如果y=xa，x=ya，dx=axa-1dy，然后nzzmaxzminzkp DF（z）dz=b（1- F） kXj=0Cjkzk-jminQjZyja（1）- y） b-1dy。右积分是第一类欧拉积分，即贝塔函数[111]B（p，q）=Γ（p）Γ（q）Γ（p+q）=Ztp-1(1 - t） q-1dt，Re p>0，Re q>0。最后，αk=zkminF+b（1- F） kXj=0Cjkzk-jminQjB（1+ja，b）。（28）由于Γ（1）=1，Γ（z+1）=zΓ（z）[111]，B（1，B）=带平均值k=1，是α=zmin+B（1）- F） （zmax）- zmin）B（1+a，B）。（29）R=zmin- α和质量脂肪zmin，第k个中心力矩为uk=RkF+ab（1- F） Z（Qx+R）kxa-1(1 - xa）b-1dx=RkF+b（1）- F） kXj=0ckqk-jRjZyk-ja（1）- y） b-1dy。最后，uk=RkF+b（1- F） kXj=0ckqk-jRjB（1+k）- a，b）。（30）u=RF+b（1- F）QB（1+a，b）+2QRB（1+a，b）+Rb. （31）u=RF+b（1-F） （QB（1+a，b）+3QRB（1+a，b）+3QRB（1+a，b）+Rb）。（32）u=RF+b（1- F） （QB（1+a，b）+4QRB（1+a，b）+6QRB（1+a，b）+4QRB（1+a，b）+Rb）。（33）倾斜度为0u。多余的峰度非常小- 3.u=α- α保持不变。在a增量的直方图上，最高条通常为零，如图7所示。APDF可以近似计算。对于a=1，等式27给出了sb（1-F） zmax-zminat z=zmin，其中等式26返回图11中ECDF的Fsuitable。然而，事务之间的零次很可能是1秒不准确的结果。另一种方法是应用理论上自然的zmin=0，F=0，并通过PDF的积分，在某些区间上，用等式27拟合钢筋的高度。我们可以使用（a增量，[积分区间]：（0，[0，0.5]），（1，[0.5，1.5]）。或（0，[0，1]），（1，[1，2]）。PDFP DF（z）=abzmaxzzmaxA.-1.1.-zzmaxA.B-1，（34）其中zmax可以大于Ts，rc- 哦，罗。如果添加到当前时间的模拟a增量超过范围/交易时段结束时间，则没有交易完成，交易终止，直到新的范围/交易时段。

使用zmax=Ts，rc- 库马拉斯瓦米的边界永远不会停止交易，因为任何a增量都将在剩余的时间间隔内完成。这将导致a增量在接近终点时减少，但未观察到。zmin=0，F=0留下三个自由度a，b，zmax。使用b=3.42，a，得出超额峰度与偏度的参数曲线∈ [0.041,1.5]，任意zmax>0表示数据，如图8所示。相关方程为α=bB（1+a，b）zmax，u=bB（1+a，B）- bB（1+a，b）zmax（35）√u=qB（1+a，b）- bB（1+a，b）√bB（1+a，b）α，（36）u=bB（1+a，B）- 3bB（1+a，b）b（1+a，b）+2bB（1+a，b）zmax，（37）u=b（b（1+a，b）- 4bB（1+a，b）b（1+a，b）+6bB（1+a，b）b（1+a，b）-3bB（1+a，b））zmax。（38）现在，偏度、过度峰度和ukukDao不依赖于zmax。我们可以选择a和b来拟合样本偏度和超额峰度，并根据zmax线性和二次调整均值和方差。这很有用，因为标准偏差和平均值线性相关。[0,8000]和[0,80]范围内的理论超额峰度和偏度支持实验依赖性- 3.≈ 1.5u，将比率保持在[1.30,1.55]范围内，图12。标准偏差与平均值的理论比率[2,25]不太支持实验斜率2.65，图9。对改变a和b的超额峰度和偏度进行拟合，然后重复使用a和b，以满足表15中许多条目的平均值和标准偏差变化。表2是一个例子，其中带日期的行是自解释的，而“理论”包含a列中的股票代码、b列中偏度和多余峰度的绝对值所取的相对误差之和，以及zmax列中平均值和标准偏差的绝对值所取的相对误差之和。

