然后我们就有了z（T）z（T）a+ηz（T）ηz（T）≤λ+c英尺= aEz（T）z（T）z（T）≤λ+cη英尺+ηz（t）E（z（T）z（T））z（T）≤λ+cη英尺= aEelnz（T）z（T）lnz（T）z（T）≤lnλ+cηz（t）英尺+ηz（t）Ee2 lnz（T）z（T）lnz（T）z（T）≤lnλ+cηz（t）英尺= aem（t）+ν（t）Φlnλ+cηz（t）- m（t）ν（t）- ν（t）+ηz（t）e2m（t）+2ν（t）Φlnλ+cηz（t）- m（t）ν（t）- 2ν（t）！，（3.75）其中最后一个等式基于引理3。贴现的最优财富过程是概率测度P（见[20]）下的鞅，即我们有x*（t） =Ez（T）z（T）x*（T）英尺, T∈ [0，T]。从x的表达式*（T）在（3.6）中，我们可以计算x*（t） 澳大利亚证券交易所*（t） =Ehz（t）z（t）B- γ+ηz（T）- ληz（T）≤λ+γ -ηz（T）- ληz（T）≤λ+2γ| Fti。（3.76）设a=B-γ -对于（3.76）的第一部分，λ和c=0；对于（3.76）的第二部分，a=γ+λ和c=2γ。将（3.75）应用于（3.76）得出（3.69）中的结果。在假设2下，我们可以假设x*（t） 作为z（t）和t的确定函数，也就是说，存在一个函数G（·，·），使得x*= G（z（t），t）。现在让我们确定G（z（t），t）的函数形式。应用它–引理yieldsdG（z（t），t）=G（z（t），t）z（t）dz（t）+G（z（t），t）tdt+G（z（t），t）z（t）（θ（t）z（t））dt=(-z（t）G（z（t），t）z（t）r（t）+G（z（t），t）t+G（z（t），t）z（t）z（t）kθ（t）k）dt-G（z（t），t）z（t）z（t）θ（t）′dW（t）。（3.77）将（3.77）中的差异项与（2.4）中的财富过程进行比较，得出以下结论：π*（t） ′σ（t）=-G（z（t），t）z（t）z（t）θ（t）′。（3.78）根据（3.1）中θ的定义，将（3.78）两侧的σ（t）相乘得到π*（t） =-G（z（t），t）z（t）z（t）（σ（t）σ（t）′）-1b（t）。动态均值-LPM和均值CVaR投资组合选择23因此，从spect到z（t）的差异（3.69）进一步产生了（3.70）中的结果。根据定理1和定理2，我们可以通过求解方程（3.7）和（3.8）来识别拉格朗日乘子η和λ。方程（3.8）可以通过在（3.69）中设置t=0显式写出，得到（3.72）。

基于（3.7），我们有*（T）]=EhB- γ -λ+ηz（T）ηz（T）≤λ+γ +λ-ηz（T）ηz（T）≤λ+2γi=EhB- γ -λln（z（T））≤lnλη+ηelnz（T）ln（z（T））≤lnλη+（γ+λ）1ln z（T）≤ln（λ+2γη）-ηeln z（T）ln z（T）≤ln（λ+2γη）i.（3.79）应用引理3到（3.79）得到（3.71）。（ii）根据命题2，我们知道x*（T）ta与（3.69）中的拉格朗日乘数λ=0和η=2γ/K的形式相同-1（x/γ）。注意，K-1（x/γ）只不过是（3.65）中给出的ρ。（iii）根据命题2，存在多个最优解，其中一个最优终端财富在（3.23）中给出。然后x*（t） π*（t） 可以通过使用引理3，类似于情况（i）的计算。根据δin（3.66）的定义，我们知道δ=H-1（x）-γE[z（T）]B-γ).定理4。在假设2下，问题的最优解（Pqlpm）为0≤ Q≤ 1如下所示。（i） 如果d<d<d，则最优财富过程为x*（t） =em（t）+ν（t）（B）- γ)Φ\'K（t）- ν（t）+ γΦ\'K（t）- ν（t）（3.80），最优投资组合策略为π*（t） =em（t）+ν（t）√2πν（t）（B）- γ） e-（`K（t）-ν（t））+γe-（`K（t）-ν（t））（σ（t）σ（t）′）-1b（t），（3.81），最佳目标值为- 十、*（T））q+]=γq（1- Φ（K（0）），（3.82），其中K（t）和K（t）定义为K（t）=lnληz（t）- m（t）ν（t），\'K（t）=lnλ+γq-1ηz（t）- m（t）ν（t），其中λ>0和η>0是以下两个方程的解，（B- γ)Φ\'K（0）+ γΦ\'K（0）= d、 （3.83）（B）- γ)Φ\'K（0）- ν(0)+ γΦ\'K（0）- ν(0)= E-m（0）-ν（0）x.（3.84）（ii）如果d≤ d x<γe-RTr（s）ds，最优财富过程和投资组合政策分别如（3.80）和（3.81）所示，其中λ=0和η=γq-1/^ρ，其中^ρ如（3.67）中所示。24高俊杰，周克强，李德军，曹克荣（iii）如果D≤ 丹克斯≥ γe-RTr（s）ds、最优财富过程和港口对账单分别如（3.73）和（3.74）所示。证据根据定理2和命题3，我们可以计算x*（t） π*（t） 使用与定理3的证明类似的方法来证明（i）、（ii）和（iii）情况。

