现在，让我们研究在T时以货币单位支付的DNToptions的定价，前提是fl<Ft<FU，0≤ T≤ T、 （225）否则为零。同一基本产品还有其他变体，但为了简洁起见，我们只考虑这一个。显然，我们几乎不需要做什么来调整我们早期的发现以适应眼前的问题。感兴趣的区间现在变成sxsl<x<XsU，（226），其中s=H，DH，I，R。根据σ（F），我们有xs{L，U}=自然对数F{L，U}, s=H，βlnβF{L，U}- 1.+ 1., s=DH，√|ωI|阿尔克坦F{L，U}-锰- 阿尔克坦1.-锰, s=I，√ωRln(1-p） （F{L，U}-q） （1）-q） （F{L，U}-p）. 在所有四种情况下，边界条件均为clearU（τ，XsL，x）=0，U（τ，XsU，x）=0。（228）相应的支付额（x）=E-x、 s=H，e-βx，s=DH，√α√|ωI|sinp |ωI|十一∞- 十、, s=I，√α√ωRsinh√ωRXR∞- 十、. s=R.（229）5.2解析解当ρ=0时，DNT的定价可以（半解析）进行[38]，[42]。和以前一样，我们可以用公式（τ，x，x）表示相应的解=∞Xk=1sk（τ，x）νskek（x），（230），其中ek（x）=sin（ζsk（x- 四十） ），（231）ζsk=πk（XsU）- XsL），（232）和νsk是初始条件us（x）的傅里叶系数：νsk=2ζsk√σ（FL）+(-1） k+1√σ（FU）（XsU）- XsL）λsk。（233）相应地，Us（τ，x，x）=（XsU- XsL）∞Xk=1usk（τ，x）ζsk√σ（FL）+(-1） k+1√σ（FU）λskek（x）。（234）5.3数值解之前，在本小节中，我们将仅限于由等式（27）、（228）、（229）管辖的标准赫斯顿模型。我们通过第3节中发展的数值方法解决了定价问题，并比较了相应的解决方案。ADI方法在本案中的应用相对简单，尤其是因为相应的边界条件是异源施加的。我们忽略了细节。伽辽金方法非常适合求解DNT期权定价问题。

如果期权的到期日不太短，可以考虑很少的模式。x方向的离散化可以公平地进行，而不会对精度产生太大影响。执行小ρ展开也很简单，因为通常只考虑前几个项就足够了。一如既往，通过MC方法实现高精度是很困难的。与其他方法相比，障碍的存在使其更加精细，并且需要使用非常多的路径和非常小的时间步长。为了达到可接受的精度，我们每天使用200000条路径和3个时间步。不用说，对于所考虑的问题，MC方法无法与其他感兴趣的方法竞争。5.4 NTT问题不同数值解的比较在下文中，我们对一个在aunit区间到期1年的双屏障期权进行估值。作为初始条件，我们采用函数（229），s=H。在图4中，我们回顾了各种ADI方法的收敛性。图4这张图清楚地表明，所有的ADI方法都是一致的。特别是，收敛性是二次的。然而，很明显，对于所有的ADI方法，时间上的收敛只是线性的。因此，对于DNT选项（至少在我们的计算中），未观察到与预测-校正步长相关的增益不准确。我们还证明了伽辽金方法关于模式数的二次收敛性。在图5中，我们展示了通过前面讨论的数值方法获得的XL的DNT价格行为≤ 十、≤ XU，x=2.628。很明显，本文中考虑的所有方法都会产生一致的价格。我们看到，即使有30个模态，伽辽金方法也能获得很好的收敛性。最后，我们展示了图6中描述的解析展开法的收敛性。

