，而且不受不一致子模型可能产生的误导性结论的影响。与外部集不同，当模型被数据推翻时，识别集将为空。在实证应用中，如果识别集的特征不易处理，我们的结果表明，实证研究人员在处理外部集时应该更加小心，尤其是当它们得到的边界非常紧密时。

例如，作为稳健性检查，可以以不同的方式构造外部集，并查看这些外部集之间是否存在任何不一致。打捞一个被驳斥的模型通常是一项具有挑战性的任务，因为它通常涉及到模型放松时的一些任意性，有时可能在计算上很难处理。然而，当最小数据一致性松弛是唯一的时，事情就容易多了。在这种情况下，很明显哪些假设与数据一致，哪些假设不一致，因为所有数据一致的假设都是相容的（定理4）。这个结果有很好的解释（定理6）。此外，任何数据一致性子模型的识别集都可以被视为误判鲁棒界的保守界，这使得计算变得更加容易。在实践中，通常存在多种不同的方法来分解同一个模型。例如，在我们的二进制IV示例中考虑的假设的构造只是代表IV的独立性和排除限制的一种方式。在所有这些可能性中，我们建议选择一种，在可能的情况下导致唯一的最小数据一致性再松弛。即使最小数据一致性松弛的唯一性无法达到，人们仍然可以选择找到我们在本文中提出的误判鲁棒界。它总是导致非冲突陈述（定理5），有时是信息量最大的非冲突陈述（定理6）。我们在一些简单的例子中计算出了误判鲁棒界，但当基础模型涉及多个结构时，其示例解可能过于复杂，难以求解。在这些具有挑战性的情况下，可能会构建一个外部集合，以始终覆盖本文提出的错误定义。

这种类型的外部集合将与本文中提出的问题无关。目前尚不清楚如何构建这样的外部集合，但这可能是本文发现之外的一个合理步骤。错误模型的不协调松弛25参考Allen，R.和J.Rehbeck。202 0. “满足性、聚集性和拟线性效用。”未出版的手稿。Andrews，D.W.K.，W.Kim和X.Shi。2017.“用于测试条件动量等式/等式的Stata命令。”《国家统计杂志》17（1）：56-72。Andrews、D.W.K.和S.Kwon。2019.“矩不等式模型中的推理，在模型误判下对纯精度具有鲁棒性。”工作文件。Andrews，D.W.K.和X.Shi。2013年，《基于条件矩不等式的推理》计量经济学81:609–66。阿特斯坦，Z.1983。“随机集和随机变量的分布。”以色列数学杂志46:313–324。Aucejo，E.M.，F.A.Bugni和V.J.Hotz。2017.“缺失协变量数据回归的识别和推断。”计量经济学理论33（1）：196-241。布伦德尔、理查德、阿曼达·戈斯林、一村英彦和科斯塔斯·梅吉尔。2007年，“C改变了男性和女性工资的分布，使用界限解释了就业构成。”计量经济学75（2）：第323-363页。蔡，Z。，M.Kuroki、J.Pearl和J.Tian。200 8. “在存在已知中间变量的情况下，可怕的ct效应的界限。”生物特征64:695–701。Chen，X.，C.A.Flores和A.Flores Lagunes。2 018. “超越迟到：就业团队培训的边际平均治疗效果。”人力资源杂志53（4）：1050-1099。切尔诺朱科夫、维克托、苏克贝·勒伊和亚当·M·罗森。2013 . “交集边界：估计和推断。”计量经济学81（2）：667-737。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.3982/ECTA8718.Chesher，A.和A.M.罗森。2020

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剩下要检查的是条件（T2.C1）和（T2.C3）是否满足。为了验证条件（T2.C1），我们需要构建一个*所以我*) =  当完整模型被驳斥和ΘI（a）6= 尽管如此∈ A.*. 假设对于Z的支撑的任何zin，都存在一些θ∈ Θ和一些δ（z）>0使得e[m（X，z；θ）|z]≤ 几乎每个Z和kZ都为0- zk公司≤ δ（z）。然后，我们知道下面的子模型：E[（k（Z））- zk<δ（z））m（X，z；θ）]≤ 0始终是数据一致的。因此，如果我们定义函数δz，为δz，（z）=（kz- zk<）和函数sw的收集*as W*:= {δz，：∈ [0，δ（z）），z∈ Z} 其中Z是Z的支撑，然后是A*可以构造为w索引的子模型集∈ W*（A.2）保持不变。在下列命题中列出的正则条件下，我们也可以确保ΘI（A*) =  每当ΘI（A）=.提议3。假设（a）ekm（X，Z；θ）k<∞ 对于每个θ∈ Θ.（b） 要么Z是离散的，要么E[m（X，Z；θ）| Z=Z]在Z中是连续的。（c）对于Z的支撑的任何zin，都存在一些邻域Ohm关于一些θ∈ 使得E[m（X，Z；θ）|Z]≤几乎每个Z都是0Ohm.然后，定理2的条件（T2.C1）是满足的。注意，上述命题中条件（c）的一个有效条件是，对于支撑t的任何zin，都存在θ∈ Θ满足E[m（X，Z；θ）|Z=Z]<0。最后，让我们验证定理2的条件（T2.C3）。假设Θ是紧的。那么，对于任何一个∈ A、 如果E[w（Z）m（X，Z；θ）]是θ对每个w的连续函数，我们可以确保ΘI（A）是紧的∈ W+。[w（Z）m（X，Z；θ）]连续的一个简单有效条件是，E[m（X，Z；θ）|Z]在θ内几乎肯定是连续的，并且由某个可积函数支配。提议4。