使用Microsoft Excel Solver和GAMMALN展开Beta函数，通过两个步骤将这两个相对误差之和最小化。利用这些代价函数，三参数库马拉斯瓦米分布比均值和标准差更好地描述了偏度和超额峰度。四个样本矩的相对误差在0.3%到37%之间的再现在许多方面都是令人满意的。Weibull[237]提出了一种基于CDF拟合anECDF估计分布参数的通用方法。图12采用的矩量法：库马拉斯瓦米分布数量对参数a和b的依赖性。使用Maplesoft的Maple 10绘制图。这里可以为解算器提供初步猜测。图13绘制了CDF方程26和ECDF方程18。皮尔逊的拟合优度检验结果[111]见表3。每门课至少有五个观察点。由于一秒钟的误差，很难遵循曼-瓦尔德技术表2：a增量。采样并计算库马拉斯瓦米时刻。日期α√uuuuu- 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 9 9 9 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2.2 2 2 ZCN1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 66.152.6 0.06680 3.807 10317.7理论12.091 56.331 10.3152.6 ZCN13 6.6%21%图13:Kumaraswamy CDF，与2013年4月5日的2013年7月玉米期货ECDF相比，a=0.1179，b=4.016，zmax=2105.7，zmin=0，F=0。选择[150]、[239]类，并要求划分概率最高的1秒间隔。有三个参数时，自由度f=7- 1.- 3 = 3.

概率pk由等式26计算，使用表2中2013-04-05的a、b、zmax和zmin=0、F=0。表3：a-增量。χ检验。ZCN132013年4月5日，N=21670。k类tminktmaxkpkNkNpk（Nk-Npk1 0 16 0.9639 20890 20886.6 0.00054382 16 135 0.03041 667 658.99 0.097273 135 260 0.003513 60 76.126 3.4164 260 390 0.001199 22 25.976 0.60875 390 610 0.0006975 20 15.116 1.5786 610 732 0.0001485 3.2185 2.4047 732 1203 0.0001659 5 5 0.5492总和≈ 1 21670 21669.7 8.653水平0.05、0.02、0.01和0.001以及f=3的值分别为7.815、9.837、11.341和16.268[111]。观测值为8.653。库马拉斯瓦米分布假说不能被否定。这是对a增量样本统计数据进行拟合的视角。11关于伽马分布的评论伽马分布[111]，[1，p.930]hasP DF（x）=βαΓ（α）xα-1e-βx，x>0，α>0，β>0，α=αβ，u=αβ，u=√α、 uu- 3 =α.这意味着- 3=1.5u和√u=α√α、 图9。我们得到α=αu=偏度=多余峰度。对于表2中的力矩，α为：2013-03-01 0.02578≈ 0.02228≈ 0.02562;2013-03-04 0.009268 ≈ 0.002368≈ 0.002345; 2013-04-05 0.01428 ≈ 0.01063≈0.01216; 2013-0-17 0.07293 ≈ 0.04287≈ 0.03932. 这些值表明伽马分布不充分。12 b增量b增量是不相同的石材建筑价格，表16.12.1价格的离散性及其增量未来价格通常是离散的。ZBM13的价格可以是140.00000和140。03125但不是在他们之间。相当于0.03125的美元相当于一顿午餐31.25美元。交易员汤姆·鲍德温（Tom Baldwin）以1980年每天交易6000份债券期货而闻名[15，第321页]。一份2000份合约的头寸每勾一个δ，价值62500美元。

