对于这项模拟研究，结论与PAP案例得出的结论类似，在PAP案例中，预先定义的停止规则表现不如多重最优规则。使用保险时的最佳规则损失当地风险转移0 5 15 25 350.00 0.05 0.10 0.15使用保险时的损失0 5 15 25 350.00 0.04 0.08使用保险时的损失0 5 15 25 350.00 0.04 0.08使用保险时的损失0 5 15 25 350.00 0.04 0.08图8:ILP情况下（λ，u，λeN）=（3，1，4）7的四种不同停止规则下的损失直方图。保险过程密度的级数展开第5节介绍了保险单和LDA模型的一些组合，这些组合导致了多重停止规则的闭式解。对于无法找到解析解的情况，另一种方法是对投保过程的密度进行级数展开，从而可以解析计算定理3.5中所有必要的期望值。在本节中，我们将假设投保流程分布的前n个时刻是已知的，我们的目标是最小化局部风险，但如果我们处理全局优化问题，计算也是有效的（在这种情况下，应使用Z-eZ而不是ofeZ）。伽马基近似如果可以计算（代数或数字）投保过程的n阶矩，且投保随机变量的支持度为[0+∞) 我们可以用伽马体密度的级数展开。为了便于标注，定义一个新的随机变量U=beZ，其中b=E[eZ]V ar[eZ]，并设置a=E[eZ]V ar[eZ]。通过进一步表示U的密度，就像在高斯情况下的Gram-C harlier展开一样，这个想法是写fUasfU（U）=g（U；a）hAL（a）（U）+AL（a）（U）+AL（a）（U）+AL（a）（U）+。我

（11） 由于supp（U）=supp（eZ）=[0+∞) 我们假设核g（·；a）也有正的支持向量t（不同于gram-Charlier展开式，其中g（·）是作为高斯核的cho-sen）。如果g（u；a）=ua-1e-uΓ（a）即，形状=a且比例=1的伽马核，则（关于该核的）正交多项式基由定义为asL（a）n（u）的拉格雷多项式（与高斯情况下的埃尔米特多项式相反）给出(-1） nu1-ae-乌登登（联合国+a）-1e-u） 。（12） L（a）（u）=1L（a）（u）=u- aL（a）（u）=u- 2（a+1）u+（a+1）aL（a）（u）=u- 3（a+2）u+3（a+2）（a+1）u- （a+2）（a+1）aL（a）（u）=u- 4（a+3）u+6（a+3）（a+2）u- 4（a+3）（a+2）（a+1）u+（a+3）（a+2）（a+1）a.表2：第一个五个拉盖尔多项式备注7.1。请注意，方程式（12）中拉盖尔多项式的定义与通常的定义略有不同，即基于罗德里格斯公式（a）n=u的定义-aexn！丹顿E-xxn+a,但是很容易检查l（a）n（u）=n！(-1） 内尔（a）-1） n.根据正交性条件（例如，参见Jackson（1941）第184页），Z+∞xa-1e-xΓ（a）L（a）n（x）L（a）m（x）dx=NΓ（a+n）Γ（a），n=m，0，n6=mand利用fUcan可以写成等式（11）的事实，我们发现an=Γ（a）n！Γ（a+n）Z+∞fU（x）L（a）n（x）dx。（13） 然后，利用Anin（13）的特征和E[U]=V ar[U]=a的事实，我们可以看到a=Z+∞fU（x）L（a）（x）dx=Z+∞fU（x）dx=1，A=Z+∞fU（x）L（a）（x）dx=Z+∞傅（x）（z）- a） dx=0，a=Z+∞fU（x）L（a）（x）dx=Z+∞傅（x）（z）- 2（a+1）z+（a+1）a）dx=0。类似但较长的计算表明，对于un=E[（U- n=3，4，A=Γ（A）3！Γ（a+3）（u）- 2 a），（14）a=Γ（a）4！Γ（a+4）（u）- 1 2u- 3 a+18a）。