假设（a）E[m（X，Z；θ）|Z=Z]几乎肯定在θ中是连续的。（b） 存在一些函数g（·），使得supθ∈ΘkE[m（X，Z；θ）|Z]k≤ g（Z）几乎可以肯定，E|g（Z）|∞.（c） Θ很紧凑。然后，定理2的条件（T2.C3）被满足。结合这两个命题，我们得到了定理2的一个推论。推论2。假设（a）Z是离散的，或者E[m（X，Z；θ）|Z=Z]在Z中是连续的。（b）E[m（X，Z；θ）|Z=Z]在θ中几乎肯定是连续的。更精确的说法是，存在一些g（z；θ），使得g（z；θ）在z中是连续的，几乎可以肯定E[m（X，z；θ）|z=z]=g（z；θ）。错定模型29（c）的不协调松弛对于任何Z，在Z的支持下，都存在一些邻域Ohm关于一些θ∈ 使得E[m（X，Z；θ）|Z]≤几乎每个Z都是0Ohm.（d） 存在一个函数g（·）such，它支持θ∈ΘkE[m（X，Z；θ）|Z]k≤ g（Z）几乎可以肯定，E|g（Z）|∞.（e） Θ很紧凑。然后，当且仅当存在w时，（A.1）被驳斥∈ W+和W∈ W+M表示W=W的子模型（A.2）和W=W的子模型（A.2）均未被反驳，但这两个子模型的识别集具有空的接口。此外，无论何时（A.1）被驳斥，对于任何∈ W+~M在反驳子模型（A.2）时，存在一些W∈ W+和W∈ W+M例如，W=（~W，W）的子模型（A.2）和W=waredata的子模型（A.2）都是一致的，但这两个子模型的识别集具有空相交。这一结果补充了Andrews和Shi（2013）的发现。在Andrews和Shi（2013）中，他们为（A.1）等模型提出了一个推理程序。通过在一个子类中选择w，他们的推理将（A.1）转化为（A.2）∪M≥1W+m→ ∞ 随着样本量的增加。我们的结果表明，如果（A.1）可能被误判，增加m到单位对于确保结果的稳健性至关重要。

如果WI的维度是固定的，那么（A.2）的经验结果可能会产生误导，即使推理一致地控制大小。由于有限样本中经常使用有限元，我们的结果也提出了一个问题，即在可能的模型误判下，如何解释测试结果。A.2。二元IV示例继续。首先，请注意Ydz⊥ Z和Y=[YZ+Y（1-Z） ]D+[YZ+Y（1-Z） [（1）-D） ]表示以下不等式：q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），（A.3）q（1）≤ θ≤ 1.- q（1）、（A.4）q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），（A.5）q（1）≤ θ≤ 1.- 问题（1）。（A.6）我们的每一个单一假设ai的确定集∈ {1,2,3,4}如下所示：ΘI（{a}）={θ：（a.3）- （A.6）保持和θ- θ≥ 极大值{0，q（1）+q（0）- 1} ΘI（{a}）={θ：（a.3）- （A.6）保持和θ- θ≤ 最小{0,1- 问题（1）- q（0）}I（{a}）={θ：（a.3）- （A.6）保持和最大{0，q（1）+q（0）- 1} ≤ θ- θ} ΘI（{a}）={θ：（a.3）- （A.6）保持和θ- θ≤ 最小{0,1- 问题（1）- q（0）}很容易看出ΘI（{a}）∩ΘI（{a}）={θ：（a.3）- （A.6）保持和最大{0，q（1）+q（0）- 1} ≤ θ- θ≤ 最小{0,1- 问题（1）- q（0）}}={θ：（A.3）- （A.6）保持，θ=θ}=ΘI（{A，A}）。此外，注意当等式（A.3）-（A.4）保持θ时- θ≤1.- 问题（1）- q（0）表示在ifΘI（{a}）= <==> （4.2）被违反。类似地，我们可以表示ΘI（{a，a}）=ΘI（{a}）∩ ΘI（{a}）。此外，请注意，当Ydz⊥ Z、 假设a，一个只涉及1 Zar的假设与a完全垂直，一个只涉及Y0z的假设。因此，对于任何 {a，a}and a {a，a}，如果a和Aaredata一致，那么a也是一致的∪ A.上述结果表明（T4.C2）成立，这就完成了证明。

