将模拟应用到合同层面，还可以对合同的特征（包括基本主保险和再保险）进行建模，而这些特征在其他方面是不容易考虑的。下面我们列出了微模拟方法的一些额外优势，除了与传统频率严重性模拟方法共享的一般好处（例如灵活性和明确模拟事件顺序和时间的可能性），以及[6]中介绍的方法：o对灾难事件的一致处理：如果被保险人死亡，他作为被保险人的所有政策在该点终止；以及他是投保人而非被保险人的合同可以终止或不终止，具体取决于具体合同的条款。明确说明时间维度也意味着同一被保险人不能死亡不止一次（即，同一被保险人或保单不能在模拟路径中多次提取）根据合同到期日：保险期内保单的终止可根据每份保单的到期日予以考虑明确建模并纳入新业务：如果在再保险覆盖期内接受的新保单自动由再保险协议覆盖，这在条约再保险中非常重要。

新政策可以通过从外部数据文件中挑选政策（随机或非随机）纳入（根据其开始日期），或者通过模拟要添加的政策的数量和特征在atastrophe Context中，对每个模拟路径中的总人口和外来人口的规模进行明确建模的可能性：见附录A。o意外事件附加特征的建模：例如，我们可以将某一类型附加到每个事件，该事件类型可以影响模拟中的其他变量，例如（存在）每个受影响合同的个别报告延迟（见第4.3.1小节）合同层面的归因：可以直接将损失和保险金额归因于个人政策层面。除最后一项外，上述所有特征都有助于为索赔提供更准确的分布。根据再保险和基本保险合同的预期用途和缺点，上述特定优势可能具有重要意义。从技术角度来看，它们是不确定的。当然，在某些情况下，与更简单的个人索赔，甚至aggre gate索赔相比，政策级模拟在实践中可能不会带来太多好处——一如既往，每个任务都应该选择正确的工具。诚然，我们的方法中最薄弱的环节是将市场层面事件的死亡人数转换为公司的sp e ci fi fi fi c死亡人数。然而，我们认为采用保险覆盖率和市场份额作为代理来确定有效比例分布的方法是一种务实的选择。

通过这种方法，原则上涵盖了所有不同的可能结果；如果合理地选择分布，分配给每个结果的权重（概率）会提供一个真实的结果，给出足够多的模拟。4.3.1报告延迟和IBNR与P&C（再保险）保险相比——在向保险人报告索赔之前可能需要很长时间，之后很长一段时间才能充分开发索赔，因此最终的未知量——在提供死亡保险的保险产品中，报告延迟通常可以忽略不计，从建模的角度来看，没有实践的重要性。也就是说，出于所有实际目的，事故造成的死亡通常可以毫不延迟地报告和知晓。一般来说，也没有开发期，因此不需要根据时间对（新的和开放的）索赔的开发进行建模，就像P&C保险提出的那样——事实上，对于这些作为消费的索赔，没有开放索赔这样的东西。然而，在某些情况下，对报告延迟进行建模以及IBNR（已发生但未报告）索赔也与人寿/意外保险相关。报告延迟取决于事故的规模及其类型：例如，只有与足够大的事故相关的死亡才可能被视为报告延迟，延迟的分布可能取决于事故的类型。仅举一个例子，2004年海啸的一些测量值需要一段时间才能确定（有些测量值从未被发现）。如果需要，可以在当前模拟框架内通过模拟每次事故中被保险人死亡的报告延迟来实现报告延迟。

在定价方面，包括报告延迟并不影响主要保险人对某些产品类型的总索赔额（如有特定固定死亡福利的定期保险），但可能会影响其他产品（如储蓄合同，除非死亡福利付款与死亡时的储蓄金额挂钩）；根据再保险条款，它也可能影响再保险回收；如果使用折扣或包含通货膨胀，它会产生影响，尽管在大多数情况下可能不太显著。如果模拟模型用于一级保险公司的偿付能力评估，而不是定价，则报告延迟意味着可能在模拟期结束时形成索赔准备金（INBR）。4.3.2死亡风险的统一建模本节中使用的意外死亡模式l可以很容易地扩展到包括非灾难相关（“正常”）小事故，方法是为这些小事故指定非摊销模型，然后模拟每个时间间隔（Ti）的“正常”意外死亡-1，Ti]，1≤ 我≤ K（T），属于（0，T）。这是针对每个被保险人单独进行的，意外死亡强度可能取决于被保险人的年龄、年龄和其他特征。此外，该模型可以扩展为以同样的方式也包括正常-非意外相关-死亡率。这使得有可能在一个模型中以统一的方式计算所有死亡风险。4.4定价示例我们应用在第3节芬兰意外死亡案例研究的基础上，运用模拟方法对不同再保险合同进行评级。我们考虑一个由40万份风险人寿/定期保单组成的投资组合，为了便于说明，每一份保单都属于不同的被保险人。在死亡的情况下，警察向受益人支付合同中约定的风险金额（死亡津贴）。