（15） 因此，匹配前四个矩，原始随机变量EZ的密度可以近似为Fez（z）=bfU（u）≈ 布阿-1e-uΓ（a）h1+AL（a）（u）+AL（a）（u）i，其中u=bz，a和a分别由（14）和（15）给出，拉盖尔多项式可在表2中找到。关于伽马展开的更多细节，请读者参考Bowers Jr（1966）。由于这种扩展并不能确保所有点的密度都是正的（对于偏度和峰度的特定选择，它可能是负的），我们将采用Jondeau和Rockinger（2001）中使用的方法，用于Gaus sHermite Gr amm Charlier案例，该案例与伽马-拉盖尔环境有关。为了在（u，u）-平面上找到fU（u）对所有u都为正的区域，我们将首先找到fU（u）=0的区域，即ua-1e-uΓ（a）1+AL（a）（u）+AL（a）（u）= 0.（16）对于固定值u，我们现在希望将集合（u，u）作为u的函数，使得（16）对于u上的s Mall变量保持为零。该se t由（u，u）给出，例如DDUua-1e-uΓ（a）（a）（AL+u）+1= 0

（17） 然后我们可以将方程（16）和（16）改写为以下代数方程组uB（u）+uB（u）+B（u）=0uB′（u）+uB′（u）+B′（u）=0，其中B（u）=ua-1e-uΓ（a）Γ（a）3！Γ（a+3）L（a）（u）- 12Γ（a）4！Γ（a+4）L（a）（u）;B（u）=ua-1e-uΓ（a）Γ（a）4！Γ（a+4）L（a）（u）；B（u）=ua-1e-uΓ（a）1.- 2aΓ（a）3！Γ（a+3）L（a）（u）+-3a+18aΓ（a）4！Γ（a+4）L（a）（u）;B′（u）=（a）- 1） u-1.- 1.B（u）+ua-1e-uΓ（a）Γ（a）3！Γ（a+3）dL（a）du（u）- 12Γ（a）4！Γ（a+4）dL（a）du（u）！；B′（u）=（a）- 1） u-1.- 1.B（u）+ua-1e-uΓ（a）Γ（a）4！Γ（a+4）dL（a）du（u）！；B′（u）=（a）- 1） u-1.- 1.B（u）+ua-1e-uΓ（a）-2aΓ（a）3！Γ（a+3）dL（a）du（u）+-3a+18aΓ（a）4！Γ（a+4）dL（a）du（u）！；dL（a）du（u）=3u- 6（a+2）u+3（a+2）（a+1）；dL（a）du（u）=4u- 12（a+3）u+12（a+3）（a+2）u- 4（a+3）（a+2）（a+1）。因此，一个c可以解出这个系统，以表明对于所有u Is，近似值将保持为正的曲线如下所示：u（u）=B\'BB- B′B′-B\'BB-1u（u）=-B（u（u）B+B），代表u∈ [0, +∞). （18） 作为说明，图9（左侧）显示了损失过程Z=PNn=1xnX的直方图~ LN（u=1，σ=0.8）和N~ P oi（λN=2）和红色表示使用Z的前四个矩的伽马近似值。右侧显示了所有u值的密度为正值的区域图，由等式18给出。灰色区域是通过数值计算得出的，对于平面（u，u）上细网格中的所有组合，如果密度在某个点z变为负值，则进行测试。灰色点表示密度严格为正值。

蓝色点表示对数标准示例中的第三和第四个矩，由于它位于正性范围内，我们可以确保这一近似值对于z的所有值都是严格正的。如果所选模型的第三和第四个矩位于允许区域之外，则可以选择bu和bu作为最小化某些约束优化问题的估计值，例如，最大似然odEstimator（使用fU（u；u，u）=ua-1e-uΓ（a）h1+AL（a）（u）+AL（a）（u）是可能性）。等式18中的一段曲线清楚地给出了约束区域，可以使用根搜索方法找到端点，检查图9中红色曲线的u值与灰色区域的接触。由于假定E[eZ]已知，且E[min{c+eZ，c}可按如下公式计算，因此，给定fU的近似值以及feZ的近似值，可以很容易地计算出最佳多次停止规则。引理7.2。如果G~ 伽马（a，1），即fG（x）=xa-1e-xΓ（a）那么，类似于引理4.4，下列性质保持sxfg（x；a，1）≡ afG（x；a+1，1）。（19） 使用这个符号，我们可以重写近似的ofeZ-asfeZ（z）≈ fG（bz；a，1）a*+ fG（bz；a+1，1）a*+ fG（bz；a+2，1）a*+ fG（bz；a+3，1）a*+ fG（bz；a+4，1）a*,哪里*=1.-Γ（a+3）Γ（a）a+Γ（a+4）Γ（a）ab、 A*=Γ（a+3）Γ（a）a- 4Γ（a+4）Γ（a）ab、 A*=-3Γ（a+3）Γ（a）a+6Γ（a+4）Γ（a）ab、 A*=Γ（a+3）Γ（a）a- 4Γ（a+4）Γ（a）ab、 A*=Γ（a+4）Γ（a）ab、 然后，我们可以计算定理3.5的另一个主要成分，即[min{c+eZ，c}]=Z+∞min{c+z，c}feZ（z）dz=z+∞（c+z）I{c+z<c}+cI{c+z≥c}feZ（z）dz=Zc-czfeZ（z）dz+cZc-cfeZ（z）dz+cZ+∞C-cfeZ（z）dz=aXk=1FG（b（c- c） )；a+k，1）a*k+cXk=1FG（b（c- c） )；A.- 1+k，1）A*k+cXk=1FG（b（c- c） ；A.- 1+k，1）A*k、 八,。