最后，我们可以很容易地得到以下定义集：ΘI（{a，a，a）}）=θ :q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），θ- θ≤ 最小{0,1- 问题（1）- q（0）}，supzq（z）≤ θ= θ≤ 1.- supzq（z）。ΘI（{a，a，a）}）=θ :q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），θ- θ≤ 最小{0,1- 问题（1）- q（0）}，supzq（z）≤ θ= θ≤ 1.- supzq（z）。ΘI（{a，a，a）}）=θ :q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），max{0，q（1）+q（0）- 1} ≤ θ- θsupzq（z）≤ θ= θ≤ 1.- supzq（z）。30个指定错误模型的不协调松弛ΘI（{a，a，a）}）=θ :q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），θ- θ≤ 最小{0,1- 问题（1）- q（0）}，supzq（z）≤ θ= θ≤ 1.- supzq（z）。ΘI（{a，a}）=θ :q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），max{0，q（1）+q（0）- 1} ≤ θ- θ≤ 1.- 问题（1）- q（0），q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），θ- θ≤ 最小{0,1- 问题（1）- q（0）}。ΘI（{a，a}）=θ :q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），max{q（1）+q（0）- 1, 0} ≤ θ- θ、 q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），max{0，q（1）+q（0）- 1} ≤ θ- θ.ΘI（{a，a}）=θ :q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），θ- θ≤ min{1- 问题（1）- q（0），0}，q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），θ- θ≤ min{1- 问题（1）- q（0），0}。, ΘI（{a，a}）=θ :q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），θ- θ≤ min{1- 问题（1）- q（0），0}，q（0）≤ θ≤ 1.- q（0），q（1）≤ θ≤ 1.- q（1），max{0，q（1）+q（0）- 1} ≤ θ- θ.附录B.主要结果的证明B。1.定理1的证明。定理1是以下两个引理的直接结果。引理2。假设假设1成立且γ<γ。

将间隔W定义为以下内容：W：=[γ，γ]如果P（E[Y|Z]=γ）>0和P（E[Y|Z]=γ）>0（γ，γ）如果P（E[Y|Z]=γ）>0和P（E[Y|Z]=γ）=0（γ，γ）如果P（E[Y|Z]=γ）=0和P（E[Y|Z]=γ）>0（γ，γ）如果P（E[Y|Z]=γ）=0和P（Y|∈ H+m，ifeΘ（H）是非空的，因此eΘ（H）∩ W不是空的。引理2的证明。因为h有m个维度，我们可以写h=（h，…，hm）。然后，eΘ（h）可以表示为aseΘ（h）=[θ，θ]，其中θ=maxiE[hi（Z）Y]e[hi（Z）]，θ=miniE[hi（Z）Y]e[hi（Z）]。让我们首先证明θ≤ 这是矛盾的结果。假设δ：=θ- γ > 0. 让我∈ arg maxiE[hi（Z）Y]/E[hi（Z）]。然后，我们有[hi′（Z）（E[Y|Z]- θ] ）=0自E[Y | Z]-θ ≤ -δ和hi′是非负的，我们有E[hi′]δ≤ 这与δ>0和E[hi′（Z）]>0的事实相矛盾。此外，如果P（E[Y | Z]=γ）=0，那么对于所有i，E[hi（Z）Y]<γ·E[hi（Z）]，使得θ<γ。类似地，我们可以显示θ≥ γ、 如果P（E[Y | Z]=γ）=0，θ>γ。这些结果意味着eΘ（h）∩ W 6=当Θ（h）6=. 引理3。假设假设1成立且γ<γ。设W为（B.1）中定义的间隔。那么，对于任何θ∈ W、 存在一些h∈ H+使得eΘ（H）={θ}。错误指定模型的不协调松弛，引理3的证明。修正任何θ∈ W.定义S+={z:E[Y|z=z]≥ θ} ，S-= {z:E[Y | z=z]≤ θ} ，S+={z:E[Y | z=z]≥ θ} 和-= {z:E[Y | z=z]≤ θ}. 注意，对于任何θ>γ，γ的定义意味着P（θ≥ E[Y | Z]）>0。当P（E[Y | Z]=γ）>0时，对于任何θ≥ γ、 我们还有P（θ≥ E[Y | Z]）>0。自θ∈ W、 我们得出结论，P（Z）∈ s-) > 类似地，θ∈ W也意味着P（Z∈ S+>0。此外，由于E[Y | Z]≤ 几乎可以肯定，我们知道+ S+andS- s-几乎可以肯定。因此，P（Z∈ s-) > 0和P（Z）∈ S+>0。接下来，我们证明了存在一些满足E[Yh（Z）]=θ和E[h（Z）]=1的非负函数。

