这促使我们扩展我们的模型，并考虑发电厂的启动成本。为了进行校准，我们采用了第3节中描述的方法。1.计算出的均衡价格和包含启动成本的能源组合如图3所示。3.通过比较图3.1和图3.3，我们可以看到，计算出的均衡价格更接近实际观察价格的每日变化。它正确地预测了一些症状，但也预测了许多假阳性。图3.4显示，纳入star tup成本略微改善了能量混合计算中的误差。当电价出现峰值时，探索电网的状况是很有趣的。一个非常具有描述性的参数是sta nding reserve SR（Tj），j∈ J、 定义为（3.18）SR（Tj）=Xp∈PXl∈LXr∈Rp，lhW（2）p，l，r（Tj）- W（6）p，l，r（Tj）ihWp，l，rmax（Tj）-Wp，l，rmin（Tj）i，哪些数量取决于目前运行的发电厂能增加其产量20 40 60 80 100 120 160 180024x 104半小时和20 40 60 80 100 120 160 18002040608010120价格煤（计算）天然气（计算）价格观察价格20 40 60 80 100 120 160 180020408010120价格煤（观察）天然气（观测值）计算价格观测值图3.3。计算电价和历史电价的比较，以及包括启动成本的能源结构。0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-2000-1500-1000-5000500100015002000煤误差气体误差图3.4。包括启动成本后，计算和观测的天然气和煤炭产量之间的差异。新的发电厂必须先打开。

由于大多数发电厂对启动时间有严重限制，低备用通常意味着电网的低稳定性。图3。5描述了在r e le vant时间段内计算的常备储量。我们可以看到，当储备接近于零时，所有价格都会飙升。在这种情况下，必须打开一个新的发电厂（并在之后迅速关闭），以满足临时的额外需求。因此，启动成本在很短的时间内分摊，并且需要较高的电力成本才能实施此类行动。然而，实际上，长期储量较低的情况非常罕见。电网运营商负责提供可靠的电力供应，并防止出现低持续供电时间。这是通过激励一些发电厂开始生产来实现的，即使在不适合它们的情况下也是如此。这些行动的成本在所有市场参与者之间分配。下一节将讨论如何在我们的模型中包含网格操作符。在本节的剩余部分，我们评估了使用问题的连续松弛（PR）所造成的误差。我们遵循第2.6节所述的程序。MIQP错误由图3.6中的虚线表示。为了估计数值误差的影响，我们还计算了图3中所示的QPrerror。6.作为一条实线。我们可以从图3中看到。6.那个个人计算机∈个人简历*c+Pp∈PV*P∞≈ 400兆瓦时。而且在现实中，生产和消费并不完全匹配。失配通过电源线频率的变化反映出来。在英国，标称电源线频率为50 Hz。电网运营商（称为Natio nalGrid）负责将频率保持在标称电力线频率的±1%以内。

韦西http://www2.nationalgrid.com/uk/services/balancing-services/frequency-response/.2040 60 80 100 120 140 160 180010002000300040005000常设储备图3.5。相关时间段的常备储备。0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-300-200-1000100200 qpmiqp图3.6。从图3可以看出，考虑问题GP而不是问题PR所导致的错误。6.最大的错误发生在需求旺盛的时候。由于高峰时段的总用电需求约为40 GW，我们可以得出结论，误差在±1%的误差范围内。本文提出的模型忽略了输配电线路的电能损耗。根据世界银行的数据，英国的输电和配电损失约占总发电量的7.5%（2004年最高为8.5%，2010年最低为7.0%）。损失随时间变化，变化范围为±1%。基于上述原因，我们认为，为了对现实电价进行建模，考虑问题的连续松弛（PR）和忽略二元约束是不够的。4.电网运营商。在第2节中，我们研究了如何在我们的模型中包含启动成本。计算出的均衡价格包含了许多峰值，实际上，电网运营商的干预阻止了这些峰值。有时，当备用电量较低时，电网运营商会激励其他发电厂启动，从而有助于使电力输送更加可靠。在本节中，我们将研究如何将网格操作符的操作合并到我们的模型中。4.1. 二次规划公式。

电网运营商有助于维持电力输送的高可靠性的行动的成本分配给所有市场参与者。当常备储备较低时，所有市场参与者都会受到惩罚。看见http://data.worldbank.org/indicator/EG.ELC.LOSS.ZS/countries/GB?display=graph.To在我们的模型中包括惩罚，我们提出了二次惩罚函数Υ（SR（Tj））定义为（4.1）Υ（SR（Tj））：=α（max{0，β- SR（Tj）}），其中α>0和β>0用于描述网格算子的风险规避。参数β告诉usat电网运营商开始采取行动的备用电量水平。参数α告诉我们电网运营商愿意在多大程度上激励发电厂开始生产。我们可以将网格算子作为（4.2）maxx并入问题（2.52）-π十、-十、Qx-Pj∈JΥ（SR（Tj））s.t.Ax=aBx≤ buM=0如何在二次规划框架中编写惩罚项（4.1）可能还不清楚。我们可以遵循线性规划文献中广泛使用的方法，引入一个决策变量z（Tj），其结构如下（4.3）z（Tj）≥ 0z（Tj）≥ β - SR（Tj），适用于每个j∈ J.惩罚函数Υ（SR（Tj））可以写成z（Tj）的函数，即（4.4）Υ（z（Tj））：=αz（Tj），这符合二次规划框架。可以应用第2.6节中描述的程序，找到问题（4.2）的更方便的双重公式。4.2。数值结果。在本节中，我们将研究包含网格算子后的数值结果。计算出均衡价格和能源结构，如图4所示。1.左侧的图描述了计算出的煤炭和天然气发电厂之间的能源组合，而右侧的图描述了实际观察到的能源组合。

