因此，我们认为长记忆方法比其他方法更有用，这些方法依赖于设置大量结构断点来解释观测到的符号序列的自相关特性。值得注意的是，我们的结果并不排除顺序符号序列同时包含长记忆和结构中断的可能性。事实上，这些效应的共同存在有助于解释不同市场中观察到的行为之间的差异。根据我们的发现，外汇现货市场的日内订单流量表现出长期记忆。任何可能的结构断裂似乎都没有什么影响。相比之下，在股票市场，每天相对较低的订单到达数量使得对长记忆的精确经验评估更加困难，结构性中断似乎对订单流的明显长记忆特性有更大的影响。结构断裂和真正的长记忆可能在所有金融市场中共存，而且这些影响的相对重要性对于不同的资产是不同的。7结论在本文中，我们研究了FX现货市场订单流量的长记忆性。由于我们研究的平台上的活动水平极高，并且与此主题的其他实证研究相比，我们能够研究日内序列的长记忆特性，而无需收集不同交易日的数据。对于这三种货币对中的每一种，在我们研究的每一个交易日，我们都发现两种货币的符号和离开序列都表现出长记忆，赫斯特指数为h≈ 0.7.

我们还发现了较短滞后时间的负自相关，我们推测这是由外汇现货市场的大量参与者造成的。我们对跨越日边界的数据的所有结果与对日内数据的结果相似，我们强烈反对关于顺序流的明显长记忆是由结构断裂引起的伪影的假设。因此，我们得出结论，长记忆是热点外汇订单的一种稳健统计特性，它持续存在于每日边界。我们还提出了几个可能的原因，说明我们的发现与Axioglou和Skouras为伦敦经济学院报告的结果不同[2]。对其他市场数据的进一步实证研究将有助于进一步阐明这些问题，因此是未来研究的重要课题。最后，我们注意到，顺序流中存在长记忆，这提出了一个有趣的问题，称为“效率悖论”[24]：如果顺序流显示出长记忆，那么返回序列如何不可预测？到目前为止，有两个主要假设。一些作者[13,14]认为，市场处于一个“自组织临界点”，在这个临界点上，流动性接受者会产生长期自相关，从而准确地平衡流动性提供者造成的长期负相关。其他人[24,41]认为，订单流量的可预测性是由可用流动性的负相关性决定的。

目前，对于哪种方法最能描述真实市场的时间演化，还没有明确的共识，对这个问题的进一步实证和理论研究仍然是未来研究的重要和令人兴奋的途径。长记忆在本附录中，我们提供了长记忆过程的详细描述。有关这些主题的进一步讨论，请参见[6]。A.1自相关和长记忆从第2.1节中调用，二阶平稳时间序列{Wt}=W，W。对于ACFρ（k）（见等式（4））被认为表现出长记忆iflimN→∞NXk=-N |ρ（k）|=∞. （11） 时间序列表现出长记忆的一种方式是存在常数α∈ （0，1）使得ρ（k）作为k的幂渐近衰减：ρ（k）~ K-αL（k），k→ ∞, （12） 其中L是一个缓慢变化的函数[17,41,42]。较小的α值对应于{Wt}[12,41]中长程自相关的较慢衰减。A.2重新标度的范围StatisticLetWk=kt+kXj=t+1Wj。（13） 如果limk→∞L（zk）/L（k）=1表示所有z>0。重新缩放的范围统计量[51]是比率q（t，k）=R（t，k）S（t，k），（14），其中，对于t，k∈ Z> 对我来说∈ {1，2，…，k}，R（t，k）=max1≤我≤Kt+iXj=t+1Wj- 工作- min1≤我≤Kt+iXj=t+1Wj- 工作（15） 和（t，k）=kt+kXj=t+1Wj- 工作. （16） 重标度范围统计量Q测量时间序列{W，W，…}偏差部分和的范围根据其平均值，通过估计其标准偏差重新调整比例[44]。A.3 Hurst指数Mandelbrot[47]的以下定理提供了atime序列的长程自相关与其重标范围统计量之间的关系。定理A.1。

如果{Wt}是一个二阶平稳过程，那么Wtisergodic和t-HPti=1wi弱收敛于一个以参数H为t的分数布朗运动→ ∞, 然后-HQ（t，k）d-→ ηas k→ ∞, （17） 其中η是一个非退化随机变量，d-→ 表示收敛或不分布。常数H被称为{Wt}[6,36,49,50,51,52]的赫斯特指数。赫斯特指数为H=1/2的时间序列是一个短记忆过程。对于满足该定理条件的长记忆过程，H与方程（12）中的α相关，H=1-α（18）和方程（35）中的β，由h=β+1。（19） 分数布朗运动[48]是具有0漂移的高斯过程BH（t），满足BH（0）=0和E[BH（t）BH（s）]=|t | 2H+| s | 2H- |T- s | 2H有一段时间∈ (0, 1).B长记忆的经验评估在许多经验情况下，通常只观察到{Wt}的一个有限长的实现{w，w，…，wN}。如果{Wt}的统计特性未知，那么从{w，w，…，wN}估计{Wt}的长记忆特性将带来相当大的挑战[5,6,53]。大多数实证研究都采用启发式方法来完成这项任务。这类技术在经验观测序列上的性能差异很大，因此经验研究通常会评估几种启发式方法的输出，而不是依赖于单个估计器。在本附录中，我们详细描述了本文中使用的技术。有关这些技术的进一步讨论和比较，请参见[62]。B.1样本自相关函数对于经验观测的时间序列{w，w，…，wN}，letw=NNXi=1wi（20）表示样本平均值，let^γ（k）=NN-|k | Xi=1wi+| k|- W（wi）- w） （21）表示样本自协方差函数，让^ρ（k）=^γ（k）^γ（0）（22）表示样本ACF。