定义+（z）=（z）∈ S+/P（Z）∈ S+）和h-（z） =（z）∈ s-)/P（Z）∈ s-). 通过构造，h+和h-是非负的，andE[h+（Z）]=1和E[h-（Z） ]=1。此外，E[Yh+（Z）]≥ θ ≥ E[Y h-（Z） ]。因此，一定存在一些q∈ [0,1]这样的E[Y（qh-（Z） +（1）- q） h+（Z））]=θ。设h=qh-（Z） +（1）- q） h+（Z）。然后，这样的hsaties E[Y h（Z）]=θ和[h（Z）]=1。类似地，存在一些非负函数，满足E[Y h（Z）]=θ和E[h（Z）]=1。那么，E[h（Z）（°θ- Y） ]≥ 0相当于θ≥ θ. 要看到这一点，请注意e[h（Z）（)θ- Y） ]≥ 0<=> E[h（Z）]θ≥ E[h（Z）Y]<=>~θ ≥ θ，其中第二个等价式来自E[Y h（Z）]=θ和E[h（Z）]=1。类似地，我们可以显示E[h（Z）（Y）-~θ)] ≥ 0等于∧θ≤ θ. 设h=（h，h）。这些等价关系意味着∈eΘ（h），那么)θ=θ。此外，我们有E[h（Z）θ]=θ=E[h（Z）Y]≥ E[h（Z）Y]，其中第一个等式从E[h（Z）]=1开始，第二个等式从θ=E[h（Z）Y]开始，最后一个等式从E[Y | Z]开始≤ 几乎可以肯定。类似地，我们可以计算E[h（Z）θ]≤ E[h（Z）Y]。所以θ∈eΘ（h）。因此，eΘ（h）={θ}。B.2。定理2的证明。为了证明定理2，我们需要下面的引理。引理4。假设Θ是度量空间中的子集。假设以下条件中至少有一个成立：（1）A是有限集。（2） 对于任何一个∈ A、 ΘI（A）是紧凑的。此外，对于任何B A、 ΘI（B）=∩A.∈BΘI（a）。然后，对于任何子模型A A带ΘI（A）6=, 这里有一些 例如：我~A，（ii）ΘI（~A）6=, （iii）任何∈ A\\~A，ΘI（~A∪ {a} ）=.引理4的证明。设Abe为A的任意子集，其中ΘI（A）6=. 如果ΘI（A）6=, 然后我们可以让∧A=A，结果很小。在下文中，我们将重点讨论ΘI（A）=.假设A是有限的。然后，也可以用A={A，…，ak}来表示。此外，{a∈ 答：ΘI（A）6=} 也是有限的，并将其列举为{a，…，ak，ak+1，…，an}。

构造Bi，i=k，k+1。。。，n你草率地说：。设Bk=A。对于任何i≥ k、 le t Bi+1同等BiifΘI（Bi∪ {ai+1}= 和相等的Bi∪ {ai+1}如果不是这样。通过构造，一个 比安迪（Bi）6= 对于每个i=k。。。，n、 此外，对于任何∈ A\\Bn，或ΘI（A）= 这意味着ΘI（Bn∪ {a} ）=, 或ΘI（a）6= 这意味着一定存在一些∈ {k，…，n}与ΘI（Bi）∪ {a} ）= 因此，ΘI（Bn∪ {a} ）=. 换句话说，ΘI（Bn∪ {a} ）= 对于任何一个∈ A\\Bn。因此，让A=bn，我们得到期望的结果。假设A不是有限的。定义A={A\'\' A:A A′和ΘI（A′）6=}. A不是空的，因为A是空的∈ A.通过A的构造，存在满足引理中所有三个所需条件的子模型A，当且仅当A在偏序方面有一个最大元素, i、 这里有一些∈ A使得不存在A′∈ 为了证明A有这样一个最大元素，我们将应用Zorn引理，让Z是一个arbit-rarynonemp-ty链, i、 e.设Z是A的任意非空子集，使得对于Z中的任何A′和A′，eitherA′ A\'或A\' A′。定义A+=∪A′∈扎′。然后，ΘI（A+）=∩A′∈ZΘI（A′）。我们声称ΘI（A+）是一个紧集。要了解原因，请注意ΘI（A+）=∩A.∈A+ΘI（A）。因为任何一个∈ A、 ΘI（A）是紧的，因为Θ是度量空间，所以ΘI（A+）也是紧的。同样，我们可以证明，对于任何一个A′∈ Z、 ΘI（A′）是一个紧集。32错误指定模型的不协调松弛我们进一步声称ΘI（A+）是非空的。我们用矛盾来证明这一说法。假设ΘI（A+）为空，则Θ=（ΘI（A+））C=∪A′∈ZΘI（A′）Cby De Morgan定律。对于任何一个A\'∈ Z、 因为ΘI（A′）是紧的，所以ΘI（A′）是一个开放集。在Z中固定任意元素B。然后，Θi（B） ∪A′∈ZΘI（A′）C.因为ΘI（B）是紧的且非空的，所以存在有限个A。。。，Akth atΘI（B） ∪K∈{1，…，K}I（Ak）C。

这意味着ΘI（B）∩ ΘI（A）∩ · · · ∩ ΘI（AK）是空的，这与Z是一条链的事实相矛盾 ΘI（A′）对于每个A′都是不重要的∈ A.因为ΘI（A+）是非空的，所以A+∈ A.此外，通过A+，A′的构造 A+表示任何A′∈ Z通过Zorn的le mma，我们得出A包含一个偏序极大元. 这就完成了pro。定理2的证明。当存在两个子模型A和A且ΘI（A）6=, ΘI（A）6= 和ΘI（A）∩ΘI（A）=, ΘI（A）∪ （A） ΘI（A）∩ ΘI（A）意味着ΘI（A）∪ A） = 所以ΘI（A）=. 此外，存在一个*当ΘI（A）= 这意味着总是存在一些非空的子模型B A带ΘI（B）6=. 因此，为了证明定理2中的所有结果，我们只需要证明当ΘI（A）=, 对于任何非空B A带ΘI（B）6=, 在ΘI（B）处存在两个有限集B′和B′∪ B′）6=, ΘI（B′）6= 和ΘI（B）∪ B′）∩ ΘI（B′）=.现在，假设ΘI（A）= 设B是一个具有 6=B A和ΘI（B）6=. 引理4意味着存在一些A A使（i）B~A，（ii）ΘI（~A）6=, （iii）任何∈ A\\~A，ΘI（~A∪ {a} ）=. 自从∩A.∈A.* ΘI（a）=,一定有某种原因*∈ A.*以至于我*) ∩ ΘI（ΘA）（ΘI（ΘA），因为否则ΘI（ΘA） ∩A.∈A.* ΘI（a）影响∩A.∈A.* ΘI（a）=. 因为我（a）*) ∩ ΘI（ΘA）（ΘI（ΘA）意味着/∈ΘA的构造意味着ΘI（{A*} ∪~A）=. 在条件（T2.C2）下，我们现在kΘI（a*) ∩ ΘI（~A）=.假设A是一个有限集。那么，~A\\B也是一个有限集。因此，我们用B′=~A\\B和B′′={A来得到期望的结果*}.假设A是一个有限集。然后，条件（T2.C3）在这种情况下保持不变。定义T:={I（B）∪ {a，a*}) : A.∈~A}。那么，T不是空的，因为ΘI（B∪ {a*}) ∈ T和BΘA.因为ΘI（A）*) ∩ ΘI（~A）=, 因为条件（T2.C2）成立，∩s∈TS=ΘI（ΘA∪ {a*}) = . 因此，ΘI（B） ( ∩s∈TS）Cso即ΘI（B） ∪s∈TSC。

