当交易者或噪声交易者没有耗尽，并且根据最大可能的强度限制卖出（买入）订单到达时，最低的询问（最高出价）价格发生。价格s有上限和下限SPA（0）- Na（T）≤ Pa（0）- Na（t）≤ 私人助理（t）≤ “爸爸∨ Pa（0）+Ra（t）≤ “爸爸∨ Pa（0）+Ra（T）；PB∧ Pb（0）- Rb（T）≤ PB∧ Pb（0）- Rb（t）≤ 铅（t）≤ Pb（0）+Nb（t）≤ Pb（0）+Nb（T）。（4.15）利用（4.2）中的不等式和[15]Daley（1978）中导出的平稳更新过程的方差界，我们得到了（4.1）中的不等式。引理4.2存在正常数CdC，因此对于任何容许的切换控制α∈ 定义4.1和任何隐藏订单策略定义∈ 根据定义2.1，交易员的现金总量和库存总量（来自策略α和H）具有边界[|Ch（T）+Cα（T）|]≤ C（Qa（0））+（Qb（0））+（Pa（0））+（Pb（0））+T+1（4.16）安第斯山脉[|I+Ih（T）+Iα（T）|]≤C（Qa（0））+（Qb（0））+（I）+（Pa（0））+（Pb（0））+T+1.（4.17）证据。在整个时间间隔[0，T]内，as k pr ice Pa（投标价格Pb）向下移动na（T）次（向上移动Nb（T）次）。一次至少有一个限额，只要k（出价）价格低于¨pa（高于pb），交易者可以接受所有最初存在的显示的限额卖出（买入）订单以及价差内曾经到达的所有显示的限额卖出（买入）订单。然后是交易者在timeT不超过（`pa）之前会买入（卖出）的总限额- Pa（0））++Na（T）（分别为Pb（0）- pb）++Nb（T））。随时∈ [0，T]，每个限价卖出（买入）订单的限价不超过a+Qa（0）+2σasup0≤T≤T | Wa（T）|（分别为b+Qb（0）+2σbsup0≤T≤T | Wb（T）|股票。每次购买（出售）时，不可能超过当前所有limitsell（购买）订单的数量，低于（高于）价格pa（分别为pb）。

我们可以通过| Iα（T）|来绑定显示订单s中的库存和现金金额≤（`pa）- Pa（0））++Na（T）a+Qa（0）+2σasup0≤T≤T|Wa（T）|+（Pb（0）- pb）+Nb（T）b+Qb（0）+2σbsup0≤T≤T | Wb（T）|;|Cα（T）|≤ （\'pa+）（`pa）- Pa（0））++Na（T）a+Qa（0）+2σasup0≤T≤T|Wa（T）|+铅+（Pb（0）- pb）+Nb（T）b+Qb（0）+2σbsup0≤T≤T | Wb（T）|.（4.18）考虑到隐藏订单，交易员最多可以收到hiddenlimit卖出指令和必和必拓（bHb（T）股票的隐藏限制购买订单。每种沙雷的最高可能价格不超过（4.2）中的界限。隐藏订单的库存和现金金额可以由| Ih（T）|限定≤啊哈（T）+bHb（T）|Ch（T）|≤aHa（T）（Pa（0）+Pa+Na（T）+Ra（T）+1+bHb（T）Pb（0）+Pb+Nb（T）+Rb（T）+1.（4.19）通过不等式（4.2）和（4.2），引理4.1，并将Burkholder-Gundy-Davisinequality应用于sup0≤T≤T | Wa（T）|和sup0≤T≤T | Wb（T）|，这个引理中的主张不能成立。定理4.1存在常数c>0，因此对于任何切换控制α∈ A和任何隐藏订单策略h∈ 我们有ξ（C（T），I（T））- 碾压混凝土≤C（Qa（0））+（Qb（0））+（I）+（Pa（0））+（Pb（0））+T+1< ∞.（4.20）此外，对于所有∈ [0，T]，在（4.1）中定义的价值过程V（T）具有增长率| V（T）|≤ C（Qa（t））+（Qb（t））+（I（t））+（Pa（t））+（Pb（t））+（t- t） +1.（4.21）证据。通过假设3.1（1）、方程（3.2）和方程（4.1），我们知道|ξ（C（T），I（T））- rCC|≤ |rC | | Ch（T）+Cα（T）+rI | rF（| z+Ih（T）+Iα（T）|+1）。（4.22）将不等式（4.2）和（4.2）代入不等式（4.2），得到不等式（4.1）。由于订单簿动态的马尔可夫特性，可以用与（4.1）相同的方法推导（4.1）中的ine质量。

