继Eberlein，Glau，Papapantoleon（2010）之后，该框架中HTC的特征函数为：φp=（T，v，κ，θ，σ，σ，σ，ρ，ρ，ρ）（z）=exp不是吗rr, Z经验vσ（a）-c） （1）- 经验(-cT）1- g经验(- cT）+κθσ（a）-c） T- 2原木1.-g经验(-cT）1- G,（4.16）具有辅助功能，ζ=ζ（z）=-ZσρσσρσσσZ+σσ, 伊兹-σz+σz+2ρσz+iσz+iσz,a=a（z）=κ- 我是σz- iρσz，c=c（z）=qa（z）- σζ（z），g=g（z）=a（z）- c（z）a（z）+c（z），（4.17）和正参数v，κ，θ和σ填充Feller条件（4.18）σ≤ 2κθ，确保几乎肯定的非负波动过程（vt）t≥0.显然，foreach z∈ （4.16）的特征函数φp=（T，v，κ，θ，σ，σ，σ，ρ，ρ，ρ）（z）在vandθ中是解析的。让我们另外提到，Levendorskii（2012年，第2.3节，引理2.1）已经对单变量Heston模型进行了分析。5.数值实验我们将切比雪夫插值方法应用于参数期权定价，考虑到不同知名期权定价模型中的各种期权类型。此外，我们还进行了err或分析以及收敛性研究。第一个重点是通过合理数量的切比雪夫插值点可以实现的精度。当切比雪夫点的数量增加时，后者证实了第3节推导的理论收敛顺序。最后，我们研究了所选多变量选项的效率增益。我们通过比较衍生价格和参考方法得出的价格来衡量切比雪夫方法的数值精度。我们使用参考方法不仅计算参考价格，还计算价格（k，…，kD）和（k，…，kD）∈ J在切比雪夫系数cj的预计算阶段，J∈ J、 在（2.9）中。

因此，切比雪夫价格和参考价格之间保持了可比性。我们对具有两个参数的应用实现了切比雪夫方法。在这个程度上，我们从（3.2）中选取两个自由参数pi，piout，1≤ 我<我≤ D、 在每个模型设置中，将所有其他参数固定为合理的常量值。然后，我们在离散参数gridP上评估不同产品的定价 [pi，pi]×由p=n定义的[pi，pi]pkii，pkii, 基，基∈ {0，…，100}o，pkijij=pij+kij皮杰- 皮杰, 基吉∈ {0，…，100}，j∈ {1, 2}.（5.1）一旦价格从p上导出，我们计算离散L∞（P） d L（P）误差测量值εL∞（N） =maxp∈P价格- IN（价格（·））（p）,εL（N）=vUtPXp∈P价格- IN（价格（·））（p）,（5.2）在哪里P=（π）-圆周率-pi），以解释我们的实施和切比雪夫方法的准确性。5.1欧式期权我们首先考虑一项资产的普通欧式看涨期权以及欧式数字向下和向外期权。表4.1中介绍了这两种衍生物。对于这些产品，我们研究了Heston模型和Black&Scholes、Merton和theCGMY模型的切比雪夫插值方法的性能。我们保持str-ike参数不变，对于k=1，p=k=log（k）。正如前面在备注3.8中所讨论的，这不是一般性的限制。我们还将利率设定为r=0。对于三种L’evy模型，我们改变了到期日T（以年为单位）以及eyness S/K上的选项m。所有三种模型都属于推论3.8的范围，其中明确分析了误差。

因此，我们期望无固定参数参数的模型参数ppppbs K=1σ=0.2 S/K∈ [0.8,1.2]T∈ [0.5,2]默顿K=1σ=0.15，S/K∈ [0.8,1.2]T∈ [0.5, 2]α = -0.04，β=0.02，λ=3CGMY K=1 C=0.6，S/K∈ [0.8,1.2]T∈ [0.5,2]G=10，M=28，Y=1.1Heston K=1 T=2，S/K∈ [0.8,1.2]v∈ [0.1,0.4]κ=1.5，θ=0.2，σ=0.25，ρ=0.1表5.1：模型参数化和欧式看涨期权。三个L’evy模型的（次）指数收敛性。对于赫斯顿模型，我们改变S/K，并让vas作为模型参数之一。由于S/K中支付函数的傅里叶变换和v中过程的特征函数的分析性，比较第4.2.4节，我们预计Heston模型也会有这种收敛性。表5.1给出了实际选择的参数化的详细概述。对于傅里叶定价中的数值积分，我们在区间[0，∞) 绝对精度范围ε<10-14.我们要解决的第一个问题是切比雪夫多项式的精确性。我们设定N=N=10，并使用表5.1中模型的参数化预计算（2.9）中定义的切比雪夫系数，D=2。我们在D=2的参数网格上计算得到的多项式，并计算每个节点的近似欧式期权价格。作为比较，我们还通过（3.4）中相应参数化被积函数的数值积分来计算相应的傅里叶价格。图5.1显示了欧洲看涨期权的结果。N=N=N=10所获得的精度表明，在四种不同的模型中存在显著的差异，但从10到10达到了非常令人满意的误差水平-7点到10点-10.增加切比雪夫点数可以进一步提高精度。