我们在这里讨论细节。备注1。在定理3和定理4中，最优财富过程x*（t） 最优投资组合策略π*（t） 由市场的状态密度z（t）表示。虽然z（t）可以通过观察市场完成时的价格来计算，但在一般情况下，z（t）不能直接观察或计算。因此，将投资组合政策以反馈形式呈现更为有利，即，代表投资组合政策π*（t） 当前财富的中间值x*（t） 。取x的导数*（t） 关于（3.69）和（3.80）中的z（t），我们可以证明x*（t） 当B足够大时，是共同市场环境下z（t）的单调递减函数。也就是说，（3.69）和（3.70）中的表达式定义了x之间的一对一映射*（t） andz（t）。因此，理论上，我们可以用x代替z（t）*（t） 在（3.70）和（3.81）中，实现反馈型策略。因为没有用x来表示z（t）的解析形式*（t） 根据（3.69）和（3.80），我们应该首先离散z（t），然后计算相应的π值*（t） 还有x*（t） 对于每个z（t）。π的关系*（t） 安德斯*（t） 可通过曲线拟合方法大致实现。注意，x*（T）达到问题的上限（Pqlpm）可以用asP（x）表示*（T）=B）=P（z（T）≤λη).当市场机会集是确定性的时，这个概率可以显式地计算为P（x）的问题（Pqlpm）*（T）=B）=Φ（ln（λ/η）-m（0）u（0）），其中λ和η是问题（Plpm）的（3.71）和（3.72）的解，以及问题（Pqlpm）的（3.83）和（3.84）的解≤ Q≤ 1.4. 均值CVaR公式的最优投资组合策略。我们在这一部分求解均值CVaR投资组合优化模型（Pcvar）。回想一下（2.6）中对投资损失f（x（T））的定义，以及对损失的CVaR的定义[31]。

因为f（x（T））的累积分布函数定义为ψ（y）=P（f（x（T））≤ y） 给定置信水平β对应的β尾分布为ψβ（y）=0，如果y<VaRβ，ψ（y）- β1 - β、 如果≥ VaRβ，（4.1），其中VaRβ=inf{y|ψ（y）≥ β}. 然后，损失函数f（x（T））的CVaR被赋予asCVaR[f（x（T））]：=Zf（x（T））≥VaRβf（x（T））dψβ（y），（4.2），其中当y的分布是离散的时，积分应理解为求和。请注意，上述CVaR定义适用于损失函数f（x（T））的一般分布函数，参见Rocka flular和Uryasev[31]动态平均LPM和平均CVaR投资组合选择25，了解离散分布和连续分布情况之间的一些细微差异。为了解决平均CVaR投资组合优化问题（Pcvar），我们利用了[30]和[31]中引入的CVaR参数化d表达式。引理2。终端财富损失f（x（T））的CVaR可计算如下，CVaR[f（x（T））]=minαnα+1- βE（\'xT）- x（T）-α)+o、 （4.3）其中α是一个辅助变量。引入参数α并使用（4.3）重写问题的目标函数（Pcvar），得到问题（Pcvar）的以下等价公式，（Pcvar）minπ（·）∈LF（0，T；Rn）），αJ（α）：=α+1- βE（\'xT）- x（T）-α)+,（4.4）根据E[x（T）]≥ d、 （x（·），π（·））统计（2.4），0≤ x（T）≤ B.（4.5）为了解决问题（Pcvar），我们首先解决固定α（Pcvar（α））的以下辅助问题：minπ（·）∈LF（0，T；Rn）E（\'xT）- α - x（T））+从属于E[x（T）]≥ d、 （x（·），π（·））统计（2.4），0≤ x（T）≤ B.表m（Pcvar）和（Pcvar（α））之间的区别在于，决策变量α被固定为问题中的常数（Pcvar（α）），这使得π（·）成为唯一的决策向量。