图表显示了XL的价格≤ 十、≤ XU，x=2.628。我们看到，即使只有三个扰动，相对于伽辽金方法得到的解，我们也能获得合理但不完美的收敛性。图6附近的二维布朗运动考虑到相应FD解的复杂性，我们可以看一个更简单的问题。在这一节中，我们考虑一个象限和一个有吸收边界的矩形中的二维布朗运动。相应的问题本身就很有趣，可以分别视为双单无触点期权和双DNT期权的定价问题。在第6.1节中，我们考虑了具有吸收边界的正象限中的二维布朗运动。这个定价问题可以通过数值和分析来解决，这样我们就可以用后者来衡量前者的质量。我们的结论是，对于这个问题，欠考虑数值方法的工作正如预期的那样。在第6.2节中，我们考虑了具有吸收边界的矩形中的二维布朗运动。虽然相应定价问题的解析解不再可行，但可以应用第3节的所有方法进行数值求解。同样，不同解决方案之间的一致性是好的，伽辽金方法似乎是最有效的。6.1具有吸收边界的正象限中的二维布朗运动6。1.1问题公式在正象限中考虑两个相关的布朗运动。相应的生存概率由方程qτ（τ，x，x）决定-Qxx（τ，x，x）- ρQxx（τ，x，x）-Qx，x（τ，x，x）=0，（235）Q（0，x，x）=1，（236）这是最简单的双因素问题，对于基准测试非常有用。边界条件的形式为Q（τ，0，x）=0，Q（τ，x，0）=0。

（237）在（x，x）平面中对应的域isDq={（x，x），0≤ x<∞, 0≤ x<∞}. （238）这个问题与更为重要的DNT期权定价问题密切相关，但它确实有一些重要的区别。6.1.2解析解问题（235）、（236）、（237）可以解析解。可以证明变量的变化（x，x）=> （y，y）=> （r，φ），（239）式中y=x，y=-ρ（ρx）- x） ，y=r sinφ，y=r cosφ，（240）允许我们消除交叉导数，并将所讨论的定价问题转化为以下问题qτ（τ，r，φ）-Qrr（τ，r，φ）+rQr（τ，r，φ）+rQφ（τ，r，φ）= 0，（241）Q（0，r，φ）=1，（242）Q（τ，r，0）=0，Q（τ，r，$）=0，Q（τ，r，φ）→R→00，Q（τ，r，φ）→R→∞1.（243）此处$=arccos(-ρ). 因此，我们成功地将正象限映射到一个半带Q={（r，φ），0≤ r<∞, 0≤ φ ≤ $}. （244）由于等式（241）的系数是φ-独立的，我们可以使用伽辽金方法来求解它，参见[24]，[39]，[56]。在φ方向满足边界条件（243）的等式（241）的初等解可以写成公式mqk（τ，r，φ）~ gk（τ，r）sin（ζkφ），（245），其中，就像以前一样，ζk=πl/$，而gk（τ，r）是以下问题的解gk，τ（τ，r）-gk，rr（τ，r）+rgk，r（τ，r）-ζkrgk（τ，r）= 0，（246）我们写eq（τ，r，φ）=π∞对于（xgkr，todk）和（xgkr，todk）的初始条件，分别是→R→00，gk（τ，r）→R→∞1，（248）gk（0，r）=1。（249）可以直接检查gk是自相似函数；gk（τ，r）=rπ√~ne-υI（ζk）-1） （Ⅴ）+I（ζk+1）（Ⅴ）≡rπJk（Γ），（250），其中Γ=r/4τ，见附录C。相应地，Q（τ，r，φ）=rπ∞Xk=1，k oddJk（Γ）ksin（ζkφ）。（251）基于格林函数积分的替代推导可以在许多论文中找到，更多细节参见[31]、[43]和[47]。

最后，为了计算Q（τ，x，x），我们需要做的就是通过等式（240）用（x，x）表示（r，φ）。6.1.3数值解我们希望用数值方法解决问题（235），（236），（237）。为此，我们对等式（235）和相应的初始条件（236）进行了分解；边界处的边界条件是明确的，实际上，我们选择自然边界条件来获得适当大的x，x值。我们通过ADI方法解决了相应的离散问题。6.1.4象限问题解析解和数值解的比较图7对解析解和数值解进行了比较。该图表明，ADI解确实收敛于解析解，并且这种收敛是好的。此外，它还表明，自然边界条件的选择是适当的。我们强调，选择Dirichlet边界条件会导致严重的精度损失。6.2具有吸收边界的矩形中的二维布朗运动在本节中，我们考虑矩形中两个相关的布朗运动。这可以被视为四重无触点选项的定价问题。Lipton和Little[41]提出了下面描述的直线上的解，并在[39]第12.9.6.2.1节问题公式中进行了更详细的讨论。矩形中两个相关布朗运动的生存概率由等式（235）和初始条件（236）以及公式Q（τ，0，x）=0，Q（τ，L，x）=0，Q（τ，x，0）=0，Q（τ，x，L）=0，（252）在（x，x）平面isDr中对应的域={（x，x），0≤ x<L，0<x<L}。（253）6.2.2数值解问题（235）、（236）、（252）的数值解相对简单。它可以通过第3节中开发的任何方法解决；具体来说，我们使用标准的CS方法。