由于切比雪夫方法的核心是由求和矩阵组成，因此这种方法几乎不需要额外的成本。在相同的参数化设置下，我们为一个欧洲数字向下和向外选项定价。尽管电话支付不是可区分的，但至少是连续的，数字支付甚至不是连续的，对比表4.1。Payoff函数平滑度的降低降低了插值P7的精度→ 价格（p）也是如此。我们再次将切比雪夫插值与1进行比较。5切比雪夫价格错误，BST0。50.8S/K×10-8-51.21.5切比雪夫价格误差，默顿0。50.8S/K×10-7-21.21.5Chebyshev价格误差，CGMYT0。50.8S/K×10-8-51.21.2切比雪夫价格误差，赫斯顿/K0。80.05v0。1×10-90.15-2图5.1：在各种模型中，行使K=1的欧洲看涨期权的绝对定价误差。我们将N=N=N=10的切比雪夫插值与经典的数值积分傅里叶定价进行了比较。已根据表5.1选择模型参数化和选项。我们观察到，在不同的模型中，所获得的精度差异很大。Black&Scholes价格的准确度顺序与CGMY案例的准确度相同。梅顿模型落后一个数量级，而赫斯顿模型显示价格与其切比雪夫方法的近似值之间存在非常强的拟合。N=N=10，通过数值积分进行经典傅里叶定价。根据表5.1再次选择了模型和选项的参数化，其中K=1表示数字选项的参数。图5.2显示了结果。将图5.1中的看涨期权定价结果与图5.2中的数字期权定价结果进行比较，我们发现，N=N=10的准确度降低了10到10倍。

这表明，在这些情况下，支付效果平滑度的降低对切比雪夫方法的准确性影响甚微。此外，我们还对同样的期权设置和模型参数化进行了经验收敛性研究。对于不稳定度N=N=N，建立切比雪夫多项式，并计算结构参数网格（5.19）上的价格。同样，傅立叶定价是一种比较。每N∈ {1，…，30}，误差度量εL∞对（5.19）中定义的离散参数gridP的（5.2）定义的εL进行了评估。我们观察到所有四个模型的指数收敛。图5.3显示了欧洲看涨期权的Decay，而图5.4显示了欧洲数字道琼斯指数n&out期权的Decay。定义ζ=T+TT-看台设置 = ζ+pζ- 1，理论收敛性分析预测了at1的图5.3和图5.4中的误差衰减斜率。5切比雪夫价格错误，BST0。50.8S/K×10-7-51.21.5切比雪夫价格误差，默顿0。50.8S/K×10-6-51.21.5Chebyshev价格误差，CGMYT0。50.8S/K×10-7-51.21.2切比雪夫价格误差，赫斯顿/K0。80.05v0。1×10-80.15-1图5.2：各种模型中K=1的欧洲数字向下和向外期权的绝对定价误差。图中的曲线图与图5.1中的曲线图相对应，图中的欧罗巴看涨期权被定价。我们再次比较了切比雪夫方法在N=N=10时的性能。所有四个价格面与相应的看涨期权价格面相比，其精度损失在一到两个数量级之间。切比雪夫N0 5 10 15 20 25 30误差-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2切比雪夫误差衰减εL∞（bs）εL2（bs）εL∞（默顿）εL2（默顿）εL∞（cgmy）εL2（cgmy）εL∞（heston）εL2（heston）图5.3:Black&Scholes、Merton、CGMY和heston模型的收敛性研究，用于表5.1中所述的参数化欧洲看涨期权p的价格。

参考价格由傅里叶定价和数值积分得出，绝对精度为10-14，对于N=N=N，所有模型都能达到≈ 25最新的。Black&Scholes、Merton和CGMY三种L’evy模型的误差衰减大致一致，扩展了图5中的发现。1.切比雪夫N0 5 10 15 20 25 30误差-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2切比雪夫误差衰减εL∞（bs）εL2（bs）εL∞（默顿）εL2（默顿）εL∞（cgmy）εL2（cgmy）εL∞（heston）εL2（heston）图5.4：Black&Scholes、Merton、CGMY和heston模型中欧洲数字下行和下行期权价格的收敛性研究，参数化如表5.1所示。该图的结果与图5.3所示的结果一致，图5.3分析了同一模型设置下欧洲看涨期权价格的误差衰减。N现在需要更高的N，因此需要更多的切比雪夫节点来达到与以前相同的精度水平。leastS=原木() ≈ -0.48或更陡。注意ζ=SK+SKSK-这将导致一个更高的目标 对于这个分析，我们将斜率与最小值进行比较与推论2.3中的值相同。根据经验，我们观察到Black&Scholes模型的斜率约为SBS=-0.64，对于斯默顿的默顿模型=-0.61，对于SCGMY的CGMY模型=-0.61. 因此，每个L’evy模型中的误差在经验上证实了备注3.8.5.2篮子和路径相关期权的理论主张。在本节中，我们使用切比雪夫方法对篮子和路径相关期权进行定价。首先，我们应用该方法插值金融产品价格的蒙特卡罗估计，并检查结果的准确性。为了实现这一目标，我们在5维Black&Scholes、Heston和Merton模型中选择了篮子、屏障和回望选项。

其次，我们将切比雪夫方法与aCrank-Nicolson有限差分解算器与Brennan-Schwartz近似（见Brennan and Schwartz（1977））相结合，对eBlack&Scholes模型中的一元美式看跌期权进行定价。在我们的蒙特卡罗模拟中，我们使用了10个样本路径、对偶变量作为方差缩减技术和每年400个时间步。蒙特卡罗方法的误差不能直接计算。因此，我们转向统计误差分析，并使用众所周知的95%置信区间来确定准确度。假设一个范数分布的蒙特卡罗估计量的均值等于估计量的值，方差等于蒙特卡罗样本上支付的emp IRIC方差，由此导出这些界。然后，置信区间会产生一个围绕平均值的范围，其中包括95%概率的真实价格。我们从（3.2）中选取两个自由参数pi，piout，1≤ 我<我≤ D、 在每个模型设置中，以合理的常量值固定所有其他参数。在本节中，我们定义了离散参数gridP [pi，pi]×[pi，pi]byP=npkii，pkii, 基，基∈ {0，…，40}o，pkijij=pij+kij皮杰- 皮杰, 基吉∈ {0，…，40}，j∈ {1,2}，（5.3）和callP测试网格。在该测试网格中，最大置信区间为0.025，非平均水平低于0.013。对于有限差分法，我们发现，在所有计算参数元组inP中，数值近似和期权价格之间的绝对误差低于0.005。通过将每个近似值与有限差近似值序列的极限值（随着网格大小的增加）进行比较，计算出该误差范围。在我们的计算中，我们使用了50·max{1，T}的时间和空间网格大小（对数货币），并将结果与使用1000·m ax{1，T}的网格大小得出的价格进行了比较。