大仓位和高杠杆率不允许忽略价格离散性Spi=niδ；b-增量i=Pi- 圆周率-1=（倪）- 镍-1)δ; 倪，倪-1.∈ N（39）价格比率或b增量是会计中常见的有理数。回想起来，试着从银行提取π美元。资产收益率（PiPi）-1） 是整数对数的差。如果一个理论认为概率{140<Pbond<140.03125}>0，那么它就是错误的。离散分布或格子分布适用于b增量。利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）记下了“上帝创造了整数，其余的都是人类的杰作”这句话。现代金融是通过使用从高斯模型开始的连续价格模型和分布来实现的。相反科尔莫戈罗夫的以下思想给作者留下了更深刻的印象：“很可能，随着现代计算技术的发展，人们会理解，在许多情况下，明智的做法是，本着有限和连续的数学概念精神，研究真实现象，避免其风格化的中期阶段，直接转移到离散模型上”[108]。12.2几乎为零平均b增量七，当某一范围内最后一个和第一个价格之间的差异很大时，滴答数Ns，ris非常大，以至于平均b增量=Ps，r=Ps，rNs，rs，r- Ps，rNs，r- 1=PNs，ri=2Ps，riNs，r- 1（40）接近于零。在范围或会话中，负b增量和正b增量之间的不平衡存在于包括零在内的大量b增量的背景下。这也使偏度保持较小。然而，该分布不是阿古斯贝尔分布，不仅因为它本质上是离散的，而且由于非零样本超额峰度，表16.12.3期货极限价格如果粮食期货合约在到期月份之前交易，则存在阿利米特价格条件。

目前，玉米价格在第一个限价期内的变动幅度不能超过前一结算价的40点。2013年3月28日，美国东部时间11:00:00的熊市消息将价格降至美国东部时间11:03:02的676点，见图14。交易不会停止。随着多头仓位的恐慌性清算，11:00:00之后的限价676买入订单将被完成。价格可能还会上涨。这发生在周五的春晚。放大到[11:03:02，11:13:24]显示1835笔交易，总交易量3776份，价格高于676，如图15所示。由于佣金和每笔交易的费用为10.66美元，2013年3月28日（星期四）的限价抛售订单为12张图14:ZCN13。在接下来的10分钟内，超出限额2-3个百分点的合同很可能会被收回，因此每份合同的利润为89.36-139.36美元。686的价格甚至更高，但可能性更小，潜在利润为489.36美元，见图15。损失不超过10.66美元。如果该仓位无法平仓，那么在漫长的周末之后，在开盘价大幅下跌后，这将是一场超过1000美元的惊人损失，如图16所示。2013年3月28日的价格分布已经提前知道了。这可能会影响b增量。12.4鸡和蛋样本矩是独立于数据顺序的对称函数。保持第一个价格并改变b增量的顺序会影响价格及其统计数据，但不会影响b增量。重新订购价格会改变b增量及其统计数据，但不会改变价格。样本之间的关系表示“Ps，rand”注：价格包括订单价格。根据等式15和40[192]，\'Ps，r=PNs，ri=1Ps，riNs，r=Ps，r+（Ns，r- 1)Ps，r-PNs，ri=2i别针，r。

（41）图15:2013年3月28日周四，ZCN13在涨停时交易。变焦。我的产品Piembeds依赖于价格顺序，提高了鸡的价格。andegg问题：哪些变量是基本价格还是增量？现代金融随机微分方程（SDE）以路易斯巴切利耶（Louisbacheler）的布朗运动[12]和保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson）的几何或经济布朗运动[198]为蓝本，关注绝对和相对价格变化。增量的随机综合创造了价格，使后者处于次要地位。在几何布朗运动中，这种作用更大，在几何布朗运动中，价格分母确保了更高价格下更大的风险和收益。Ornstein-Uhlenbeck过程[221]扩展到用于模拟利率和汇率的均值回归SDE[83]，其嵌入水平作为吸引子出现。相比之下，科学文献中经常受到批评的技术分析[166]强调价格、模式和趋势。作者认为，市场有许多模式在时间上相互替代，价格或增量会得到不同的强调。图16:2013年3月28日星期四和2013年4月1日下周一在长周末后的交易时段，ZCN13在涨停时交易。13关于科学和伪科学的评论基于SDE的无套利衍生品定价专家和技术分析的辩护者是两个不可调和的阵营。前者利用复杂的数学。后者画线和识别图案需要更多的想象力，而不是几何知识。13.1伊萨克·牛顿爵士——商人不是每个科学工作者都会交易，也不是每个交易者都是科学家。伊萨克·牛顿爵士就是这样一个“组合”。他的科学权威是无可争辩的。