定理4.1意味着（4.1）中定义的价值过程存在且不确定。5交易和价格转换之间的关系本节将在定理5.1中说明表m 3.1和问题4.1之间的关系。从定理5.1出发，命题5.1的结果表明，这两种价格转换算法提供了这两种混合交易算法的价值函数的上下界。特别是，当溢价等于零时，内部化交易者的最优混合策略可以在价格转换策略中实现。备注5.1本节的结果将有三个含义。（1） 它们有助于证明所有控制问题的适定性，如第4.2小节开头所述。（2） 当命题5.1中的上界和下界差别不大时，例如inFig。6.4，对于最优交易问题，可实现的下限切换策略几乎是最优的。推论6.1将表明后者更难计算。（3） MiFID框架定义了不同类型的交易员和策略。定理5.1比较了它们的最佳预期收益。定义5.1（分步交易策略）国际交易者和常规交易者的可接受分步交易策略集分别表示为Sintand Sreg。让字母j代表“int”或“reg”。设α={（Sn，uan，ubn）}∞n=0∈ Ajbe任意容许开关控制。过程Zaα和Zbα是交易者根据切换控制α买卖的总股份，由ziα（t）=Xn:Sn计算得出≤tgi序号，Qi（序号-), 尤因{uin≥0}, 0 ≤ T≤ T，i=a，b，（5.1），其中（4.1）中定义了Ga和Gb的映射。

当限价指令到达展区内时，交易员以旧价格Pi（Sn）买入的股份比例-) 由βiα（t）=（{uin}1{uin）计算得出∈[-1,0）}，如果t=Sn和Ni（Sn）- 镍（锡）-) = 1.否则为0；0≤ T≤ T，i=a，b.（5.2）对于某些切换控制α，可容许的步长T更新策略集定义为满足（5.1）和（5.1）要求的所有交易策略Zα=（Zaα，Zbα，βaα，βbα）的集合∈Aj。也就是说，辛特=Zα|α∈ 不是吗Sreg={Zα|α∈ Areg}。从定义4.1和定义5.1来看，内部化或常规交易者的每一步交易策略都是其价格转换策略，以买卖股份的总数表示，因此它们在不同的名称下是相同的主动交易策略。这两个定义进一步暗示SREG=Zα=（Zaα，Zbα，βaα，βbα）∈ Sint |βaα（t）≡ βbα（t）≡ 0，尽管如此∈ [0，T].注释5.1（1）内部化交易者在分步交易策略上的最佳预期回报表示为VSTP，int（）：=supZα∈圣约翰∈他ξIh，Zα（T），Ch，Zα（T）.（2） 常规交易者在分步交易策略中的最佳预期回报表示为VSTP，reg:=supZα∈斯雷格，h∈他ξIh，Zα（T），Ch，Zα（T）.定理5.1最优交易问题和最优切换问题的值函数具有以下关系：（1）Vswt，reg=Vstp，reg；（2） Vswt，int（）=Vstp，int（），表示所有≥ 0;（3） Vstp，注册号≤ Vmix，注册号；（4） Vstp，int（）≤ Vmix，int（），适用于所有≥ 0;（5） Vmix，注册≤ Vmix，int（），适用于所有≥ 0; （6） Vswt，注册≤ Vswt，int（），适用于所有≥ 0;（7） Vmix，int（0）=Vstp，int（0）；（8） 将视为变量，两个函数Vswt，int（）和Vmix，int（）在中递减。定理5.1可由下一小节5.1和5.2的结果证明。

这里提供了证据的概要。定理5.1（1）和（2）的证明大纲根据其定义，分步交易策略（定义5.1）和价格转换策略（定义4.1）彼此之间存在一一对应关系，因为这两组事实上由不同术语表示的相同主动交易策略组成。价格转换策略表示每次交易的次数和买卖限额的数量；step策略指的是b应持有并出售的最新股份总数。这解释了T heorem 5.1中的第一个和最后一个身份。（3） 这三个不等式来自引理5.1中的包含。（7） 这个恒等式来自引理5.2、引理5.1（1）和命题5.2。证明的主要思想是在引理5.2中构造一个阶梯交易策略Zα∈ 因此，该路径明智地复制了混合交易策略Z产生的库存和现金量∈ 津特。根据引理5.1（1），每一步交易策略都是混合交易策略。此外，如提案n 5.2所示，内化交易者的两种主动交易策略Z和Zα路径明智地产生相同的买卖价格，用后者代替前者不会改变隐藏订单上被动策略产生的库存和现金量。（8） 根据（3.1）、（3.1）、（3.1）和（3.2）定义的量Ch，zd，以及根据（4.1）-（6）定义的量Ch，α，视为中的函数，正在减少。（3.2）中定义的奖励标准ξ在现金金额中增加，因为RCI系数为正。（3.1）中定义的HenceVmix，int（）和（4.1）中定义的Vswt，int（）都在减少。命题5.1价格转换问题的价值函数为最优交易问题的价值函数提供了上下限。

（1） 如果最佳交易者是普通交易者，则为VSWT，reg≤ Vmix，注册≤ Vswt，int（0）。（5.3）（2）如果最优交易者是一个内部化者，那么vmix，int（0）=Vswt，int（0）（5.4）和Vswt，int（）≤ Vmix，int（）≤ Vswt，int（0），适用于所有≥ 0.（5.5）证据。（1） （5.1）中的第一个不等式来自定理5.1（1）（3）。（5.1）中的第二个不等式来自定理5.1（2）（5）（7）。（2） 根据定理5.1（2）（7），恒等式（5.1）成立。（5.1）中的第一个不等式来自定理5.1（2）（4）。为了证明（5.1）中的第二个不等式，根据定理5.1（8），它认为Vmix，int（）≤ Vmix，int（0），其右侧等于Vswt，int（0）乘以（5.1）。5.1主动策略分析可以验证（5.1）和（5.1）中定义的过程Zaα、Zbα、βaα和βbα满足定义3.1，因此每一步交易策略Zα=（Zaα、Zbα、βaα、βbα）∈ sj是容许集Zj中的混合交易策略，对于j=int，reg。然而，事实并非如此，因为混合交易策略可以在一段时间间隔内持续，但分步交易策略是一个纯粹的跳跃过程。根据定义3.1（2），规则交易者可接受的混合交易策略集是内部化交易者的混合交易策略的子集，该策略在订单到达价差时不会以旧价格下单。根据定义4.1的（4.1）和（4.1）中的定义，有一套包含Dreg$Dint。