由于与500·max{1，T}的网格大小相比几乎没有任何变化，因此该网格大小已被确定为有效的f或限制。在这里，我们主要关心的是切比雪夫插值的准确性，当我们改变每个选项的参数走向和成熟度时，类似于上一节。为了N∈ {5,10,30}我们将切比雪夫系数预先计算为D=2的内丹（2.9），其中总是N=N=N。表5.2给出了模型选择中固定参数和自由参数的概述。为了计算的简单性，在蒙特卡罗模拟中，我们假设了不相关的底层。让我们简单地定义多元篮子和路径依赖的回报。d标的物的一揽子期权的支付价格为asfK圣，SdT=ddXj=1SjT- K+.我们表示St=（St，…，Sdt），SjT:=min0≤T≤TSjtandSjT:=max0≤T≤TSjt。d底层的Alookback选项定义为FK圣，SdT=ddXj=1SjT- K+.作为d基础上的多变量障碍选项，我们定义了支付fK{S（t）}0≤T≤T=ddXj=1SjT- K+·{SjT≥80，j=1，。。。，d} 。对于美式看跌期权，支付与欧洲看跌期权fK相同圣= （K）- St）+，模型固定参数自由参数参数ppppbs Sj=100，σj=0.2 K∈ [83.33125]T∈ [0.5,2]r=0.005Heston Sj=100，κj=2，K∈ [83.33125]T∈ [0.5，2]r=0.005θj=0.2，σj=0.3，ρj=-0.5，vj，0=0.2Merton Sj=100，σj=0.2，K∈ [83.33125]T∈ [0.5,2]r=0.005αj=-表5.2：模型参数化、篮子和路径相关选项。模型参数为j=1，d用自由参数K和T反映多元设置。

请注意，与第4.2.4节中描述的二维Heston模型相比，我们在数值实验中使用了一个多元Heston模型，其中每个标的资产的波动性由其自身的波动过程驱动。但期权持有人有权在到期日之前的任何时间行使期权。模型选项εL∞MC价格MC形态绑定CI价格篮子1.338·10-18.6073 1.171 · 10-28.4735Heston篮筐9.238·10-20.0009 1.036 · 10-40.0933默顿篮9.815·10-28.8491 1.552 · 10-28.7510BS回顾2.409·10-19.4623 9.861 · 10-39.2213赫斯顿回顾5.134·10-10.0314 6.472 · 10-4-0.4820Merton Lookb ack 2.074·10-11.0919 9.568 · 10-30.8844BS屏障1.299·10-11.0587 5.092 · 10-31.1887赫斯顿屏障1.073·10-12.7670 9.137 · 10-32.6597默顿屏障9.916·10-21.3810 1.102 · 10-21.4802表5.3：采用切比雪夫插值法对奇异期权进行插值。在所有情况下，N=5，d=5。除了L∞错误该表显示了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，其中∞实现了错误。现在我们来看看数值实验的结果。为了评估切比雪夫插值的精度，我们寻找最坏情况下的误差εL∞.切比雪夫插值法的绝对误差可通过将插值期权价格与参考数值算法（即蒙特卡罗法或有限差分法）获得的价格进行比较直接计算。模型选项εL∞价格。

绑定CI priceBS篮子2.368·10-32.4543 7.493 · 10-32.4566赫斯顿篮2.134·10-33.1946 1.073 · 10-23.1925梅顿篮筐3.521·10-36.1929 2.231 · 10-26.1894BS回顾2.861·10-20.9827 4.197·10-30.9541Heston回顾1.098·10-12.0559 4.826 · 10-32.1656Merton Lookb ack 3.221·10-24.7072 1.264 · 10-24.7394BS屏障4.414·10-35.3173 1.725 · 10-25.3129赫斯顿屏障5.393·10-30.7158 5.879 · 10-30.7212默顿屏障3.376·10-39.2688 2.302 · 10-29.2722表5.4：具有切比雪夫插值的奇异期权插值。在所有情况下，N=10，d=5。除了L∞错误该表显示了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，其中∞实现了错误。模型选项εL∞MC价格MC形态绑定CI价格篮子1.452·10-35.1149 1.200 · 10-25.1163休斯顿篮1.047·10-37.6555 1.371 · 10-27.6545默顿篮3.765·10-37.2449 2.359 · 10-27.2412BS回望3.766·10-325.9007 1.032 ·10-225.9045赫斯顿回顾1.914·10-316.4972 9.754 ·10-316.4991默顿路克3.646·10-327.1018 1.623 ·10-227.1054BS屏障5.331·10-35.6029 1.730 · 10-25.6082赫斯顿屏障2.486·10-33.6997 1.353 · 10-23.6972默顿屏障4.298·10-36.6358 2.309 · 10-26.6315表5.5：具有切比雪夫插值的奇异期权插值。在所有情况下，N=30，d=5。除了L∞错误该表显示了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，其中∞实现了错误。由于切比雪夫插值与切比雪夫节点上的参考方法相匹配，我们将使用样本外测试网格，如（5.3）所示。表5.3显示了N=5时篮子和路径依赖选项的数值结果，表5.4显示了N=10时的数值结果，表5.5显示了N=30时的数值结果。

