当然，a:=（a，…，ad1），公元-pt：=（a1（d-pt），广告（d）-pt）构成一组d-通过每个定义[M]t（ω）a，在Rdand中的线性独立决定向量l=dXk=1akl[Mi，Mk]t（ω）=[Mi，Nl]t（ω）=0表示1≤ l ≤ D- pt，1≤ 我≤ d、 自k[M]t（ω） RDD有维度d- 对于每ω∈ Ohm*, thenker[M]t（ω）=span{a，…，ad-每ω的pt}∈ Ohm*. 设^V是由d[M]T的正交特征向量构成的正交矩阵。当然，由于缺乏特征向量的识别，我们无法证明BVM收敛于VM。真正的问题是以下关于趋同的概念。在续集中，如果{An，Bn；n≥ 1} 是一系列随机变量，然后是南 Bn作为n→ ∞也就是说，P（An<Bn）→ 0作为n→ ∞. 我们也有类似的定义 还有 当双方都 BNAN Bnas n→ ∞.定理5.1。设M=（M，…，Md）是一个满足假设2.1和2.2的过程。设d[M]T为满足假设5.1的[M]T的一致估计量，设^p为秩[M]T的任何一致估计量。LetbV为正交矩阵，其行由d[M]T的特征向量构成。如果（^J·，…，^Jd·）：=bVM，则我们定义：=span{J，…，^J^p}和bd：=span{J^p+1，…，Jd}。在上述条件下，我们得到了（cW，W）p→ 0和d（bD，d）p→ 0，作为k∏k→ 0.IfcM:=cW⊕bD然后d（cM，M）p→ 0为k∏k→ 0.此外，（5.7）[^J]T . . .  [^J^p]T（5.8）[^Ji]T 0; ^p≤ 我≤ d为k∏k→ 0.如果存在子集A，则随机集A是确定性的 RdA=B A.s.半鞅的主成分分析和随机PDE证明。回想一下（5.5）中对同病相怜的定义。根据引理5.2，我们有Φ（D）=Ker（[M]T），通过对bD的定义，我们也有Φ（bD）=Ker（D[M]T）。

因此，根据引理5.1，我们得到了（D，bD）p-→ 0.现在，注意rd=Φ（D）⊕ Φ（W）=Φ（bD）⊕Φ（cW）。因此，它源自度量d that d（cW，W）p的定义-→ 0.由于^p是整数值d一致估计量，我们假设^p=p。通过定义，我们知道h^viT，d[M]T^viTiRd≥ h^vi+1 T，d[M]T^vi+1 a.s；1.≤ 我≤ D-1.和[^Ji]T=h^viT[M]T^viTiRd a.s；1.≤ 我≤ d、 让我们写[^Ji]T- [^Ji+1]T=[^Ji]T- h^viT，d[M]T^vitrid+h^viT，d[M]T^vitrid- h^vi+1T，d[M]T^vi+1第三+h^vi+1T，d[M]T^vi+1第三- [^Ji+1]T; 1.≤ 我≤ D-1.按构造，max1≤我≤d | viT |在概率和kd[M]T上有界-[M]TkF→ 概率为0时询问∏k→ 0.此外，h^viT，d[M]T^vitrid- h^vi+1T，d[M]T^vi+1第三≥ 因此（5.7）是正确的。（5.8）的极限与之类似。一个向前的结果是下面的结果。推论5.1。假设定理5.1中的假设成立，让Y∈ M可以在{Ytr；0处离散观测到≤ R≤ n} 超过[0，T]，其中0=T<Ttn=T。然后，存在α=（α，…，αd）∈ Rd使（5.9）max0≤R≤NYtr-^pXl=1αl^Jltr-dXk=^p+1αk^JktrP→ 0，作为max1≤我≤n | tr- tr-1| → 0.证明。让我们用概率一致收敛的拓扑来讽刺X。设H是X的最小有限维子空间，其中c包含{M，…，Md；^J，…，^Jd}。让我们来看看→ Rmbe：某些m>0的ca非正则同构。我们注意到Φ实际上是一个同胚，而nH被赋予了子空间拓扑。根据定理5.1和度量d的定义，我们知道（5.10）d（M，cM）=d（Φ（M），Φ（cM））=√2d supkvkRd=1kTΦ（M）v- TΦ（cM）vkRdp→ 0as k∏k→ 0，其中TAdenotes将投影到闭合d子空间a上 然后从（5.10）出发，利用Φ是ho亚纯的事实，我们得到了α=（α，…，αd）的存在性∈ 因此Φ（Y）-^pXl=1αlΦ（^J）l) -dXk=^p+1αkΦ（^Jk）P→ 020 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B。

西马斯k∏k→ 0表示（5.9）中的断言。在定理5.1的假设下，如果Y∈ M是{Ytk；1处离散观测的s-e-mi鞅≤ K≤ n} 在[0，T]上，我们将使用公式5.1通过OLS^α：=argminα进行估计∈RdnXl=1.Ytl-^VMtl·α,回归系数为我们提供了W和D中无n-零二次变化和纯漂移分量的精确线性贡献。在这种情况下，以下线性组合^Yk:=^pXl=1^αl^Jltk+dXr=^p+1^αr^Jrtk；i=1，d、 k=0，n、 描述{Ytr；0≤ R≤ n} 转化为CW的元素⊕样本{Ytk；0上的bD≤ K≤ n} 在[0，T]中。因子spa c es（W，D）的估计为半鞅构成的高维投资组合的最优资产配置/降维提供了一个工具，这一主题将在未来的论文中进一步探讨。6.有限维不变流形的估计在本节中，我们应用前几节中发展的理论，提出了一种方法，用于估计由Form（6.1）drt的随机偏微分方程生成的与时空数据相关的有限维不变流形=A（rt）+F（rt）dt+mXj=1σj（rt）dBjt；T≥ 0; r=h∈ E、 其中A是可分Hilbert空间E上的C-半群的一个极小生成元，它被假定为绝对连续函数g:K的子空间→ 其中为了简单起见，我们使用一维空间集K=[a，b]，其中-∞ < A.≤ 十、≤ b<+∞.向量场F，σi；i=1，假设m为Lipschitz，且尺寸m是固定的。6.1. 分裂不变流形。现在让我们介绍一下与我们感兴趣的随机PDE（6.1）相关的基本几何对象。我们建议读者参考Tappe[48]对这些物体进行非常清晰的处理。定义6.1。

一家人≥E中的一个平面流形称为由有限维子空间V生成的叶理 E如果存在φ∈ C（R+；E）使得vt=φ（t）+V；T≥ 0.图φ是（Vt）t的参数化≥0.备注6.1。我们注意到（Vt）t的参数化≥0不是唯一的，但对于任何不同的参数化φ和φ，我们有φ（t）- φ（t）∈ V代表每t∈ [0，T]。在这篇文章中≥0表示由有限维子空间生成的叶理。实际上，将本节的结果推广到多维情况并不困难，其中K是Rn的紧子集。这种灵活性对于处理更复杂的时空数据（如金融工程中的波动面）非常重要。半鞅的主成分分析和随机PDE 21定义6.2。叶理≥如果对于每一个t，一个有效流形的0是不变的∈ R+和h∈ 我们有∈ Vt+t，对于所有t≥ 0}=1或r=h。上述对象引导我们得出以下定义，这是本节统计研究的主要对象。定义6.3。我们说随机PDE（6.1）有一个由有限维子空间V生成的有效实现 E如果每个h∈ dom（A）存在叶理（Vht）t≥0由带h的V生成∈ vh是不变的w.r.t（6.1）。一个带有生成器V的函数实现称为dminimal，如果由s一些子空间W生成的另一个函数实现有V W备注6.2。假设随机PDE（6.1）有一个由子空间生成的有效实现。