因为任何∈ T在条件（T2.C3）下是紧的，并且henc是闭的，{SC:S∈ T}是ΘI（B）的开放覆盖。由于ΘI（B）是紧致欠条件（T2.C3），因此必须存在一定数量的S。。。，锡∈ ΘI（B） 联合国安全理事会∪ ... ∪ SCn=（S）∩ ... ∩ Sn）C，或等式，ΘI（B）∩ s∩ ... ∩ Sn=. 这意味着存在一个，一个。。。，一∈ΘI（B）∩ ΘI（B）∪{a*, a} )∩ ... ∩ ΘI（B）∪ {a*, an}=. 在条件（T2.C2）下，这相当于ΘI（B）∪ {a，…，an}）∩ ΘI（a）*) = .自从。。。，一∈ΘA，我们知道ΘI（B）∪ {a，…，an}）6=. 因此，我们用B′={a，…，an}和B′\'={a，…，得到期望的结果*}. B.2.1。当定理2不成立时。在这一节中，我们给出了四个反例来说明定理2的结果，如果违反了其中的任何一个条件，那么它就会失败假设只违反了条件（T2.C1）。考虑下面的例子，其中A={A，A，A}与ΘI（A）ΘI（a），ΘI（a）6= ΘI（a）=. 然后，驳斥了完整的模型A，但A只有三个数据一致的子模型，即，{A}，{A}和{A，A}。以及，ΘI（a）∩ ΘI（a）∩ ΘI（{a，a}）=ΘI（a）6=.o 假设只违反了条件（T2.C2）。考虑下面的例子。让成为一些不可观察的随机变量。假设A假设E[]=1，假设A假设E[]=2。设θ为的方差。如果a={a，a}，我们知道a总会被驳斥，因为a和aare永远不相容，但是ΘI（a）∩ΘI（a）=[0,1]。o假设只有条件（T2.C3）被违反，并且A是有限的。考虑下面的例子，让A={A，A，…}用ΘI（ai）=（0，1/I）。n，ΘI（A）=∩我≥1ΘI（ai）=, 但对于任何i 6=j，Θi（ai）∩ ΘI（aj）=（0,1/max（I，j））6=.由于每个AI的识别集都是嵌套的，因此我们得出结论，对于任何A，A的ΘI（A）6=, ΘI（A）6=, 我们会有ΘI（A）∩ ΘI（A）6=.B.2.2。定理2的另一个版本。定理2′。假设A是一个有限集。

此外，假设（1）每当ΘI（A）=, 存在一个非空子集a*关于这样的一个ΘI（A）*) =  ΘI（a）6= 为了阿拉∈ A.*.（2） 对于任何A′，A′ A、 ΘI（A′）∩ ΘI（A′）6= 暗示ΘI（A′）∪ A′6=.然后，（a）当ΘI（a）=, 对于任何B A带ΘI（B）6=, 存在一些B′和B′ A以致于B B′，ΘI（B′）6=, ΘI（B′）6= 和ΘI（B′）∩ ΘI（B′）=.（b） ΘI（A）= 当且仅当存在A′和A′时 A使得ΘI（A′）6=, ΘI（A′）6= 和ΘI（A′）∩ΘI（A′）=.错误指定模型的不协调松弛定理2′的证明。让我们首先证明定理的第一部分。假设ΘI（A）=. 修正一个任意的B A带ΘI（B）6=. 假设存在一个∈ A.*使ΘI（B）∩ ΘI（a）=, 那我们就完了。相反，假设ΘI（B）∩ ΘI（a）6= 对于任何一个∈ A.*, 定义A={B∪ {a} ：a∈ A.*}. 自ΘI（B）∩ ΘI（a）6= 对于任何一个∈ A.*, 我们知道ΘI（B′）6= 对于任何一个B′∈ A.此外，A也是一个有限集和ΘI(∪B′∈AB′）=. 枚举A={B，…，Bn}an dde fine＠Bk=∪i=1，。。。，kBi。那么，ΘI（~B）6= 和ΘI（~Bn）=. 定义k*= min{k:ΘI（~Bk）=}. 注1<k*≤ n、 和定义B′＝Bk*-1和B′′=Bk* . 那么，ΘI（B′）6= ΘI（B′）6=. 此外，ΘI（B′）∪ B′）= 意味着ΘI（B′）∩ ΘI（B′）=. 最后，根据结构，B B′，完成了第一部分的证明。现在让我们来看一下定理的第二部分。如果ΘI（A）=, 我们从第一个结果中知道，一定存在一些A′和A′ A使得ΘI（A′）6=, ΘI（A′）6= 和ΘI（A′）∩ ΘI（A′）=. 相反，如果存在A′和A′的话 A使得ΘI（A′）6=, ΘI（A′）6= 和ΘI（A′）∩ ΘI（A′）=, 那么我们必须有ΘI（A′）∪ A′）= 这意味着ΘI（A）=. B.3。定理3的证明。假设为任何非空B A、 ΘI（B）=. 还记得ΘI吗() = Θ. 然后，空集是A的唯一最小数据一致松弛，我们完成了。假设存在一些B A使得ΘI（B）6=.