除了L∞误差表显示了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，其中∞错误被确认。结果表明，对于N=30，所有选定选项的精度均为10级-3.我们发现，切比雪夫插值误差主要由蒙特卡罗置信区间控制，在一定程度上，这使得它在两者之间的比较中可以忽略不计。对于篮筐和障碍物选项∞错误已达到10阶的满意水平-3已经是N=10了。同样，切比雪娃近似值在蒙特卡罗近似值的置信范围内。因此，只有121=（10+1）个节点的切比雪夫插值可以模拟蒙特卡罗定价结果。此语句不适用于回望选项，其中∞当比较N=10和N=30时，误差仍然显著不同。从表5.3可以看出，N=5的切比雪夫插值可能会产生不可靠的定价结果。对于赫斯顿模型中的回望期权，我们甚至在个别情况下观察到了负价格。εL中美式期权的切比雪夫定价∞FD价格CI价格5 3.731·10-31.9261 1.922410 1.636 · 10-312.0730 12.074630 3.075 · 10-36.3317 6.3286表5.6:Black&Scholes模型中具有切比雪夫插值的一维美式看跌期权的插值。除了L∞误差该表显示了这些参数的有限差（FD）价格和切比雪夫插值（CI）价格∞错误被确认。Black&Scholes模型更加精确，如表5.6所示。在这里，对于N=5，已经达到了参考方法的精度。我们的结论是，切比雪夫插值在评估多元基础和路径依赖选项方面非常有前景。

然而，插值的精度在很大程度上取决于节点处参考方法的精度，这促使我们在后续小节中进行进一步分析。5.2.1节点近似误差和插值误差的相互作用切比雪夫方法最适用于需要计算密集型定价方法的用例。然后，为了计算切比雪夫节点的价格以建立插值，切比雪夫节点的扭曲价格及其后果的问题自然会增加。切比雪夫节点上观测到的噪声价格是Pricep（k，…，kD）ε=Pricep（k，…，kD）+εp（k，…，kD），其中εp（k，…，kD）是切比雪夫节点上基础数值技术引入的近似误差。由于线性关系，重新插值的形式为（5.4）IN（Price（·）ε）（p）=IN（Price（·））（p）+IN（ε（·））（p），误差函数为（5.5）ε（p）=NDXjD=0。NXj=0cεj，。。。，jDTj，。。。，jD（p），系数cεjj表示j=（j，…，jD）∈ J由（5.6）cεJ给出=DYi=1{0<ji<Ni}NiNXk=0′\'。NDXkD=0′εp（k，…，kD）DYi=1cos季π基尼.如果εp（k，…，kD）≤对于所有切比雪夫节点p（k，…，kD），我们得到（5.7）|ε（p）|≤ 2DεDYi=1（Ni+1），因为切比雪夫多项式的边界为1。这就产生了下面的评论。备注5.1。让P 第7页→ 定理2.2给出了价格，并假设εp（k，…，kD）≤ε对于所有切比雪夫节点p（k，…，kD）。然后∈P价格- IN（价格（·）ε）（p）≤ 2D+1·V·DXi=1-2NiiDYj=11- -2j+ 2DεDYi=1（Ni+1）。（5.8）以下示例应说明备注5.1的实际后果。在推论3.8的设置中，我们设置[S/K，S/K]=[0.8,1.2]，[T，T]=[0.5,2]。这导致ζ=2.51.5=和ζ=0.4=5。

因此= 2.9∈ （1,3）和= 9.8∈ (1, 5 +√24），注释5.1 N=N=6的收益率，最大值∈P价格- IN（价格（·））（p）≤ 0.0072 + 196 · .在本例中，参考方法的精度必须达到10级-5保证订单10的整体误差-3.这表明，与参考方法的准确性相比，增加与否之间存在权衡。上面的错误界限相当保守。我们在上一节中的实验表明，这个界限高度高估了经验观察到的误差。然而，注释5.1中给出的误差范围可以通过确定足够数量的切比雪夫节点和切比雪夫节点处使用的参考方法的相应精度来保证期望的精度。对于实际实施，我们建议以下程序。对于规定的精度，Ni，i=1，D、 根据（5.8）中的第一项，通过选择Ni，i=1，D、 尽可能达到规定的精度。因此，参考方法需要达到的精度受第二项的限制。一种非常精确的参考方法，结合小Ni，i=1，D、 承诺最好的结果。考虑到这一经验法则，已经进行了下面第5.3.2节的实验。5.3效率增益的研究在上一节中，我们使用傅里叶、蒙特卡罗和有限差分作为参考定价方法，研究了切比雪夫多项式插值法的准确性。最后，我们研究了该方法与傅立叶定价以及蒙特卡罗定价相比所获得的效率增益。在第5.3.1节中，我们在配备英特尔i5处理器（2.50 GHz，缓存大小为3 MB）的标准PC上计算结果。在第5.3.2节中，我们使用了一台配备3.10 GHz Intel Xeon CPU和20 MB智能缓存的PC。

所有co-des都是用Matlab R2014a编写的。5.3.1与Fourier pricingHere的比较，我们将该方法与Fourier定价进行比较。我们选择两种资产最小的看涨期权的定价问题作为例子。基础两项资产的当前价值固定为（5.9）s=1，s=1.2。模拟下垫层（Sjt）的未来发展≥0，j∈ {1，2}，我们分别考虑两个二元模型。首先，这两项资产将由第4.2.1节的二元Black&Scholes模型驱动。二元Black&S-choles模型由协方差矩阵σ参数化∈ R2×2我们选择由（5.10）σ=0.2，σ=0.01，σ=0.25给出。在第二项效率研究中，资产变动遵循上文第4.2.4节版本中更复杂的二元赫斯顿模型，我们选择参数化（5.11）v=0.05，σ=0.15，ρ=0.01，κ=0.4963，σ=0.2，ρ=0，θ=0.2286，σ=0.1，ρ=0.02。在这两种情况下，我们都忽略了利率，因此将r=0。基准方法，即傅立叶定价，使用Matlab的quad2d例程进行评估。我们规定绝对和相对准确度至少为10-8.根据积分结果，在域上积分傅里叶被积函数Ohm = [-50,50]×[0,50]，最多可进行4000次功能评估。