我们记得每小时∈ dom（A）叶理（Vht）t≥由V生成的0是唯一定义的。参见例如[Lemma 2.7[48]]。参见第4.2节，了解数学金融背景下的效率实现的简要讨论。在本文中，我们假设随机PDE数据生成过程满足以下假设。假设（A1）：随机PDE（6.1）有一个由有限维子空间生成的有效实现。现在让我们介绍一些基本算子，它们将对我们感兴趣的随机偏微分方程的基本加载因子进行编码。我们在终端时间0<T<∞, R∈ dom（A），由线性无关向量{w，…，wd}和参数φ构成的（6.1）的最小子空间生成器V∈ C（[0，T]；E）具有零二次变化[φ（u）]T=0；U∈ [a，b]。在假设（A1）下，随机偏微分方程（6.1）有一个强解。由此产生E的核性质 C（[a，b]；R），评估图τu:f7→ f（u）是一个有界线性泛函，因此，对每个点空间的随机偏微分方程的逐点评估都有很好的定义，以下表达式适用于（6.2）rt（u）=r（u）+ZtA（rs）（u）+F（rs）（u）ds+mXi=1Ztσi（rs）（u）dBis，其中我们将rt（u）：=τ设为0≤ T≤ T和u∈ [a，b]。让我们考虑以下核σt（u，v）：=mXj=1σj（rt）（u）σj（rt）（v）；0≤ T≤ T、 QT（u，v）：=[r（u，r（v）]T=ZTσs（u，v）ds，u，v∈ [a，b]。上述核诱导随机线性算子qt和σtde几乎处处由（QTf）（·）：=hQT（·），f iE定义；F∈ E.σtf（·）：=hσt（·，），f iE；F∈ E、 0≤ T≤ T.通过定义，随机线性算子qt可以写成（QTf）（u）=ZT（σsf）（u）ds；F∈ E.22 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.Simas，其中我们表示Q:=范围QT。

在本文的剩余部分中，我们用N表示最小子空间V中Q的补充子空间。根据假设（A1），我们知道（参见[48]中的2.11和（2.27）），存在一个真正的维半鞅Z=（Z，…，Zp），它实现了强解n（6.2），如下所示（6.3）rt（u）=φt（u）+dXi=1Zitwi（u）；0≤ T≤ T、 u∈ [a，b]。定义6。4.我们说（6.1）中的随机偏微分方程允许有限维实现（FDR），如果每h∈ dom（A）存在一个真正的d维半鞅Z∈ Sd，非参数化φ∈ C（[0，T]；E）和一个线性独立集{w..，wd} 实现了（6.3）。参见例[14,48,24,26]了解随机P-DE表示法（6.3）的这种有效构造的更多细节。表示法（6.3）不是唯一的，但它将作为我们的s分裂方案的基础，如下所示。首先，为了在前面的章节中应用特殊分析，我们将在随机PDE（6.1）上假设以下假设：假设（A2）：对于每个初始条件h∈ dom（A）中，存在一个实现（6.3）的因子表示，它满足假设2.2。在续集里，如果我∈ Md×dandη=（η，…，ηd）是[a，b]上的实值函数列表，然后η（x）=（η（x），ηd（x））∈ Md×1，我们设置Lη，表示Rd值函数x7→ Lη（x）。备注6.3。设rt（u）=φt（u）+Pdi=1Zitwi（u）；0≤ T≤ T、 u∈ [a，b]代表FDRof（6.1）。让我们∈ Md×dbe是一个非奇异的随机矩阵。然后（6.4）rt（x）=φt（x）+dXj=1Yjtаj（x）；0≤ T≤ T、 x∈ [a，b]式中，φ=（a）-1)w是V和Y的随机基·=AZ·∈ 除息的。实际上，我们可以把一个表达式（6.3）的QTin-ter-ms写成以下形式（6.5）（QTf）（u）=dXi，j=1hf，wiiEwj（u）[Zi，Zj]T；F∈ EU∈ [a，b]，还有下面的评论。备注6.4。

从引理2.1中，我们可以很容易地看到，在假设（A2）下，实现（6.3）（或（6.4））的任何真正的维度因子过程都将满足假设2.2。在续集中，我们需要引入新的no-tation。对于给定的Z∈ XD令人满意的假设2。1和2.2，我们表示M（Z）：=span{Z，…，Zd}，fM（Z）：=M（Z）/D（Z），其中D（Z）：=X∈M（Z）；[十] ·=0 a.s在[0，T]}上，商空间由[0，T]上的等价关系（2.5）定义。我们强调M（Z）、D（Z）和fm（Z）分别是M、D和fm，具体选择M=Z在（2.4）中定义。在实践中，我们无法观察到接受FDR的随机PDE的任何半鞅因子Z=（Z，…，Zd）。但是，对于我们的估计策略来说，根据随机矩阵[Z]T，或者更准确地说，根据Z的随机旋转的二次变化来确定对（Q，N）是非常重要的。下一步，我们回顾以下结果。引理6.1。设r为满足假设（A1-A2）并允许最小叶理Vht={φt+V}生成的aFDR的随机偏微分方程（6.1）；0≤ T≤ T，其中dim V=d，r=h。然后，我们将（6.1）表示为半鞅和随机PDE 23的主成分分析（6.6）rt=φT+pXi=1Yitаi+dXj=p+1Yjtаj；0≤ T≤ T、 其中Y是W（Y）=span{Y，…，Yp}，d（Y）=span{Yp+1，…，Yd}和V=Q处的真正d维半鞅Y⊕ N、 其中Q=span{~n，…，~np}和N=span{~np+1，…，~nd}。证据通过假设，存在满足假设2.2的真d维半鞅Z=（Z，…，Zd）和V的基w={wi}di=1，使得RT=φt+dXi=1；0≤ T≤ 从（6.5）开始，我们有Q V a.s，因此我们将考虑随机算子QT限制为V，如下QT：Ohm ×V→ 五、

此外，从（6.5）我们很容易看到线性算子qt的随机矩阵由{[Zi，Zj]T；1给出≤ i、 j≤ d} 对于潜在半鞅表示Z和V的基w的任意对（Z，w）。通过lemma2.1，我们得到了dim Q=dimfM（Z）a.s.Le tY={Y，…，Yd}b是一个真正的d维半鞅，使得{Y，…，Yp}是w（Z）的基础，{Yp+1，…，Yd}是d（Z）的基础，其中p=dim Q。然后span{Y，…，Yd}=M（Z）和Y满足假设2.1和2.2。让我：M（Z）→ M（Z）是由基fr从Z到Y的变化给出的线性同构。如果ZY={aij；1≤ i、 j≤ d} 是I的矩阵，那么我们将写出（6.7）rt=φt+dXi=1Yit~nI；0≤ T≤ T、 式中φj:=Pdi=1aijwi；1.≤ J≤ d、 通过根据基{~nj}dj=1写入qt，并使用（6.7），我们清楚地看到Q=span{~n，…，νp}。通过取N=span{φp+1，…，φd}，我们得出结论（6.6）。引理6.1的主要信息如下。当随机偏微分方程被投影到Q（N）上时，相关的潜在因子是非零二次变量（有界变量）半鞅。我们注意到，FDR（6.6）的形式已经在Bjork andLand\'en[14]和Filipovic and Teichmann[26]的HJM模型中推导出来。引理6.1通过分离负载因子为V提供了一个明确的拆分，负载因子从其互补子空间N中生成Q，该子空间N分别与相关空间W（Y）和D（Y）相连。综合以上结果，我们得出以下识别结果。提议6.1。设r为满足假设（A1-A2）的随机偏微分方程（6.1）。为了一个礼物∈ dom（A），设Vht=φt+V；0≤ T≤ T是一些V产生的最小叶理，例如R=h∈ Vh。Letrt=φt+dXi=1Zitηi；0≤ T≤ T、 是因子半鞅表示，其中V=span{η，…，ηd}和Z满足假设2。1和2.2。