因此，我们可以首先解决给定α的问题（Pcvar（α）），然后确定最优α*其中，最优投资组合策略为（Pcvar（α*)) alsosolves（Pcvar）。一旦α被确定为问题（Pcvar（α）），如果我们考虑- α等于γ，那么（Pcvar（α））的形式与（Plpm）相同。然而，当α变化时，dis变化。从（3.63）到0≤ Q≤ 1.我们重新定义了问题中的固定α（Pcvar（α））asd（α）=（（\'xT）- α） Φ（F（ρ（α））如果x<（\'xT- α） e-RTr（s）ds（B）- \'xT+α）Φ（F（δ（α））+\'xT- α如果x≥ （\'xT）- α） e-RTr（s）ds，（4.6），其中F（·）在命题5中定义，且^ρ（α）和δ（α）由以下方程确定，^ρ（α）：e-RTr（s）dsΦF（ρ（α））- ν(0)=x\'xT- α、 （4.7）δ（α）：e-RTr（s）dsΦF（δ（α））- ν(0)=十、- （\'xT）- α） e-RTr（s）dsB- \'-xT+α。（4.8）注意，\'d可由（3.22）计算得出，它与α无关。在假设2下，让（4.9）α*:= arg min J（α），26 J.Gao，K.Zhou，D.Li，X.R.Caoj（α）：=α -γ1 - β(1 - Φ（\'K（0，α））如果d（α）<d<\'d，α-γ1 - β(1 - Φ（`K（0，α）），如果d≤ d（α）和x<e-RTr（s）ds（xT）- α） ，α如果d≤ d（α）和x≥ E-RTr（s）ds（xT）- α).+∞, 否则（4.10）推论1。

在假设2下，问题的最优解（Pcvar）采用以下形式之一：（i）如果d（α*) < d</d，然后是x*（t） π*（t） 你是givenasx吗*（t） =em（t）+ν（t）（B）- \'-xT+α*)Φα-t，K*) - ν（t）（4.11）+（xT）- α*)Φ\'K（t，α*) - ν（t）,π*（t） =em（t）+ν（t）√2πν（t）（B）- \'-xT+α*)E-（`K（t，α）*)-ν（t））（4.12）+（xT- α*)E-（`K（t，α）*)-ν（t））（σ（t）σ（t）′）-1b（t），其中K（t，α）和K（t，α）表示为K（t，α）=lnλ（α）η（α）z（t）- m（t）ν（t），\'K（t，α）=lnλ（α）+1η（α）z（t）- m（t）ν（t），（4.13），其中λ（α），η（α）是以下两个方程的解，（B- \'-xT+α）Φ\'K（0，α）+ （\'xT）- α)Φ\'K（0，α）= d、 （4.14）（B）- \'-xT+α）Φ\'K（0，α）- ν(0)+ （\'xT）- α)Φ\'K（0，α）- ν(0)（4.15）=eRTr（s）dsx。（ii）如果d≤ d（α）*) x<e-RTr（s）ds（xT）-α*), 然后是x*（t） π*（t） 分别用λ（α）表示asin（4.11）和（4.12）*) = 0和η（α）*) = 1/^ρ(α*), 式中^ρ（α）*)如（4.7）所示。（iii）如果d≤ d（α）*) 和x≥ E-RTr（s）ds（xT）- α*), 当存在多个最优解决方案时。其中一个解决方案是asx*（t） =em（t）+ν（t）（B）- \'-xT+α*)ΦK（t，α）*) - ν（t）+ γπ*（t）=√2πν（t）em（t）+ν（t）（B）- \'-xT+α*)E-（K（t，α）*)-2ν（t））σ（t）σ′-1b（t），其中K（t）：=自然对数δ(α*)/z（t）-m（t）/带δ（α）的ν（t）*) 是（4.8）的解。证据对于任何固定的α，pr问题（Pcvar（α））的形式与（Plpm）相同。因此，对于第（i）种情况，用“xT”代替γ- α到（3.80），（3.81），（3.83）和（3.84）分别导致动态平均LPM和平均CVaR投资组合选择，结果分别为（4.11），（4.12），（4.14）和（4.15）。对于第（ii）和（iii）种情况，我们只需将γ替换为“xT”- α分别出现在定理4的（ii）和（iii）中。（3.82）中的objectvalue变成[（\'xT- α - 十、*（T））+]=（xT- α)(1 - Φ（`K（0，α）））。从引理2中，我们知道CVaR[f（x（T））]可以通过最小化（4.3）中的α来计算。可以证明（4.10）中定义的J（α）是α+1-βE[（\'xT- 十、*（T）- α)+].请注意，optima lα*（4.9）中的定义可能不是唯一的。