因此，常规交易者的价格转换策略是内部化交易者价格转换策略的适当子集。引理5.1定义4.1和定义5.1中定义的交易策略的容许集合Sint、Sreg、AIT、Areg、ZIN和Zregof具有包含关系（1）Sreg$Zreg；（2） 辛特元；（3） Zreg$Zint；（4） Areg$Aint。当溢价等于零时，他的可容许分步交易策略集与内化交易者的可容许混合交易策略集表现相同，尽管如引理5.1（1）所述，前者比后者小得多。无论混合交易策略最终能产生多少库存和现金量，国际化交易者总能找到一个步调一致的交易策略。因此，内化交易者的最佳预期回报可以通过一组更小、更简单的可接受交易策略来实现。这是引理5.2的定理。引理5.2假设溢价等于零。对于任何允许的混合交易策略z=（Za，Zb，βa，βb）∈ Zint，存在一个容许的切换控制α={（Sn，uan，ubn）}∞n=0∈使阶梯交易策略Zα=（Zaα，Zbα，βaα，βbα）∈ 由（5.1）和（5.1）定义的这个α几乎肯定满足z（T）=IZα（T）和CZ（T）=CZα（T）。（5.6）证据概述。它需要构造一个特定的α′={（S′n，ua′n，ub′n）}∞n=0∈ （5.1）和（5.1）中定义的阶梯交易策略Zα′=（Zaα′、Zbα′、βaα′、βbα′）满足（5.2）中的恒等式。由于实际结构需要三页纸，因此论文中省略了详细的证明。

5.2对内化交易者隐藏顺序的影响从内化交易者那里获得一个任意可接受的混合交易策略Z，对于某些α′={（s′n，ua′n，ub′n）}∞n=0∈ 不，是在《mma 5.2》中构建的复制终端库存和现金金额的工具。让PaZand PbZdenote表示由混合交易策略Z控制的价格过程（3.1），Paα′和Pbα′表示由切换控制策略α′控制的价格过程ES（4.1）。构造是这样的，即两种策略也会产生相同的价格变化时间和数量，这意味着paz（t）=Paα′（t）和PbZ（t）=Pbα′（t），对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. （5.7）让我们记录流动性事件的强度和HBA仅对利差起作用。方程（2.3）和（5.2）进一步暗示，任意隐藏订单策略的库存和现金金额h=（ha，hb）∈ H保持不变，无论使用混合交易策略Z还是阶梯交易策略Zα′。本段中的分析验证了引理5.2的强化，如下文所述。命题5.2假设保费等于零。设h=（ha，hb）∈ H可能是一种任意的隐藏顺序策略。对于任何允许的混合交易策略Z=（Za，Zb，βa，βb）∈Zint，存在一个容许的切换控制α={（Sn，uan，ubn）}∞n=0∈ 不允许步进交易策略Zα=（Zaα，Zbα，βaα，βbα）∈ 对于（5.1）和（5.1）中定义的α，几乎可以肯定满足（3.2）和（4.1）中定义的h，Z（T）=Ih，Zα（T）和Ch，Z（T）=Ch，Zα（T），其中Ih，Z（T），Ch，Zα（T），Ch，Z（T）和Ch，Zα（T）。6解决最优切换问题这一操作将提供最优交易策略的特征，并为最优切换问题4.1推导出一种算法。