让我们∈ Md×dbe是一个非奇异的随机矩阵。设φ（x）=（A）-1)η（x）；十、≥ 0和Yt=AZt；0≤ T≤ T让我：Ohm → Md×dbe随机矩阵，其行由i=vi给出；1.≤ 我≤ 其中{v，…，vd}是与理论特征值q相关的[Y]t的正交本征向量集≥ Q≥ . . . ≥ qda。s、 然后（6.8）Q=spann（L k），（L）poa。s、 N=spann（L k）p+1，（L~n）doa。s、 24 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASand（6.9）W（Y）=spann（Y），（LY）po，N（Y）=spann（LY）p+1，（LY）做。证据这是命题5.1引理6.1和恒等式hztη（x）iRd=hAZt（a）的直接结果-1)η（x）iRd=hLAZt，L（A）-1)η（x）iRd，0≤ T≤ T、 x≥ 由于随机m矩阵L的o正交性。6.2. 因子模型的初步研究。本节的目标是描述成对（Q，N）的估计方法，该方法为形式（6.1）的随机偏微分方程生成不变叶理。该方法将受到计量经济学文献（参见[47]、[8]、[9]、[31]）中开发的所谓因子分析的启发，但有一些基本区别：（a）与经典的离散因子分析不同，我们在时间和空间上的离散点上高频使用潜在的连续时间过程样本。（b） 由于高频设置中的随机变量和协方差之间存在相当明显的行为，因此无法通过应用因子分析中的标准技术来识别空间（Q，N）。（c） 更重要的是，这里介绍的因子分析允许我们在四次变异而非协方差（包括有界变异分量）中减少和排序潜在的半鞅因子。在本节中，假设（A1-A2）是有效的。

我们还假设底层的s状态空间E是绝对连续函数f:[a，b]的Sobolev空间→ R使得kfke:=|f（a）|+Zba |f′（x）|u（dx）<∞式中，u是绝对连续的w.r.t勒贝格测度（见e.g[24]），我们写h·，·iEto表示相关的内积。为了简化说明，我们使用函数f（a）=0形成的函数的闭子空间，并设置dudx=1。有点滥用符号，我们用E来表示它。我们将用一个d维子空间V生成的最小不变叶理Vt=φt+V，该子空间V配有一个基{λ，…，λd}和一个真正的d维半鞅（Z，…，Zd），满足假设2.2，使得（6.10）rt=φt+dXj=1Zjtλj；0≤ T≤ T.在本节中，我们在高频设置中工作如下。为了缩短表示法，时间（tni）`ni=1和空间（xNj）`Nj=1中的分割点将分别用ti=tni和xj=xNj表示，我们设置ρ（n）：=sup1≤我≤\'n-1 | ti+1- ti |和δ（N）：=s up1≤J≤\'N-1 | xj+1- xj |。我们假设时间和空间上的采样间隔相等，距离相等。为了精确起见，我们处理的是一系列重新定义的分区，我们总是假设ρ（n）→ 0，δ（N）→ 0，n→ ∞,\'N→ ∞ 作为n，n→ ∞, 其中n和n都会进入实体。我们假设观测是由一个时空过程（6.11）Xt（x）：=rt（x）+εt（x）产生的；0≤ T≤ T、 x∈ [a，b]其中ε表示满足某些规则性条件的spa ce时间误差分量。在本节中，我们假设可以对曲线x7进行采样→ Xt（x）在时间上处于高频。例如，术语结构对象（如插值远期利率曲线）就是此类数据的示例。

西。g[38]和其中的其他参考文献。特别地，在假设（A1-A2）下，观测值的（`n×`n）-矩阵Xti（xj）允许半鞅和随机PDE 25（6.12）Xti（xj）=φti（xj）+dXk=1Zktiλk（xj）+εti（xj）的主成分分析，对于i=1，n和j=1，N.在本节中，我们假设观察者知道φ，并且稍微滥用了符号，我们用X表示差异X-φ. 在矩阵表示法中，weshall writeX=Z∧+ E、 Xi=∧Zi+Ei；1.≤ 我≤ 其中∧：={λj（xi）；1≤ 我≤\'N，1≤ J≤ d} ，X:={Xti（xj）；1≤ 我≤ \'n，1≤ J≤\'N}，Z:={Zjti；1≤ 我≤\'n，1≤ J≤ d} a和E:={εti（xj）；1≤ 我≤ \'n，1≤ J≤\'N}.6.3。估计潜在维度。显然，第一步是估计有限维实现的潜在维度。但这几乎是BAI和Ng的直接应用[8]。实际上，我们感兴趣的是解决以下优化问题（对于largen，N）min∧k，Y（k）ρ（N）δ（N）`nXi=1`NXj=1Xti（xj）- hgk（xj），Yti（k）iRk,其中最小值取列为∧k=（g，…，gk）的实矩阵集∈ M′N×k；Y（k）=（Y（1），Y（k））∈ M′n×k，受δ（n）∧约束k∧k=Ikorρ（n）Y（k） Y（k）=Ik（单位为Mk×k的单位矩阵）。这里gi:=（gi（x），gi（x\'N））和Y（i）：=（Y（i），Yt\'n（一））一个人≤ 我≤ k、 索引k对估计过程中k因子的分配进行编码。备注6.5。为了避免维数灾难问题，我们假设k<min{n，\'n}和n，n→ ∞ 共同的。因子估计器定义如下。让^Y（k）∈ M′n×kbe由^Yti，j（k）定义的随机矩阵：=ρ（n）-1/2yjti；1.≤ J≤ k、 一,≤ 我≤ \'n其第j列yj:=（yjt，…，yjt\'n）∈ M’n×1是与XX的第j大特征值相关联的特征向量∈ M\'n×\'n受ρ（n）^Y影响（k） ^Y（k）=Ik。

荷载系数估值器由∧k:=ρ（n）X给出^Y（k）在续集中，我们表示v（k，^Y（k））：=min∧kρ（n）δ（n）\'nXi=1\'NXj=1Xti（xj）- hgk（xj），^Yti（k）iRk.V的基本维数的估计过程是由Bai和Ng[8]引起的。他们提出了一个形式为（6.13）pc（k）：=V（k，^Y（k））+kq（n，n）的信息集，用于合适的惩罚函数q（n，n）。可以证明，即使在高频设置中，只要以下假设成立，根据[8]中包含的想法仍然可以进行dim V的估计。Bai、Ng[8]和Bai[9]提出了以下假设，但前提是在离散时间采样的连续时间设置中。为了完整起见，我们把它们列在这里。在续集中，HQI是q-可积连续B-罗年半鞅的空间。（D1）Zj∈ H对于每个j=1，d和26 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASρ（n）`nXi=1ZtiZ钛→ ∑Z：=hZi，ZjiL（[0，T]；R）1.≤i、 j≤作为n的可能性→ ∞ 和∑Zis a d×d正有限矩阵a.s（D2）supj≥1kλ（xj）kRd<∞ 和δ（N）`NXj=1λ（xj）λ（xj）-Zbaλ（x） λ（x）dx(2)→ 0asδ（N）→ 0 . 此外，∑λ：=Rbaλ（x） λ（x）dx是一个d×d-正有限矩阵。（D3）误差过程ε满足假设：oEεti（xj）=0，E supi，j|εti（xj）|<∞o 如果γN（ti，tj）：=Ehεti，εtjiR′Nδ（N），那么supiγN（ti，ti）<∞ 和ρ（n）P′ni，j=1 |γn（ti，tj）|在n，n中有界≥1δ（N）P′Nl,m=1supi | Eεti（xm）εti（xl)| < ∞.o 苏普恩≥1δ（N）ρ（N）P′ni，j=1P′Nl,m | Eεti（xl)εtj（xm）|<∞.o Eδ1/2（N）P′Nl=1[εti（xl)εtj（x）l) - Eεti（x）l)εtj（x）l)].o err或ε和因子Z是相互独立的。（D4）支持，支持pρ（n）δ（n）\'nXi=1\'NXj=1Ztiεti（xj）εts（xj）- E[εti（xj）εts（xj）Rd<∞再见pρ（n）δ（n）\'nXi=1\'NXj=1Ztiλ（xj）εti（xj）(2)< ∞备注6.6。假设秩∑Z=das不强。