由于x的分布函数的特殊性*（T）根据[31]中的定理10，集合{α|α=arg minαJ（α）}是一个封闭且有界的区间。由于目标函数J（α）相对于α是凸的，我们可以使用以下梯度搜索程序来寻找一个最优α*在推论1中。α搜索算法*输入：问题参数（Pcvar），小正数>0和ζ>0，步长θ>0。步骤0选择α← α为起始点，小正数>0为停止标准。转至步骤1。步骤1对于给定的α，让^α← α+ζ，然后通过（4.10）计算J（α）和J（^α）。进入下一步。步骤2计算梯度κ=J（α）- J（α）/ζ. 如果|κ|<，返回α作为最优解。反过来，设α=α+θ·κ。转到SETP1。请注意，在执行上述梯度搜索程序时，控制步长起着关键作用。此外，上述过程只能保证α的一个最优解*.5.举例说明和比较。在本节中，我们首先研究一个示例，将本文推导的动态平均下行风险组合策略与众所周知的动态平均方差组合策略进行比较。对于具有确定性机会集的市场环境，[35]对于具有随机机会集的情况，[25]对于具有破产限制的情况，[7]解决了连续时间动态均值-方差投资组合选择问题。

在本节中，我们将我们的结果与[7]中的结果进行比较，在[7]中，无破产限制是我们在本文中针对平均下行风险投资组合模型所做的。让我们首先讨论以下动态均值-方差组合优化模型（Pmv）minπ（·）的解决方案∈LF（0，T；Rn）var[x（T）]：=E[x（T）]- （E[x（T）]）根据E[x（T）]=d，（x（·），π（·））统计动力学（2.4），0≤ x（T）。与[7]中Bielecki等人引入了一种有效的证券来表示最优财富过程和最优投资组合政策不同，我们用状态价格密度z（t）来表示最优财富过程和投资组合政策。实际上，z（t）也可以被视为一种艺术形式。虽然这两种方法是等效的，但我们修改了[7]中的结果，以满足我们进行比较的目的。28高俊杰，周克强，李德丽，曹国荣我们仍然使用鞅方法来解决问题（Pmv），并通过解决以下辅助问题（Amv）minX来找到最优终端财富∈LFT(Ohm,R） E[X]- d、 受制于E[X]=d，E[z（T）X]=X，0≤ 十、定理5。（i） 最优终端财富问题（Amv）是x*=(λ - ηz（T））1λ-ηz（T）≥0，（5.1），其中参数λ>0和η>0是以下两个方程组的解，E[（λ- ηz（T））+]=2d，（5.2）E[x（T）（λ）- ηz（T））+]=2x。（5.3）（ii）在假设2下，分别给出了asx的最优财富过程和最优投资组合政策*（t） =λem（t）+ν（t）Φ（K（t）- ν（t））-ηz（t）e2m（t）+2ν（t）Φ（K（t）- 2ν（t）），（5.4）π*（t）=λ2ν（t）√2πem（t）+ν（t）-（K）-ν（t））-ηz（t）e2m（t）+2ν（t）ΦK（t）- 2ν（t）(5.5)-√2πν（t）e-（K（t）-2ν（t））（σ（t）σ（t）′）-1b（t），其中K（t）=ln（λ/η）-分别在（3.61）和（3.62）中定义了m（t））/ν（t）以及m（t）和ν（t）。

