（4.37），我们推断H\'emax，B（n）i（0）~ （2cemax/（b）√π))√n表示大n.使用该Ge（0，0，n）~ 1/（2b）√πn），forn 1.我们最终获得→∞h`emax，B（n）in=λemax，B=4 cemax（4.39）=4Z∞dt- I（t）(4.40)= 0.6380640 . . . , （4.41）与等式（4.30）中离散情况下出现的常数完全相同。随机行走桥梁的记录统计25我们通过研究αmax，B（n）的全概率分布来总结本节。我们在这里对指数情况进行分析，但也可以对离散情况进行分析，从而在大n极限下得到相同的结果。对于指数情况，我们得到了Fe（`n）（0）=Pr[`emax，B（n）的GF≤ `]（0）来自Eqs。（4.33）和（3.22）作为∞Xn=0Fe（`，n）（0）zn=`Xa=1za∞Xm=1h~he（z，`）im-1qe（硕士，硕士）。（4.42）同样，为了研究Fe（`，n）（0）的大n行为，我们需要在极限z=e下分析这个GFP-s→ 1，即s→ 0.根据之前进行的分析，特别是使用等式中的渐近行为。（4.12）和（4.13）一个∞Xn=0Fe（`n）（0）e-sn=b√sI（s`），（4.43），其中函数I（t）在等式（4.26）中给出。从式（4.43）中，我们得到，对于拉根，Fe（`，n）是比率`/n的函数，正如我们之前的计算所预期的那样，h`emax，B（n）i~ λemax，Bn（4.41）。这表明，对于大n，随机变量R（n）=`emax，B（n）/n独立于n，R（n）→ R whenn→ ∞, 免费RWs也是如此[29]。这个随机变量R，FeR（R）的累积分布由fe（`，n）=FeR给出`n=r, 费尔（r）=2√πZΓdu2πieuI（ur）√u、 （4.44）式中，Γ是复平面上的Bromwich轮廓，r∈ [0, 1].

从这个表达式（4.44）中，可以研究R，feR（R）=dFeR（R）/dr的PDF的各种特征。特别是，我们发现，在R=1/2时，feR（R）是非解析的，我们可以在区间[1/2，1]上明确计算，其中取一个简单的公式（R）=1+4r3/2，≤ R≤ 1.（4.45）另一方面，对于小r，它有一个本质的奇点，在这里它表现为Ln-feR（r）~在r2r中，作为r→ 0 . （4.46）参考文献[29]最近对免费RW的相应PDF进行了研究（另见参考文献[30]）。在这种情况下，PDF在r=1/2时也表现出非解析性，但在这种情况下，当r→ 1，而对于桥梁，不存在奇点[见等式（4.45）]。另一方面，当r→ 0，如等式（4.46）所示，但没有对数校正，这是RW电桥的一个特点。在下一节中，我们将给出这个PDF feR（r）的数值评估（参见图11的左面板）。数值结果在本节中，我们将展示随机步行桥的数值模拟结果，并将其与精确的分析计算结果进行比较。我们考虑随机游走桥26（α=d）的离散记录统计以及连续（α=c）跳跃分布，对于u=2，特别关注指数跳跃分布（α=e）。5.1。离散随机游动桥为了模拟离散RW桥，我们根据等式生成n步的简单自由随机游动。（1.1）和（1.2），只保留行走，使x（n）=x（0）=0。然后在这个受限的RW桥集合上执行统计。在图3中，我们展示了记录的平均数量hRdB（n）i的曲线图，数值计算，作为√n、 这与（2.10）中的精确结果完全一致。无花果。