这两个图还包括我们的模型计算的现货价格和实际观察到的现货价格。我们设定α=0.01，β=1500。最佳常备储量的确定是一个具有挑战性的问题，在文献中受到了大量关注（例如参见[10]和[9]），超出了本文的范围。通过比较图3.3和图4.1，我们可以看到计算出的平衡电价如图4所示。1更密切地跟踪每日变化。计算出的平衡电价不包含任何尖峰，因为电网运营商通过管理StandingServe防止了尖峰。在我们的模型中，我们假设参与者（和网格操作符）有一个完美的需求预测。然而，事实上，这通常不是事实。电网运营商无法完美地预测需求，而且往往需要采取纠正措施。当需要采取大的纠正措施以达到交付时间的倍数时，则只有少数（通常相当有效的开式循环燃气轮机）发电厂能够灵活地满足需求，从而导致电价飙升。递归操作的建模超出了本文的范围，留待以后的工作。图4。2表明电网运营商的加入对能源结构中的错误没有任何显著影响。图4.3显示了纳入电网运营商后的常备储量。由于电网运营商要求新发电厂开始生产，以确保电网稳定，因此备用电量永远不会达到零。这使得现货价格更加平稳，显著减少了峰值数量。图4。4描述了包含网格操作符后的MIQP和QP错误。

通过比较图3.6和图4.4，我们可以看出，包含网格运算符对误差的影响很小，误差保持在±1%的误差范围内。20 40 60 80 100 120 140 160 18001234x 104半小时需求20 40 60 80 100 120 140 160 1800204060801000价格煤炭（计算）天然气（计算）计算价格观察价格20 40 60 80 100 120 140 160 18001234x 104半小时需求20 40 60 80 100 120 160 1800204060801000价格煤炭（观察）天然气（观察）计算价格观察价格图4.1。计算的和历史的电价和能源结构与启动成本和电网运营商的比较。0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-2000-1500-1000-5000500100015002000煤误差气体误差图4.2。包括电网运营商后，计算和观测的天然气和煤炭产量之间的差异。5.结论。在本文中，我们提出了一个易于处理的二次规划公式，用于计算当发电厂的启动成本包含在模型中时，电力公司的平衡期限结构。通过数值模拟，我们发现启动成本对电价有很大的影响。当启动成本包含在模型中时，高峰时段的计算电量增加，高峰时段的计算电量减少。此外，启动成本是导致现货电价频繁上涨的原因。我们观察到，当站姿在较低的位置重新发球时，会出现pr ic e尖峰。实际上，由于电网运营商的干预，低备用时间很少，电网运营商负责提供可靠的电力输送，并防止低备用时间。在论文的第二部分，我们在模型中加入了网格算子。这显著减少了尖峰的数量。

此外，计算出的均衡电价与历史观测电价非常接近。数值模拟是通过模拟由几百个发电厂组成的真实的英国发电站来进行的。还提出了一种从历史产量估算发电厂启动成本的简便方法。参考文献[1]M.T.Barlow，《电价的扩散模型》，数学金融，12（2002），第287-298页。[2] Hendrik Bessembinder和Michael L.Lemmon，《电力远期市场中的均衡定价和最优套期保值》，金融杂志，57（2002），第1347-1382.20 40 60 80 100 120 160 18001000200030040005000页，图4.3。相关时间段的常备储备。0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-300-200-1000100200300400 qpmiqp图4.4。考虑问题而非问题所导致的错误[3]Wolfgang Bühler，《电力期货的风险溢价：一个动态均衡模型》，载于《非和谐市场风险管理》，约翰·威利父子有限公司，2009年，第61-80页。[4] Wolfgang Bühler和Jens Müller Merbach，《电力期货估值：简化形式与动态平衡模型》，曼海姆金融工作文件第2007-07号（2009年）。[5] RenéCarmona，Michael Coulon和Daniel Schwarz，《电价建模和资产评估：多燃料结构法》，数学和金融经济学，7（2013），第167-202页。[6] Les Clewlow和Chris Strickland，《能源衍生品的多因素模型》，研究论文系列28，悉尼科技大学定量金融研究中心，1999年12月。[7] ，在一个符合远期价格的单因素模型中评估能源期权，研究论文系列10，悉尼科技大学量化金融研究中心，公共关系研究所。

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