结论和最后的注意事项本文研究了保险产品的一些性质，即其所有者有权选择发行人在未来k年中应减轻其年度损失。对于三种不同的缓解形式，我们提出了运动策略的封闭d型解决方案，该策略（平均）最大限度地减少了未来T年所有年度损失的总和。这个模型假设了一个“温和的尾巴”“对于业主遭受的损失的严重程度，即aPoisson逆高斯LDA模型。虽然假设公司已经持有所提议的合同，但公司可以使用图6中给出的分析作为保险产品价格的代理。从公司的角度来看，保险产品的价值应为预期差异（根据自然概率）在没有产品的情况下会产生的损失，以及以最有利的方式（对买方而言）使用产品所产生的损失LXt=1Z（t）-LXt=1t/∈{τ，…，τk}Z（t）+lXj=1eZ（τj）.还必须指出的是，该价格不包括保险公司要求的保费，也没有考虑到外部保险公司将无法获得该公司使用的模型，但它仍然可以是一个有价值的代理。第7节中给出的结果的替代方法可能涉及使用蒙特卡罗方法。如果存在从严重性分布中取样的机制，可以很容易地创建投保流程的样本，并使用该样本计算定理3.5中所有必要的期望值。这种方法的优点是，可以处理严重性分布和保险单的任何组合，但它可能非常耗时，并且估计值的方差可能会令人望而却步。

重要的是要注意，可以对严重程度进行抽样，也就是说，应使用相同的样本来计算所有积分。解决最佳多次停车问题的另一种替代方法是使用s o的扩展版本，即所谓的最小平方蒙特卡罗法，首次在Longstaff和Schwartz（2001）中提出。关于定理5.9至5.6中给出的结果，有限和的截断点可选择为远大于预期损失数（参数λN），因为总和由泊松r的p.m.f.组成。五、（呈现指数衰减）和有界项（c.d.f.乘以常数的差异）。感谢首先感谢国家科学技术委员会（CNPq）对Ciènciasem Fronteiras奖学金的支持，以及澳大利亚科学与工业研究组织（CSIRO）的支持。GWP感谢日本东京统计数学研究所在该项目研究期间提供的支持。密度0 5 10 150.0 0.2 0.4 0.6 0.80 10 20 30-100 0 100 200 300 400 500u3u4图9：（左）损失过程的直方图Z=PNn=1xnX~ LN（u=1，σ=0.8）和N~ P oi（λN=2）和红色的伽马近似值，使用Z的前四个矩（右）该区域的图，其中密度对所有Z参考值都是正的，K.K.（1993）。再保险辛迪加均衡：存在性、唯一性和特征。新闻公报，23（2）：185-211。艾伦，L。，Bo udoukh，J.和Saunder s，A.（2009）。了解市场、信贷和运营风险：风险价值法。威利。阿罗，K.J.（1953年）。布尔西耶河谷是一个美丽的村庄。国家科学研究中心国际学术讨论会，11:41-47。阿罗，K.J.（1965）。风险承担理论的几个方面。