n，引理4给出了期望的结果。B.4。定理4的证明（T4.C1）=> （T4.C2）：仰卧姿势（T4.C1）是正确的。我们想证明（T4.C2）。设A′是A的任意子集，因为ΘI（A′） ΘI（a）对于任何a∈ A′，如果A′是数据一致的，那么∈ A’数据一致。相反，如果所有的∈ A′是数据一致的，那么（T4.C1）意味着∈ A.*尽管如此∈ A′，即A′ A.*因此，ΘI（A*)  ΘI（A′）。因为*数据是一致的，A′也是一致的。因此，（T4.C2）是正确的（T4.C2）=> （T4.C1）：假设（T4.C2）为真。我们想要证明（T4.C1）。定义A*= {a∈ 答：ΘI（A）6=}.因为（T4.C2）是真的，ΘI（A*) 6= . 修复任意数据一致的A′。我们知道ΘI（a）6= 对于任何一个∈ A′，所以A′ A.*. 因此，（T4.C1）是正确的（T4.C1）=> （T4.C3）和A*在（T4.C1）和（T4.C3）中是相同的集合：假设（T4.C1）为真。我们想证明（T4.C3）。让我们*是（T4.C1）中包含所有数据一致性子模型的数据一致性子模型。首先，请注意*必须是唯一的。如果存在另一个包含所有数据一致性子模型的数据一致性A，那么我们必须有一个 A.*还有*eA。第二，A*在（T4.C1）中必须是最小数据一致松弛，因为/∈ A.*暗示sΘI（a）= 而且，他说，ΘI（A*∪ {a} ）=. 最后，一个*是唯一的数据一致性松弛。因为ΘI（a）= 对于任何一个/∈ A.*, 除A的子集外，不存在任何其他data-c ConsistentSubmodel*.o （T4.C3）=>（T4.C1）如果（T3.C1）或（T3.C2）保持：假设（T4.C3）和（T3.C1）或（T3.C2）保持。设A′为任意数据一致的子模型。根据定理3，re存在一个包含A′的最小数据一致松弛。因为*是唯一最小数据一致松弛，我们得出结论A′ A.*. 因此，（T4.C1）必须为真。B.5。定理5的证明。让我们首先证明第一个结果。

证明Θ*我∈ ∧，我们需要检查（C1）和（C2）中的Θ*一、证明（C1）为Θ*一、 注意，在a-相容弛豫a上存在一些非空极小值d*根据定理3。然后，ΘI（A）*) 6=  ΘI（A）*)  Θ*一、证明（C2）为Θ*一、 注意，根据定理3，对于任何A′ 带ΘI（A′）6的A=, 存在一些最小数据一致松弛*以至于 A.*. 因此，ΘI（A*)  ΘI（A′）∩ Θ*Iso即ΘI（A′）∩ Θ*I6=.这证明了Θ*我∈ Λ. 最后，对于任何带有Θ的S*我 S、 （C1）和（C2）适用于Θ的事实*（C1）和（C2）也适用于s.B.6。定理6的证明。我们首先证明（S3）=> （S1）=> （S2）。然后，我们证明（S2）=> （S3）在条件下（T6.C3）。证明（S3）=> （S1）：显示Θ*iI是∧中最小的元素，请注意Θ*我∈ 根据定理5∧。我们只需要证明这一点∈ Λ, Θ*我 假设存在唯一的最小数据一致松弛a*. 那么Θ*I=ΘI（A）*) 根据Θ的定义*I.对于任何类型的∈ ∧，一定存在这样的A′hatΘI（A′） S和ΘI（A′）6=. 根据定理3，我们知道A′ A.*所以我*)  Θ（A′） 因此，Θ*我 S代表任何S∈ Λ.假设对于任何最小数据一致的r elaxationeA，ΘI（eA）是一个单态集。对于任何人来说∈ ∧，因为（C2）表示，对于任何最小数据一致松弛，我们有ΘI（eA）∩ s6=. 由于ΘI（eA）是一个单态集合，因此我将ΘI（eA）包含在内 S表示所有最小数据一致性。因此，Θ*我 美国证明（S1）=> （S2）：这个结果是立竿见影的。