3.我们还画出了hRdB（n）i的渐近估计(√n） 任期。事实上，从等式（2.10）中的精确公式可以得出：hRdB（n）i~√π3/2√n++o（1），（5.1），如图3所示，这是对√N≥ 5.0246801234567模拟XACT1/2+( n/23）1/2自由RW，exacthRdB（n）i，hRd（n）ipnFigure 3。平均记录数hRdB（n）i作为√n表示离散桥。完整的蓝色圆圈是数值模拟的结果。绿色的空圆对应于公式（2.10）中给出的精确结果，而完整的红线是公式（5.1）中给出的渐近形式的一部分。为了进行比较，我们还绘制了自由RW的hRd（n）i的精确结果，如[5]所示，其中显示了更快的hRd（n）i增长~ (2/√π)√n换n 1.我们还根据等式（3.13）中的分析公式计算了RdB（n），PdB（m，n）=Pr（RdB（n）=m）在n=40和80时的分布，并对n=40进行了数值计算。如图4所示，数值结果与我们的精确分析结果完全一致。此外，对于大n和大m，保持m/√n=X012300。511.5n=40，exactn=80，Exact渐近N=40，模拟（m 1/2）/PNPDB（m，n）图4。情节√n PdB（m，n）作为（m）的函数- 1/2)/√n对于离散RW——见等式（5.2）和下文中的讨论。对于n=40（蓝色）和n=80（绿色）的不同值，填充圆对应于从等式（3.13）中获得的精确值。开放圆对应于n=40的数值模拟结果，与精确结果完全一致。最后，实线是等式（1.19）中给出的精确比例函数φdB（X）。固定的，人们期望公式（1.20）中给出的缩放形式。

我们对Fn的有限值进行的模拟显示，对这种极限缩放形式的有限尺寸修正很小。如图4所示，这些定义实际上对应于标度变量的简单移动/√N→ （m）-1/2)/√n、 即PdB（m，n）~√n~ndBM-1/2√N, （5.2）式（1.20）中给出了标度函数φdB（X）。虽然我们尚未对极限PDFin公式（1.20）的有限n修正进行详细的分析研究，但公式（5.2）中的这种形式，尤其是1/2的位移，与平均数hRdB（n）i的渐近展开一致，超出了领先的范围(√n） 式（5.2）中给出的术语。然后，我们通过数值模拟和公式（4.2）中的精确公式，数值计算了破纪录QdB（n）的概率。如图5的左面板所示，两个估计值之间的一致性非常好。此外，我们还看到在该图上，QdB（n）收敛到其渐近值QdB(∞)随机行走的记录统计数据相当缓慢。图5的右面板表明收敛速度与1成比例/√n、 即QdB（n）- QdB(∞) ∝ 1/√n、 此外，QDB的估计(∞) 通过外推，以这种方式获得的结果与公式（4.9）中的精确结果非常一致，参见图5.0204060800.60.70.80.91exactsimulationQ的右面板∞0.1 0.20.640.660.680.70.720.740.76exactsimulationQ∞1/√nnQdB（n）QdB（n）QdB(∞) QdB(∞)图5。左图：离散随机步行桥的QdB（n）破纪录概率。蓝色的开放圆对应于我们的数值模拟，而黄色的完整圆是QdB（n）的精确值，从等式（4.2）中的生成函数中提取。右：QdB（n）缓慢收敛到其渐近值QdB(∞) = 0.6543037 . . . 在等式（4.9）中。全文是眼睛的指南，与QdB相对应(∞) + 康斯特/√n、 最后，在Fig。

6.我们展示了从数值模拟中获得的h`dmax，B（n）i/n的数值结果，并将其与从等式（4.22）中的母函数直接获得的精确结果进行了比较。在这里，数学和理论之间的一致性也很好。我们还注意到，正如在破纪录概率的情况下（见图5），h`dmax，B（n）i/n收敛到渐近值λdmax，B[见等式（1.25）]实际上相当缓慢。5.2. u=2的连续跳跃分布。为了生成具有连续跳跃分布且u=2（即具有有限方差σ）的RW桥，我们首先生成n步的自由随机游动，从x（0）=0开始，并根据等式（1.1）进行演化。我们随后使用以下构造xb（k）=x（k）-knx（n）（5.3）为0生成RW桥{xB（k）}≤ K≤ n、 特别地，等式（5.3）显然意味着xB（0）=xB（n）=0。这个简单的构造（5.3）适用于任何有限的高斯跳跃分布。对于其他跳跃分布，尤其是指数跳跃分布（α=e），这种结构只是近似的，因为在大n的极限下，xB（k）/√n、 为了k~ O（n），汇入布朗桥。在图7中，我们展示了随机游走桥290 20 4060800.650.70.750.8simulationexact0的平均记录数hRαB（n）i和记录统计的曲线图。6380nh`dmax，B（n）i/ndmax，B=0.6380640。。。图6。离散随机游走桥的h`dmax，B（n）i/n作为n函数的图。开放圆对应于根据公式（4.22）中的生成函数计算出的精确分析值，而完整圆对应于直接数值模拟得到的估计值。实线对应于渐近值λdmax，B=0.6380640。，见等式。