由于所有相关的边界条件都是虹膜式的，所以CS方法的应用非常简单，特别是根据我们之前的讨论，并留给读者作为练习。小ρ展开式更有趣，因此我们将对其进行详细讨论。如前所述，我们可以将Q（τ，x，x）作为向量函数Q（τ，x，x）=∞Xk=1，k=1Qkk（τ）ekk（x，x），（254），其中ekkare是formek的正交（但不是正态）基向量，k（x，x）=sinπkxL罪πkxL≡ 罪ζkx罪ζkx. （255）很明显，Qkk（τ）是一个矩阵，而不是一个向量，因此处理这一事实的一种方法是使用基于张量的形式主义，如上文第3.2节所述。然而，为了多样性，我们描述了如何使用基于矩阵的技术。为此，我们假设1≤ 基≤ N、 将每一对（k，k）映射成一个数字k（并返回），如下所示k=（k- 1） +（k）- 1） N，k=千牛+ 1，k=k- （k）- 1） N+1。（256）和writeeK（x，x）=sinζkx罪ζkx. （257）这使我们可以把Q（τ，x，x）看作τ，Q（τ，x，x）的向量函数=> {QK（τ）}≡-→Q（τ）。（258）我们可以把定价公式写成如下-→Qdτ- A.-→Q- ρB-→Q=0，-→Q 0（0）=-→ν . （259）HereAeK=（埃克，xx+埃克，xx）=-ζk+ζk埃克≡ -λKeK，（260）BeK=eK，xx=N-1XL=0，L6=KLLKLL（1-(-1） k-l） （1）-(-1） k-l） （k）-l） （k）-l） 埃尔≡N-1XL=0uK，LeL，（261）1=N-1XK=0LL（1+(-1） k+1）（1）+(-1） k+1）ζζeK=N-1XK=0π（1+(-1） k+1）（1）+(-1） k+1）kkeK≡N-1XK=0νKeK。（262）很明显，νK=πkk，k，kodd，0，否则。（263）这里，根据定义，uK，L=0如果（K- l） （k）- l） =0。我们假设ρ很小，并将其用作展开参数。然后-→Q=-→Q（0）+ρ-→Q（1）+ρ-→Q（2）+ρ-→问题（3）=∞Xn=0ρn-→Q（n），（264）在哪里-→Q（0）dτ- A.-→Q（0）=0，-→Q（0）（0）=-→ν，（265）d-→Q（1）dτ- A.-→Q（1）=B-→Q（0），-→Q（1）（0）=0，（266）d-→Q（2）dτ- A.-→Q（2）=B-→问题（1），-→Q（2）（0）=0，（267）等。一般来说，d-→Q（n）dτ- A.-→Q（n）=B-→Q（n）-1),-→Q（n）（0）=0。（268）很明显-→Q（0）=N-1XK=0e-λKτνKeK≡N-1XK=0ν（0）K（τ）eK。