保险投资组合虽然是假设性的，但代表了芬兰人寿保险公司投资组合的一个现实例子。该示例中的平均风险总和为63千欧元，而最小和最大风险总和分别为5千欧元和10百万欧元。投资组合的总金额约为25吉。图5显示了风险总和大小的分布，分别针对较小和较大的总和，以提供更好的印象。我们观察到，与整数相对应的合同数量出现峰值，例如s 20、50和10 0kEUR等。这是典型的真实风险生活投资组合，表明使用连续分布对风险总额（即索赔规模分布）进行建模不太可能产生非常现实的结果；至少，一定数量的离散点质量e必须与连续分布相混合，但即使这样，也不太可能捕捉到实际风险和分布通常相对较长且稀疏的尾部。4.4.1受影响的比例我们对投保百分比（PIj）分布和承保百分比（PCj）分布都使用贝塔分布，并初步假设在模拟期间，这些分布对于每个事故j保持不变。这可以是一个随机死亡模型，一个强度或概率函数，或者在最简单的情况下是一个恒定的意外死亡强度，以便从排除重大事故的此类数据中估计一致性。

作为第一个近似值，可以使用意外死亡的定价强度。0 1 2 3x 10502000040006000001000012000风险总和频率<=300\'0000 5 10x 1060501000150风险总和>300\'000图5：风险总和大小的分布（注意不同的比例）。PidDistribution的meanuIof被认为是芬兰拥有（私人）风险人寿保险的人口比例，根据统计，这大约是40%。我们的示例公司的市场份额被假定为20%，这被用作PCD分布的平均值。参数为α，β的β分布的平均值由u=α/（α+β）给出；在本例中，我们选择参数值αI=2和αC=0.5，结果值βI=3和βC=2作为平均值fix e d。选择保险分布的参数，以便所有大小的结果都是可能的，但非常低和非常高的值几乎不太可能。另一方面，选择覆盖的分布参数时，要确保非常高的价值（即，公司覆盖的所有被保险人）的可能性不可忽略，同时，被保险的受害者很有可能没有在特定公司投保。4.4.2模拟结果为了说明定价的模拟方法，我们考虑了在示例投资组合中写入的以下类型的非比例再保险合同：o每风险超额损失（XL），再保险分出人保留金和承保范围限制基于每风险（保单）。再保险层被视为“1000万x 10万”，即超过保留金100千欧元的损失将被覆盖至10百万欧元的限额。

此外，我们假设年总限额（AAL）为8000万欧元，即再保险人每年承保的总损失仅限于此金额，年总免赔额（AAD）为100万欧元，这意味着再保险分保公司保留了前100万欧元的再保险赔款每次事故损失的超额部分，含50米x 0.5米的土层，在每次事故（即事件、事故）的基础上提供超过保留的保险范围。也就是说，《再保险条约》适用于所有风险。对于不同类型再保险合同的基础知识，以及一般保险，非技术性介绍参见[21]。有关（非寿险）再保险定价的论文列表，请参见阅读列表[9]。受单一事件影响（如再保险协议中所定义），提供灾难保护。我们还保证，合同包括一次免费恢复，以及每年150万欧元的赔偿限额保险人赔偿所有损失的百分比。这在技术上类似于超额保险合同（总计XL），但风险现在是保险组合/业务的总索赔金额。我们考虑一份止损合同，保留2000万欧元，限制500万欧元。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9050100150事件规模0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.905x 106时间（年）索赔金额总索赔赔付死亡人数覆盖图6：一条模拟路径；死亡人数和索赔金额s。在不损失一般性的情况下，我们考虑典型的1年合同期（T=1），并对每个再保险合同进行10次模拟。