(1.25).对于指数分布，α=e，对于高斯分布，它们都属于连续跳跃分布的类别α=c，如等式（1.3）所示，μ=2。对于大n，我们期望，在这两种情况下，hReB（n）i~ hRcB（n）i~ AcB（u=2）√N含AcB（u=2）=√π/2[见等式（1.21）和（1.22）]，与我们的数值模拟（见图7）非常一致。事实上，我们的数值模拟表明，对于指数和高斯情况，对这种渐近行为的第一次修正是相同的，并且可以根据公式（2.17）中的hReB（n）i的精确公式计算，Yieldingheb（n）i~√π√n++o（1）。（5.4）注意，第一个O（1）修正，即1/2，与离散情况（5.1）相同。对于较小的n值，图7中指数情况下的数据α=e表明，数值结果与我们在inEq中给出的hReB（n）i的精确公式之间存在细微差异。(2.17). 这是因为在这种情况下，我们建造的RW步行桥（5.3）仅近似于较小的n值。请注意，在这种指数情况下，为了模拟精确的桥梁，可以使用参考文献[32]中使用的蒙特卡罗方法，但这需要更多的数值效果，超出了当前工作的范围。在这两种情况下，指数和高斯跳跃分布，我们计算了随机游走桥300246802468指数1/2+（n)1/2/2Gaussianaxponential，如图7所示。与等式（5.4）中给出的精确渐近值（全黑线）相比，通过模拟指数跳跃分布为α=e（蓝色圆圈）和高斯跳跃分布为α=c（绿色圆圈）的RW获得的平均记录数hRαB（n）i。红色圆圈对应于等式（2.17）中的指数情况的结果。

对于较小的n值，在指数情况下，精确结果与数值结果之间存在细微差异，这是因为我们生成桥（5.3）的数值过程仅近似于有限的n。为了进行比较，我们还绘制了（用青色圆圈）自由RW的精确结果，并在[5]中获得了连续跳跃分布，这显示出更快的增长HRC（n）i~ 2/√π√n换n 1.PeB（m，n）和PcB（m，n）记录数的分布。结果如图8所示。在左图中，我们展示了指数跳跃分布的结果，α=e，这表明我们的数值估计与等式（3.34）中给出的PeB（m，n）的精确公式非常一致。这些有限n的数据显示，与等式（1.23）中的渐近结果存在一定偏差，该结果对n有效 1.如图4所示，与离散情况（5.2）类似，这些有限n校正实际上对应于缩放变量m的简单移位/√N→ （m）-1/2)/√n、 即PeB（m，n）~√n~neBM-1/2√N, （5.5）其中，通过inEq给出的表达式正确预测标度函数φeB（X）。(1.23). 请注意，1/2的位移与式（5.4）中前导阶以外的hReB（n）i的渐近展开完全一致。在图8的右面板中，我们展示了高斯跳跃分布的PcB（m，n）的数值数据。这些数据特别具有指导意义，因为我们没有任何关于随机游走桥310123400.20.40.60.8渐近n=40、指数步长sn=80、指数步长sn=40、精确0123400的记录统计数据的分析结果。20.40.60.8渐近（指数）n=160，高斯阶跃sn=320，高斯阶跃（m-1/2)/√n（m）-1/2)/√N√nPcB（m，n）√nPeB（m，n）图8。左：地图√n PeB（m，n）作为（m）的函数-1/2)/√n表示指数跳跃分布。