（269）我们可以写作-→Q（1）在表格中-→Q（1）=N-1XK=0ν（1）K（τ）eK。（270）将该表达式代入定价方程，得到τν（1）K（τ）+λKν（1）K（τ）=N-1XK=0e-λKτνKuK，K，ΓK（0）=0，（271），因此Γ（1）K（τ）=N-1XK=0Θ（1）λK，λK（τ）νKuK，K.（272），其中Θ（1）λ，λ（τ）是问题的解τ（1）λ，λ（τ）+λ（1）λ，λ（τ）=e-λτ，Θ（1）λ，λ（0）=0，（273），我们用形式Θ（1）λ，λ（τ）=e表示-λτφλ-λ(τ) , (274)φu(τ) =eμτ-1u, u 6= 0,τ, u = 0.（275）最后，-→Q（1）=N-1XK=0，K=0Θ（1）λK，λK（τ）νKuK，KeK。（276）同样地，-→Q（2）=N-1XK=0ν（2）K（τ）eK，（277）式中τν（2）K（τ）+λKν（2）K（τ）=N-1XK=0，K=0Θ（1）λK，λKΘKuK，KuK，K，ν（2）K（0）=0，（278），因此Γ（2）K（τ）=N-1XK=0，K=0Θ（2）λK，λK，λK（τ）νKuK，KuK，K.（279），其中Θ（2）λ，λ，λ是问题的解τΘ（2）λ，λ，λ（τ）+λΘ（2）λ，λ，λ（τ）=Θ（1）λ，λ（τ），Θ（2）λ，λ，λ（0）=0，（280）或同等地，τΘ（2）λ，λ，λ（τ）+λΘ（2）λ，λ，λ（τ）=e-λτφλ-λ(τ) , Θ(2)λ,λ,λ(0) = 0. （281）我们写出Θ（2）λ，λ，λ（τ）=e-λτψλ-λ,λ-λ(τ) . （282）一个简单的计算得到ψu，u（τ）=φu(τ)-φu(τ)(u-u），u6=u，τe|τ-φu(τ)u, u= u6= 0,τ, u= u= 0.（283）一般来说，Θ（M）λ，。。。，λM+1（τ）=e-λτψλ-λ,...,λ-λM+1（τ）≡ E-λτψu,...,ψM（τ），（284）ψu，。。。，ψM（τ）=MXi=1φui（τ）Yi6=i（ui）- ui），（285），其中通过l\'Hospital\'规则计算上述表达式的极限行为。6.2.3矩形问题不同数值解的比较图8比较了解析解和数值解。该图表明，ADI解确实收敛于伽辽金解，并且这种收敛是好的。因此，对于矩形问题，Galerkin和ADI方法得到了一致的结果。图8结论和建议在本文中，我们在LSV（更具体的QLSV）框架中考虑了香草和异国情调期权的定价问题。

我们描述了解决相应问题的几种已知数值方法，特别强调了适当边界条件的选择。我们观察到，对于看涨期权，CS方法及其修正比简单Do方法具有更好的收敛性。然而，对于DNT选项，这一优势将消失。此外，我们提出了一种受伽辽金-里兹启发的新方法，并令人信服地证明，在适用的情况下，它是非常有效和快速的。这是因为伽辽金方法通过更自然地处理X方向，可以减少典型ADI方法所需的计算量。我们还强调了伽辽金方法和ρ幂展开法之间的密切联系。我们证明，对于ρ=0，通过伽辽金方法得到的解是精确的。在可能的情况下，我们使用解析解进行基准测试，并表明数值解在极限范围内收敛于解析解。我们要感谢莱夫·安德森、尼古拉斯·哈钦斯、斯图尔特·英格利斯、马歇尔普顿、阿图尔·塞普和大卫·谢尔顿的有益讨论。参考文献[1]Albanese。C.，Bellaj，T.，Gimonet，G.和Pietronero，G.，针对交易对手信用风险的一致性全球市场模拟和证券化措施，量化金融，2011，11，1-20。[2] 阿尔巴尼斯。C.，Campolieti，G.，Carr，P.和Lipton，A.，Black-Scholes-goeshypergeometric。《风险》杂志，2001,14（12），99-103。[3] Andersen，L.B.G.，Heston随机波动率模型的简单有效模拟。《计算金融杂志》，2008，11（3），1-42。[4] 安徒生，L.B.G.，二次波动的期权定价：重温。《金融与随机》，2011年，第15191-219页。[5] Andersen，L.B.G.和Andreasen，J.，跳跃扩散过程：波动率微笑拟合和期权定价的数值方法。