我们使用傅里叶积分和切比雪夫节点上的相同精度规格，建立了基于罢工K和到期T的切比雪夫定价方法，这两个自由参数取区间（5.12）K中的值∈ [Kmin，Kmax]，Kmin=0.8，Kmax=1.2，T∈ [Tmin，Tmax]，Tmin=0.5，Tmax=2。为了进行公平比较，选择切比雪夫多项式的数量，以便切比雪夫插值价格产生的精度与基准方法的精度相匹配，从而分别为二元Black&Scholes模型和二元Heston模型得出（5.13）NBSCheby=11和NHestonCheby=23。图5.5显示了两种模型的四个ier定价和切比雪夫方法之间在整个K×T兴趣域上的绝对误差，切比雪夫插值器基于Black&Scholesmodel情况下的NBSCheby+1多项式，以及Heston模型情况下的Nbstoncheby+1多项式。为了建立效率研究，我们将计算参数元组数量增加的价格集。为此，当切比雪夫方法的o-frege阶段完成后，我们计算了98个定价曲面，即1。5切比雪夫精度，BST0。50.8K×10-8-21.21.5切比雪夫精度，赫斯顿0。50.8K×10-8-51.2图5.5：左图：在整个感兴趣的参数域上，二元Black&Scholes模型中傅里叶方法和切比雪夫插值的价格差异。模型参数化如（5.10）所示。切比雪夫插值基于NBSCheby+1=12切比雪夫多项式。右图：赫斯顿模型参数化后的相应绘图，如（5.11）所示。这里，切比雪夫插值基于NHestonCheby+1=24切比雪夫多项式。我们达到了10阶的绝对精度-8在这两种情况下，都符合基准方法傅里叶定价达到的精度。每个M∈ {3, . . .

，100}我们从ΘMdeΘnedbyΘM计算所有参数元组的价格=（KMi，TMj）KMi=Kmin+i-1米- 1（Kmax）- Kmin），TMj=Tmin+j- 1米- 1（Tmax- Tmin），1分钟≤ i、 j≤ M.（5.14）存储切比雪夫-奥菲林相位消耗的计算时间。而且，对于每一个M∈ {3，…，100}，对于两个例程、傅里叶定价方法和切比雪夫插值算法，测量并存储推导所有| M |=M价格的运行时间。图5.6描述了这些运行时测量，表5.7提供了第二个视角。在Black&Scholes模型的情况下，o-Friene阶段需要TBSo-Friene=8秒来推导所有（NBSCheby+1）=144个切比雪夫节点的期权价格。Hestonmodel要求（NHestonCheby+1）=576支持价格的stono-fregine=101秒。考虑到这一初始投资，当oêine阶段完成后仅得出很少的期权价格时，Chebyshevm方法的定价成本相当高。然而，如图5.6所示，一旦建立了C hebyshev算法，定价速度的提高最终超过了Fourier定价。根据我们的实验，我们得出结论，当要计算的价格数量分别超过（NBSCheby+1）或（NHestonCheby+1）时，切比雪夫方法已经按照总运行时间运行基准傅里叶定价。此外，表5.7突出显示，在两种模型中，对于总共50个参数元组，切比雪夫方法在（总）定价运行时间上表现出显著的减少。对于所研究的最大数量，即100个参数元组，Black&Scholes模型中的定价在我们的实现中可节省95%的RUN时间，在Heston模型中可节省90%的运行时。

事实上，切比什ev方法的在线阶段包括计算成本低廉的多项式评估和基本组装。M（Mdi不同参数对的评估）5155557595Black&Scholes看涨期权：O*ine+在线Timeourierchebyshevm（Mdi不同参数对的评估）515255555758595Heston看涨期权：O*ine+在线TimeourierchebyshevFigure 5.6：Fourier定价和acall期权的切比雪夫方法之间的定价时间比较（至少两个月）Black&Scholes模型（左）和Heston模型（右）中的资产。每M∈ {3，…，100}，描述了（5.14）定义的所有mParameterTupel的d eriv in g期权价格的运行时间。在这两种模型情况下，切比雪夫方法的计算时间都包含了一开始必须执行一次的o形阶段的持续时间。对于Black&Scholes模型，当M=NBSCheby+1=12时，以及对于Heston模型，当M=Nhstoncheby+1=24时，傅里叶曲线和切比雪夫曲线分别大致相交。BS Heston 105075100507100Tchebyonline（s）0.184.5410.2018.110.7017.5839.6669.82TChebyo fregue+online（s）8.0612.4218.0725.98101.96118.85140.92171.08t游客（s）5.34131.96301.82528.7417.60442.62991.331788.08TChebyo-orine+onlineFourier 151%9.41%5.99%4.91%579.27%26.22%14.5：双变量和黑双变量模型研究的有效性赫斯顿模型：图5.6中完整描述的结果选择。随着计算价格数量的增加，切比雪夫算法越来越适合于oêine阶段的初始投资。5.3.2与Monte Carlo Pricing的比较在本节中，我们在Heston模型中选择了一个基于5个基础的多变量回溯选项，作为示例。

对于效率研究，我们首先改变一个参数，然后改变两个参数。Heston模型中多变量回望操作的一个模型参数的变化以下参数为j=1，5 as（5.15）Sj=100，r=0.005，K=100，T=1，κj=2，θj=0.2，ρj=-0.5，vj，0=0.2。作为切比雪夫插值中的自由参数，我们选取波动系数σ=σj，j=1，5,(5.16) σ ∈ [σmin，σmax]，σmin=0.1，σmax=0.5。基准方法是蒙特卡罗定价法，同样有10个样本路径，反向变量作为方差缩减技术，每年有400个时间步。我们将此设置作为基准设置。根据第5.2.1节的讨论，为了评估节点处的价格，我们通过蒙特卡罗方法保证一个小的ε，我们将蒙特卡罗设置充实为5·10样本路径、对偶变量和每年400个时间步。在表5.8中，我们给出了基于丰富的蒙特卡罗设置的、NHestonCheby=6B的切比雪文极化的精度结果。为此，我们比较了测试网格上切比雪夫价格和恩里切德蒙特卡洛价格的绝对差异 [p，p]，p=nσk, K∈ {0，…，20}o，σk=σmin+k（σmax-σmin），k∈ {0, . . . , 20}.（5.17）测试网格上的最大观测误差为10级-2.