图6显示了peroccurrence re insurance cove r的一个示例实现，说明了模拟输出。表5显示了一组模拟的结果。损失分布的方法在定价中很有意义，因为它们给出了相应合同的预期损失成本。也会显示非常高的分位数，以显示在损失分布的极端尾部再保险合同的工作情况。如表中第二列所示，根据上述具体特征，每份风险（保单）合同的损失成本估计约为6000欧元，每份事故合同约为46000欧元，停止损失合同约为25000欧元；换句话说，对于这些合同，与图层限制（有时是在线费率）相比的损失成本分别为0.060%（每保单1000万欧元限制）、0.090%（每事件5000万欧元限制）和0.0050%（每500万欧元止损限制）。当然，这些还不是再保险合同，因为在形成合适的风险负荷时，必须考虑到非常大的不确定性，根据为符合保护条件的事件设定的最小规模，例如至少损失3 li。通常也有一个时间限制，在这个时间限制之后，连续的损失被认为是由两个不同的事件造成的，例如48或72小时。恢复是指对因赔付而耗尽的再保险进行补足，即恢复到全额限额。

通常，只有在限额完全用尽后，且仅在剩余合同期内，才能进行恢复；这就是我们在这里的假设。为了便于说明，模拟的数字显示时没有舍入，当然这些特定的数字并不精确。每个HAP的标准偏差，或者更恰当地说，损失分布的更高分位数的标准偏差；有关实际定价的简要说明，请参见本小节末尾。事件和事件规模的统计数据，包括再保险前主要保险投资组合的最终地面损失（所有这些都独立于模型再保险合同），可用于评估单个模拟运行的合理性和准确性。在这方面，10次模拟的使用量似乎不足以为定价提供一致的结果。然而，由于GPD se verity组件的极端重尾性，极右尾部的损失在不同的模拟中可能有所不同，因此每次的结果并不完全相同。特别要注意的是，三次模拟中的下分位数相似，但最高分位数存在差异。从最大分类金额来看，我们观察到，在“每occ currence”模拟中，发生了一个事件，抹去了整个保险组合，而其他两个事件不包括这种规模的事件——然而，根据本文未显示的其他模拟，这只会对损失分布的最大权利产生实质性影响。

出于再保险定价的目的，最大可能损失通常是有限的，有效地缓解了估算潜在（主要保险人）损失分布的最高分位数的问题。为了进行比较，我们还进行了另一组模拟，其中保险和承保比例（用上述贝塔分布建模）被固定在其预期值，以评估该随机成分对结果的影响。结果表明，预期结果的变化减少了，因为损失分布的低分位数的值增加了，而高分位数的值减少了。总的来说，保单前和单次再保险合同的损失成本分别下降到5\'欧元和41\'000欧元左右，而止损合同的损失成本（无论如何都有较大的变化）基本保持不变。最后，请注意，我们在这里集中于纯ornet保费的估算，c与再保险人的损失成本相对应，无需额外负担或利润。gro ss r e保险费通常包含一些可能的因素，如费用负担、经纪费、放弃佣金和风险负担或目标回报率。最终，报价的实际保费率可能部分取决于其他因素，如战略或市场条件，或整体客户关系。尽管如此，了解“正确”的技术保险费率仍然至关重要。5结论在本文的第一部分，我们检验了极端意外或灾难性死亡的发生率和规模的泊松点过程模型。我们提供了一个关于芬兰人群事故的案例研究；由于数据的复杂性，我们根据芬兰和瑞典的事故数据估算（有条件的）损失规模分布。

这种方法在实践中取得了很好的效果。基于统计检验和模型比较，选择具有独立广义帕累托分布标记的标记泊松过程模型作为最终模型。这是[6]中最初提出的模型；我们的论文为选择提供了依据。该模型描述了观察到的大事件，但结构简单。目前为止，对极端事件和极端风险的评估比对极端事件和极端风险的评估更为有用。由于隐含的GP分布不能描述我们将要讨论的较小的死亡人数，因此我们采用了一种实用的方法，分别用可测量的人数分布（或其中几个）对较小的事故进行建模。由此产生的组合MPPmodel能够灵活地捕获整个范围内的意外死亡计数。由于与外部因素有关的巨大不确定性，任何统计模型的局限性都必须得到承认。然而，事实仍然是，需要评估尾部风险，为此需要建立模型；最终使用的模型应该有一个良好的基础。我们认为本文提出的灾难风险建模方法是一种支持决策的工具，有助于对与极端事件相关的风险和不确定性进行诚实评估。在论文的第二部分中，我们提出了一个再保险定价模型，该模型基于个人合同层面的模拟，并使用我们的扩展意外死亡模型。