从1711年南海公司成立到1720年的泡沫就是一个例子，当时一个杰出的头脑“能计算星星的运动，但不能计算人类的疯狂”——托尼顿的话。这篇文章是关于有吸引力的市场意味着专业人士退出专业领域——高频率的大型潜在专业人士。市场让他们在专业领域使用亏损。如果每个人都只是猜测，那会是一个什么样的社会呢。13.2成功模式的一个共同要素SDE、C++和软件金融专家的收入来源是由交易员提供的。交易者观察a-b-c过程。It、外部和内部事件都会影响他们的思维和交易机器人。他们在这一过程中做出影响深远的决定。蛇咬尾巴。它的目标是生存。这是通过向大多数人展示过去频繁的潜在利益，并在利益服装下隐藏即将发生的损失来实现的。如果一个市场在某件事上很有效率，那么这就是欺骗的能力。拉里·威廉姆斯，一位著名的商人和教育家，文章写道：“我发现的最好的模式有一个共同的因素将它们联系在一起：呈现极端市场情绪的模式可靠地建立了反向价格波动的交易”[241，第95页].13.3关于技术分析技术分析师呼吁牛顿力学为价格趋势寻找基础：“……运动的趋势更有可能继续下去，而不是逆转。这一推论是……对牛顿第一运动定律的改编”[166，第4页]。他们批评了随机价格理论。

具有讽刺意味的是，阿尔伯特·爱因斯坦把热的分子动力学理论作为布朗粒子位移与时间平方根成正比的解释[46，方程式11]，在将分子视为经典牛顿粒子的基础上，运用了统计学。该系统建立了拉普拉斯决定论。量子力学否定了后一种范式，它公理化地将不确定性应用于微观层面，并将经典力学作为宏观极限。这种因果关系的缺失似乎永远无法让爱因斯坦满意。趋势线是在单身汉之前绘制的。他对布朗运动的巧妙数学模型比爱因斯坦的论文早了五年，创造了一个类似的模型。量子力学已经用不确定性取代了牛顿定律。Bachelier将不确定性引入价格变化，并强调趋势线的决定论。在这两种情况下（物理和市场），应用程序根据情况继续使用每种范式。如果我们还记得，涉及人类的市场已经超越了物理布朗运动，那么这种平行关系就结束了。爱因斯坦推导出了一个物理现象的模型。他最后一个确定阿伏伽德罗数的方程式表明了验证的实验条件。Bachelier试图将同样的模型应用于涉及人类意识和“人类的疯狂”的现象，这需要得到认真的证实。它的不足导致了萨缪尔森（Samuelson）转向对数正态分布，并进一步尝试消除高级模拟（Black-Scholes-Mertonoption定价公式[83]）的不足（波动率微笑、波动率期限、离散股息调整），从而修补了负面价格。在整个复杂性描述中，这些公式看起来很重要，但细节很小。

Kahneman和Tversky发现的影响是测量人类行为的大师，这只是了解它们对a-b-c过程影响的开始。由于市场是“现代技术和人类意识共同作用的结果，受部分未知的自然规律支配”[195]，因此有陷入伪科学的危险。事实上，有些人关注月相。如果他们进行交易，月相会影响价格吗？有dailycharts显示满月和新月的日子与银、玉米、大豆和小麦的显著局部最小值和最大值重合[240，pp.94 96]。这些活动是独立的吗？如果一些最小值和最大值与满月和新月相隔一到三天，我们是否应该消除这种依赖性？是在1971-1973年吗？卡尔·波普尔（Karl Popper）关于科学与伪科学之间界限的错误标准意味着，在这种情况下，我们可以制定一个假设，并证明或反驳它。一般来说，划分它们并不容易[204]，科学家的光环可能会起到可怕的作用。科学哲学家塞尔盖卡拉·穆尔扎（SergueiKara Murza）回忆了斯坦利·米尔格拉姆（Stanley Milgram）在1960年进行的关于服从权威人物的实验[90]。有时，技术分析呈现的模式没有算法定义。通常，它没有提供足够的索赔证据。它的代表性似乎忙于交易，没有时间进行严格的研究：“技术分析是一类广泛的预测规则，具有未知的统计特性，由从业者在没有参考任何形式主义的情况下开发。”[168]. 内夫茨是一位建设性的批评家。他的研究为技术分析带来了希望，并谨慎地给出了希望：“……如果所考虑的过程是非线性的，那么技术分析规则可能捕捉到一些被维纳·科尔莫戈罗夫预测理论忽略的信息”。