在同一测试网格上，基准蒙特卡罗设置的最坏情况置信限为1。644 · 10-2通过将基准蒙特卡罗价格与该测试网格上的enrichedMonte Carlo价格进行比较，最大绝对误差为7.361·10-3.因此，我们得出结论，蒙特卡罗基准设置和所提出的切比雪夫插值方法具有大致相当的精度，根据这项精度研究，我们现在来比较运行时间。我们将切比雪夫插值和NHestonCheby=6的运行时间与上述蒙特卡罗基准设置的运行时间进行比较，其中o菲林阶段基于丰富的蒙特卡罗设置。表5.9给出了相应的结果。M=1的结果已经过螺旋测量，所有其他结果都是从中推断出来的，因为对于每个参数集，必须投入相同的计算时间。该表表明，从M=50开始，切比雪夫插值速度更快。在图5.7中，我们为每个M=1，100切比雪夫插值法的运行时间，包括o菲林相位，与蒙特卡罗法进行比较。在这里，我们观察到，对于M=35，两条线相交，且εL变化∞MC价格MC形态约束CI价格σ9.970·10-318.6607 4.592 · 10-318.6707表5.8:N=6的切比雪夫插值多变量回望选项的插值基于丰富的蒙特卡罗设置，每年有5·10个样本路径、对偶变量和400个时间步。除了L∞测试网格上的错误我们还报告了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，在这些参数下∞实现了错误。

我们观察到，N=6的切比雪文插值的精度与基准蒙特卡罗拟合的精度大致相同（最坏情况置信区间为1.644·10）-2最坏情况下的误差为7.361·10-3).M>35切比雪夫插值法速度更快。与第5.3.1节相反，两条线在M=NHestonCheby+1处不相交。这反映了在切比雪夫插值的o菲林阶段，使用了具有更多样本路径的蒙特卡罗方法。5 15 25 35 45 55 65 75 85 95M×10Heston回溯选项：O frege ine+在线时间Monte CarloChebyshevFigure 5.7：在Heston模型中进行多维回溯操作的有效性研究，5个参考变量改变一个模型参数σ。蒙特卡罗定价与切比雪夫定价（包括oêine阶段）运行时间的比较。这两种方法都是为了提供相对准确度。我们观察到两条曲线在M=35时大致相交。两个模型参数的变化我们改变两个参数，我们选择ρj=ρ，j=1，5，并改变（5.18）ρ∈ [ρmin，ρmax]，ρmin=-1，ρmax=1，σ∈ [σmin，σmax]，σmin=0.1，σmax=0.5，将所有其他参数设置为设定值（5.15）。为了保证切比雪夫插值法和基准蒙特卡罗定价法之间的高可比精度，我们使用以下测试网格 [σmin，σmax]×[ρmin，ρmax]，P=nσk，ρk, k、 k∈ {0，…，20}o，σk=σmin+k（σmax- σmin），k∈ {0，…，20}，ρk=ρmin+k（ρmax- ρmin），k∈ {0, . . . , 20}.(5.19)m1 10 50 100TChebyonline(s)2.7·10-52.7·10-41.4·10-32.7·10-3切比奥松露+在线1.2·101.2·101.2·10t蒙特卡罗3.4·103.4·101.7·103.4·10t切比奥松露+在线蒙特卡罗3473。4%347.3%69.5%34.73%表5.9：基于5个基础的Heston模型中多变量回溯选项的效率研究。

这里，我们改变一个模型参数，并将切比雪夫结果与蒙特卡罗结果进行比较。这两种方法都有可比的精确度。随着计算价格数量的增加，切比雪夫算法越来越适合于初始投资阶段。变εL∞MC价格MC形态约束CI价格σ，ρ5.260·10-25.239 1.428 · 10-25.292表5.10：基于丰富的蒙特卡罗设置，每年5·10个样本路径、对偶变量和400个时间步，使用切比雪夫插值对N=6的多元回望选项进行插值。除了L∞测试网格上的错误我们还报告了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，在这些参数下∞实现了错误。我们观察到，切比雪文插值N=6的精度与基准蒙特卡洛设定的精度大致相同（最坏情况置信区间为6.783·10）-2最坏情况误差为2.791·10-2).在表5.10中，我们给出了基于丰富的蒙特卡罗设置的切比雪夫插值的精度结果，其中nhestoncheby=6。比较基准蒙特卡罗设置和该测试网格上的丰富蒙特卡罗设置，我们观察到最大绝对误差为2.791·10-2基准蒙特卡罗设置的置信范围不超过6.783·10-2.为了进行运行时比较，我们为M的不同值显示了计算MPareter Tupel价格所需的运行时。再次，对M=1的运行时间进行测量，并对M的其他值进行外推。表5.11给出了结果。在图5.8中，每M=1，100.与蒙特卡罗方法相比，本文给出了切比雪文内极化法（包括oêine相）的运行时间。

我们观察到，当M=15时，两条线相交且形式>15，切比雪夫方法的性能优于其基准。与只改变一个参数的情况相反，两条直线的交点出现在显著较低的M值处，这是因为对于每M，对M参数tupels进行定价。此外，表5.11突出显示，对于总共50个参数组，切比雪夫方法显示其（总）定价运行时间显著减少。对于我们研究的100个参数元组的最大数量，两种模型中的定价都在我们的实现中节省了97%以上的时间。虽然通过蒙特卡罗方法计算100赫斯顿价格的时间长达39天，但切比雪夫方法仅在23小时内计算相同的价格。请注意，在在线阶段，实际定价只消耗了这段时间的7秒。Heston 110100TchebyOnline（s）7.1·10-47.1·10-21.8 7.1切比奥松露+在线8.2·108.2·108.2·10t蒙特卡罗3.4·103.4·108.4·103.4·10TChebyo松露+在线Monte-Carlo24313。9%243.1%9.7%2.4%表5.11：基于5个基础的Heston模型中多变量回溯选项的效率研究。在这里，我们改变两个模型参数，并将切比雪夫结果与蒙特卡罗结果进行比较。这两种方法都有可比的精确度。随着计算价格数量的增加，切比雪夫算法越来越适合于初始投资阶段。5 15 25 35 45 55 65 75 85 95M（不同参数对的评估）-0.50.51.52.53.5×10Heston回溯选项：O*ine+在线时间Monte CarloChebyshevFigure 5.8：基于5个参考，改变两个模型参数σ和ρ的Heston模型中多变量回溯选项的有效性研究。比较MonteCarlo定价和切比雪夫定价的运行时间，包括oêine阶段。