如果Θ*是∧中最小的元素，∧当然有最小的元素。34指定错误模型的不协调松弛（S2）=> （S3）在条件（T6.C3）下：显示（S2）=> （S3），我们只需要证明当至少存在两个最小数据一致松弛时，（S2）意味着对于任何最小数据一致松弛，ΘI（eA）是一个单集。为了证明这个结果，我们需要以下两个引理，其证明将在后面的章节B.6.1和B.6.2中给出。引理5。让我们。。。，Snbe是满足以下条件的有限个集合：（i）对于任何i=1。。。，n、 Si6=; 和（ii）对于任何i，j=1。。。，n，其中i6=j，Si*Sj和Sj*Si。定义T=∪ni=1定义W={S：以下条件适用于S，（i）我∈{1，…，n}这样 s（二）J∈ {1，…，n}，Sj∩ s6=}. 设W=∩s∈WS。然后，我们得到以下结果：（1）如果n=1，W∈ W.（2）如果n≥ 2，W∈ W当且仅当所有i=1的Si为单态时。。。，n、 （3）W∈ W意味着W=T。引理6。设T是满足（i）任何S的集合的非空集合∈ T，s6=; （ii）对于任何两个，S′∈ T，S∩ S′=. 定义T=∪s∈TS和定义W={S：以下条件适用于S，（i）S′∈ Tsuch那是\' s（二）S′∈ T，S′∩ s6=}. 设W=∩s∈WS。然后，我们得到以下结果：（1）如果T只包含一个集合，那么W∈ W.（2）如果T至少包含两个集合，则W∈ W当且仅当S是所有S的单态∈ T（3） W∈ W意味着W=T。假设（S2）保持，即假设∩s∈∧S∈ Λ. 假设至少存在两个最小数据一致性松弛。我们将使用上述两个引理来证明，对于任何最小数据一致松弛，ΘI（eA）是一个单态集当A是有限集时，我们可以将所有最小数据一致松弛计算为A。。。，安维思≥ 2.定义I=1的Si=I（Ai）。。。，N

通过定义最小数据一致性松弛，Si6= 对于eachi=1。。。，n、 此外，条件（T6.C3）暗示不存在i，j∈ {1，2，…，n}与I6=j，如Si Sj，becau se，否则，ΘI（Ai）∪ Aj）6= 因此，AIA和AJ将不会是最小的数据一致性松弛。定义W={S：以下条件适用于S，（i）我∈ {1，…，n}这样 s（二）J∈{1，…，n}，Sj∩ s6=}. 然后，W=定理3中的结果。因为≥ 2，引理5中的第二个结果意味着每个i=1。。。，n、 o假设A是一个有限集。因为我们假设定理3中的所有条件，我们知道∈ A、 ΘI（A）是紧凑的。此外，对于任何B A、 ΘI（B）=∩A.∈BΘI（a）。然后，对于任意两个最小数据一致松弛A′和A′，我们必须有ΘI（A′）∩ ΘI（A′）=, 因为，如果不是这样，ΘI（A′）∪ A′）=I（A′）∩ ΘI（A′）6= 所以A′和A′不是最小数据一致性松弛。定义T={I（A′）：A′是最小数据一致性松弛。}定义W={S：以下条件适用于S，（i）S′∈ 不是这样的s（二）S′∈ T，S′∩ s6=}. 根据定理3中的结果，W=∧。因为T至少有两个元素，引理6中的第二个结果意味着T中的所有集合都是单态集合。因此，在这两种情况下，我们已经证明，对于任何最小数据一致松弛，ΘI（eA）是一个单态集。B.6.1。引理5的证明。引理5的证明建立在以下引理的基础上，其证明将在本节后面提供。引理7。让我们。。。，Snbe是满足以下条件的有限个集合：（i）对于任何i=1。。。，n、 Si6=; 对于anyi，j=1。。。，n具有i6=j，Si*Sj和Sj*Si，并且（iii）存在i=1。。。，n使SiC至少包含两种元素。定义B={S:i=1。。。，n、 S∩ Si6=}.

我们说S是B中的最小元素，如果S∈ 对于任何S′（S，S′）/∈ B.那么，B至少有两个不同的最小元素。引理5的证明。首先，请注意∈ 通过定义W，假设n=1。然后，T=sb，通过T的定义。此外，S∈ W的定义为W。最后，对于任何∈ W、 我们必须有一个 S由定义W的第一个条件决定。因此，S=W和W=T。假设n≥ 2.我们要证明，对于下列语句：（L7.S1）对于每个i=1。。。，n、 她是单身汉。（L7.S2）W∈ W（L7.S3）W=错误指定模型的TDISCORDANT松弛35以下关系成立：（L7.S1）=>（L7.S2）和（L7.S3）（L7.S2）=> （L7.S1）。显示（L7.S1）=>（L7.S2）和（L7.S3）. 假设（L7.S1）为真。注意，如果S是单态的，那么对于任何其他集合S′，S′∩ s6= 当且仅当S S′。现在，对于任何∈ W、 定义W的第二个条件是： 对于所有i=1。。。，n所以 自从T∈ W、 我们知道T=W和W∈ W.展示（L7.S2）=> （L7.S1）。假设（L7.S2）为真。我们证明了对于所有i=1。。。，n使用以下步骤：步骤1：我们显示如果存在一些i=1。。。，n使得Si为单态，那么Sj为所有j=1的单态。。。，N想知道为什么会这样，让我们*∈ {Si:i=1，…，n}是单态的。假设，为了矛盾的目的，存在j=1。。。，确保她不是单身汉。然后，应用引理7，我们知道存在B={S的两个不同的最小元素S′和′：i=1。。。，n、 S∩ Si6=} 所以（i）对于任何i=1。。。，n、 S′∩ Si6= 和S′∩ Si6=; 和（ii）S′∩ S′\'/∈ B.因为*∈ {Si:i=1，…，n}是单态的，我们知道S* S和S* 所以在∈ W和S′∈ W.此外，sinceS\'∩ S′\'/∈ B、 我们知道S\'∩ S′\'/∈ W