巴顿·马尔基尔（Barton Malkiel）则持更为怀疑的态度：“在……由学生掷硬币得出的模拟股票图表中，有头部和肩部的形状、三个顶部和底部，以及其他更为深奥的图表模式”[142，p.131]。一位图表专家发现其中一个阵型非常乐观。然而，马尔基尔并不坚持认为市场是一个完美的随机游走。技术分析师需要面对基于遗传编程[113]、神经网络、支持向量机和相关向量机、概率主成分分析、，贝叶斯优化（作为克服过度匹配的一种方法）[17]在弗拉基米尔·瓦普尼克（Vladimir Vapnik）和莱克西·切沃涅基斯（Lexey Chervonenkis）[226]的著作中奠定了坚实的理论基础。这里的任务是形式化模式和信号的算法定义，并以客观统计分析为目的自动识别它们。13.4计算机生成的随机游走与a-b-c-Processs随机游走与价格的可见相似性可能会产生误导。对这两个时间序列的隐藏差异进行放大的技术是有价值的。一个公平的共掷，经过充分研究的伯努利试验，可以用一个统一的伪随机数生成器来模拟[121]。正态发生器[24]可用于模拟Bachelier的正态和Samuelson的对数正态时间序列。对于法线生成器，如果时间步长发生变化，则方差必须与布朗运动的时间步长成比例。对于恒定的步长，可以将其调整为一个合适的值。图17中用于生成数据的Bachelier模型的有限差分方程为图17：Bachelier模型：价格和嵌入，并发现了b增量的相关维度。PZCN 1320130328=714，Pi=Pi-1+ π，i=2。

，NZCN 13=19611，Pi=-0.001937775+0.52755×正态发生器（α=0，u=1），t=0，ti=int（t+3.8548i）；int将数字截断为较低的整数。模拟b增量和价格链取决于发电机的种子。是21325476。如果给出了生成算法，那么呈现种子是有意义的。绘制了19611个点（ti，Pi），图17左上角。虽然价格对于图表绘制者来说看起来很现实，但该模型无法再现真实a-b-c过程的许多重要特性，如图18左上图所示：价格及其增量的离散性、限价、会话内b增量随时间变化的分布、b增量的非高斯特性、波动性集群。它忽略了a-增量的变化分布，并简化了相同分布的独立正态b-增量。13.5计算相关积分作者希望引起对两个时间序列计算的相关积分和维数的注意。对于时间序列x。。。，XN数据细分图18:ZCN13 20130328：价格和嵌入，并找到了b增量的相关维度。大小为m的块：（x，…，xm），（xm+1，…，x2m），忽略与n不匹配的少量额外点。m是嵌入维。N（N）计算点之间的距离-1） 一对一对。然后，计算距离比某些r短的对的分数c（N，m，r）=N（N- 1） NXi=2iXj=1指示器（| ~xi，~xj<r）。如果条件为真，指示器返回一，否则返回零。西林→∞C（m，r）被称为相关积分。对于较小的r依赖性，C（m，r）与r的关系通常是幂律，关联维数为ν=limr→0ln C（m，r）ln r。我们感谢Peter Grassberger、Itamarprocccia【71】、【72】、Floris Takens提出这些概念和公式。