从^ρ估计ρ（k）的大k衰减非常困难，因此从^γ直接估计{Wt}的长记忆特性通常会产生非常糟糕的结果[41]。B.2给定区块编号B的重新缩放范围图∈ N、 letG（k）=t=N（i）- 1） B+1 | i=1，Bt+k≤ N. （23）重新缩放的范围图（也称为pox图）[49、51、64]是r（k）=| G（k）| Xt的图∈G（k）Q（t，k）（24）对双对数轴上的k，其中| G（k）|表示G（k）中元素的数量。k的大值的重新缩放范围图的斜率提供了赫斯特指数H的粗略估计[51]。B.3 Lo的修正重标极差统计[44]指出，如果时间序列{Wt}具有短期自相关，则重标极差统计Q（t，k）的分母s（t，k）不是{Wt}标准偏差的一致估计量。因此，使用重标度范围统计量来评估经验观测时间序列{w，w，…，wN}的长记忆特性的一个重要困难是，Q的有限样本特性对短期依赖性不是不变的。为了解决这个问题，Lo建议用Newey–West估计器[57]代替Q的分母，该估计器将{Wt}中的短期依赖性降低到指定的滞后Q<N。参数Q称为带宽参数。Lo的修正重标范围统计量[44]是Q（Q）=R（1，N）^σ（Q），（25），其中^σ（Q）=（s（1，N），如果Q=0，s（1，N）+2Pqi=11.-智商+1^γ（i），否则。（26）给定Q（Q），统计量v（Q）=Q（Q）√N（27）可以作为假设testH:{Wt}是一个短记忆过程，H:{Wt}是一个长记忆过程的检验统计量。这种假设检验被称为Lo的修正重标度范围检验[44]。在limitN→ ∞, 在5%显著水平下，测试的渐近临界区域约为[0.809,1.862]。Teverovsky等人。

[64]指出，尽管Lo修改的重新缩放范围统计比原始的重新缩放范围统计有显著改进，但Lo的测试可能无法拒绝长记忆时间序列的HF。此外，他们指出，测试的大小和功率都取决于q。q（q）和V（q）的最佳选择取决于{Wt}[1]的光谱密度F的行为。如果f未知（通常是经验观测序列的情况），则没有选择q的通用规则。因此，在经验应用中，通常使用几个不同的q选择来计算q（q）和V（q），和/或通过假设f等于特定参数过程的谱密度来计算所谓的插件估计器^q[1,2,44]。Andrews[1]导出了几种不同参数过程（包括自回归、移动平均和ARMA模型）的插件估计器。对于q的合适选择，Newey和West[57]表明，对于{Wt}的标准偏差，即使{Wt}受到短期自相关的影响，^σ（q）也是一致的估计。在我们的计算中，我们使用AR（1）processWt=φWt的插件估计器-1+εt，（28）式中φ∈ R为自相关参数，ε为不相关高斯噪声。这个估计由[1,44]^q给出=3N1/3^φ1 -^φ!2/3, （29）式中，^φ是φ给定{w，w，…，wN}的最大似然估计，bxc表示小于或等于x的最大整数。B.4去趋势波动分析去趋势波动分析（DFA）[58]是一种从经验观测序列{w，w，…，wN}估计赫斯特指数的技术。让*i=iXj=1wi，i=1，2，N.（30）对于给定的窗长m∈ N以至于≤ N，除以{w*, W*, . . . , W*N} 进入长度为m的非重叠窗口，每个j∈ {1, 2, . . .

，bN/mc}，将窗口j中的数据点标记为y1，j，y2，j，ym，j，执行普通最小二乘回归，将直线拟合到窗口中的m个数据点，并让^yi，jdenote表示每个点yi，jn处回归线的值∈ {1,2，…，m}。对于每个窗口，计算去渲染的标准偏差Fj（m）=VuTmmxi=1（yi，j- ^yi，j），（31），然后计算长度-m平均去趋势标准偏差f（m）=bN/mcbN/mcXj=1Fj（m）。（32）对窗口长度的几个对数间隔选择重复此过程，并使用双对数轴绘制F（m）与m。确定最小值m，确保所有m的绘图都近似为直线≥ 嗯。H的DFA估计值由m的最佳拟合线的斜率给出≥ 嗯。B.5对数周期图回归{Wt}的长记忆特性也可以通过其光谱密度[6]f（λ）=2π的行为来表征∞Xk=-∞γ（k）e-极限λ内的ikλ（33）→ 0.如果存在常数l∈ R使得f（λ）→ l为λ→ 0，（34）那么{Wt}是一个短的内存进程。相反，如果存在一个常数β∈ （0，1）使得f（λ）~ λ-βasλ→ 0，（35）那么{Wt}是一个很长的内存过程。较大的β值对应于{Wt}[6]中长程自相关的缓慢衰减。估计f（λ）接近0的行为提供了另一种估计赫斯特指数H的方法。设λj，N=2πjN，j∈1, 2, . . . ,N- 1.（36）表示{w，w，…，wN}和letI（λj，N）=2πN的傅里叶频率NXt=1（重量- w） e-它λj，N（37）表示相应的周期图。