因为W （S′）∩ 通过对W的定义，我们得出了W的结论/∈ W、 这导致了矛盾。第二步：我们证明了一定存在一些i=1。。。，n以至于Si是单身汉。假设，为了矛盾的目的，Si不是所有i=1。。。，n、 自从W∈ W、 肯定存在一些问题*∈ {S，…，Sn}这样* W定义P={Si:Si6=S*, 硅∩ s*6= } Q={Si:Si∩ s*= }.o 当q6=, 将引理7应用于Q中的集合，则存在两个不同的最小元素S′和S′ofB={S：S′∈ Q、 S∩ S′6=} 因此，对于任何∈ Q、 S′∩ s6= 和S′∩ Si6=; 和（ii）S′∩ S′\'/∈ B.通过定义W和构造P和Q，我们知道*∪ S′∈ W和S*∪ S′\'∈ 然而，自从S\'∩ S′\'/∈ B、 我们知道*∪ S′）∩ （S）*∪ S′）=S*∪ （S′）∩ （S′）/∈ 因为定义W的第二个条件在Q中的某些集合中被违反 s*∪ （S′）∩ S′），我们得出结论：/∈ W、 这会导致矛盾当Q=, 我们知道P6= （如果按其他方式，n=1）和S*∈ W.根据W的定义，我们知道W s*.因为* W根据S的定义*, 我们的结论是W=S*. 接下来，我们考虑两个子案例：–当** ∪s∈PS：将W′构造为W′=∪s∈通过W′的构造，我们知道W′∈ 这意味着 W’由W的定义。然而，W=S** W′，这导致了矛盾什么时候* ∪s∈那么，P至少包含两个集合。如果不是这样的话，那就是* ∪s∈PS意味着存在一些S∈ {Si:i=1，…，n}这样S* 排除了这个引理的假设。修正一个轨道∈ P.对于任何S∈ 当s6=S时，选择任意θ∈ S\\S*. 设S+是这些θS的集合。通过S+的构造，我们知道S+∩ s*=  而且，对于任何一位女士来说∈ P与s6=~S，S+∩ s6=. definefw=~S∪ S+。那么，fW∈ W、 因为*∩fW=S*∩~S 6= （回忆)∈ P） ，SfW，这是任何一个S∈ Pwith S 6=~S， 6=S+∩ sfW∩ s

然而，W∩fW=S*∩fW=S*∩ （）∪ S+）=（S）*∩~S）∪ （S）*∩ S+=S*∩■S（因为S）*∩ S+=)（S）*（因为**~S和~S*S*).因为W=S*, 这就是W∩但是，这意味着W*fW，这与那个fW相矛盾∈ W和W=∩s∈WS。因此，当Q=.由于我们在上述所有情况下都得到了矛盾，我们得出结论，一定存在一些i=1。。。，n以至于西辛格尔顿。这一结果结合了步骤1，表明所有i=1。。。，n、 综合以上所有结果，我们已经证明（L7.S1）<=> （L7.S2）当n≥ 2.最后，我们需要展示W∈ W意味着W=T。假设W∈ 当n=1时，我们在W=T时表示th。当≥ 2，我们已经证明（L7.S2）暗示（L7.S1），这进一步暗示（L7.S3）。在这两种情况下，W=T∈ W意味着W=T。引理7的证明。在不丧失普遍性的情况下，让我们假设scon至少包含两个元素。选择两个任意点θ和θ′，其中θ6=θ′。因为对于任何i=2，…，我们都有Si*s。。。，n、 我们可以选择θi∈ 对于任何i=2。。。，n、 根据结构，S∩ {θ，…，θn}=, {θ，θ，…，θn}∈ B和{θ′，θ，…，θn}∈ B.可能存在一些θi∈ {θ，…，θn}这样{θ，…，θn}\\θi∈ B.不断移除这些冗余元素，直到不存在任何36个不协调的松弛错误指定的模型冗余元素。通过这种方式，可以找到S的子集* {θ，…，θn}这是*是B的最小元素。类似地，我们可以找到子集S′ {θ′，θ，…，θn}使得S′是B的极小元。因为{θ，…，θn}∩ S=, 我们必须有θ∈ s*, 因为*/∈ B如果不是的话。类似地，我们知道θ′∈ S′。因为θ6=θ′，我们知道*6=S′。因此，B至少有两种不同的微量元素。B.6.2。引理6的证明。假设T只包含一个集合，比如T={S}。然后，通过T的定义，T=S。