填充的圆圈对应于n=40（蓝色圆圈）和n=80（绿色圆圈）的模拟。空圆对应于公式（3.34）中给出的n=40的精确分析结果。实线对应于等式（1.23）中给出的精确比例函数φeB（X）。右图：地图√n PcB（m，n）作为（m）的函数-1/2)/√n=160和n=320的高斯跳跃分布。实线对应于等式（1.23）高斯跳跃中给出的精确标度函数φeB（X）。我们的数据实际上表明，在这种情况下，对于大n，记录数的分布也用与等式（5.5）中的指数跳跃分布相同的标度形式描述，具有相同的标度函数φeB（X）。这些数据支持我们的猜测，即等式（1.23）中的这个结果（我们只能在指数情况下明确显示）实际上应该适用于等式（1.3）中u=2的任何连续跳跃分布。我们还数值计算了指数跳跃分布的破纪录QeB（n）概率，如图9所示。在这里，我们再次看到我们的精确结果[摘自等式（4.11）中的生成函数]与数值估计之间非常一致。这些数据也证实了无症状行为QeB（n）→ QeB(∞) = 0.654304 . . . 当n→ ∞, QeB在哪里(∞) = QdB(∞) 式（4.9）中给出，与渐近值QdB一致(∞) 为谨慎的人找到的。注意，我们的数值结果表明，收敛到渐近值是∝ 1/n，这比离散情况下的速度更快，在离散情况下，收敛速度是∝ 1/√n（参见图5的右面板）。在图9中，我们还用公式（5.3）绘制了从数值模拟获得的具有高斯跳变分布的随机行走桥的QcB（n）估计值。

对于n，指数跳跃和高斯跳跃的数据非常大，不可区分，这加强了我们的主张，即对于μ=2的任何连续跳跃分布，指数情况下的所有渐近结果也应适用于极限n→ ∞.类似地，在图10中，我们展示了指数跳跃分布的h`emax，B（n）i/n图和高斯跳跃分布的h`cmax，B（n）i/n图。在指数情况下，我们绘制了精确结果（可从公式（4.33）得出）和通过使用公式（5.3）模拟随机行走桥获得的估计。我们看到协议很好。有趣的是，我们还看到随机游走桥的指数记录统计数据320 20 4060800.60.70.80.91精确，指数阶跃模拟，指数阶跃模拟，高斯阶跃0。654304nQeB（n），QcB（n）QeB（1）=0.6543037。。。图9。指数跳跃分布的破纪录概率QeB（n）和高斯跳跃分布的破纪录概率QcB（n）。在指数情况下，我们展示了与精确结果（开放圆）相对应的数据，这些数据来自等式（4.11）中的生成函数，以及使用等式（5.3）直接数值模拟（完整圆）获得的数据。高斯跳跃分布的数据对应于使用公式（5.3）的数值模拟。精确渐近值qeb的收敛性(∞) = 0.654304 . . . 很快(∝ 1/n）。对于n个足够大的变量，高斯跳跃分布几乎无法区分。最后，我们给出了在大n极限下分布feR（n）=dFeR（r）/drof`emax，B（n）/n的数值计算[见等式（4.44）]。通过从等式（4.42）中明确计算的生成函数中计算Fe（`，n），可以得到feR（r）的数值估计，我们将其展开到接近z=0的位置。我们在参考文献中使用了相同的程序。

[29]为免费RW绘制相应的PDF。图11的左面板显示了用这种方法获得的具有指数跳跃分布的RW桥的feR（r）图。r=1/2时的非解析性清晰可见，此外，我们观察到feR（r）的数值计算结果与1/2的精确结果完全一致≤ R≤ 1[见等式（4.45）]。最后，为了完整起见，在图11的右面板中，我们展示了V=1/R的PDF图，其PDF更易于研究（见参考文献[29]和附录C）。我们在结束本节时注意到，模拟数字随机步行桥的一种自然方法是为xB（k）编写一个有效的局部运动方程，该方程将考虑步行者在n个时间步后必须返回原点的条件。对于布朗运动，它在随机游走桥330 20 4060800.60.70.80.91模拟、指数阶跃模拟、指数阶跃模拟、高斯阶跃模拟中都是连续的。63806h`emax，B（n）i/n，h`cmax，B（n）i/nnemax，B=0.6380640。。。图10。指数跳跃分布的h`emax，B（n）i/n图，以及高斯跳跃分布的h`cmax，B（n）i/n图，作为n的函数。对于指数跳跃分布，精确的结果从等式（4.33）中获得，而在这两种情况下，数值模型是通过使用适当的跳跃分布模拟等式（5.3）中的随机行走桥获得的。0.2 0.40.60.8 100.511.52n=30n=401+r-3/2/41234500.511.53040v-2+v-1/2/4feR（r）feV（v）Rv图11。左：对于指数跳跃分布，对于n=30和n=40，比率R（n）=`max（n）/n的概率密度。这些点由累积分布Fe（`，n）（4.42）的母函数的精确表达式获得。红色曲线是有效期为1/2的极限PDF feR（r）（4.45）的分析预测≤ R≤ 1.