N（N）的评价-1） 距离适合N≈ 两万和百万≥ 1.ES会话可能会收到50万次滴答声。这就产生了无法管理的1250亿个唯一对。James Theiler发明了盒子辅助算法[217]，其复杂度达到O（N logN）。作者的C++程序gptd1和gptd实现了这两种可能性。伪随机均匀数和正态数的链计算最高可达1000000点（gptd）。坡度井与嵌入尺寸一致。变化方差会在双对数坐标系中移动曲线，但不会改变坡度。实际b增量产生的关联维数比嵌入的关联维数低。b增量的离散性造成了分离点的水平平台，从而使ν的计算复杂化。图表上给出了最陡斜坡的尺寸。图17和图18强调了区分伪随机和真实价格增量的额外属性。14.关于极限理论的一个评论，价格变化被认为是许多隐藏的随机因素的总和。因此，如果数字趋于一致，它们可能遵循高斯或另一个稳定定律[128][94][95][65，第76页，第86页]，[143]，[50]。稳定律是不可整除概率分布的一个子类，对极限定理非常重要[58][65，pp.73-100][141]。不完全伽马函数[65，p.13]给出的分布就是不完全可分非稳定定律的一个例子。14.1“非高斯原子”a-b-c分类意味着两个交易价格的差异是b-和c-增量的总和，方程17。交易之间的时间是a增量和c增量持续时间的总和，等式16。例如，2013年5月30日最后一次和第一次ZBM13交易价格的差异P- P=141.68750- 141.71875 = -0.03125 = -δ是N=105350 b增量的总和。

他们的样本具有平均值-2.97×10-7=-9.50 × 10-6δ，标准偏差6.72×10-3=0.215δ，偏度0.194，峰度26.3。表4给出了经验概率质量分布。假设的高斯（u=-9.5×10-6δ，σ=0.215δ）单位间隔的概率如下[-7.5, -6.5]，中心位于第一列。分布相当对称。最后一列为χ检验评估的峰度和天文总和证明了这些b增量的高斯假设的荒谬性，另见[192，第35页]。构成会话内价格变化的b增量不会被隐藏。它们不是数学抽象，而是经验上不可分割的“非高斯分布”，限制了自相似性[148]和有限可分性的范围。14.2来自第一来源的智慧i.i.d.变量的有限方差保证非高斯分量接近高斯和。不同数量的summands Nj- 1.对金额进行折衷比较。违反i.i.d.属性的情况甚至可以是表4:ZBM13的b增量，2013年5月30日，在StdDev m/N高斯，p（m-Np）Np-7-32.6 2 1.90×10-54.4 × 10-2018.6 × 10-6 -27.9 2 1.90 × 10-51.2 × 10-1443.2 × 10-5 -23.3 2 1.90 × 10-51.4 × 10-972.7 × 10-4 -18.6 1 9.49 × 10-67.0 × 10-601.4 × 10-3 -14.0 14 1.33 × 10-41.5 × 10-311.2 × 10-2 -9.30 59 5.60 × 10-41.5 × 10-122.2 × 10-1 -4.65 1808 0.0172 0.010 5400 0 101598 0.964 0.98 26.21 4.65 1770 0.0168 0.010 4872 9.30 65 6.17 × 10-41.5 × 10-122.7 × 103 14.0 18 1.71 × 10-41.5 × 10-312.1 × 104 18.6 7 6.64 × 10-57.0 × 10-606.6 × 105 23.3 1 9.49 × 10-61.4 × 10-976.8 × 106 27.9 2 1.90 × 10-51.2 × 10-1443.2 × 107 32.6 0 0 4.4 × 10-2014.6 × 108 37.2 1 9.49 × 10-66.6 × 10-2671.4×10P105350 1.4×10找到极限分布的更严重障碍。经典的观点是[65，p。

13] （作者翻译自俄罗斯版）：“如果一个系列中随机变量分布规律的同一性假设被引用，那么寻找可能的极限定律V（z）……的任务就变得毫无内容：极限定律可以是绝对任意的……要求→ ∞ 它有一个虚幻的含义：例如，它并不能阻止一个和ξn可以起主导作用。“图19展示了两种不同的行为，回答的是“I.I.D.，或不是I.I.D.，这就是问题所在。”。“左|右b增量的样本统计为大小N=261 | N=240，平均值0δ| 0δ，标准差0.196δ| 1.75δ，偏度0 |-0.0984，峰度26.3 | 8.34，滴答262 | 241，经过的秒数82 | 1。在“连锁反应”中，标准差大九倍，峰度小三倍，几乎达到相同交易次数的持续时间短82倍。值18.7<χ1-0.01（f=16- 3=13）=27.688<956不允许对左侧采用高斯假设，也不允许对右侧分布采用高斯假设。有趣的是，左侧的样本峰度26.3偏离高斯3的程度大于右侧的8.34。关于极限定理的结论不能机械地得出。需要研究收敛速度，并注意区间/时段内b增量分布的变化、主导价格波动、涨跌幅的存在以及可能的价格依赖性。图19:2013年5月30日星期四ZBM13的交易。价格、带过滤的MPS成本75美元、数量、累计数量、到达速度与交易指数（非比例时间）。