实际上，由于∑zi是一个Gramian矩阵，那么如果Z不满足（D1），那么我们将在不丢失信息的情况下减少有效维数。更重要的是，我们强调，（D1）意味着因子满足假设2.1，但它并不意味着[Z]是满秩a.s.∑λ是正定义矩阵的事实相当于{λ，…λd}与配备有L（[a，b]；R）-内积的状态空间E线性无关的事实。与通常的因子分析（参见[8,9]）不同，我们强调∑Zis是随机的。在这种情况下，在q（n，n），（6.14）^d:=argmin1的一些温和生长条件下≤K≤kmaxP C（k）将是dim V的一个一致估计，其中kmax是一个任意整数，如that d≤ kmax。这一陈述的证据将受到白和吴[8]以及白[9]给出的论点的启发。一方面，与[8]和[9]相比，我们的渐近矩阵∑Zis random和采样应该是高频的。另一方面，假设D1允许我们在不产生显著额外影响的情况下证明类似的结果。为了完整性，我们在这里给出了详细信息。在续集中，我们注意到CNN:=min{δ（N）-1/2，ρ（n）-1/2}由于我们使用函数f的子空间∈ 使得f（a）=0，那么h·，·iLis确实是E上的内积。半鞅和随机PDE 27γN（t）的主成分分析l, ti）：=δ（N）Ehεtl, εtiiRNθN（tl, ti）：=δ（N）hεtl, εtiiRN- γN（t）l, ti）ξN（t）l, ti）：=Zti∧εtlδ（N）；ηN（t）l, ti）：=ZTlΛεtiδ（N）为1≤ 我l ≤ “n.引理6.2。如果s区（D1-D2-D3-D4）保持不变，则（A）ρ（n）P¨nl=1^Ytl（d） γN（t）l, ti）=OP（ρ（n）-1/2CnN）（b）ρ（n）P′nl=1^Ytl（d） θN（t）l, ti）=OP（δ（N）-1/2CnN）（c）ρ（n）P′nl=1^Ytl（d） ξN（t）l, ti）=OP（δ（N）1/2）（d）ρ（N）P\'-Nl=1^Ytl（d） ηN（t）l, ti）=OP（δ（N）-1/2CnN）。证据设Ln，Nbe为ρ（n）δ（n）XX特征值的对角矩阵按递减顺序排列。

从（D1-D2-D3-D4）可以很容易地检查kρ（n）δ（n）XXk（2）=OP（1）和亨切克伦，Nk（2）=OP（1）。在这种情况下，在[9]中引理A1的证明中，同样的ar gument g允许我们陈述（6.15）CnNρ（n）`nXi=1k^Yti（d）- HdZtikRd= OP（1），其中Hd:=δ（N）∧λZ^Y（d）ρ（n）L-1n，N∈ Md×d.假设（D1-D2-D3-D4）和（6.15）允许我们重复[9]中引理A2的证明中给出的相同论点，从而得出结论，该陈述成立。我们省略了细节。Bai和Ng[8]在引理A3中（在离散时间模型和确定性∑Z的c上下文中）阐明了下一个结果，但没有完整的证明。为了完整起见，我们在上下文中给出了细节。引理6.3。设Ln，Nbe为ρ（n）δ（n）XX特征值的对角矩阵按降序排列。如果假设（D1-D2-D3-D4）成立→ C:=diag（C，…，cd）作为n，n→ ∞, 其中（c，…，cd）是∑∧∑Z的特征值（降序）。我们密切关注[9]中命题1的证明中包含的观点。根据定义，ρ（n）δ（n）XX^Y（d）=^Y（d）Ln，Na。因此δ（N）∧Λ1/2ρ（n）Zρ（n）δ（n）XX^Y（d）=δ（N）∧∧1/2ρ（n）Z^Y（d）从恒等式X=Z∧+ E、 实际上我们有δ（N）∧Λ1/2ρ（n）ZZδ（N）∧ΛZ^Y（d）ρ（n）+ snN=δ（N）∧∧1/2(6.16)·ρ（n）Z^Y（d）N，N，N:=δ（N）∧Λ1/2ρ（n）ZZρ（n）δ（n）∧E^Y（d）+ρ（n）δ（n）ZE∧Z^Y（d）ρ（n）（6.17）28 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMAS+ρ（n）δ（n）ZEE由于引理6.2，^Y（d）ρ（n）]=oP（1）。让联合国：=δ（N）∧Λ1/2ρ（n）ZZδ（N）∧Λ1/2andEn，N:=δ（N）∧∧1/2ρ（n）Z^Y（d）.我们将（6.16）写成如下[Un，N+sn，NEn，NE+N，N]En，N=En，NLn，nw这里E+N，Nis是En，N的伪逆。然后，En，Nis的每一列都是Nn，N+sn，NEn，NE+N，N的特征向量。因为En，NE+N，N=OP（1），然后（6.17）和假设（D1，D2）yieldkUn，N+sn，NEn，NE+N，N，N- ∑1/2λ∑Z∑1/2λk（2）p→ 0as n，n→ ∞.

通过特征值的连续性，我们得到了kLn，N- Ck（2）p→ 0表示n，n→ ∞.由于∑1/2λ∑Z∑1/2λ和∑∑∑Z具有相同的随机特征值，我们总结了证明。引理6.4。假设假设假设（D1-D2-D3-D4）成立，∑λ∑Z的特征值∈ 几乎可以肯定。然后，对于每j=1，d、 存在一个随机向量（G1j，…，Gdj），使得‘nXl=1pρ（n）ytl铁岭组l, . . . ,\'-nXl=1pρ（n）y^dtl铁岭组l!P→G1j，Gdj作为n，n→ ∞. 此外，矩阵G:=（Gij）1≤i、 j≤不可逆a.s，由G=C1/2Φ给出Σ-1/2λ和Φ是与受Φ约束的C相关的特征向量矩阵Φ=艾达。s、 证据。利用引理6.3，即使在∑Zis随机的情况下，也证明了Bai[9]中命题1的正确性。我们建议读者参考[9]第162页中的讨论。我们现在可以给出以下结果。引理6.5。让我们假设假设（D1，D2，D3，D4）成立，让^d=arg min1≤K≤Kmac（k）。假设∑∧∑Z的特征值∈ 几乎可以肯定。然后，林恩→∞P[^d=d]=1如果（i）q（N，N）→ 0和（ii）CnNq（N，T）→ ∞ 作为n，n→ ∞ 其中CnN=min{δ（N）-1/2，ρ（n）-1/2}.证据Bai和Ng[8]中orem 1的证明中给出的相同论点适用于我们的上下文。特别是，Bai和Ng[8]中的引理2、3和4可以在我们的上下文中通过假设（D1、D2、D3、D4）和∑∑∑Zha是不同的特征值a.s这一事实得到类似的证明。特别是，∑Zis不确定性这一事实对于[8]在我们的上下文中给出的引理2、3和4的类似结果的有效性不是必不可少的，只要秩∑Z=d a.s（假设D1）。特别是对于k<d，让我们定义Jk:=^Y（k） Zρ（n）∧λδ（N）∈ 在我们的上下文中，[8]中的引理3可以写成如下：存在τk>0a.s，使得lim infn，N→∞V（k，ZJk）- V（d，Z）=tr（Rk.∑λ）=：τkin概率，其中Rk:=∑Z- ∑ZHk（H）k∑ZHk）-1小时k∑Zand Hk:=limn，N→∞根据EMMA 6.4的规定。