这两种方法都是为了提供可比的精确度。我们观察到蒙特卡罗和切比雪夫曲线在M=15.6时大致相交。结论与展望本文重点介绍了切比雪夫方法在欧洲期权定价中的应用。在此范围内，第2-4节建立了理论收敛性结果，第5节中的数值案例研究证实了这些发现。此外，在傅里叶定价的实验中，精度为10-5在每个参数中观察到的切比雪夫节点少于10个，见图5.3。使用如此少量的插值节点实现高精度的财务影响是双重的。首先，它展示了我们在机器精度范围内提供精度服务的有趣案例。在这种没有方法学风险的舒适情况下，我们可以忽略以下事实：ap近似法已经实施。第二，与其他风险源相比，精确度低得多的错误已经可以忽略。如果我们同意精度为10-4是ATI的工厂，已经有36–49个插值节点。如图5.3所示，用于逼近看涨期权价格的插值节点是有效的。此外，对于美国、屏障和回望选项的数值实验也显示了令人满意的结果。非线性Pricing问题的理论误差分析超出了本文的范围，而我们相信在这方面的进一步研究是有价值的。例如，我们基于Fou-rier表示检验的分析方法可用于阻碍L’evy模型中的选项，从而导致Wiener-Hopf因子分解的参与，见Eberlein等人（2011）。总的来说，我们预计在非线性存在的情况下，规律性分析将变得更具挑战性。

对于美式期权，Teichman（2015）目前的研究可能会导致从相应的欧洲同行那里继承的美式期权的规律性主张。我们的案例研究的理论和实验结果表明，当参数变化不大时，该方法可以相当好地执行。因此，我们建议在这种情况下使用插值方法，也可以在普通选项的打击不同且快速傅里叶方法可用时使用插值方法。例如，出于校准目的，罢工不是以离散对数标度给出的，这使得应用FFT需要额外的插值。在这里，切比雪夫多项式提供了一个有吸引力的选择。特别是，到期日可以用作补充自由变量。此外，对于参数数量较少的模型，另一种方法可能是有益的：直接插值参数的目标函数。然后，优化将归结为一个张量化多项式的最小化，可以在进一步的研究中加以利用。正如Armenti等人（2015年）首次应用本文所述，这一优势也可用于其他金融优化程序，例如风险分配。插值的多元结构和理论误差分析表明，只要提供分析性，经验观测到的误差行为也会扩展到三个或更多变化的参数。更准确地说，在分析性的情况下，速率为ρ级-D√对于某些常数ρ，取决于解析性域和N插值节点的总数。对于多元多项式插值，稀疏性技术的引入可以带来更高的效率，例如Kolda和Bader（2009）评论的张量压缩技术。

我们在Gass、Glau和Mair（2015）中进一步讨论了维度诅咒的问题，在那里，我们采取了不同的路线，用傅里叶定价方法的经验插值代替切比雪夫插值。定理2.2的证明。在Sau-ter和Schwab（2004，引理7.3.3的证明）中，给出了以下误差界的证明：maxp∈PF- 在（f）中≤√D2D+1V-Nmin（1--2分钟）-D、 其中N是每个D维中的插值点的数量，min:=minDi=1iand V f在B（P，) P=[-1,1]D.在这里，我们通过加入不同的Ni值，i=1，…，来扩展这个范围，D、 以及表达与差异有关的错误i、 i=1，D.一般来说，我们处理的是一个高阶矩形结构的参数空间P，P=[P，P]×。×[pD，pD]。第二节介绍了线性变换。1我们有一个转换τP：[-1,1]D→ 带τP（P）的P=pi+pi- pi（1-p）Di=1。让我们看第7页→ Pricep是P上的一个函数。我们设置\\Pricep=Pricepo τP（P）。此外，letbIN（\\Price（·））（p）是\\Pricepon的切比雪夫插值[-1,1]D.然后它保持sin（Price（·））（p）=^IN（\\Price（·））（·）oτ-1P（p）。因此，它直接跟随价格- IN（价格（·））（p）=\\价格-仓位（\\Price（·））（·）o τ-1P（p）。应用Sauter和Schwab（2004，Lemma 7.3.3）结果的误差估计价格- 在（价格（·））（·）C（P）=价格- 在（价格（·））（·）C([-1,1]D）≤√D2D+1V-Nmin（1--2分钟）-D=√D2D+1V-Nmin（1--2分钟）-D、 其中bv=supp∈B([-1,1]D，)\\价格，V=supp∈B（P，)普莱斯。总之，转换τP：[- 1,1]D→ P仅通过应用第2.1节B（P，) := B（[p，p]，) ×. . . ×B（[pD，pD]，D） ，（A.1）与B（[p，p]，) := τ[p，p]o B([-1, 1], ). 注意iis不是椭圆的半径（[pi，pi]，i） 但是关于赋范椭圆B([-1, 1], i） 。