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二次波动性资产上衍生工具的定价。工作文件，1999年。对蒙特卡罗方法的简要评论Broadie和Kaya[12]提出了一种利用公式（164）的蒙特卡罗方法。众所周知，χτ（vT | vT）是由等式（172）给出的所谓非中心卡方分布，条件概率χτITtvt，vt更难计算。通过使用第13.11节[39]的一般公式，其中首次计算了Heston过程（xt，vt）的一般转移概率密度，以及第13.2节的增强技术，可以很容易地表明，其条件分布的特征函数由Q（l，τ，vt，vt）=P（R（l），τ，vt，vt）P（κ，τ，vt，vt）给出，（286）式中p（κ，τ，vt，vt）=ψ（κ，τ）exp-ψ（κ，τ）（vt+vt）Iθ（2ψ（κ，τ）√vtvT），（287）ψ（κ，τ）=ψ（κ，τ）余弦κτ, （288）R（l）=pκ- 2iεl.（289）相应地，χτITtvt，vt=2πZ∞-∞Q（l，τ，vt，vt）e-伊利特尔。（290）有趣的是，与χτ（vT | vT）相比，χτITtvt，vt相对于换位vt是对称的<-> 布罗迪和卡娅给出了一个类似的公式[12]；然而，它们的推导是基于平方根过程到贝塞尔过程的简化，是相当间接的，不必要地复杂。

因此，为了找到χτITtvt，vt, 我们需要计算相应特征函数的傅里叶逆变换。不用说，这是一项困难（但并非无法克服）的任务，如果可能，应该避免。B方程（199）、（206）、（210）的推导为了计算νDH（k），我们使用公式rxecxsin（dx）dx=ecx[c sin（dx）-d cos（dx）]+dc+d，Rxsinh（cx）sin（dx）dx=c cosh（cx）sin（dx）-d sinh（cx）cos（dx）c+d，（291）并得到νDH（k）=R∞XDHuDH（x）sinK十、- XDHdx=√1.-βRxDhKxDhHnhβ十、- XDH罪K十、- XDHdx+KR∞XDHKe-βxsinK十、- XDHdx=√1.-βRYDHK0sinhβxsin（kx）dx+K√1.-βR∞YDHK0e-βxsin（kx）dx=√1.-βλDH（k）βHKYDEβ-sinkYDHK0- 凯科斯kYDHK0-E-βYDHK0-β-sinkYDHK0- 凯科斯kYDHK0-K√1.-βλDH（k）e-βYDHK0-β-sinkYDHK0- 凯科斯kYDHK0=√1.- βeβYDHK0+√1.- β+βK√1.-βE-βYDHK0sin（kYDHK0）λDH（k）+-√1.-βeβYDHK0+√1.-β+K√1.-βE-βYDHK0k cos（kYDHK0）λDH（k）=√σ（K）sin（kYDHK0）λDH（K），（292），其中YDHK0=XDHK- XDH。同样，νRk=RRXR∞XRuR（x）sinζk十、- XRdx=√αR√ωR√pqRXRKXRsinh√ωR十、- XR罪ζk十、- XRdx+KRXR∞XRKsinh√ωRXR∞- 十、罪ζk十、- XRdx=√αR√ωR√pqRYRK0sinh√ωRxsin（ζkx）dx+(-1） k+1KRYR∞克辛√ωRxsin（ζkx）dx=√αR√ωRλRk√pq√ωRcosh√ωRYRK0罪ζkYRK0-信义√ωRYRK0ζkcosζkYRK0+ (-1） k+1K√ωRcosh√ωRYR∞K罪ζkYR∞K-信义√ωRYR∞KζkcosζkYR∞K=√αRλRk√pqq（K）-q） p（K）-p） q+q（K）-p） q（K）-q） p+Kq（K）-p） （K）-q） +q（K）-q） （K）-p）罪ζkYRK0+√αζkR√ωRλRk-√pqq（K）-q） p（K）-p） q-q（K）-p） q（K）-q） p+Kq（K）-p） （K）-q）-q（K）-q） （K）-p）余弦ζkYRK0=√αRλRkp（K）- p） （K）- q） 罪ζkYRK0=√σ（K）sin（ζkYRK0）RλRk。（293）式中YRK0=XRK-XR，YR∞K=XR∞-XRK。