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在这种情况下，保险损失等于toPmn=1Xn- 阿尔卑斯山。否则，所有损失都将被保险，且z=0。利用这个参数，我们可以计算出cdf of eZ为fez（z）=P[eZ≤ z]=+∞Xm=1P[eSm≤ z] p+pm=+∞Xm=1（P“eSm≤ ZmXk=1Xk>ALP#P“mXk=1Xk>ALP#pm+P”eSm≤ ZmXk=1Xk≤ ALP#P“mXk=1Xk≤ 阿尔卑斯山#pm）+p=+∞Xm=1（P“mXk=1Xk- 阿尔卑斯山≤ z#P“mXk=1Xk>ALP#pm+P[0≤ z] P“mXk=1Xk≤ 阿尔卑斯山#pm）+p=+∞Xm=1（P“mXk=1Xk- 阿尔卑斯山≤ z#P“mXk=1Xk>ALP#pm+P”mXk=1Xk≤ 阿尔卑斯山#pm）+p=+∞Xm=1（图（z+ALP；mu，mλ）图（ALP；mu，mλ）pm+图（ALP；mu，mλ）pm）+p=+∞Xm=1FIG（z+ALP；mu，mλ）FIG（ALP；mu，mλ）pm++∞Xm=1FIG（ALP；mu，mλ）pm+p |{z}p[eZ=0]，其中esm=（Pmn=1Xn）- ALP）I{Pmn=1Xn>ALP}。p.d.f.很容易从FeZ（z）相对于z的推导中得出，但重要的是，FeZ是一个连续密度，在z=0时具有离散质量，即FeZ（z）=+∞Xm=1nfIG（z+ALP；mu，mλ）FIG（ALP；mu，mλ）pmoI{z>0}+np++∞Xm=1FIG（ALP；mu，mλ）pmoI{z=0}证明。（定理M5.2）如定理5.9所示，为了计算最优规则，我们只需要计算E[W]和E[max{-c+W，-c} ]表示0<c<c。

给定eZ密度的表达式（7），我们可以计算出E[W]asfollowsE[eZ]=Z+∞z+∞Xm=1fIG（z+ALP；mu，mλ）Cmdz（引理4.2）=+∞Xm=1CmZ+∞zfGIG（z+ALP；λ/u，mλ，-1/2）dz（变量变化）=+∞Xm=1CmZ+∞阿尔卑斯山（西）- ALP）fGIG（w；λ/u，mλ，-1/2）dw（引理4.4）=+∞Xm=1厘米muFGIG（ALP；λ/u，mλ，1/2）- ALP FGIG（ALP；λ/u，mλ，-1/2)然后我们使用E[W]=-E[eZ]。对于第二个任期，我们有E[max]{-c+W，-c} ]=(-1） E[min{c+eZ，c}]andE[min{c+eZ，c}]=Z+∞min{c+z，c}feZ（z）dz=+∞Xm=1CmZ+∞min{c+z，c}fIG（z+ALP；mu，mλ）dz+min{c+0，c}np++∞Xm=1FIG（ALP；mu，mλ）pmo=+∞Xm=1厘米Z+∞ALPmin{c+w- ALP，c}fIG（w；mu，mλ）dw+ 抄送=+∞Xm=1Cm“Zc-c+ALP（c+w）- ALP）图（w；mu，mλ）dw+Z+∞C-c+ALPcfIG（w；mu，mλ）dw#+cC=+∞Xm=1厘米“米uFGIG（c）- c+ALP；λ/u，mλ，1/2）- FGIG（ALP；λ/u，mλ，1/2）+ （c）- 阿尔卑斯山）FGIG（c）- c+ALP；λ/u，mλ，-1/2) - FGIG（ALP；λ/u，mλ，-1/2)!+ cFGIG（c）- c+ALP；λ/u，mλ，-1/2）#+抄送。证据（关于命题5.3）这个证明来自两个条件论。第一部分是确定年度损失N=m的数量，第二部分是分离PMn=1Xn>ALP及其补充的空间。正式地说，P[W≤ w] =NXm=1P[Wm≤ w | N=m]P[N=m]+P[N=0]，其中P[Wm]≤ w] =P“min（ALP，mXn=1Xn）≤ w#=P“阿尔卑斯山≤ W阿尔卑斯山≤mXn=1Xn#P“ALP≤mXn=1Xn#+P“mXn=1Xn≤ WmXn=1Xn≤ ALP#P“mXn=1Xn≤ ALP#=FSm（ALP）I{w≥ A LP}+P[Sm≤ w、 Sm≤ ALP]=FSm（ALP）I{w≥ A LP}+FSm（min{w，ALP}）=FSm（ALP）I{w≥ LP}+FSm（ALP）I{w≥ A LP}+FSm（w）I{w<ALP}=I{w≥ A LP}+FSm（w）I{w<ALP}。因此，增益的pdf由fw（w）=NXm=1n给出FSm（ALP）I{w=A LP}+FSm（w）I{0<w<AL P}pmo+pI{w=0}。证据