此外，参数η和λ是以下两个方程的解，λΦ（K（0））- ηem（0）+ν（0）Φ（K（0）- ν（0））=2d，（5.6）λem（0）+ν（0））Φ（K（0）- ν(0)) - ηe2m（0）+2ν（0）Φ（K（0）- 2ν（0））=2x。（5.7）证据。结果（i）c的证明可以在[7]中找到，结果（ii）可以用类似于定理3中的证明的方法证明。例1。我们考虑以下示例来证明平均LPM问题（Pqlpm）的性质，所有市场参数的设置与[18]的示例7.1相同。无风险利率为r（t）=0.06，对于t，只有一种风险资产的u（t）=0.12和σ（t）=0.15∈ [0，T]。初始财富为x（0）=1（例如，以千美元为单位），预期最终收益为d=1.3，投资期限为T=1年。基准水平设定为γ=e0。06x（0）=1.0618，这是仅在银行账户中投资的回报。我们还将终端财富的上限设为B=10。现在，我们将平均LPM投资组合优化模型（Plpm）和（Plpm）与平均方差投资组合模型（Pmv）进行比较。我们首先根据命题5计算参数d（见表5.1）。利用定理3和定理4，我们求解了成对动态均值-LPM和均值CVaR投资组合选择29ηλd′dPlpm0。2007年0.7852 1.0618 1.9847Plpm0。7852 0.3261 1.0618 1.9847Pmv3。421 5.7694-表5.1根据（3.71）和（3.72）针对问题（Plpm）的拉格朗日乘数η和λ示例1中的参数λ和η；根据（3.83）和（3.84）针对问题（Plpm）；根据表5.1中列出的（5.6）和（5.7）分别针对问题（Pmv）。

根据定理3、4和5，我们还可以计算最优财富x的解析表达式*（t） 最优投资组合策略π*（t） 分别针对问题（Plpm），（Plpm）和（Pmv）。图5.1（a）和5.1（b）显示了最佳财富x*（t） 分别在t=1和t=0.5时的问题（Plpm），（Plpm）和（Pmv）。我们可以看到，当z（t）很小时，即市场状况良好，财富水平为x*（t） 问题数量（Plpm）远高于问题产生的财富水平（Pmv）。Asz（t）增加，即市场状况变得更糟，财富水平（Pmv）比财富水平（Plpm）或（Plpm）更快地降至零。至于投资组合政策π*（t） ，如图5.1（c）所示，我们可以看到（Pmv）的平均方差政策为状态z（t）的中间范围分配了大部分财富。然而，当市场状态良好时，（Plpm）和（Plpm）的平均LPM策略在风险集合中分配更多财富。当市场状况处于中间状态时，平均LPM投资者倾向于将其财富配置为无风险资产。与直觉思维相反，当市场状况变得更糟（即z（t）增加）时，平均LMP投资组合政策会增加其在风险集合中的需求。图5.1（d）绘制了风险资产中的比例w*（t） =π*（t） /x*（t） ，和x*（t） ，并展示了阈值类型的一个特征，即存在一个约为1的阈值，在该阈值之下或之上，LPM投资者会增加其在风险资产中的配置。与（Plpm）政策相比，当当前财富x（t）低于阈值时，（Plpm）政策更具侵略性，当财富高于阈值时，两者之间出现类似的模式。这种特征与均值-方差策略和效用最大化生成的策略明显不同。

图5.2（a）和图5.2（b）显示了在不同时间点t=0.2、t=0.5和t=0.8，在therisky资产中的分配情况。一般来说，随着投资接近终点时间，平均LPM策略会增加其在风险资产中的分配。然而，当财富在三个临界点附近时，Plpm政策比Plpm政策对时间更敏感。我们可以计算x*（T）达到上限B=10，分别为2.2%和3。（Plpm）和（Plpm）分别为2%。如果我们把B增加到30，那么（Plpm）和（Plpm）的概率分别下降到0.7%和0.9%。也就是说，尽管问题中的财富水平（Plpm）和（Plpm）有一个上限，但财富水平实际达到这个上限的可能性非常小。图5。3绘制（x*（t） ，w*（t） 我们可以看到，当当前的财富水平为x时*（t） 如果高于阈值，当上限B增加时，对风险资产的配置会变得更加激进。然而，当当前财富低于或接近阈值时，（Plpm）和（Plpm）的最优策略对B都保持不变。因此，我们可以得出结论，尽管上限30 J.J.Gao，K.Zhou，D.Li，X.R.限制B影响投资政策，但投资组合权重对B实际上相当稳健，如果当前的财富没有太多偏离阈值。0.5 1 1.5 2 2.5 301234567891011z（T）x*（T） （Pmv）（P1lpm）（P2lpm）（a）最优财富x*（T）在T=10 0.5 1 1.5 2 2.5 301234567891011z（T）x时*（t） 最佳财富x*（t） 在t=0.50 12 3 4 5012345678910z（t）π时*（t） （Pmv）（P1lpm）（P2lpm）（c）最优投资组合π*（t） t=0.50 0.5 1 1.5 2 2.5 3012345678910x时*（t） w*（t） （Pmv）（P1lpm）（P2lpm）（d）最优投资组合和财富对（x）*（t） ，π*（t） ）t=0.5图。5.1.