无论交易者是内化的还是规则的，这个解决方案都是有效的，因此允许的切换控制集通常被表示为A。在开始解决问题之前，先介绍一些符号。代表订单两侧的二维量简称为asQ（t）=（Qa（t），Qb（t）），P（t）=（Pa（t），Pb（t）），q=（Qa，Qb），P=（Pa，Pb），u=（ua，ub）和h=（ha，hb）。如定理6.1所示，决策只需要观察状态过程{（Na，Nb）}0≤T≤Tand{（Q（t）-), Iα（t）-)+ Ih（t），P（t）-))}0≤T≤T、 其过滤比F（T）小。过程{（Q（t））的域-), Iα（t）-)+Ih（t），P（t）-))}0≤T≤表示为asD=[0，∞)×R×{（pa，pb）∈ （Pa（0），Pb（0））+N | Pa>Pb}。为了表示订单簿和交易员交易的库存中的变化，映射γ：Ohm ×[0，T]×D×N→ [0, ∞)x R定义为γ（t，q，z，u）={ua6=0}a+1{ua=0}（1- {ua}）qa{ub6=0}b+1{ub=0}（1- {ub}）qbz+gα（t，q，u）转置在时间t应用切换控制u后，体积和库存量立即变为（Q（t），I（t））=γt、 Q（t）-), Iα（t）-) + Ih（t），u.（6.1）过程{Rtr（P（s-), h（s）-))ds}0≤T≤Tde定义的asr（P（t），h（t））=- 啊哈（t）Pa（t）+Pb（t）/2.λa（Pa（t）- Pb（t））+bhb（t）Pa（t）+Pb（t）/2.λb（Pa（t）- Pb（t）），0≤ T≤ T、 是（2.3）中定义的semimar tingale CHD的Doob Meyer分解中的有限变化部分。根据（4.2）中的界，CHI的局部鞅部分是鞅。然后，可以将（4.1）中定义的值过程V替换为V（t）=supα∈在，h∈HtE钢筋混凝土∞Xn=1fα（Sn，Q（Sn-), P（Sn）-), un）+rCZTtr（P（s）-), h（s）-))ds+rIF（Ih，α（T），P（T））F（t）, 0≤ T≤ T、 （6.2）因为E[ξ（I（T），C（T））|F（T）]- rCC（t）等于上述等式右侧的期望值。

每小时∈ H0，t，过程Y（·；h）定义为asY（t；h）=Ztr（P（s-), h（s）-))ds+V（t），0≤ T≤ T.对于e非常可测函数φ：[0，T]×D→ R、 算子M定义为asMφ（t，q，z，p）=maxu∈U（t，p）fα（t，q，p，u）+φt、 γ（t，q，z，u），pa+[ua]，pb- [ub].6.1最优交易策略本小节最终将在第6.1条的前提下推导出最优价格转换策略在价值过程中的表达式。该方法基于这样一个原理：控制问题的值过程是一个上鞅，当且仅当控制是最优的时才成为鞅。它被称为“马尔廷格尔方法”，在斯奈尔（1952年）和戴维斯（1979年）分别为最优停止问题和随机控制问题首次引入。这些论点的核心是在我们的环境中形成的动态编程原理，如定理6.1。动态规划原理的参考文献是弗莱明和索纳（19 93）。引理6.1提供了价值过程的正确连续性，因此它是使用斯奈尔包络技术顺序确定每个最佳交易时间的合格候选者。引理6.2是从价值过程的鞅性来描述最优交易策略。

因为Theo rem 4.1已经表明价值过程是有限的，所以命题6.1中的表达式暗示了最优交易策略的存在。定理6.1（动态规划原理）给出（Q（t-), Iα（t）-) + Ih（t），P（t）-)) =（q，z，p），存在确定性可测函数v，va和vb:[0，T]×D→ R、 安达地图v：Ohm ×[0，T]×D→ R、 这样，由方程（4.1）定义的数值过程V满足V（t）=V（t，q，z，p）=（V（t，q，z，p），如果Ni（t）- Ni（t）-) = 0，i=a和b；vi（t，q，z，p），如果Ni（t）- Ni（t）-) = 1，i=a或b.（6.3）可通过动态规划原理计算值函数v、Va和Vbt、 Q（t）-), Iα（t）-) + Ih（t），P（t）-)= sup（南、美）∈在，1，h∈Ht，SErCfα（S，Q（S）-), P（S）-), u） +ZStr（P（t），h（s）-))ds！+五、S、 γS、 Q（S）-), Iα（S）-) + Ih（S），u, 私人助理（S）-) + [ua]，Pb（S）-) - [ub]F（t）,（6.4）当Na（t）时- Na（t）-) = 0和Nb（t）- Nb（t）-) = 0，andvit、 Q（t）-), Iα（t）-) + Ih（t），P（t）-)= 男vt、 Q（t）-), Iα（t）-) + Ih（t），P（t）-)（6.5）当Ni（t）- Ni（t）-) = 1，i=a，b。尤其是在终端时间T时，值函数满足终端条件vT、 Q（T）-), Iα（T）-) + Ih（T），P（T）-)= mf（I（T）-), P（T）-)). （6.6）证据。函数v、Va和Vb的存在源于过程（Q、I、P）的马尔可夫结构，以及排列内订单的指数到达时间的无记忆性。在我们的上下文中，动态编程原理的证明是常规的。