最后，为了计算νikwe，使用公式zxsin（cx）sin（dx）dx=c cos（cx）sin（dx）- d sin（cx）cos（dx）（d）- c） ，（294）并获得νIk=伊尔西∞秀伊（x）仙ζk十、- 十一dx=√α我√|ωI|√m+nRXIKXIsinp |ωI|十、- 十一罪ζk十、- 十一dx+KRXI∞西信p |ωI|十一∞- 十、罪ζk十、- 十一dx=√α我√|ωI|√m+nRYIK0sinp |ωI | xsin（ζkx）dx+(-1） k+1KRYI∞克辛p |ωI | xsin（ζkx）dx=√α我√|ωI |λIk√m+np |ωI | cosp |ωI | YIK0罪ζkYIK0-ζksinp |ωI | YIK0余弦ζkYIK0+ (-1） k+1Kp |ωI | cosp |ωI | YI∞K罪ζ季∞K-ζksinp |ωI | YI∞K余弦ζ季∞K=√αIλIk√m+NCOp |ωI | YIK0+ 凯科斯p |ωI | YI∞K罪ζkYIK0-√αζk我√|ωI |λIk√m+Np |ωI | YIK0- sin Kp |ωI | YI∞K余弦ζkYIK0=√α√（K）-m） +nIλIksinζkYIK0=√σ（K）IλIksinζkYIK0,（295）式中YIK0=XIK- 十一、 易∞K=XI∞- 希克。C根据公式（250）推导公式（250）。我们有gk，τ（τ，r）=-γJk（γ）τ，gk，r（τ，r）=rJk（γ）2τ，gk，rr（τ，r）=γJk（γ）τ+Jk（γ）2τ，（296）所以gk，τ（τ，r）-gk，rr（τ，r）+rgk，r（τ，r）-ζkrgk（τ，r）= -τγJk（γ）+（2γ+1）Jk（γ）-ζk~nJk（ν）.（297）因此，我们需要证明ΓJk（Γ）+（2Γ+1）Jk（Γ）-ζkνJk（ν）=0。（298）自=√~ne-υI（ζk）-1） （Ⅴ）+I（ζk+1）（Ⅴ）=√~ne-我们可以很容易地导出Kk（Γ）的一个等价方程：ΓKk（Ⅴ）+2ΓKk（Ⅴ）-υ+ υ +ζk- 1.Kk（Γ）=0。（300）通过定义修改后的贝塞尔函数，我们得到了ΓI（ζk±1）（Γ）+2ΓI（ζk±1）（Γ）-υ+ υ +ζk- 1.I（ζk±1）（Ⅴ）=ΓI（ζk±1）（Ⅴ）-υ -（1±ζk）I（ζk±1）（ν）。（301）这些表达式的总和产生了γKk（γ）+2γKk（γ）-υ+ υ +ζk- 1.Kk（Γ）=ΓKk（Γ）-υ -Kk（Γ）+ζkI（ζk+1）（ν）- I（ζk）-1)(υ)= γI（ζk+3）（γ）+（ζk+1）I（ζk+1）（γ）- γI（ζk）-1） （ν）=0，（302）如权利要求所述。这里我们使用的事实是-1(υ) - Iν+1（Ⅴ）=2ννIν（Ⅴ）。

（303）通过使用修正贝塞尔函数的渐近表达式，可以很容易地检查J（ν）是否满足相应的边界和初始条件。我们顺便注意到，等式（250）类似于标准布朗运动在具有吸收边界的正半轴上的生存概率的常见表达式，可以写成如下：g（τ，x）=Φ（Γ）- Φ (-υ） ，（304）式中Γ=x/√τ、 0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%0.500.900.991.011.101.50显著波动图1:AUDJPY隐含波动率面σimp（τ，K）。报价是2012年8月22日的。E1。E-021。E-011。E+00CSHV1。E-051。E-041。EI1HV（a）I→ ∞1.E-041。E-031。E-021。E-011。E+00CSHV1。E-071。E-061。E-05I2HV（b）I→ ∞1.E-051。E-041。E-031。E-021。E-011。E+00CSHV1。E-091。E-081。E-071。E-06NHV（c）N→ ∞图2：τ=1Y的ATM Europeancall定价问题有限差方案的收敛性。默认设置如下：N=1024，I=201，I=101，-5.≤ 十、≤ 5, 0 ≤ 十、≤ 10.在图（a）中，我们将Ifrom51更改为601，同时保持所有其他参数不变；我们假设I=601对应的值是“精确的”。类似地，在图（b）中，我们将Ifrom21改为401。最后，在图（c）中，我们将N从32变为1024。在x方向，我们使用统一的网格；在x方向上，我们使用一个网格，该网格相对于√x、 0.400.600.801.001.20IntrinCSAna0。000.200.405.04.53.93.42.82.31.71.20.60.10.51.01.62.12.73.23.84.34.9x1Ana（a）0.0E+001.0E-052.0E-053.0E-055.04.54.03.42.92.41.91.30.80.30.20.81.31.82.32.93.43.94.45.0CSAna-3.0E-05-2.0E-05-2.0E-05-1.0E-05x1（b）图3：通过Lewis方法获得的公式、UH-Lipton期权、Lipton期权和Lipton方法获得的期权-5.≤ 十、≤ 5，x=2.628。在图（a）中，exp形式的内在收益-|x|以及相应的文件；出于所有实际目的，这些文件相互重叠。