最优财富和问题组合（Pmv），（Plpm）和（Plpm），例如1示例2。在本例中，我们将第4节研究的动态平均CVaR投资组合优化模型与[30]和[31]中提出的著名静态平均CVaR投资组合模型进行比较。我们采用了与[30]中给出的市场设置类似的市场设置，其中投资组合由三种资产构成，标准普尔500指数（s&P 500）、长期美国政府债券（债券）和美国小型资本股（小盘）的投资组合。我们将[30]中列出的月度回报率的统计数据（见[30]中的表1和表2]）换算为年度回报率。表5.2列出了资产回报的均值和协方差。请注意，预期收益率和协方差矩阵是通过使用样本均值和样本协方差来估计的。与[30]中的假设不同，我们假设资产收益率为对数正态分布，而非正态分布，正如我们在本研究中假设的那样，资产价格遵循（2.2）中的SDE，当市场参数具有确定性时，由此得出的资产收益率分布确实为对数正态分布。我们假设漂移率vect或u（t）和波动率矩阵σ（t）是常数，即对于所有t，u（t）=u和σ（t）=σ∈ [0，T]。从表5.2中，我们可以看到动态平均LPM和平均CVaR投资组合选择310 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.51.53.55.57.59.511.513.515x*（t） w*（t） t=0.2t=0.5t=0.8（a）和（w）*（t） ，x*（t） ）一对（Plpm）0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.51.53.55.57.59.511.513.515x*（t） w*（t） t=0.2t=0.5t=0.8*（t） ，x*（t） ）一对（Plpm）图5.2。

配对（最优投资组合）*（t） ，x*（t） 在t=0.2、t=0.5和t=0.80 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4051015x时，样本1中的问题（Plpm）和（Plpm）*（t） w*（t） B=10B=20B=30B=40*（t） ，x*（t） ）一对（Plpm）0.5 1 1.5 2 2.5 3051015x*（t） w*（t） B=10B=20B=30B=40*（t） ，x*（t） ）一对（Plpm）图5.3。最优投资组合策略对（w*（t） ，x*（t） 对于不同的计算参数u和σ，t=0.5时样本1中的问题（Plpm）和（Plpm），如下所示：=0.13460.05300.1722, σ =0.1428 0.0094 0.10020.0094 0.0728 0.00310.1002 0.0031 0.2353.在这个例子中，我们假设市场是完整的，这进一步意味着风险的市场价格是θ（t）=0.4864, 0.4269, 0.4510′尽管如此，t∈ [0，T]。动态平均CVaR投资组合政策可根据推论1计算。对于静态买入和持有政策，我们使用蒙特卡洛模拟方法（例如，参见[30]）来计算CVaR值CVaR[f（x（t））]。更具体地说，我们首先根据表5.2中列出的平均值和协方差，从对数正态分布中生成三种资产收益的10个样本。请注意，虽然静态优化模型包含与问题（Pcvar）中相同的约束条件，但它的最佳端口对开仅在购买和持有类型中寻求。我们可以通过求解线性规划问题来计算买入并持有政策的VaR值32高俊杰，周克强，李德丽，X.R。

CAO资产预期利率资产收益率统计标准普尔500债券小盘股和P500 0.1213 0.039 0.0028 0.0504债券0.0522 0.0028 0.006 0.0023小盘股0.1645 0.054 0.0023 0.0917表5.2（Pcvar）CVaR（f（x（T））CVaR（f（x（T）））dβ=0.9β=0.95β=0.99β=0.9β=0.95β=0.95β=0.9911β=0.091.091.0030.074 0.07811.20 1.351 1.718 2.394 0.079 0.098 0.14811.40 1.618 2.034 2.756 0.104 0.123 0.23811.60 1.870 2.300 3.212 0.130 0.150 0.34711.80 2.042 2.649 3.589 0.158 0.179 0.47312.00 2.319 2.849 3.997 0.187 0.208 0.61512.20 2.434 3.227 4.377 0.218 0.239 0.77412.40 2.752 3.437 4.850 0.249 0.271 0.94812.60 2.989 3.809 5.150 0.282 0.304 1.13912.80 3.252 3.939 5.557 0.316 0.338 1.34613.00 3.405 4.342 5.884 0.351 0.373 1.570表5.3与这些样本相关的买入持有保单和动态保单之间的比较。在本例中，我们使用CPLEX 12.3作为相应线性规划问题的解算器（参见[30]）。表5.3比较了静态买入并持有政策和我们因解决问题而产生的动态政策（Pcvar）之间的CVaR值。对于不同等级的β（=0.9,0.95,0.99）和不同等级的目标终端财富d，我们可以观察到动态平均CVaR投资组合政策总是显著降低静态模型的CVaR值。例如，当投资者的预期最终财富为12（或相当于，预期目标回报率为20%）且资本水平为95%时，如果他执行买入并持有静态投资组合政策，相应的CVaR为2.849，如果他执行动态平均CVaRportfolio政策，则CVaR仅为0.208。图5.4绘制了买入并持有（BnH）政策和我们的动态投资组合政策（Dyn）的平均CVaR有效边界。