也就是说，塔克∈ 阿坦德h∈ 定义4.1和2.1中定义的HTA，表示sho rt∑=rCfα（S，Q（S-), P（S）-), u） +ZStr（P（t），h（s）-))ds！；∑=rC∞Xn=2fα（Sn，Q（Sn-), P（Sn）-), un）+ZSnSn-1r（P（Sn）-1） ，h（s）-)) ds！+rIF（I（T），P（T））；∑=vS、 γS、 Q（S）-), Iα（S）-) + Ih（S），u, 私人助理（S）-) + [ua]，Pb（S）-) - [ub].然后，通过推导方程（6）的相同推理和迭代期望定律，我们得到了[ξ（I（T），C（T））|F（T）]- rCC（t）=E∑+E∑| F（S）F（t）.（6.7）因为∑=supα∈作为，h∈健康安全环保∑| F（S）（6.8）通过等式（6）和（6.1），我们知道∑| F（S）≤ Σ.接管最高法院（S，u）∈ 在不平等的两个方面∑+E∑| F（S）F（t）≤ EΣ+ ΣF（t）利用方程（4.1）和（6.1），我们证明了V（t）小于或等于（6.1）的右边。我们从方程（4.1）和（6.1）中知道v（t）≥ E∑+E∑| F（S）F（t）, （6.9）对于任意α∈ 阿坦德h∈ 嗯。表达式（6.1）和（6.1）暗示v（t）≥ EΣ+ ΣF（t）,因此V（t）大于或等于（6.1）的右边。质量控制的两边，henceV（t）=sup（S，u）∈在，1，h∈Ht，SErCfα（S，Q（S）-), P（S）-), u） +ZStr（P（t），h（s）-))ds！+五、S、 γS、 Q（S）-), Iα（S）-) + Ih（S），u, 私人助理（S）-) + [ua]，Pb（S）-) - [ub]F（t）.（6.10）当Na（t）时- Na（t）-) = 0和Nb（t）- Nb（t）-) = 0，乘以（6.1）有v（t）=vt、 Q（t）-), Iα（t）-) + Ih（t），P（t）-),因此（6.1）表示形式（6.1）。当Na（t）- Na（t）-) = 1或Nb（t）- Nb（t）-) = 1 ort=T，交易者必须在时间T“交易”，尽管可能是零份额，因此（6.1）采用形式（6.1）或（6.1）。引理6.1每0≤ t<t+T≤ T，假设交易者没有在时间间隔[T，T+t] 。然后是过程六、t、 Q（t）-), Iα（t）-) + Ih（t），P（t）-)0≤T≤T、 i=0，a，b在时间T中是连续的，这意味着lim | T-t′|→0+六、t、 Q（t）-), Iα（t）-) + Ih（t），P（t）-)- 六、t′，Q（t′）-), Iα（t′）-) + Ih（t′），P（t′）-)= 0.证明。

必须证明v的连续性，然后从表达式（6.1）证明Va和VbFollows的连续性。任意取两次t≤ t′∈ [0，T]，一种任意的价格转换策略α∈ 阿坦丹任意y隐序策略h∈ 嗯。标志t:=t′-t、 假设Na（t）-Na（t）-) = 0和Nb（t）- Nb（t）-) = 对于任意两组初始值（q，z，p）和（q′，z，p），0.（体积q中的连续性）∈ 结果态过程分别表示为（Q，I，P）和（Q′，I′，P′）。如果贸易商从不交易，那么，以ask为例，有三种可能性是动态的。（1） 在Qa（·）=Qa+σa（Wa（·）之前的价差中出现限价销售订单- Wa（t）或Qa′（·）=Qa′+σa（Wa（·）- Wa（t））达到零，在这种情况下，NEW的要价pa和pa′等于pa- 1和Qa和Qa’都变成了在到达的时候。（2） 在Qa（·）和Qa′（·）达到零之前，限价销售订单不会到达价差。到达时，新as k的价格Pak和Pa\'等于Pa+1，而数量Qa和Qa\'仍然不同质量保证- qa′.（3） 当Qa（·）和Qa′（·）中的一个达到零，而另一个没有达到时，限价销售订单到达价差。在案例（1）和（2）中，交易员库存的差异不超过质量保证- qa′+qb- qb′, 现金金额不超过（`pa+）质量保证- qa′+铅+qb- qb′. （3）类事件在整个时间范围内发生的概率[0，T]收敛为零，如下所示：质量保证- qa′→ 根据假设3.1（2），从引理4.1和引理4.2中的价格、库存和现金量的界限，我们知道v（t，q，z，p）=limq′→qv（t，q′，z，p）。（6.11）（时间t的连续性）取任何初始值（q，z，p）∈ D和任何麻木的T∈[0，T- t] 。让我们看看- t） 表示有效的传输策略，终端时间t- T

然后是关系v（t+t、 q，z，p）=supα∈At（T）-t） ，h∈HtE[ξ（I（T）]- t） ，C（t）- t） ）| F（t）]- rCC（t）！。因为在时间间隔[T]内订单动态的变化- t、 这是命令(t） ，在t时终止的最佳预期奖励- t或在t的差异达到O时(t） ，意思是v（t，q，z，p）=v（t+t、 q，z，p）+O(t） 。（6.12）过程的连续性五、t、 Q（t）-), Iα（t）-) + Ih（t），P（t）-)0≤T≤t可以从恒等式（6.1）和（6.1）以及驱动状态过程的布朗运动和泊松过程的性质得出结论。引理6.2和命题6.1的证明遵循关于如何通过鞅方法刻画最优控制和最优停止时间的常规过程。因为它们很长，这里没有提供证据。感兴趣的研究者可以在Davis（1979）和Snell（1952）中找到最初的想法，并在Li（2011）的第2.2.2节中找到最相似结果的论点。引理6.2价格转换策略α*= （S）*, U*) ∈ At、1和隐藏订单策略*∈ Ht，S*当且仅当以下四个条件均成立时，达到（6.1）中的su前提。（1） {Y（t；h）}0≤T≤这是一部超级电影，每小时∈ Ht，T；（2） {Y（t）∧ s*; H*)}0≤T≤这是一个鞅；（3） 要么五、- 男vs*, Q（S）*-), Iα*（S）*-) + Ih*（S）*), P（S）*-)= 0或S*= T（4） u*= arg maxu∈美国*,P（t））钢筋混凝土fα（S）*, Q（S）*-), P（t），u*) +RS*tr（P（t），h*（s）-))ds+ 五、s*, γ（S）*, Q（S）*-), Iα*（S）*-) + Ih*（S）*), U*), Pa（t）+[ua*], 铅（t）- [ub*].命题6.1存在最优切换控制α*= {S*n、 ua*n、 ub*n） }∞n=1∈ a和最优隐序策略h*= （哈*, 血红蛋白*) ∈ H，定义如下。让我们*= ua*= ub*= 0