两个连续的时间间隔07:28:39-07:30:00和从07:30:01开始的一秒钟包含262和241个滴答声，但看起来非常不同。15关于离散分布的评论多项式分布假设固定K>2个事件，概率p，pK，其中pki=1pi=1。它推广了二项式分布p，p=1-p、 对于sth会话，Ks=b-增量max-b-增量mIn+1，其中b增量用δ表示，经验频率近似psi。因为增量可以是负的、零的或正的，Ks=K-,s+K0，s+K+，s，其中K0，s=1，如果K-,s> 0和K+，s>0。在开始一个有限制的会议之前Pslim>0和以前的结算价格Ps-1套>Pslim，Pslim up=Ps-1集+Pslim，Pslim down=Ps-1集- Pslim，Ksmax=2Pslimδ+1，K-,smax=K+，smax=Pslimδ，Ksmax=K-,smax+1+K+，smax。（42）表5:ZBM13的b增量，2013年5月30日，07:28:39-07:30:00和07:30:01英寸δmmGaussian，pGaussian，p（m-Np）Np（m）-Np）Np-7021.82×10-2419.28 × 10-54.75 × 10-239-6 0 2 1.46 × 10-1737.35 × 10-43.81 × 10-17118.9-5 0 2 5.96 × 10-1174.23 × 10-31.56 × 10-1140.955-4 0 1 1.27 × 10-711.77 × 10-23.31 × 10-692.48-3 0 8 1.46 × 10-375.38 × 10-23.81 × 10-351.87-2 0 12 9.81 × 10-150.119 2.56 × 10-129.60-1 5 17 0.00537 0.192 9.24 18.40 251 154 0.989 0.225 0.197 1851 5 13 0.00537 0.192 9.24 23.72 0 11 9.81 × 10-150.119 2.56 × 10-1210.83 0 10 1.46 × 10-375.38 × 10-23.81 × 10-350.6574 0 5 1.27 × 10-711.77 × 10-23.31 × 10-690.1335 0 0 5.96 × 10-1174.23 × 10-31.56 × 10-1141.026 0 2 1.46 × 10-1737.35 × 10-43.81 × 10-17118.97 0 0 1.82 × 10-2419.28 × 10-54.75 × 10-2390.02238 0 1 1.16 × 10-3208.51 × 10-63.03 × 10-318P261 240 1 18.7 956通常，堪萨斯州 Ksmax，K-,s K-,smax，K+，s K+，smax。开幕后，K-,s、 rmin，i=Ps，ri- Plim-downδ，K+，s，rmax，i=Plim-up- Ps，riδ，Ksmax=K-,s、 rmax，i+K+，s，rmax，i+1。

（43）限制PSLIM暗示了理论极限：b增量，rmax，i=K+，s，rmax，iandb增量，rmin=-K-,s、 rmin，i，等于2Pslimδ或-2.Pslimδ表示当前的下跌或上涨限制价格。作者没有在一个交易日内看到价格从下限到上限或从上限到下限的大幅波动。开盘价有时会涨到极限。猪肚腩曾因连续几次限时而闻名。对于没有限制的期货，理论上下一个b增量rmin，i=-Ps，riδ和b增量，rmax，iis无限。表16列出了最小和最大偏差以及范围和时段内出现的次数。从绝对值来看，所有这些都小于理论极限，而且每节课的K值都不同。虽然分布几乎是对称的，但K-,sis很少与K+，s完全相等。极端值仅出现几次，N以千计，对偏度有显著影响。它们对于触发止损指令的风险更为关键，因为相关频率与高斯分布一样不可忽略。多项式分布并不有趣，除非Ks，K-,s、 K+，允许由另一种分布类型控制的随机变量，并与选择增量正负号的二元随机变量相结合。另一种方法是找到一个分布，该分布负责b增量的绝对值，包括其极值，并将其与选择符号的变量相结合。15.1 Zipf Mandelbrot、Riemann和Hurwitz Zeta分布作者回顾了Zipf Mandelbrot Q>0∧ S>0[147，第198-218页]，其中Zipf情况为Q=0，P DFZM（k）=（k+Q）-SPNi=1（i+Q）-S、 秩k=1，N、 Riemann zeta[96，第35页]，[65，第82页]，[133，第821页，等式。