我们可以看到，当信心水平β增加时，买入并持有政策的有效边界比动态平均CVaR政策产生的边界更敏感。6.结论。本文研究了动态投资组合选择中两个长期存在的难题：动态均值LPM和动态均值C VAR投资组合优化问题，并完全解决了这两个问题。通过在终端财富上增加有限的资金水平，我们确保了这两个问题的适定性，这进一步使我们能够使用鞅方法来描述解。我们已经证明，在一些温和的条件下，静态套期保值方程通常存在拉格朗日乘数，这是采用这种动态均值-LPM和均值-CVaR组合选择的关键330 1 2 3 4 5 61111.211.411.611.81212.212.412.612.813CVaRd BnHβ=0.9BnHβ=0.95BnHβ=0.99Pcvar，β=0.9Pcvar，β=0.95Pcvar，β=0.95Pcvar，β=0.99Fig。5.4. 例2的平均CVaR有效前沿由买入并持有保单和动态保单法生成。当市场机会集是确定性的时，我们可以实现这些问题的分析性投资组合策略。我们的例子表明，在管理下行风险方面，动态平均LPM投资组合政策比众所周知的均值方差投资组合政策表现更好。与静态买入持有均值CVaR投资组合政策相比，动态投资组合政策可以显著降低CVaR水平。我们的动态平均下行风险投资组合显示了一些突出的特点，例如，实施这样的政策可以将CVaR值控制在非常低的水平，即使预期回报设定在较高的水平。然而，使用这些投资组合政策的代价也可能相当高。

通常，动态平均LPM或平均CVaR策略要求在投资组合中购买大量资产。因此，在动态平均LPM和动态平均CVaR模型中施加无短路约束将更为现实，值得我们进一步努力。附录：引理1的证明。证据在下面的证明中，我们使用v（·）来表示问题（·）的最优值。由于问题（B）的最优解是问题（L（λ，λ））的可行解，我们有一个弱对偶关系v（L（λ，λ））≤ v（B），对于任何λ∈ R+和λ∈ R.另一方面，如果Y*∈ C解问题（L（λ）*, λ*)) 还有Y*满足感E[Y]*] ≥ b和E[ZY*] = a、 然后是Y*是（B）的一个可行解，它意味着v（B）≤ v（L（λ）*, λ*)). 再加上弱二元关系，我们得到了v（L（λ）*, λ*)) = v（B），这进一步意味着λ*（E[Y]-b） =0和λ*（E[ZY]- a） =0。也就是说，Y*解决问题（B）。现在，我们证明另一个方向。让我来*是问题（B）的解决方案和34 J.J.高，周，李，曹X.R.J*= 五（B）。我们构造了问题（B）asO的e pigraph集：=(κ, κ, κ)′∈ R| Y∈ C、 b- E[Y]≤ κ、 E[ZY]- a=κ，κ≥ E[f（Y）].（6.1）显然，由于f（·）的凸性，集合O是R中的凸集。我们构造了另一个集合M：=（0,0,J）∈ R | J<J*}, 这也是凸的。我们有OTM=. 如果OTM 6=, 存在（0，0，^J）∈ OTM。自（0,0,J）∈ M、 我们有^J<J*. 类似地，（0，0，^J）∈ O意味着存在^Y∈ C使E[^Y]≥ b、 E[Z^Y]=a和E[f（^Y）]≤^J<J*. 也就是说，^Y是问题（B）的解，目标值较小，这与Y的最优性相矛盾*.