（定理5.4）对于0<c<c，剩余的数量可以计算为[max{c+W，c}]=Z+∞最大{c+w，c}fW（w）dw=+∞Xm=1pmnFSm（ALP）max{c+ALP，c}+ZALPc-c（c+w）fSm（w）dw+Zmin{c-c、 ALP}cfSm（w）dwo+pc=+∞Xm=1pmnFSm（ALP）max{c+ALP，c}+c（FSm（ALP）- FSm（c）- c） ）+muFGIG（ALP；λ/u，mλ，1/2）- FGIG（c）- Cλ/u，mλ，1/2）+ cFSm（最小{c- c、 ALP}）o+pcProof。（关于命题5.5）这个证明与命题5.1的证明是一样的，但这里我们需要一个更复杂的条件步骤。这是因为我们事先不知道该公司何时开始投保保险单（这一次正是投保时间的概念）*mde定义在（10）中。在续集中，我们将表示esm=Xn×I{Pmk=1Xk≤P AP}。FeZ（z）=P[eZ≤ z]=+∞Xm=1P[eSm≤ z] p+pm=+∞Xm=1（mXm）*=1.PheSm≤ ZM*m=m*iP[M*m=m*] 下午+ PheSm≤ ZM*m> miP[m*m> m]pm）+p=+∞Xm=1（mXm）*=1.下午好*Xn=1Xn≤ z#P[M*m=m*] 下午+ P“mXn=1Xn≤ z#P“mXk=1Xk<P AP#pm）+P=+∞Xm=1（mXm）*=1.图（z；m）*u，m*2λ）P[M*m=m*] 下午+ 图（z；mu，mλ）图（P AP，mu，mλ）pm）+P=+∞Xm=1（mXm）*=1.图（z；m）*u，m*2λ）Dm*,M+ 图（z；mu，mλ）Dm）+p.计算Dm*,m、 首先确定（非投保）部分金额Sm=Pmn=1Xn。那么，对我来说*= 2.mP[M*m=m*] = P[Sm*> P AP | Sm*-1<P AP]=ZP-APP[Sm*> P AP | Sm*-1=a]fSm*-1（a）da=ZP应用程序[Xm*> P AP- a] fSm*-1（a）da=ZP AP[1- 图（P）- A.u，λ）]图（a；（m）*- 1）u（m）*- 1）λ）dap[M*m=1]=P[X>P AP]。重要的是要注意，无论一年中有多少损失，第一个m的s um的可能性*损失超过阈值P AP相同。从数学上讲，P[M]等于*m=m*] 不依赖于m。另一个重要的方面是，该积分不能解析求解，但由于它是一个有界集合中表现良好的被积函数的一维积分，因此可以很容易地用任何求积规则来近似。证据