因此，在下面的例子中，证明P=[-1,1]D.在Sauter和Schwab（2004，Lemm a 7.3.3的证明）中，我们介绍了scalarproducthf，gi:=ZB（P，)f（z）g（z）QDi=1q | 1-zi | dz与Hilbert空间，)) := {f:f在B（P，) 和| | f||:= hf，fi< ∞}.继Sauter和Schwab（2004，引理证明7.3.3）之后，我们定义了一个完整的正交正规系统f或L（B（P，)) w、 r.t.标量乘积h·，·i通过缩放切比雪夫多项式Tu（z）：=cuTu（z）与cu：=πDDYi=1(2uii+-2uii）-, 无论如何∈ ND。然后，f或L（B（P）上的任意有界泛函E，)) 我们有| E（f）|≤ ||E||||f||,（A.2）其中| | E||表示运算符范数。由于~Tuu∈n遵循| | E||= supf∈L（B（P，))\\{0}|E（f）|kfk=sXu∈ND | E（~Tu）|。在下文中，E是切比雪夫多项式插值在a fix p处的误差∈ P、 E（f）：=|f（P）- 在（f（·））（p）|中。从（A.2）开始，我们首先关注| | E||,桶=Xu∈ND | E（~Tu）|=Xu∈NDcuE（Tu）。在这一步中，我们应用引理A.1并获得xu∈NDcuE（Tu）|=Xu∈ND，i:ui>NicuE（Tu）|≤Xu∈ND，i:ui>Ni4cu。总的来说，使用QDj=12ujj+x-1.≤QDj=12ujj-1=QDj=1-x>0时为2ujj，uj∈Nand j=1，这就引出了托克≤ 4Xu∈ND，i:ui>Nicu≤ 4.πDDXi=1Xu∈ND，ui>NiDYj=1-2ujj≤ 4.πDDXi=1-2NiiXu∈ND，ui>Ni-2（ui）-Ni）y=1，j6=i-2ujj≤ 4.πDDXi=1-2NiiXu∈NDDYj=1-2ujj.从这一点开始，我们使用几何级数的收敛性|-2j |<1，j=1，D、 桶≤ 4.πDDXi=1-2Nii∞Xu=0。∞XuD=0DYj=1-2ujj= 4.πDDXi=1-2Nii∞Xu=0。∞XuD-1=0D-1Yj=1-2ujj∞XuD=0-2uDD= 4.πDDXi=1-2Nii∞Xu=0。∞XuD-1=0D-1Yj=1-2ujj1--二维= . . .

= 4πDDXi=1-2NiiDYj=11--2j。回顾（A.2），我们必须估算kfk,肯德基=ZB（P，)f（z）f（z）QDi=1q | 1-zi|dz≤苏普兹∈B（P，)|f（z）|！k1k.从πDT=1可以直接得出k1k=πDk~Tk= π和kfk≤ πD·V.结合结果得出| E（f）|=|f（p）- IN（f（·））（p）≤πD·V·4πDDXi=1-2NiiDYj=11- -2j= 2D+1VDXi=1-2NiiDYj=11--2j.下面的引理表明，一个多项式的切比雪夫插值的阶数与插值切比雪夫多项式的阶数一样高，它是精确的，并且进一步确定了一个高阶切比雪夫多项式插值的上界。引理A.1。为了x∈ [-1,1]Dit持有| Tu（x）- IN（Tu（·））（x）|=0u ∈ ND:ui≤ Ni，i=1，D、 （A.3）| Tu（x）- IN（Tu（·））（x）|≤ 2.u ∈ ND:我∈ {1，…，D}：ui>Ni。（A.4）证据。切比雪夫插值的唯一性直接暗示了（A.3）。（A.4）的证明类似于Sauter和Schwab（2004，Hilfssatz 7.3.1的证明）。他们使用切比雪夫多项式的零点作为插值点，而我们使用极值点，因此，我们在这个证明中使用了不同的正交性。我们首先关注一维情况。回顾（2.2），Tu，u>N的切比雪文相互作用被给出为in（Tu）（x）=NXj=0cjTj（x），cj=0<j<NNNXk=0′Tu（xk）Tj（xk），j≤ N、 其中xkdenotes是TN的第k个极值。

在这里，我们可以应用以下正交性（Rivlin（1990，p.54）），NXk=0′Tu（xk）Tj（xk）=0，u+j 6=0模（2N）和|u-j | 6=0模（2N），N，u+j=0模（2N）和|u- j |=0模（2N），N，u+j=0模（2N）和|u-j | 6=0模（2N），N，u+j 6=0模（2N）和|u-j |=0模（2N）。（A.5）对于j≤ N和u>N这就产生了γ的存在≤ N使得in（Tu）=Tγ。（A.6）（A.6）基本上遵循以下情况，即对于任何u>N，只有一个0≤ J≤ n正交性可能导致系数cj>0。为了证明这一说法，我们区分了几个案例。在所有这些情况下，我们假设存在0≤ J≤ N使得pnk=0′Tu（xk）Tj（xk）6=0。然后我们将展示所有其他0≤ 我≤ N、 i 6=j它跟随sPNk=0′\'Tu（xk）Tj（xk）=0。首先，假设存在j，使得u+j=0 mod（2N）和u- j=0模（2N）。然后它会直接跟随所有0≤ 我≤ N，i6=j，即u+i6=0模（2N）和u- I6=0模（2N）。其次，假设存在j，使得u+j=0 mod（2N）和u- J6=0模（2N）。类似地，对于所有0≤ 我≤ N，i6=j我们有u+i6=0模（2N），另外从u+j=0模（2N）可以得出u+j-2N=0模（2N），且所有0≤ 我≤ N、 i 6=j我们有- i>u+j- 2N等于u- I6=0模（2N）。类似的论证适用于第三种情况u+j 6=0 mod（2N）和|u-j |=0模（2N）。因此，（A.6）成立，并直接遵循| Tu- IN（Tu）|≤ |Tu|+| IN（Tu）|≤ 1 + 1 = 2. 因此（A.4）适用于一维情况。通过应用三角形不等式，并将一维结果插入每个张量分量，对多元情况进行类似的扩展。参考Armenti，Y.，S.Cr\'epey，S.Drapeau和A.Papapantoleon（2015年）。多变量风险分配。可于http://arxiv.org/abs/1507.05351.BarndorFFF-尼尔森、O.E.和N.谢泼德（2001年）。

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