按结构等级Hk=k<d a.s.假设（D1-D2）通过写入P C（k）产生tr（Rk.∑λ）>0 a.s-pc（d）=V（k，^Y（k））- V（d，^Y（d））- （d）-k） q（n，n）和分裂v（k，^Y（k））- V（d，^Y（d））=[V（k，^Y（k））- V（k，ZJk）]+[V（k，ZJk）- 半鞅与随机PDE 29+[V（d，ZJd）]的主成分分析- V（d，^Y（d））]，我们将在[8]中证明Th 1的过程中使用相同的论点来得出结论→∞P{pc（k）<pc（d）}=0，对于每个k<d。如果kmax≥ K≥ d、 然后类似于[8]中的引理4，假设（D1，D2，D3，D4）和∑∧∑Z的特征值∈ Md×yieldV（k，^Y（k））- V（d，^Y（d））=OP（C）-2nN）。其余的证明与[8]中Th 1的证明相同，因此我们省略了细节。6.4. 主要结果。现在让我们介绍一下本节的主要结果。以下假设列表也将在本节中生效。（Q1）∑∧∑Z的特征值∈ 我敢肯定。（Q2）我们有一个假设ρ（n）X1≤l<s≤“n|ykt”lykts |对于每k的概率是有界的∈ {1，…，d}。（Q3）ρ（n）X1≤l<s≤“nyktlyktshεtl, λriRNδ（N）hεts，λjiRNδ（N）p→ 0as n，n→ ∞ 对于each k，r，j∈ {1，…，d}。（Q4）存在一个自然数序列{γ（n）；n≥ 1} 衰变为零，使得e `nXi=1kεtikRNδ（N）=O（γ（N））。（Q5）sup0≤T≤TkεtkEis bo unded in probability and for each i∈ {1，…，d}，ρ（n）X1≤l<s≤“是的lyits | kεtlkEkεtskEp→ 0as n→ ∞.备注6.7。假设（Q1）对我们的估计过程至关重要，因为它会产生一个渐近Y∈ xD和V的随机基，这将允许我们为分裂V=Q构造一对一致的估计量（^Q，^N）⊕ 不变流形V的N。技术条件（Q2、Q3、Q5）并不强，因为它们对X的特征向量施加了非常温和的增长条件十、

对于随机偏微分方程生成的时空数据中产生的误差结构，假设（Q4）是很自然的。例如，就HJM模型的一致性问题（见第4.2节）而言，假设（Q4）意味着用于插值产生X的点的初始拟合方法不会导致市场的三次波动。换句话说，（Q4）排除了纯鞅结构。30 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.Simash（Q，N）估计的起点是利用恒等式（6.8）和（6.9），基于由符号Y构造的二次变异矩阵[Y]t∈ XD满足假设2.1和2.2。我们定义这样的过程如下：设Z为（6.1）满足假设（A2）和（D1-D2-D3-D4-Q1）的因子表示，设G为引理6.4中定义的关联矩阵。由于G是非奇异的a.s，∑λ是正定义，那么随机矩阵matrixA=C-1G∑λ=（Aij）1≤i、 j≤D∈ Md×dgiven by（6.18）Aij=dXk=1c-1igkzbaλk（x）λj（x）dx；1.≤ i、 j≤ d、 是非单数a。s、 然后我们将使用备注6.3来说明AZ∈ XD是一个真正的d维过程，它是一个实现（6.4）基础（加载因子）（a）的因子测量过程-1)λ.根据备注6.4，AZ满足假设2.1和2.2。在续集中，对于（6.1）的给定因子表示Z，满足假设（A2）和引理6.4中的假设，我们设置Y=AZ。Letc[Y]T:=（^m）lk） 一,≤l,K≤^和[Y]T:=（m）lk） 一,≤l,K≤d分别由（6.19）^m给出的矩阵lk:=n-1Xi=1^Yti+1，l（^d）-^Yti，l（^d）^Yti+1，k（^d）-^Yti，k（^d）,一个人≤ l, K≤^d和msv:=[Ys，Yv]T；1.≤ s、 五≤ d、 我们强调∈ XD具有定义2.1意义上的质量变化矩阵。提议6.2。如果假设（D1、D2、D3、D4）和（Q1、Q2、Q3、Q4）成立，则kc[Y]T- [Y]Tk（2）p→ 0as n，n→ ∞.证据

首先，通过将n，n取得足够大，假设（D1，D2，D3，D4，Q1）允许我们使用引理6.5，我们假设^d=d，因为^d是一个整数值一致性估计量。在这个问题中，如果P是一个实值过程，那么我们写提示：=Pti+1- Pti；1.≤ 我≤ N- 1.通过使用^Y（d）的定义，我们实际上可以写出^Yti（d）=HdZti+L-1nNρ（n）`nXl=1^Ytl（d）γN（t）l, ti）+θN（t）l, ti）+ξN（t）l, ti）+ηN（t）l, （ti）=: HdZti+^Rti（n，n），其中Hd:=L-1nN^Y（d） Zρ（n）∧λδ（N）和lni是ρ（N）δ（N）XX特征值的对角矩阵按降序排列（见引理6.3））。为了缩短符号，我们设置^Wti:=HDztianad~nN（tl, ti）：=γN（tl, ti）+θN（t）l, ti）+ξN（t）l, ti）+ηN（t）l, ti）1分钟≤ 我l ≤ ’n.在续集中，l = 1.d我们表示OP；（r），l)（ξn）任何概率为O（ξn）的随机变量，C是一个常数，它可以从一行到另一行变化，让我们表示由W:=（^wsq）给出的d×d矩阵，其中^wsq:=\'n-1Xi=1^Wti（s）^Wti（q）对于s，q=1，d、 我们声称，半鞅和随机PDE 31（6.20）dXm的主成分分析=1′n-1Xi=1^Rmti（n，n）P→ 0和（6.21）vec（~W）p→ 向量（[Y]T）作为n，n→ ∞, re-vec是常用的矢量化算子。设LnN=diag（γ，…，γ′n）。首先d） ij=pρ（n）δ（n）dXk=1\'-nXl=1γ-1是的lZktlNXm=1λk（xm）λj（xm）; 1.≤ i、 j≤ d、 通过引理6.3，我们知道Ln，Np→ 将（c，…，cd）诊断为n，n→ ∞, 其中（c，…，cd）是∑∧∑Z的奇异值。引理6.4产生^wsq=dXj=1dXr=1（Hd） qj（H）d） 高级-1Xi=1ZjtiZrtip→dXj=1dXr=1dXk=1dXm=1hλk，λjiL（[a，b]；R）c-1qGqkhλm，λriL（[a，b]；R）c-1sGsm[Zj，Zr]T=[Ys，Yq]T；1.≤ s、 q≤ d、 作为n，n→ ∞. 这表明（6.21）成立。不用担心^Yti，l（d）^Yti，k（d）=^Wti（k）^Wti(l) + ^Wti（k）^Rlti（n，n）（6.22+^Rkti（n，n）^Wti(l) + ^Rkti（n，n）^Rlti（n，n）；1.≤ Kl ≤ d、 我们只需要检查（6.20）就可以得出证据。

设^Sti（n，n）：=Ln，n^Rti（n，n）∈ Md×1。根据引理6.3，我们知道kL-1n，Nk（2）=OP（1），所以我们只需要检查（6.23）dXm=1’n-1Xi=1^Smti（n，n）P→ 0表示n，n→ ∞.首先，每k∈ 我们将写下-1Xi=1^Skti（n，n）= ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(i~nN（t）l, ti））+2ρ（n）`n-1Xi=1X1≤l<s≤“nyktli~nN（t）l, ti）yktsi~nN（ts，ti）=:T（N，N）+T（N，N）（6.24），其中i~nN（t）l, ti）：=аN（t）l, （ti）-~nN（t）l, 钛-1); 1.≤ 我≤ \'n-1, 1 ≤ l ≤ ’n.我们把论点分为两个步骤。T（n，n）的分析。证明32 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASρ（n）n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|h(iγN（t）l, ti+(iθN（tl, ti+(ξN（t）l, ti+(iηN（t）l, ti）i=每k的OP（ρ（n））∈ {1，…，d}。在fa-ct中，Cauchy-Schwartz不等式的一个简单应用和l=1 | yktl|= 1得出以下估计值（6.25）ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iγN（t）l, ti））≤ ρ（n）E’NXm=1sups |εts（xm）|δ（n）’n-1Xi=1\'-NXk=1|εti（xk）|δ（N），ρ（N）`N-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iθN（t）l, ti））≤ 2ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iγN（t）l, ti）！1/2×ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 |δ（N）εTlεtiyktl|!1/2+ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iγN（t）l, ti）+（δ（N）εTlεti）,（6.26）（6.27）ρ（n）`n-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iξN（t）l, ti））≤ Cρ（n）suptkεtkR′nδ（n）dXr=1′n-1Xi=1|Zrti | kλrkR′Nδ（N）（6.28）ρ（N）’N-1Xi=1英寸l=1 | yktl|(iηN（t）l, ti））≤ Cρ（n）`n-1Xi=1kεtikR\'Nδ（N）dXr=1supt | Zrt | kλrkR\'Nδ（N）估计值（6.25）、（6.26）、（6.27）和（6.28）允许我们得出结论，T（N，N）=OP（ρ（N））。T（n，n）的分析。交叉项的估计更为复杂。让我们根据条件来拆分T（n，n）iγN（t）l, ti），iθN（t）l, ti），iξN（t）l, ti）和iηN（t）l, ti）如下所示。简而言之，在后半部分中，我们表示J（k，n）=ρ（n）P1≤l<s≤“n|ykt”lykts |。