右图：n=30和n=40的阶跃指数分布的概率密度V（n）=n/`max（n），从左面板获得。时间，这确实可以通过为布朗桥写一个有效的朗之万方程来实现[33,34]。将这种方法扩展到离散时间随机游动——包括离散和连续跳跃——是一个非常有趣的开放问题。记录随机行走桥梁的统计数据346。结论为了得出结论，我们研究了不同类型对称跳跃分布的RW桥的记录统计。我们的结果表明，这种经过训练的随机游动的记录统计数据，在数量上与自由RWs的记录统计数据不同，后者可以在实轴上的任何位置结束，而这些随机游动在开始和结束时都被限制在原点。我们首先表明，记录数RαB（n）的统计不仅在离散（α=d）和连续（α=c）分布中有所不同，而且，即使在连续跳跃分布中，也取决于该分布的细节。我们得到了平均记录数shrαB（n）i的精确结果~ AαB√n，并特别表明AcB≡ AcB（u）取决于表征RW的L’evy指数u。这与Rc（n）的自由情况截然不同~ 空调√n其中Ac=2/√π、 独立于u。此外，我们精确计算了两种不同类型跳跃分布的完整记录统计数据：离散RW（α=d）和指数分布（α=e）。我们强调，这些计算在技术上比免费RWs要困难得多，因为RW桥梁的记录统计不仅需要跟踪记录的年代，还需要跟踪连续记录之间的增量[参见图1和等式（3.21）]。

对于这两个跳跃分布，我们还计算了打破记录的概率QαB（n）和最长持续记录的平均年龄h′αmax，B（n）i，并表明它们产生了两个新的非平凡常数，我们已明确计算了这两个常数（见表1）。尽管连续跳跃分布的记录统计数据最终取决于该分布的细节，但人们预计，对于较大的n，它只取决于等式（1.3）中的Lèevy指数u。尽管我们无法证明这一说法，但我们的数字数据表明，至少对于u=2，情况确实应该如此。这意味着，我们在指数情况下获得的渐近结果（见表1）应该能够描述任意连续跳跃分布的大n极限，且u=2。将我们的结果推广到L’evy指数0<u<2的任意值是一个具有挑战性的开放问题。感谢NSNM和GS感谢项目4604-3下的印度-法国先进研究促进中心。附录A.离散随机游走的有用公式我们考虑一个离散RW，从x（0）=0开始，不断演化的viax（k）=x（k）- 1） +η（k），（A.1），其中跳跃变量η（k）\'s是根据topd（η）=δ（η+1）+δ（η）分布的i.i.d.随机变量-1). 让我们用W（x，n）表示随机游走桥35的晶格RW（A.1）记录统计数，从x（0）=0开始，在n个时间步后以x结束。