当n=1,2时，最佳交易时间S*NCA可以表达为*n=infnS*N-1<t≤ T五、- 男vt、 Q（t）-), Iα*（t）-) + Ih*（t） ，P（t）-)= 0o∧ Tn，如果S*N-1<T；T+1，如果S*N-1=T。如果S*n=T+1，则ua*n=ub*n=0；奥特·赫维苏*n=arg最大值∈美国*n、 P（S）*N-1))rCfα（S）*n、 Q（S）*N-), P（S）*N-1） ，u）+vs*n、 γ（S）*n、 Q（S）*N-), Iα*（S）*N-) + Ih*（S）*n） 宾夕法尼亚州*N-1） +[ua]，Pb（S）*N-1) - [ub].表示asrt、 Q（t），Iα*（t） +Ih*（t）-), P（t），h（t）:=五、t、 Q（t），Iα*（t） +Ih*（t）-) + a、 P（t）- 五、t、 Q（t），Iα*（t） +Ih*（t）-), P（t）· ha（t）λa私人助理（t）- 铅（t）+五、t、 Q（t），Iα*（t） +Ih*（t）-) - b、 P（t）- 五、t、 Q（t），Iα*（t） +Ih*（t）-), P（t）· hb（t）λb私人助理（t）- 铅（t）,为了0≤ T≤ T，最优隐序策略h*可以用灰烬来表达*（t） =arg maxh（t）∈{0,1}nr（P（t），h（t））+rt、 Q（t），Iα*（t） +Ih*（t）-), P（t），h（t）o、 6.2数值算法本小节将给出数值算法，用于计算离散版最优价格转换问题的价值函数和最优交易策略。1.我们将在串行计算机和aGPU集群上详细说明该算法的不同复杂性。时间和状态过程在网格T×X上离散，其中T作为时间T的网格∈ [0，T]定义为sT={0=T，T，T，···，tK=T}={0，t、 二,t、 ···，Kt=t}和X作为状态过程（Q，I，P）的网格是D中的有界集，其中| X |<∞元素。当网格越来越大时，limitlimK→∞, |X|→∞假设T×Xis是[0，T]×D中的一个稠密集。该算法分为以下三个步骤。其输出将是价值函数和最佳交易策略（\'v（tk，x），\'u*0（tk，x），\'h*（tk，x）他没有在（tk）内收到限价单-1，tk]和（\'vi（tk，x），\'u*i（tk，x））当限价卖出（买入）指令在（tk）内到达时-1，tk]，代表所有人（tk，x）∈ T×X。伪代码见表6.1。第一步。

（在终端时间）在tK=T时，终端条件为‘v（T，x）=mf（z，p）。步骤1.1计算每个交易策略在终端时间的交易报酬u∈ U（T，p）为v（T，x；U）=v（T，x；U）=vi（T，x；U）=fα（T，q，p，U）+f（z+gα（T，q，U），p）。步骤1.2终端时间交易的最大回报为‘v（T，x）=’v（T，x）=’vi（T，x）=最大{v（T，x；u）| u∈ U（T，p）}。最佳交易策略是“u”*（T，x）={u∈ U（T，p）|使得v（T，x；U）=v（T，x）}。第二步。（用初始值sxtk，x（tk；u）模拟受控状态过程）：=（Qtk，x（tk；u），Itk，x（tk；u），Ptk，x（tk；u））=γ（tk，q，z，p，u），pa+[ua]，pb- [ub],根据以下步骤模拟状态过程xTk，x（tk+1；u，h）=（Qtk，x（tk+1；u），Itk，x（tk+1；u，h），Ptk，x（tk+1；u））（6.13）Qitk，x（tk+1；u）=Qitk，x（tk；u）+σi×（均值为零且方差为零的正态r.v.）t） )；Qitk，x（tk+1；u）=Qitk，x（tk+1；u）1{Qitk，x（tk+1；u）>0}+i{Qitk，x（tk+1；u）≤0};Itk，x（tk+1；u，h）=Itk，x（tk；u）+aha×（a泊松r.v.，强度λa（pa- pb）（t）- bhb×（a泊松r.v.，强度λb（pa- pb）t） )；Patk，x（tk+1；u）=pa+[ua]+1{Qitk，x（tk+1；u）≤0};Pbtk，x（tk+1；u）=pb- [ub]- 1{Qitk，x（tk+1；u）≤0}.（6.14）为了使状态过程保留在网格X内，每次模拟的截断值“Xtk，X（tk+1）”由“Xtk，X（tk+1；u，h）：=arg min获得|Xtk，x（tk+1；u，h）- y|Y∈ 十、. （6.15）（可以直接模拟截断值。）根据方程式（6.2）、（6.2）和（6.2）运行M次模拟，以获得“Xtk，x（tk+1；u，h）”。M个模拟值表示为\'Xmtk，x（tk+1；u，h）毫米=1。对于i=a，b，模拟MPoisson随机变量尼姆Mm=1，强度θi（pa- pb）t表示限价单是否在时间间隔内到达价差内（tk，tk+1）。第三步。