微观模拟方法能够使用（再保险）保险人拥有的所有信息，有可能提供比传统定价技术更准确的结果：通过明确模拟事故的发生和被保险人的死亡，可以单独说明每个生效合同的条款，导致对最终索赔和未决赔款的准确一致估计。由于每个事故的所有索赔都是在合同层面上记录的，因此直接将再保险合同的特征覆盖或挪用到模拟中。这种方法可以在不进行近似计算的情况下对复杂的再保险特征进行建模。作为一个应用，该仿真模型被用于对具有额外聚集特征的非比例超额再保险合同进行定价。这里介绍的方法是为生命和事故灾难保险量身定制的，但也可以在非生命环境中使用。从纯实践的角度来看，我们讨论的一些特性可能会被视为不必要的复杂因素，考虑到基本的不确定性，这无论如何都与Catastrophes的建模和定价有关。然而，我们认为，我们应该尽可能减少不确定性，因为这可以通过适当的（即更现实的）建模合理地实现。合同级模拟方法可能会揭示在使用聚合方法时，或者甚至在不直接参考基础合同的情况下模拟单个索赔时，仍然隐藏的r ISK。

我们的方法不限制建模者或强制使用近似值——相反，他可以自由地为目的包含细节级别。除了定价和再保险设计之外，本文提出的微观模拟方法也适用于从主要保险人的角度评估保险组合的风险。这可以包括对再保险需求的评估，以及从偿付角度检查（人寿）灾难风险。感谢作者感谢Model IT Ltd.andAalto University的Lasse Kosk ine n博士对本文的有益评论；以及卡列娃互助保险公司前员工塔帕尼·托米宁先生，感谢他提供了本研究中使用的意外死亡数据的bas格式。参考文献[1]K。Antonio和R.Plat，《为全面保险准备的微观随机损失准备金》，斯堪的纳维亚精算杂志（2013年），2013年5月17日在线出版。[2] A.A.Balkema和L.de Haan，《大年龄时的剩余寿命》，可能性年鉴2（1974），792-804。[3] S.G.Coles，《极值统计建模导论》，斯普林格，纽约，2001年。[4] D.J.Da ley和D.Vere Jones，《点过程理论导论：第一卷：基本理论和方法》，第二版，斯普林格出版社，2003年。[5] C.D.Daykin，T.Pentik–ainen和M.Pesonen，《实际的实际风险理论》，查普曼和哈尔，伦敦，1994年。[6] E.Ekheden和O.H¨ossjer，《人寿（再保险）中的巨灾风险定价》，斯堪的纳维亚精算师Jo urnal（2012年），Publis he d online，2012年8月20日。[7] P.Embrechts，C。吉隆坡·阿佩尔伯格和T.米科什，《保险和金融极端事件建模》，柏林斯普林格，1997年。[8] R.A.费舍尔和L.H.C。

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在模拟框架的背景下，考虑有限的被保险人口规模意味着我们重新安排受影响的被保险人数量，NIj=PIjNj，其中NIj=min{Nipj，max{PIjNj，Nipj- 最大{Npopj- Nj，0}}。每次事故发生后，总人口和参保人口规模分别减少伤亡人数、新泽西州和纽约州，但风险为零。随着人口规模因事故而减少，人口中的保险范围也会发生变化（取决于谁死亡，谁不死亡），被保险人占总人口的新比例为uIj=~Nipj/~npopjapplingbetween（Tj，Tj+1）（即事故j和j+1之间）；在这里，表示法的意思是Nipj=Nipj- NIj，即事故j（时间Tj+）后立即参保的人口数量——一般来说，这不需要与Nipj+1（时间Tj+1）相同-) 例如，如果对（更大的）事故造成的死亡以外的其他死亡进行了建模，或者如果在模拟模型中包括了新业务；见第4.3节。与上述程序类似的程序也适用于特定保险公司承保的在特定事故中死亡的投保人数。假设特定公司的市场份额为uC=20%，在这种情况下，公司承保的人数（有相关保险保障的人）在开始时被视为Ncov=40万。同样，如果被保险人在事故中死亡的人数大于Nipj- Ncovj（在我们的例子中，最初是160万），我们知道其中至少有一部分不可避免地在相关公司投保。