一个hasW（x，n）=(nn+x, 如果n+x是偶数，如果n+x是奇数。（A.2）从W（x，n），我们立即得到离散传播子Gd（x，x，n）asGd（x，x，n）=W（x）- x、 n）nNnn+x-十、, 如果n+x- 如果n+x，则xis为0- 这很奇怪。（A.3）Gd（x，x，n）的生成函数＠Gd（x，x，n）可以由这个显式表达式（A.3）计算得出：＠Gd（x，x，n）=∞Xn=0Gd（x，x，n）zn=∞Xk=dx-xeZ2k-（十）-十）2k- （十）-x） k=√1.-Z1.-√1.-zz十、-x、 （A.4）其中due是不小于u的最小整数，并且最后一个等式可以使用Mathematica等方法获得。此外，从Gd（x，x，n）（A.2）的表达式中，我们还可以计算约束传播子Gd≥（x，0，n）使用图像的方法。一个确实是：Gd≥（x，0，n）=Gd（x，0，n）- Gd（x，-2，n）（A.5）=Nnn+x-nn+x+1, 如果n+x是偶数，如果n+x是奇数。（A.6）生成函数≥Gd的（x，0，z）≥（x，0，n）可以从这个显式表达式（A.5）中得到Gd≥（x，0，z）=∞Xn=0Gd≥（x，0，n）zn=∞Xk=dxeZ2k-十、2k- xk-∞Xk=dx+2eZ2k-（x+2）2k- （x+2）k=Z1.-√1.-zzx+1。（A.7）注意，我们在这里通过计算路径得到的这个结果（A.7）也可以使用向后的福克-普朗克方程得到。最后，还可以计算与RW相关联的传播子Gd>（x，0，n），该RW被限制为严格高于0。要做到这一点，可以简单地分析第一步。第一步必然是+1步，因此η（1）=+1，概率为1/2。在这第一步之后，剩下的传播子只需通过随机游走桥36Gd的Record统计信息即可得到≥（十）-1,0,n- 1). 因此，一个hasG>（x，0，0）=δx，0（A.8）G>（x，0，n）=Gd≥（十）-1,0,n- 1） ，n≥ 1.（A.9）因此，我们可以将生成函数G>（x，0，z）作为G>（x，0，z）=∞Xn=0G>（x，0，n）zn=1.-√1.-zzx、 （A.10）附录B。

具有指数跳跃分布的RW的有用公式这里我们考虑一个RW，从x（0）=0开始，经过演化的viax（k）=x（k）- 1） +η（k），（B.1），其中跳跃变量η（k）\'s是根据tope（η）=2 be分布的i.i.d.随机变量-|η|/b.指数跳跃分布的一个显著特征是，经过训练的格林函数Ge>（x，x，n）可以精确计算[31]。首先，计算跳跃分布^pe（q）=Z的傅里叶变换是有用的∞-∞dηpe（η）eiqη=1+（bq），（b.2），从中我们很容易得到自由传播源（x，x，n）=Z∞-∞dq2πe-q（x）-x） [1+（bq）]n.（b.3）最后，Ge（x，x，n）的GF由~Ge（x，x，z）给出=∞Xn=1Ge（x，x，n）zn=zZ∞-∞dq2πe-q（x）-x） 一,-z+（bq），（b.4），其中狄拉克δ函数δ（x）来自项n=0，而第二个来自项n=1到的和∞ 几何级数的一部分。最后，可以显式地计算（B.4）中的积分overq，得出式（2.12）~Ge（x，0，z）中给出的结果=∞Xn=1znGe（x，0，z）=z2b√1.-泽-|x | b√1.-z、 （B.5）现在我们来讨论约束传播子Ge>（x，0，n），它更难计算。最简单的计算方法是使用所谓的Hopf-Ivanov公式[35]（该结果的详细推导请参见[36]），该公式给出了以下表达式∞Xn=0znZ∞dx-Ge>（x，0，n）e-λx=φ（λ，z），（B.6），其中φ（λ，z）由φ（λ，z）=exp给出-λπZ∞dqln（1）- z^pe（q））λ+q, （B.7）随机行走桥梁的记录统计，其中^pe（q）是（B.2）中给出的跳跃分布的傅里叶变换。因此，函数φ（λ，z）由φ（λ，z）=exp给出-λπZ∞dqln1.-z+（BQ）1+（BQ）λ+q. （B.8）可以使用参考文献[37]Z中的公式4.295-7明确计算公式（B.8）中q上的积分∞dxln（a+bx）c+dx=πc-dlnd+b cd, 对于a、b、c、d>0，（b.9）最终产生身份∞Xn=0znZ∞dx-Ge>（x，0，n）e-λx=1+λb√1.-z+λb=1+1-√1.-Z√1.-z+λb。