Cauchy-Schwartz不等式和常规代数运算产生以下e估计ρ（n）`n-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liγN（t）l, ti）yktsiξN（ts，ti）|≤ CJ（k，n）suptkεtkR′Nδ（N）1/2“（E s uptkεtkR’Nδ（N））’N-1Xi=1pXr=1|Zrti | kλrkR\'Nδ（N）#1/2“\'N-1Xi=1EkεtikR\'Nδ（N）#1/2，ρ（N）\'N-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liξN（t）l, ti）yktsiηN（ts，ti）|≤ CJ（k，n）pXr，q=1OP；（r，q）（1）×n-1Xi=1kεtikR\'Nδ（N）#1/2，ρ（N）\'N-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liθN（t）l, ti）yktsiξN（ts，ti）|≤ CJ（k，n）pXr=1OP；半鞅和随机PDE 33×’n的r（1）suptkεkR’n主成分分析-1Xi=1|Zrti|n-1Xi=1kεtikR′Nδ（N）！1/2.我们还将写出ρ（n）`n-1Xi=1X1≤l<s≤“nyktliθN（t）l, ti）yktsiξN（ts，ti）=pXr，j=1OP；（r，j）（1）ρ（n）X1≤l<s≤“nyktlykts×hεtl, λriR′Nδ（N）hεts，λjiR′Nδ（N）和ρ（N）’N-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liγN（t）l, ti）yktsiγN（ts，ti）|≤ J（k，n）OP（1）－n-1Xi=1EkεtikR\'Nδ（N），ρ（N）\'N-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liγN（t）l, ti）yktsiηN（ts，ti）|≤ CJ（k，n）–n-1Xi=1kεtikR′Nδ（N）！1/2，ρ（n）`n-1Xi=1X1≤l<s≤“n|ykt”liηN（t）l, ti）yktsiηN（ts，ti）|≤ CJ（k，n）pXq，r=1OP；（q，r）’n-1Xi=1kεtikR′Nδ（N）！。T（n，n）中的余项是一个对数项。综上所述，我们得出结论T（n，n）→ 概率为0的n，n→ ∞. 根据恒等式（6.22）、（6.23）、（6.24）和（6.20），我们得出结论。下一步是分析如下定义的荷载系数估值器的收敛性。让∧:= ρ（n）^Y（^d）X∈ M^d×Nand^^i（x）：=pρ（n）\'nXk=1yitkXtk（x），ξk（x）：=（（A）-1)λ（x））k对于a≤ 十、≤ b、 一,≤ 我≤^d，1≤ K≤ d、 自从∈ Md×dis非奇异a.s，则{ξ（ω，·），…，ξd（ω，·）}是几乎所有ω的V的基础∈ Ohm. 更重要的是，rt=φt+dXk=1Yktξk；0≤ T≤ T.其中Y=AZ∈ 除息的。提议6.3。如果假设（D1、D2、D3、D4、Q1、Q5）成立，则^dXj=1k^j- ξjkEp→ 0as n，n→ ∞.34阿尔贝托·奥哈希和亚历山大·B·西马斯普洛夫。让我们来看看∈ {1，…，d}。由于^d是d的整数值d一致估计量，那么我们应该假设^d=d。

在（D1，D2，D3，D4，Q1）下，{ξi；1≤ 我≤ d} 是一个定义良好的V型随机基。根据定义，i（x）=pρ（n）\'nXk=1yitkXtk（x）=dXm=1\'-nXk=1pρ（n）yitkZmtkλm（x）+nXk=1pρ（n）yitkεtk（x）=:R1，i（x）+R2，i（x），x∈ [a，b]。让我们回顾一下，对于任何f∈ E、 我们可以计算Sobolev范数如下kf kE=sup∏Psj∈Π|f（sj）|sj<∞ 其中sup接管[a，b]的所有分区∏。更多详情参见[33]中的1.45号提案。如果∏＝{sj}Mj=1是[a，b]的一个划分，那么xsj∈Π|R2，i（sj）|sj=Xsj∈∏nXk=1ρ（n）| yitk||εtk（sj）|sj+2ρ（n）X1≤k<m≤\'\'nyitkyitmXsj∈Πεtk（sj）sjεtm（sj）sj=：I1，i+I2，iSinceρ（n）^Y（d） ^Y（d）=艾达。s、 然后（Q5）产生| I1，i |≤\'-nXl=1ρ（n）|yitl|kεtl柯≤ sup0≤T≤TkεtkEρ（n）p→ 0as n→ ∞. 柯西-施瓦茨不等式与（Q5）收益率| I2，i |≤ 2ρ（n）X1≤l<s≤“是的lyits | kεtlkEkεtskEp→ 0as n→ ∞. 从引理6.4，我们知道)-1=A，因此（A）-1)= G.由于{λ，…，λd} E、 那么我们显然有kR1，i（·）- ξi（·）kEp→ 0作为n→ ∞. 证据到此结束。在续集中，^p是基于X的di m Q的任何一致估计量。详情见附录。让我来∈ M^d×^dbe矩阵，其行由^Li给出：=^vi；1.≤ 我≤^d，w这里{^v，…，^v^d}是与有序本征值^θ相关联的ma trixc[Y]T（见（6.19））的正交本征向量集≥^θ≥ . . . ≥^θd.让我们定义（6.29）^Zjti:=^L^Yti的第j个分量；0≤ 我≤ \'n，1≤ J≤^dand[^Zj]T:=\'nXi=1^Zjti-^Zjti-1.在样本上0=t<t<…<t’n=t。根据定义，[^Zj]T=^θj；1.≤ J≤^d.现在我们能够展示本文的主要结果。在此之前，我们需要一个线性代数的元素引理。半鞅和随机PDE的主成分分析35引理6.6。让我们，VDE是实希尔伯特空间h中的一组d线性无关向量，其内积h·，·IH和V=span{V，…，vd}。让T:V→ V是一个正交矩阵。如果τ。