通过PCJ表示公司承保的保险事故受害者的随机比例，因此，我们将承保死亡人数NCj=PCjNIj替换为NCj=min{Ncovj，max{PCjNIj，Ncovj- max{Nipj- NIj，0}}。同样，事故发生后，公司覆盖的剩余员工人数jis表示为Ncovj=Ncovj- NCj和新的市场份额（用作完全一致的pr oxy fort，这里的市场份额理想情况下应该通过被保险人的数量来衡量，而不是通过货币金额来衡量，例如风险总额或储蓄。下一次事故的承保百分比分布的平均值）由uCj=~Ncovj/~Nipjif~Nipj>0给出，否则uCj=0。重复第4.4小节的模拟，并对人口规模进行了描述的明确计算：在我们的案例中，获得的结果与之前没有的结果没有实质性差异（如表5所示）。然而，对于更小的人口来说，明确说明人口规模是很重要的。在这些情况下，较小的事故足以影响结果。B型号选择B。1阈值选择测试平均超额图。平均超额函数e（u）=e（X- rv X（如果存在）的u | X>u）给出了超过u的量的平均值，条件是X超过u。对于GP分布，这由e（u）=β（u）/（1）给出- ξ） =（β+ξu）/（1）- ξ） ，因此是u的线性函数；当考虑更高的阈值v>u时，线性保持不变。阈值的选择可以基于此特性。在实践中，我们使用基于样本的e（u）的时间，Xn，样本平均超额函数en（u）=Pni=1（Xi- u） 1{Xi>u}Pni=1{Xi>u}，（12）并从视觉上寻找一个值u=ufrom，该值使平均超额图（u，en（u））变得大致线性（考虑样本方差后）；有关更多详细信息，请参见[7]。

图7显示了芬兰和瑞典组合数据的样本平均超标图。我们看到绘图曲线一直上升到值30左右，之后似乎开始变紧，在值20处出现了某种轻微的“扭结”。根据平均超额图，我们可以选择一个阈值30。仅考虑芬兰数据也得出了类似的结论，尽管在这种情况下，有更多证据可以选择较低的阈值20（未显示分析）。20 40 60 80 100 120 14005100100150200250300350en（u）图7：组合数据的样本平均超额图。在目前的情况下，我们从纯技术角度考虑极端事故，没有任何目的来解释此类灾难不可避免会对保险公司造成的其他后果。参数估计的稳定性。广义帕累托分布具有众所周知的“稳定性”，即aGP分布的超额分布也总是GP分布。这意味着，在实践中，如果广义帕累托模型适用于给定阈值u上的e xcess，那么也适用于所有更高的阈值v>u。多余的df具有相同的形状参数ξ，但标度随阈值βu:=β（u）线性增长- u） =βu+ξ（u）- u） ，其中βu是与初始阈值u相对应的标度参数。因此，基于观察样本的ξ估计值应在阈值u后保持相对恒定（在考虑样本变量后，实际上是稳定的），前提是GPD是一个合理的超额分配模型。

类似地，标度参数βu应以近似线性的方式变化，除非ξ=0；后者的不便可以通过考虑替代参数化β来避免*:= βu- ξu，对tou是常数。不同阈值的参数估计如图8所示。在这种情况下，阈值30看起来仍然是可能的，但可能不是最佳选择。特别是，出于定价和风险评估目的，模型输出相对于参数微小变化的相对稳定性至关重要。从这个角度来看，30似乎太高了。相反，我们将thr eshold设为u=20。如果我们只看芬兰的数据，这一选择也得到了支持。5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60012ξu05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60050βu05 10 15 20 25 30 35 40 55 60-10000100u0β*u0图8：ξ，β，β的参数估计*作为阈值u.B.2同质性测试的一个函数，阈值超越法（隐式）和点过程法的基本形式都是假设高thre的超越应根据同质泊松过程发生，也就是说，在不同间隔内的超越是iid泊松分布的随机变量。如果这一假设不成立，为iid数据制定的EVT基本方法就不能自动适用，可能有必要考虑更通用的模型来充分描述数据基因评级过程。让{ti}表示超出的时间。根据泊松分布的基本性质，我们知道，如果超越时间遵循强度为λ的泊松过程，则到达（或等待）时间Tk=Tk-tk-1是参数为λ的iid指数RVs。此外，数量Uk=1- 经验(-λYk）在[0,1]上均匀分布。