（B.10）然后很容易对x进行拉普拉斯变换求逆，以获得等式（2.13）~Ge>（x，0，z）中给出的~Ge>（x，0，z）=∞Xn=0znGe>（x，0，z）=δ（x）+1-√1.-zbe-|x | b√1.-z、 （B.11）最后注意，通过区分等式（B.10）（m）中的关系-2） 关于λ和设置λ=1/b的次数，可以直接得到等式（3.32）中给出的关系。附录C.`emax，B（n）/emax分布的分析在本附录中，我们首先推导了r的PDF feR（r）的行为∈ [1/2,1]然后是r→ 0在等式中的文本中给出。分别为（4.45）和（4.46）。附录C.1。在区间[1/2，1]中，我们从文本xn中给出的等式（4.43）开始≥0e-s nFe（`，n）（0）=b√sI（s`），（C.1）在极限s内有效→ 0, ` → ∞, 保持乘积x=s固定，其中函数I（t）在等式（4.26）中给出。在极限→ 式（C.1）中的离散和可以用积分代替，而Fe（`，n）（0）可以写成Fe（`，n）（0）=ZΓds2iπensb√sI（s`），（C.2），其中Γ是Bromwich轮廓。请注意，根据定义，我们有fe（`n）（0）=Prob（`emax，B（n）<`）（0）=Probn\'emax，B>n`(0). （C.3）在大n的极限下，该概率收敛到随机变量V=1/R=limn的互补分布函数→∞n/`max（n），`FeV（v）（0）=ProbV>V(0)=√vb√nZdx2iπexv√xI（x），（C.4）记录随机行走桥梁的统计数据，其中v=n/`和x=s`如上所述。最后，除以Ge（0，0，n）~ 1/（2b）√πn，`FeV（v）=2√πvZdx2iπexv√xI（x）。（C.5）我们想分析r接近1时的FeR（r）的行为，或者等效地分析¨FeV（v）的小vbehavior，其主要由等式（C.5）中Bromwich积分中被积函数的大x行为决定。因此，我们需要在小参数下展开（4.26）给出的I（x）（x） =e-x、 正规YZDX2iπexv√十一（十）≈Zdx2iπexv√十、I（x）+I（x）e-x+I（x）e-2x+。

., （C.6）函数Ik（x）允许√x、 因此，第一学期∝ E-对于v>1，第二项，∝ E-2 x，对于v>2，依此类推。一开始（x） =e-xwe haveI（x）≈+（4x）-1） e-十、√πx- （4x+1）erfc√十、+ O（e）-2x），（C.7）除以√x、 可以用拉普拉斯倒过来表示“FV（v）”FeV（v）=+v-√v（1）≤ 五、≤ 2） ，（C.8）和（v）=-ddv’FeV（v）=v+√v（1）≤ 五、≤ 2) . （C.9）最后，使用feR（r）=feV（1/r）/r，得到feR（r）=1+4r3/2≤ R≤ 1., （C.10）如等式（4.45）中文本所述。附录C.2。我们现在研究feR（r）的小r行为，或者相当于v（v）的大v行为（回想一下v=1/r）。可以证明函数I（x）/√x是复x平面上的一个整体。因此，积分（C.5）预计由x中的鞍点控制。让我们定义φ（x）=lnI（x）√x、 （C.11）鞍点方程为v+φ（x）=0，因此φ（x）较大且为负值，因此x也较大且为负值。设置x=-我们得到式（4.5）中F（x）的大负xbehavior的估计值asF（x=-y）≈ 艾伊√πy，（C.12），它产生φ（x=-y）~e2y4πy=e-2x4πx，（C.13）记录来自I（x）中的主导项ex（F（x））的随机游动统计数据。鞍点方程现在给出了SV~ E-2x，（C.14）因此，对于v大，使用指数级估计，我们发现FEV（v）=-ddv-FeV（v）~ E-v ln v，（C.15），也就是这个量的超指数衰减。因此，我们还可以预测，由fr（r）给出的feR（r）=feV（1/r）/ris原点的本质奇点~ eln r/（2r），（C.16），如等式（4.45）中的文本所示。参考文献[1]D.Gembris、J.G.Taylor和D。

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