（价值函数和最优交易策略）这一步根据动态规划原理“v（tk，x）=maxu”执行优化程序∈U（tk，p），h∈{0,1}pa+pbhbλb（pa- pb）-pa+pbhaλa（pa- pb）t+fα（tk，q，p，u）+Ev（tk，Xtk，x（tk+1；u，h））.（6.16）步骤3.1（近似预期）条件预期v（tk，\'Xtk，x，（tk+1））在（6.2）中，通过计算^v（tk，x；u，h）来近似表示：=MMXm=1{Nam=0，Nbm=0}vtk，Xmtk，x（tk+1；u，h）+Xi=a，b{Nim=0}vitk，Xmtk，x（tk+1；u，h）.步骤3.2（价差内没有到达时的价值函数和交易策略）这是指在整个时间间隔（tk）价差内没有限额订单到达的情况-1，tk]，意思是Ni（tk）- 镍（tk）-1） =0，对于i=a和b。使用代理交易策略u获得的回报∈ U（tk，p）和h∈ {0，1}是v（tk，x；u，h）=pa+pbhbλb（pa- pb）-pa+pbhaλa（pa- pb）t+fα（tk，q，p，u）+^v（tk，x；u，h）。（6.17）交易的最佳值为‘（tk，x）=最大值v（tk，x；u，h）|u∈ U（tk，p）和h∈ {0, 1}. （6.18）最佳交易策略为（`u0）*（tk，x），\'h*（tk，x））=U∈ U（tk，p）和h∈ {0, 1}使得v（tk，x；u，h）=v（tk，x）.（6.19）步骤3.3（价差内到达时的价值函数和交易策略）这是指限价指令在时间间隔（tk）内的某个点到达价差内的情况-1，tk]，意思是Ni（tk）- 镍（tk）-1） =1，表示i=a或b。使用一般交易策略u的回报∈ U（tk，p）是vi（tk，x；U）=fα（tk，q，p，U）+v（tk，x；U）（6.20）交易的最佳值是vi（tk，x）=max\'vi（tk，x；u）|u∈ U（tk，p）. （6.21）最佳交易策略是“ui”*（tk，x）=U∈ U（tk，p）|使得`vi（tk，x；U）=`vi（tk，x）. (6.22)我们想区分在CPU和GPU上的反向感应算法的计算复杂性。

下面的推论是通过价格转换问题的动态规划离散化得出的结论，这是一种脉冲控制和最优控制相结合的类型。感兴趣的读者可以验证其他方法（PDE或反向SDE，如果适用）和其他控制类型的结果是否相同。推论6.1设| T |，|X |和|U |分别为离散化时间网格、空间网格和容许控制集的网格大小，M为估计条件期望的模拟路径数。采用串行计算，算法的时间复杂度为|T |×| X |×| U | M。采用并行计算，尽可能地将复杂度转换为空间复杂度，算法的空间复杂度为| X | U | M，时间复杂度最多可降低到|T |×| U |。证据表6.1列出了alg算法的伪代码、每一步的计算复杂度以及它是否可并行。状态空间X中每个节点的计算都是可并行的，因为它使用以前计算的时间步的结果，而不在同一时间步使用任何其他节点。数字| U |是在所有可容许的控制中获得最大预期回报的复杂性，不能在并行l中进行。例如，要获得数字{a，a，····，aN}中的最大值，可以归纳地计算b:=a和bn:=max{bn-1，an}，对于n=2，···，n。然后bN=max{a，a，···，aN}。

备注6.1推论6.1中有两个重要的观察结果。（1） 由于状态空间中每个时间步的所有节点都可以并行计算，因此中高维随机控制问题不再是数值禁止的问题。（2） GPU集群上的最小时间复杂度为|T |×|U |，即时间步长的数量乘以允许的控制集的大小。可容许的混合策略集是立方体[0，\'\'pa]×0，pb, 虽然允许的价格转换策略集仅为该立方体内的整数点，因此价格转换问题的实现非常简单。6.3实施本小节在一个更简单的二项式模型中实施算法，以达到作者个人电脑的最佳性能。数值结果的一个有趣应用是计算“公平”内部化溢价*.从TkT到tk+1，模型中的随机性由六个二元变量捕捉。除非另有说明，否则假定独立。其他功能保持不变，上一小节的修改如下。（1） 非交易者的市场参与者引起的成交量变化是一个随机变量R（Qi）∈ {-1,1}概率为{0.5,0.5}，i=a，b.（2）让随机变量对（R（Na），R（Nb））∈ {（0,0），（1,0），（0,1）}表示当价差大于一个刻度时，限价单和买入单是否以低于标价一个刻度和高于标价一个刻度的价格到达（值一）或不到达（值零）。这三种情况的概率为{1-pN，pN/2，pN/2}，其中pN=0.3·min{spread-1, 1}.（3） 让这对随机变量（R（Ha），R（Hb））∈ {（0,0），（1,0），（0,1）}表示是否存在以中间价格消耗交易的流动性事件（值1）或（值0）。