对于小λj，log（I（λj，N））到log（λj，N）的普通最小二乘回归的斜率是-β、 因此它是H[6,41,62]的估计量。尽管对数周期图回归具有计算简单的吸引力，但它也有一个实质性的实际缺陷[6]：没有通用的规则来选择用于进行回归的傅里叶频率数c。方程（34）和（35）中的标度仅适用于λ→ 0，选择过大的c会导致较大的偏差，但选择过小的c会导致较大的差异。Robinson[60]推导了一个最佳选择c的表达式，以最小化估计的累积特殊分布函数的均方误差，但最佳选择取决于未知的H值。因此，Robinson的表达式没有提供为经验观测时间序列选择c的方法。相反，大多数临时研究使用两条经验法则中的一条：c=√N[26]或c=0.1×（N/2）[62]。

尽管这些规则被广泛使用，但它们都不是基于严格的推导或优化。C长记忆与非平稳性评估经验观测时间序列的长记忆性的关键困难在于，许多估计技术可以为非平稳序列（例如，具有单调趋势的序列[8]或均值变化的序列[27,31]）产生类似的输出，就像它们对具有长记忆的平稳序列[59,62,71]产生的输出一样。因此，几位作者认为，金融时间序列实证研究报告的明显长记忆是由非平稳性引起的伪影[2,7,43,56]。解开长记忆时间序列和非平稳时间序列的统计特性是一项困难的任务，选择使用长记忆模型还是非平稳模型对这类时间序列建模通常取决于所需的应用。长记忆模型是一种省钱、易于模拟的模型，而且有许多技术只需要轻微的假设就可以从数据中估计其参数[6]。非平稳模型可以阐明长记忆模型无法解决的基础系列的重要特征（如结构断裂的位置和频率），但它们通常需要包含大量参数（可能导致过度拟合）或最新参数（很难从数据中估计）。对于经验观测序列中的非平稳性，许多标准测试在存在长记忆的情况下具有较低的功效[21,34]，并且没有通用测试能够确定经验观测时间序列的明显长记忆特性是否是由一些未知的非平稳性形式引起的伪影[31]。然而，Berkes等人。

[7] 开发了一个假说专家，可以帮助区分长记忆和一种特殊类型的非平稳性，他们称之为结构突变。定义。时间序列{Zt}是一个短程相关序列，在时间r处具有结构突变*如果存在实值二阶平稳短记忆过程{ζt}和常数u*6=0，因此zt=ζt，t≤ R*,u*+ ζt，t>r*.（38）给定时间序列{Zt}的有限长度经验观测{z，z，…，zN}，Berkes的变化点检验是假设检验H:{Zt}是一个具有一个结构突变的短记忆过程，H:{Zt}是一个长记忆过程。伯克斯的测试使用了所谓的累积和变化点估计器[7]^r*= 最小（r:max1）≤J≤NjXi=1zi-jNNXi=1zi=rXi=1zi-rNNXi=1zi). （39）对于给定的q<N，letT（1）=σ（1）（q）√^r*max1≤我≤^r*iXj=1zj-i^r*^r*Xj=1zj,T（2）=σ（2）（q）√N- ^r*马克斯*≤我≤NNXj=^r*zj-我- ^r*N- ^r*NXj=^r*zj,式中，^σ（1）（q）和^σ（2）（q）是{z，z，…，z^r的方程（26）中的^σ（q）的值*} 和{z^r*+1，z^r*+2.zN}系列。Berkes检验的检验统计量isM=maxnT（1），T（2）o.（40）在极限N内→ ∞, 在1%显著水平下，M的渐近临界值约为1.72[7]。感谢Julius Bonat、Jean-Philippe Bouchaud、Rama Cont、J.Doyne Farmer、Austin Gerig、Ben Hambly和Gabriele La Spada进行了有益的讨论。Wethank Hotspot FX为该项目提供数据。我们还感谢TerryLyons、Rich Plummer Powell和Justin Sharp提供的技术支持。MDGand SH感谢牛津曼定量金融研究所、MDGthanks EPSRC和James S.McDonnell基金会对这项研究的支持。参考文献[1]D.W.K.安德鲁斯。异方差和自相关一致协方差矩阵估计。《计量经济学》，59:817–85811991。[2] C.Axioglou和S.Skouras。

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