，τdis v，…，的Gram-S chmidt正交归一化，VDW和w，WD是T v的G-S chmidTorTorMalization，那么我们有wi=Tτi；i=1，D证据proo f随后只需观察每个v的情况∈ 五、 kT vkH=kvkH，对于每个u∈ 我们有T（P rojvu）=P rojT V（tu），其中P rojvu=vhu，viH/kvkH。定理6.1。设r为满足假设（A1-A2）的随机偏微分方程（6.1）。假设存在满足假设（A2）和（D1、D2、D3、D4、Q1、Q2、Q3、Q4、Q5）的因子表示。对于给定的h∈ dom（A），设Vht=φt+V；0≤ T≤ T是V生成的最小叶理，使得r=h∈ Vhand we setbN:=spann（^L^^^^^^p+1，（^L^^~n）^dobQ:=spann（^L^~n），（^L^~n）^po。那么，V=Q⊕nas和max{d（bN，N），d（bQ，Q）}p→ 0表示n，n→ ∞.此外，（6.30）[^Z]T≥ . . . ≥ [^Z^p]Ta。s、 [^Zi]T 0，^p+1≤ 我≤^d为n，n→ ∞,和^dXj=1^θjp→ kQTk（2）作为n，n→ ∞.证据根据假设（A1-A2），我们将得到一对（Z，λ），它实现了t（x）=φt（x）+dXj=1Zjtλj（x）=φt（x）+dXj=1Yjtξj（x）；0≤ T≤ 其中V=span{λ，…，λd}=span{ξ，…，ξd}，Z是满足假设（A2）和（D1，D2，D3，D4），（Q1，Q2，Q3，Q4，Q5）的连续半鞅。这里，我们设置Y=AZ和ξ（x）=（A）-1)λ（x），其中A由（6.4）给出。根据备注6.4，Y也满足了假设（A2）。为了缩短符号，我们将Gram-Schmidt正交化缩写为GSO。LeteN=sp an{（bLξ）bp+1，…（bLξ）bd}，andeQ=span{（bLξ），…，（bLξ）bp}。遵循定理5.1证明中的相同行，并注意到（见备注6.4）Φ（eN）=Ker（[bY]T）和Φ（N）=Ker（[Y]T），我们得到（6.31）d（eN，N）p-→ 0和d（等式，Q）p-→ 0，作为n，n→ ∞. 利用三角形的线质量，我们得到了（bN，N）≤ d（bN，eN）+d（eN，N），从方程（6.31）中，足以证明d（bN，eN）p-→ 0.作为n，n→ ∞.36 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASLet{B~n。

和{ξ，…，ξd}如命题6.3所示。设n和n足够大，使得tbp=p和bd=d。设{τ，…，τd}和{bτ，…，bτd}分别是{ξ，…，ξd}和{b，…，bd}的GSO。引理6.6允许我们说明，{bLτ，…，bLτd}是{bLξ，…，bLξd}的GSO，{bLbτ，…，bLbτd}是{bLb，…，bLbd}的GSO。从正交标准化过程中，对于每个k≤ d、 我们有span{bLbа，…，bLbаk}=span{bLbτ，…，bLbτk}和span{bLξ，…，bLξk}=span{bLτ，…，bLτk}。因此，bN=span{bLbτ，…，bLbτp}和N=span{bLτ，…，bLτp}。因此，因为Φ是等距的，所以我们有D（bN，eN）=D（bN，eN）=1-dXi，j（h（bL^τ）i，（bL^τ）ji）a.s.让我们处理括号内的量，并让我们介绍一些符号：用{^aij}表示f^L的矩阵，即对于任何向量v∈ Rd，（bLv）i:=Xj^aijvj。注意，由于转换bl是正交的，我们有xk^aik^ajk=δija。s、 从命题6.3中，我们可以看到h^τi，τjip→ δijas n，n→ ∞. 由于Cebl是o正交矩阵，且正交矩阵集是紧的，所以集{ai，j}在n和n上一致有界，因此Xk6=p^aik^ajph^τk，τpiP→ 0，以及Xk^aik^ajk（h^τk，τki- 1)P→ 0as n，n→ ∞.因此Xk，p^aik^ajph^τk，τpi- δij=Xk，p^aik^ajph^τk，τpi-Xk^aik^ajk≤Xk^aik^ajk（h^τk，τki- 1)+Xk6=p^aik^ajph^τk，τpiP→ 0，作为n，n→ ∞, 这意味着dXi，j（h（bLbτ）i，（bLτ）ji）=dXi，jXk，p^aik^ajph^τk，τpiP→ 1，半鞅和随机偏微分方程的主成分分析，然后是d（bN，eN）p-→ 0as n，n→ ∞. 陈述的证据limn，N→∞d（bQ，Q）=0的概率由定理5.1的假设得出。现在让我们检查一下订单（6.30）。让^θ≥ 1.≥^θ^da。自伴非负矩阵的特征值在a.s.阶递减范围内。

根据定义，^θi=[^Zi]T；1.≤ 我≤^d a.smore，足够大的n，n的特征值是矩阵项的连续函数，^p=p和^d=df。然后，max^p+1≤我≤^d^θip→ 例如→ ∞. 这表明（6.30）成立。最后，通过定义，随机算子QT:V的矩阵→ 沿{ξ，…，ξd}基计算的V由{[Yi，Yj]T；1给出≤ i、 j≤ d}∈因此，kQTk（2）=k[Y]Tk（2）a.s.位置6.2 yieldskc[Y]Tk（2）=^dXj=1^θj=^dXj=1[^Zj]Tp→ kQTk（2）作为n，n→ ∞. 证据到此结束。7.模拟研究和应用在本节中，我们给出了一些数值结果来说明本文开发的方法。7.1. 半鞅PCA。在本节中，我们将说明基于高频采样的有限维半鞅系统的因子空间（W，D）的估计。特别是，目标是阐明命题3.1。在下面的模拟中，我们假设观察到一个4维半鞅，如下所示：我们考虑一个由三维布朗运动B=（B，B，B）和向量场u：R驱动的马尔可夫微分→ 兰德σ：R→ M4×3由u（x，…，x）=（x，-2x+x，x，-x） σ（x，…，x）=1 0 x0 1 00 0 x0 0 x我们可以很容易地检查W={B，B，RMdB}，因为M是一个真正的四维se半鞅，那么M=W⊕ D，其中dim D=1。观测时间被认为是等距的：tnk=2πn-1k；k=0，N- 1其中观察总数为n=2000。图1中的估计因子按二次变化进行排序（见定理5.1），我们清楚地观察到，^jidentifie是一个空的二次变化因子，它产生D。

由pr inc ipal分量解释的二次变化如表1所示，其中ηi=Pij=1^θjPr=1^θr，1≤ 我≤ 4和^θ是与第i个估计主成分^Ji相关的i-估计特征值。38 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASTable 1。由主成分解释的二次变化^ηηηηη0.7523 0.9021 0.9996 1.000001 2 3 4 5 6-2.2 MtMM1M2M3M40的示例实现-估计因子J^tJ^J^1J^2J^3J^4的样本实现图1。估算W和D7的基准。2.方差与二次方差。在本节中，我们的目标是说明，任何试图实现标准因子模型以减少二次变量的维数的天真尝试都是没有希望的。为此，我们考虑了两个非常简单的时空二维半鞅，它们由一个B罗文运动B.Xt=Btλ（x）驱动+sin（15吨）- 英国电信λ（x）Ut=Btλ（x）+罪（3t）- 英国电信λ（x），其中B是一维布朗运动，λ（x）=xcos（x）和λ（x）=cos（x）- xsin（x）；0≤十、≤ 5, 0 ≤ T≤ 2π. 在续集中，漂移分量用Γt=sin（15t），Γt=sin（3t）表示，我们设置H=（B，Γ-B） H=（B，Γ）-B） 。设M（H）和M（H）分别是由H生成的动态空间。我们显然有m（H）=span{B}⊕ span{Γ}，M（H）=span{B}⊕ span{Γ}这里，在时间变量中，观测时间是等距的：tkn=2πn-1k；k=0，N-1其中o观测的总数为n=2000。在空间变量中，观测时间取等距：xnk=n-1k；k=0，N-1其中，观察总数为n=31。基于方差的高频因子模型提供的估计因子对将是半鞅和随机PDE的主成分分析，表示为（by，by）。这里，BY是领先因素分量方差的估计量。