（定理5.6）记住E[W]=-E[eZ]和前者可以计算为：+∞zfeZ（z）dz=+∞Xm=1mXm*=1Z+∞zfIG（z；m）*u，m*2λ）Dm*,mdz++∞Xm=1Z+∞zfIG（z；mu，mλ）Dmdz=+∞Xm=1mXm*=1米*uDm*,m++∞Xm=1muDm。对于0<c<cwe有thatE[min{c+eZ，c}]=+∞Xm=1mXm*=1Z+∞min{c+z，c}图（z；m）*u，m*2λ）Dm*,mdz++∞Xm=1Z+∞min{c+z，c}fIG（z；mu，mλ）Dmdz+min{c+0，c}p=+∞Xm=1mXm*=1.Zc-c（c+z）图（z；m）*u，m*2λ）dz+Z+∞C-ccfIG（z；mu，mλ）dzDm*,mdw++∞Xm=1Zc-c（c+z）图（z；mu，mλ）dz+z+∞C-ccfIG（z；mu，mλ）dzDmdz+cp=+∞Xm=1mXm*=1（cFIG（c- CM*u，m*2λ+muFGIG（c）- Cλ/u，m*2λ，1/2）+cFIG（c- CM*u，m*λDm*,m++∞Xm=1cFIG（c- Cmu，mλ）+muFGIG（c- Cλ/u，mλ，1/2）+cFIG（c- Cmu，mλ）Dm+cp。结果来自等式E[max{-c+W，-c} ]=(-1） E[min{c+eZ，c}]及其在fTheorem 3.5中的应用。证据（建议5.7）对于这一证明，我们首先将WMA定义为N=m条件下的增益过程，即Wm=mXn=1Xn×i{Pnk=1Xk>P AP}。然后，我们可以看到tP[Wm≤ w] =mXm*=1.PhWm≤ ZM*m=m*iP[M*m=m*]+ PhWm≤ ZM*m=+∞iP[M*m=+∞]=mXm*=1.P“mXn=m*Xn≤ z#P[M*m=m*]+ P“mXk=1Xk<P AP#。现在，考虑到增益的条件分布，我们只需要用N=manualloss的概率来加权每个项，以计算g ain:FeZ（z）=P[eZ的cdf和pdf≤ z]=+∞Xm=1P[Wm≤ z] p+pm=+∞Xm=1（mXm）*=1.P“mXn=m*Xn≤ z#P[M*m=m*] 下午+ P“mXk=1Xk<P AP#pm）+P=+∞Xm=1（mXm）*=1.P“mXn=m*Xn≤ z#P[M*m=m*] 下午)++∞Xm=1（P“mXk=1Xk<P AP#pm）+P |{z}P[W=0]，feZ（z）=+∞Xm=1（mXm）*=1.图（z；（m）- M*+ 1） u（m）- M*+ 1） λ）P[M*m=m*] 下午)!I{w>0}+P[w=0]I{w=0}。证据（定理5.8）给定增益的pdf，必要期望的计算是直线的：E[max{c+W，c}]=Z+∞最大{c+w，c}fW（w）dw=+∞Xm=1mXm*=1P[M*m=m*] 项目经理（cFGIG）c- Cλ/u（m）- M*+ 1)λ, -1/2）+FGIG（c- Cλ/u（m）- M*+ 1） λ，1/2）（m- M*+ 1） u+cFGIG（c- Cλ/u（m）- M*+ 1)λ, -1/2））+cP[W=0]证明。

（定理5.9）从定理3.5中可以清楚地看出，我们只需要计算两个项，即E[W]和E[max]{-c+W，-c} ]表示0<c<c。第一项可通过简单应用TowerProperty得出：E[W]=-E[eZ]=-EhE[eZ | eN]i=-E[eN]E[eX]=-λeNu。对于第二个术语，首先注意E[max{-c+W，-c} ]=(-1） E[min{c+eZ，c}]，然后它跟在t后面，因为0<c<c，E[min{c+eZ，c}]=Z+∞min{c+z，c}feZ（z）dz+min{c+0，c}Pr[eN=0]=z+∞（c+z）I{c+z<c}+cI{c+z≥c}feZ（z）dz+cPr[eN=0]=Zc-czfeZ（z）dz+cZc-cfeZ（z）dz+cZ+∞C-cfeZ（z）dz+cPr[eN=0]=+∞Xn=1Pr[eN=n]hZc-czfeSn（z）dz+cZc-cfeSn（z）dz+cZ+∞C-cfeSn（z）dzi+cPr[eN=0]（引理4.2）=+∞Xn=1Pr[eN=n]hFGIG（c- Cλ/u，nλ，1/2）nu+cFGIG（c- Cλ/u，nλ，-1/2）+cFGIG（c- Cλ/u，nλ，-1/2）i+cPr[eN=0]（引理4.4）=+∞Xn=1Pr[eN=n]hFGIG（c- Cλ/u，nλ，1/2）nu+（c- c） FGIG（c）- Cλ/u，nλ，-1/2）+ci+cPr[eN=0]。注意，为了便于注释，必须将Fez理解为Ez密度的绝对连续部分。