图（b）显示了数值解和半解析解之间的差异。1.E-051。E-04CSHV1。E-071。E-06I1HV（a）I→ ∞1.E-041。E-031。E-02GalerkinDouglasMCS1。E-061。E-05I2MCSHV（b）I→ ∞5.E-045。E-03GalerkinDouglasMCS5。E-05NMCSHV（c）N→ ∞1.E1。E-021。E-011。E+001。E-051。E-041。EM（d）M→ ∞图4：τ=1Y，XL=0，XU=1的DNT问题的有限差分方案的收敛性。基本设置与图2相同，此外，M=30。在图（a）、（b）、（c）中，我们展示了I的结果∈ [51601]，我∈ [21,401]和N∈ [32,1024]分别。在图（d）中，我们展示了M的结果∈ [10100].0.30.40.50.60.70.8DoMCSHVGal0。00.10.20.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x1GalMC（a）1。E0。E+001。E-042。E-043。E-044。E-040.00.10.20.20.30.40.50.50.60.70.80.80.91.0dogalcsgalhvgal-4。E-04-3。E-04-2。E-041。Ex1HVGal（b）图5：DNT选项的参数UH（τ，x，x）通过Galerkin和有限差分法获得，0≤ 十、≤ 1，x=2.628。图（a）显示了相应的文件；很明显，它们实际上是重叠的。此外，为了便于比较，本文还给出了MC模拟的结果。图（b）显示了ADI文件和Galerkinpro文件之间的差异。默认参数始终使用。0.30.40.50.60.70.8F000。10.20.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0x1F2Gal（a）00.010.020.030.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0F0GalF1GalF2Gal-0.03-0.02-0.01x1F2Gal（b）图6:DNT选项的参数UH（τ，x，x）通过Galerkin和0的渐近展开法获得≤ 十、≤ 1，x=2.628。图（a）显示了相应的文件；虽然没有重叠，但它们相当接近。图（b）显示了渐近公式和伽辽金公式之间的差异。

默认参数始终使用。0.00.20.40.60.81.00.00.81.72.53.40.00.00.81.52.33.03.84.5（a）3.0E2。0.04-0.54-0.04-0.04-0.54-0.01-0.04-0.54.01。00.40.81.11.51.92.32.63.03.43.84.14.54.9x1（b）图7：τ=1，ρ=-0.90. 计算域由0给出≤十、≤ 5, 0 ≤ 十、≤ 4.使用以下参数：I=201，I=101，N=1000，M=10。在图（a）中，我们展示了从分析和数值上获得的生存概率，它们显然彼此一致。在图（b）中，我们展示了两种解决方案之间的差异。在图（b）中，我们展示了两种解决方案之间的差异。我们在图（b）中展示了两种解决方案之间的差异。我们在图（b）中展示了两种解决方案之间的差异。我们在图（b）中展示了两种解决方案之间的差异。我们在图（b）中展示了两种解决方案之间的差异作为一个解决方案之间的函数的函数的函数的函数，作为X X X X X X X=1.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.200.200.200.200.400.400.400.400.400.400.400.600.600.τ=1，ρ=-0.900. 矩形定义如下0≤ 十、≤ 5,0 ≤ 十、≤ 4.我们使用与图7相同的参数。