由于a和M都是凸集且彼此不相交，通过使用orem[29]的分离超平面，存在和（φ，φ，φ）6=（0，0，0），因此，对于任何（κ，κ，κ）∈ O和（0，0，J）∈ M、 φκ+φκ+φκ≥ （6.2）φJ≤ .（6.3）根据（6.1）中的定义，我们必须≥ 0和φ≥ 否则，φκ+φκ从下到上是无界的（κ和κ可以在集合O中成为一体），这与（6.2）相矛盾。条件（6.3）表示φJ≤ 所有J<J*, 然后我们得到φJ*≤ . 和（6.2）一起，我们有φf（Y）+φ（b）- E[Y]）+φ（E[ZY]- （a）≥  ≥ φJ*,（6.4）对于任何Y∈ C.现在我们首先假设φ>0。将（6.4）的两边除以φgivesrise tof（Y）+λ（b- E[Y]）+°λ（E[ZY]- （a）≥ J*,（6.5）对于任何Y∈ C、 式中，λ=φ/φ和λ=φ/φ。与弱二元关系一起，（6.5）中的不等式意味着v（B）=v（L（\'\'λ，\'\'λ））和\'λ（E[Y]-b） =0。因此，Y*解决了问题（L（¨λ，¨λ）），这就完成了φ>0时情况的证明。现在，我们证明φ6=0。如果φ=0，则（6.4）中的不等式变成φ（b）- E[Y]）+φ（E[ZY]- （a）≥ 0，（6.6）表示任何Y∈ C.设Y是（B）的内部可行解，条件（6.6）变成φ（B）- E[\'Y]）≥ 由于严格的可行性，我们有b- E[\'Y]<0，而φ=0。注意（φ，φ，φ）6=（0，0，0），因此φ6=0。因此，（6.6）中的条件为φ（E[ZY]-（a）≥ 0代表一切∈ C、 这是不可能的。注意，有一个严格的内部可行解∈ C使得φ（E[Z\'Y]-a） =0。也就是说，在Y附近，我们总能找到Y∈ C s uchφ（E[Z)Y]- a） <0。因此，我们可以得出φ6=0的结论，从而完成我们的证明。严格内可行点也称为可行集的相对内点。设fb为问题（B）的可行集。

对于给定的点Y，如果我们能找到一个以Y为中心的开放球，那么FBTOB 那么“Y”是一个严格可行的内部点。动态平均LPM和平均CVaR投资组合选择35附录：引理3。引理3。设Y是一个随机变量，分别服从正态分布的均值u和方差v。那么，我们有≤d] =expau+avΦD- uv- av,（6.7）式中Φ（·）是标准正态随机变量的累积分布函数。证据设Z=（Y）-u）/v。然后Z遵循标准正态分布和[eaYY]≤d] =E[ea（zv+u）zv+u≤d]=√2πZd-uv-∞经验-（z）- 2azv- 2audz=√2πexp（2au+av）Zd-uv-∞经验-（z）- av）dz=expau+avΦD- uv- av,这正是（6.7）。参考文献[1]S.Alexander，T.F.Coleman和Y.Li，最小化衍生品组合的CVaR和VaR，J.银行金融，30（2006），第583-605页。[2] F.Andersson，H.Mausser，D.Rosen和S.Uryasev，具有条件风险价值准则的信用风险优化，数学。程序B辑，89（2001），第273-291页。[3] P·阿特兹纳、F·德尔班、J·M·埃伯和D·赫阿瑟。一致的风险度量，数学。《金融》，第9期（1999年），第203-228页。[4] S.Basak a和G.Cha bakauri，动态平均方差资产配置，修订版。财务部。《研究》，23（2010），第2970-3016页。[5] S.Basak和A.Shapiro，《基于风险价值的风险管理：最优政策和资产定价》，修订版。财务部。《研究》，第14卷（2001年），第371-405页。[6] V.S.Bawa和E.B.Lindenberg，《平均低部矩框架下的资本市场均衡》，金融经济学杂志，5（1977），第189-200页。[7] T.Bielecki，H.Q.Jin，S.R.Pliska和X.Y.Zhou，禁止银行贷款的连续时间平均方差概率选择，数学。《金融》，15（2005），第213-244页。[8] T.比约克，A.穆尔戈西和X.Y.周，具有状态相关风险规避的均值-方差投资组合优化，数学。财务，DIO:10.1111/j.1467-9965.2011.00515。x、 [9]崔晓云，D。

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