我们使用Kolmog-orov-Smirnov（K-S）检验来检验样本的均匀性（英国）：不拒绝数据均匀分布的零假设。图9的左面板显示了经验分布函数与参考分布u（0,1）以及95%置信区间的比较。在目前的情况下，由于观测数量较少，K-Stest没有太大的能力来拒绝无效假设——这一点可以通过较宽的置信区间得到证明。然而，该图并未显示出反对（Uk）一致性的具体证据，因此也没有证明超越时间的泊松分布。如[15]中所述，到达时间的独立性也可以通过绘制转换后的等待时间Uk+1，而不是之前的等待时间Uk来验证。如果（相邻）到达时间是独立的，点{（Uk，Uk+1）：k=1，…，n}应该均匀地分布在单位r e角[0，1）×[0，1]上。图9的右面板包含这样一个图。点的缺乏使解释变得非常困难，但似乎没有任何结构。0.5 100.20.40.60.81xF（x）0.5 100.20.40.60.81UkUk+1图9：左：empirical vs.U（0,1）df。右：相邻等待时间。B.3比较点过程模型基于之前附录的测试，意外死亡数据可以由时间均匀泊松过程生成。然而，我们将通过对数据进行非同质点处理，进一步调查可能趋势的存在，以及是否可以通过包含趋势成分来改进模型。我们首先考虑（时间均匀的）POT模型。这为其他模型的比较奠定了基础。过程N的点包括点（Tj，~Xj）∈ E=（0，n]×（u，∞) 从超过所选阈值u的r vs（X，…，Xn）的下面序列。

因此，点过程N的实现是一组点{（Tj，~Xj）：j=1，…，Nu}，其中Nu是超越的数量，Tjand ~Xj分别表示一次超越的时间和大小。通过查看整个数据，附录的结论得到了加强，因为阈值u=3的超出时间似乎已经遵循了同质泊松过程（未显示分析）。在点（t，x）处泊松点过程N的强度∈ E为λ（t，x）=σ1+ξx- uσ-1/ξ-1，（13）每当（1+ξ（x-u）/σ）>0，λ（t，x）=0，否则（见（5）），基于观察到的超越时间t，t和超标尺寸＠x=（＠x，…，＠xk）（带Nu=k）isL（θ；＠x）=exp{-∧（（0，n）×（u，∞))}kYi=1λ（~xi）=exp{-nτ（u）}kYi=1λ（~xi），（14），其中θ=（ξ，u，σ）和τ（x）=- ln Hθ（x）（见第2.2小节）。因此，对数似然为byl（θ；~x）=-N1+ξu- uσ-1/ξ+kXi=1ln（σ）1+ξxi- uσ-1/ξ-1） ，（15）当1+ξ（~xi）时- u）/σ>0表示所有i=1，k、 参数es tima tes通过数值最大化（对数）似然来获得。有关点过程强度和似然函数的更多详细信息，请参见示例[4，第7章]。使用treshold u=20将Pot模型与意外死亡数据拟合，我们得出最大对数似然为-160.2. 上述情况意味着一个具有有限方差的重尾分布。

我们可以检查参数是否与第3.3节中受损点过程公式的估计值^ξ和^β一致（使用关系式β=σ+ξ（u- u）在模型之间）。B.3.1非齐次泊松点过程设N为强度λ（t，x）=σ（t）的非齐次泊松点过程1+ξ（t）x- u（t）σ（t）-1/ξ（t）-1.我们考虑了以下参数化：o模型M：θ=（ξ，u（t），σ），当eu（t）=κ+κto模型M：θ=（ξ，u，σ（t）），其中σ（t）=eκ+κt将其与前一节中的同质模型（用M表示）进行比较，以检验趋势成分是否可以改善模型性能。通过最大似然法拟合模型，我们得到以下参数估计值：θ=（ξ，κ，κ，σ）=（0.932,10.7，-0.023, 3.30),^θ= (^ξ, ^u, ^κ, ^κ) = (0.941, 9.77, 1.29, -0.0024).在这两种情况下，最大值的对数可能性几乎相同-16 0.1.As模型Mis是其他模型的特例（带κ≡ 0），我们可以使用标准likeliho od比率（LR）测试来比较模型。根据测试，包括位置或比例参数的趋势不会以统计显著的方式改善模型的拟合度——事实上，它几乎没有改善。这一点得到了证实。