基于二次变量的高频因子模型提供的估计因子对将用（bZ，bZ）表示。这里，Bzi是二次变化的主导因素成分（见（6.29））。在图3中，我们清楚地看到，基于二阶矩的因子分析无法识别（B，Γ）。主成分估计因子代表具有较大方差的有界变化过程，第二个估计因子实质上是第一个被布朗路径扭曲的因子，其方式是绝对无法识别真实对（B，Γ）。在强烈对比中，图3清楚地报告了e估计对（bZ，bZ）识别了对（B，Γ）。我们强调，在这个二维环境中，真实因子可以估计为乘法常数，因此图2和图3中给出的结果显示了使用我们的方法对M（H）的非常一致的估计。更重要的是，根据二次变化对正确的分割和排序进行了合理的估计。这个数值例子说明，即使在上面X给出的非常简单的时空半鞅模型中，基于波动率方差（二次方差）的因子分析也没有任何可靠的基础。图4显示了l U模式的结果。在这个数值实验中，我们的目标是通过使用标准因子模型来解释方差，说明具有大方差的零二次变异因子可能是主要成分。在图4中，我们通过很好地估计负责U的二次变异子空间的布朗分量B，通过很好地估计负责U的零四次变异子空间的有界变异分量Γ得出结论。

然而，时空半鞅U的正确主导成分是布朗运动，而不是Γ。这个简单的例子表明，就四次变异而言，使用标准因子模型对差异较大的组件进行优先级排序可能会非常复杂。这表明基于变量的经典降维方法不能准确地对半鞅系统进行降维。0 1 2 3 4 5 6-2 Y^1和Y^2tY^1、Y^2Y^1Y^2的样本路径实现-2 Z^1和Z^2tZ^1、Z^2Z^1Z^2图2的示例路径实现。X.7.3的估计系数。从SPDE估算最终尺寸实现。在这里，我们用时空半鞅模型的一些应用来说明我们的方法。第一个例子是基于阿马科夫的差异40阿尔贝托·奥哈希和亚历山大·B·西马斯0 1 2 3 4 5 6-2 Y^1，Z^1和BtY^1，Z^1的样本路径实现，通过^1Z^1 2-2 Y^2、Z^2和Γ1tY^2、Z^2、Γ1Y^2Z^2的样本路径实现图3。图中估算因子的比较？？0 1 2 3 4 5 6-2 Y^1，Z^1和BtY^1，Z^1的样本路径实现，通过^1Z^1 2-2 Y^2、Z^2和Γ2tY^2、Z^2、Γ2Y^2Z^2的样本路径实现图4。空二次变量分量的标准因子分析的具体说明，作为方差Mt=u（Mt）dt+σ（Mt）Dbt的主要se鞅分量，由三维布朗运动B=（B，B，B）和向量场u：R驱动→ 兰德σ：R→ M4×3由u（x，…，x）=（x，-2x+x，x，-x） σ（x。

，x）=100x00x00x000半鞅和随机偏微分方程的主成分分析，其中，（7.1）rt=Xi=1Mitλi，λ=x cos（x），λ=cos（x）-x sin（x），λ（x）=-2罪（x）-x cos（x）和λ（x）=x sin（x）-3 co s（x）。在这种情况下，W=span{M，M，M}，D=s pan{M}，Q=span{λ，λ，λ}，N=span{λ}。图5显示了通过使用基于方差的因子模型^和本文中开发的PCA半鞅^Z，方程（7.1）的估计因子。显然，基于方差的因子模型不能识别子空间D（因此也不能识别N），而PCA半鞅不能识别子空间D。此外，表2给出了^λk:=Pkj=1^mjj/Pj=1^mjj，其中^mjj是矩阵[Y]T的（j，j）-th元素（见（6.19））。表3给出了PCA半鞅通过^ηi=Pij=1^θjPr=1^θr，1解释的变化≤ 我≤ 4式中，θi是与第i个估计主分量^Zi相关的第i个估计特征值。我们可以清楚地看到，在识别二次变异维度时，使用PCA s emimatigale比方差因子模型更有效。0 1 2 3 4 5 6-2 Y^1 Y^10的示例实现4-3 Z^1tZ^10的示例实现-2 Y^2 Y^2的示例实现-3 Z^2tZ^20的示例实现1 2 3 4 5 6-3 Y^3tY^30的示例实现2-1 2 Z^3tZ^30的示例实现2 3 4 5 60.0 2.0 Y^4tY^40的示例实现2 3 4 5 60.0 2.5 Z^4tZ^4的示例实现图5。流形之间的时空半鞅（7.1）动态距离的估计因子现在让我们研究我们的方法在估计随机偏微分方程的最小不变流形（例如V）时的鲁棒性。为此，我们考虑以下对象：Let^V=bQ⊕bN是基于整个样本{（ti，xj）的V的估计量；0≤ 我≤ \'n，0≤ J≤\'N}。

让我们来看看-kbe是在简化样本{（ti，xj）；1=0，…，n上计算的sa me估计量- k、 j=0，\'N}其中1≤ K≤~K和~K是一个较小的固定整数42 ALBERTO OHASHI和ALEXANDRE B.SIMASTable 2。由主成分解释的二次变量：基于变量的事实r模型^λ^λ^λ^λ^λ0.4795 0.6912 0.9886 1.00001表3。由主成分解释的二次变化：PCA半鞅^η^η^η^η^η^η^η0.7805 0.9794 0.9998 1.0000than’n。为了计算流形之间的距离D，我们对索波列夫内积h·，·iEhf，gia使用以下近似值：=\'NXi=1f（xj）- f（xj）-1)g（xj）- g（xj）-1)xj- xj-1.f、 g∈ E.详见[33]中的1.45号提案。基于h·、·iE的这种近似，我们用gram-Schmidt算法对^V和^V进行了正交化-k、 然后我们使用（5.4）来计算h·，·ia。对于k=1，…，我们重复上述程序，其中K是一个小于n的预加肋整数。其思想是计算（7.2）d（^V，^V）-k） )；k=5,10,15,20，25 0.在有限维入侵流形存在的情况下，k 7→ d（^V，^V）-k） 必须为空，作为n，n→ ∞.为了说明Theorem 6.1的不变性，我们考虑以下随机PDE（7.3）drt=A（rt）+αHJM（rt）dt+Xi=1λidBit。其中挥发率曲线为λ=x cos（x），λ=cos（x）- x sin（x），λ（x）=-2罪（x）- x cos（x）和λ（x）=x sin（x）- 3 cos（x），r=0，A=ddxis是右移位半群（St）t的最小生成器≥0由行动St（x）定义：=（t+x）。我们将α=α设为cla ssicalHeath Jarrow Morton漂移（见Heath等人[32]）。

我们可以很容易地检查，该HJM模型采用了公式DZT=-Ztdt+dBtdZt=(-2Zt+Zt）dt+dBtdZt=（Zt）- Zt）dt+dBtdZt=-ztdta和参数化φt（x）=-（x sin（x）+cos（x））+（（x+t）sin（x+t）+cos（x+t））-λ（x）+λ（x+t）-λ（x）+λ（x+t），在这个例子中，半鞅和随机PDE 43rt=φt+Xi=1Zitλ的主成分分析是（7.3）的强解。我们计算了模型（7.3）的（7.2），表明它在0和2.5×10之间波动-8所以我们不想在本节中报道这个数值实验。比这更有趣的是在有噪音的情况下说明（7.2）。为此，我们考虑了观测过程Xt（x）=rt（x）+εt（x），其中εt（x）=√utsin（πx）对于每一个t都是一个标准的高斯变量≥ 0，使得UTI独立于USS 6=t。图6说明了噪声的存在可能导致对随机PDE的有限维不变流形的存在进行错误分析（7.3）。随着后向滞后的增加，流形之间的距离也随着稳定期的缩短而增加。0 50 100 150 200 2500.05 0.10 0.15歧管之间的距离向后滞后距离图6。动态距离（7.2）：有噪声的有限维实现。4.对真实数据集的应用。在本节中，我们将通过一个实际数据集的应用来说明本文的理论结果。我们考虑了英国央行（Bankof England）获得的英国名义现货曲线，其期限为5至25年（50个期限），每日数据范围为2005年5月27日至2007年10月9日，总计601个观察值。我们假设数据中有一个明确的结构，例如SPDE数据生成过程的有限维实现。第一项任务是估计一个有效流形的基本维度。