这三种情况的概率分别为{0.5,0.25,0.25}。（4） 此外，内部化在这里只意味着填充a(b） 当tk价格Pa（tk）（Pb（tk））时，当tk+1限价销售（购买）订单达到更好的价格Pa（tk+1）=Pa（tk）时- 1（Pb（tk+1）=Pb（tk）+1），由R（Na）=1（R（Nb）=1）表示。我们使用a=b=5，pb=12，pa=18。时间网格是{t，t，··，tK}={1，2，··，10}。在终端时间tK=10时，交易员的库存价值为Pb（10）- 如果为正，每股2英镑；如果为负，每股Pa（10）+2英镑。因为国家空间是有限的，所以它必须以某种方式在边界上进行挖掘。电脑能接受的最大网格就是电脑Qa，Qb，I，Pa，Pb∈ X={0,1,9,10}{-20, -19, · · · , 19, 20}×{12, 13, · · · , 1 7, 18}.网格包含104181个容许点，其中Pa>Pb。图6.1（常规交易者）、图6.2（系统内部化者）和图6.3（系统内部化者）说明了交易者的最佳交易策略如何与模拟的价格路径相互作用。初始时间为t=1，终止时间为t=10。初始值为qa（1）=Qb（1）=5，Pa（1）=16，Pb（1）=15，I（1）=0。交易员在所有三个图表中的行为都显示出卖空和压低价格的企图。他确实使用了不同订单类型的组合——主动订单、隐藏订单和内部订单。然而，由于存货的截断，计算利润的信息量不大。

需要更先进的设备，以允许更广泛的g rid，尤其是更大范围的库存变量。有趣的是，看到内部化对交易者最佳预期收益的影响。系统内部化者和常规交易者之间的最佳预期收益的相对差异被定义为VDIFF（t；qa，qb，z，pa，pb；）：=Vint（t；qa，qb，z，pa，pb；）- Vreg（t；qa、qb、z、pa、pb）/Vreg（t；qa，qb，z，pa，pb），其中Vint（t；·；）和Vreg（t；·）分别是（4.1）中定义的系统互连者和常规交易者的时间价值函数，是内部化溢价。图6.4显示了Vdiff（t；qa，qb，z，pa，pb；=0）的分布，初始值（qa，qb，z，pa，pb）在网格上的104181个容许点范围内。系统性内化者的最佳预期收益比常规交易者高出1%-15%，约为35%的容许点数。在这种情况下，平均而言，内部化意味着可以应用于正确的情况。此外，它还提出了一种指定“公允”价值的方法*这样交易双方都会受益。备注6.2让重量为w:X→ (0, 1); （qa，qb，z，pa，pb）7→ w（qa，qb，z，pa，pb）表示状态空间中每个点的可能性，s atisfyingX（qa，qb，z，pa，pb）∈Xw（qa，qb，z，pa，pb）=1。对于方程式（3.2）中一些公认的奖励标准F、交易周期的一些典型持续时间T和状态空间的一些适当网格X，“公平”内部化溢价*应该是一个严格的正数，这样加权平均值x（qa，qb，z，pa，pb）∈XVdiff（t；qa，qb，z，pa，pb；）*)w（qa，qb，z，pa，pb）在零以上。由于国际化是带来更高最佳预期收益的额外选择，*应该是积极的。

由于内部化为其对手提供了价格提升，*对于系统内化者来说，应该是低成本的，以保持其可操作性。感谢我想感谢许多通过对话了解市场微观结构的人。我非常感谢Cr’edit AgricoleCheuvreux和资本基金管理公司的查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒，他通过学术研讨会休息期间的讨论、在办公室里以及通过大量电子邮件与我分享了他对市场微观结构和算法交易的见解。他的见解为这项工作的每一步该如何进行提供了指导。在本文中，书名、limitorder图书模型、“公平”内部化溢价的理念以及对文献和欧佩恩市场的大部分深刻理解都应归功于查尔斯·阿尔伯特。此外，博士教授的课程是用CUDA/C语言编程GPU。柏林大学的Lokman A.Abbas Turki给了我更多关于并行计算的具体知识。这篇论文的一个非常原始的想法是在我从纽约哥伦比亚大学毕业时提出的，而实际的工作是在埃弗里大学、阿通博尔特大学、柏林大学和我目前的过渡期间连续进行的。我想感谢欧洲金融学院和巴黎路易学院、Matheon Berlin和我母亲提供的财政支持。参考Alfonsi A.，A.Fruth and A.Schied，2010，《带一般形状函数的极限订单中的最优执行策略》，定量金融10（2），143-157。Alfonsi A.和A.Schied，2010，《极限订单书模型中的最优交易执行和无价格操纵》，暹罗金融数学杂志，1490-522。阿方西A、A.希德和A。

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