8] ，[16，相关结果]P DFR（k）=k-服务提供商∞i=1i-S=k-Sζ（S），k∈ N∧ s∈ R∧ S>1，Hurwitz zeta[42，相关结果]，[82]P DFH（k）=（k+Q）-服务提供商∞i=0（i+Q）-S=（k+Q）-Sζ（S，Q），k∈ N∧S、 Q∈ R∧S>1∧Q>0和幂律[6，第29页]，[147，第30页]分布。simplewords是如何触发一项研究的，这很有趣。钟凯来的话[26，p.259]：到目前为止，两个“大牌”之间的这种著名关系并没有产生任何重要的问题——由[133]和[82]引发。作者应该认识到，他对最大利润战略的研究是由Robert Pardo[176，p.125]的话引发的：对市场提供的潜在利润的衡量并不是一个广泛理解的观点[190，前言]。Zipf-Mandelbrot定律假设最大秩N。虽然它可以设置为setbig，但这很不方便，因为绝对b增量的上界可能未知。Riemann-zeta分布的灵活性低于Hurwitzzeta分布。后者是精心设计的，因此它可以从零级开始，并且有大量的零b增量。所有方程都是简单的*（k） =-S ln（k+Q）- ln C*, 其中*是ZM，R，H，或P-幂律。这是一条有点的直线方程（x=ln（k+Q）≈ ln（k），y=ln P DF*（k） ），如果Q→ 0或k Q.ZM不能保证后者，其中k≤ N.H看起来是这个群体中最灵活的。这样的线表示幂律y=Cxa。弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）回忆（作者的俄语翻译）：从目击者的故事中，我知道，科尔莫戈罗夫在湍流理论中的相似定律不是通过考虑尺寸（今天用于解释尺寸）而获得的，而是因为他用带有数千个“和更早”实验数据的纸张覆盖了科马罗夫卡避暑别墅的地板。。。我的结果没有被证明（VS：数学上的），但是正确的，这更重要“[6，p。

29]. 科马罗夫卡是莫斯科郊外的一个俄罗斯小村庄，当时是全世界数学家的圣地。图20:2013年3月至6月玉米、E-mini、黄金和原油期货交易的绝对增量频率的双对数依赖关系，以δ表示。图20中的点累积了大量的b增量。ForES mini在2013年6月7日达到614991。ZCN13和CLN13的行在会话之间分裂。ESM13和GCM13的点更接近一条近似线。“直线”倾向于以更大的幅度弯曲，这意味着频率高于预测。近似线低估了风险，但优于高斯分布。一只眼睛表明抛物线比直线更合适。在计算EPDF之前，将会话中的b增量结合起来，可以创建平滑的地块，如图21所示。ESM13绘图使用的刻度数等于27438059。这比表16中的数字要大，因为包括了2013年6月21日的最后一次临时会议。在这些图上，添加了初始艺术单零增量。它们的数量可以忽略不计，等于会话的数量。此外，一个交易日内区间之间的ci增量被视为B图21：2013年3月至7月交易的合同绝对增量频率的双对数依赖关系，以δ表示。这些增量是所有课程的总和。增量。这不能造成主要差异。GEM13与其他地块明显不同。与表16相比，以δ表示的NGN13 b增量除以10。对于本合同，报告报价的最小变化等于0.01，而官方δ=0.001。抛物线比直线更好地逼近这些数据。

虽然这些曲线图显示了合理的相关性，但作者无法为所有会话组合的b增量频率找到合适的Q和S，以使结果满足Pearsongoodness of Fit标准。对于从单个会话中获得的b增量，这是可能的。特别是，表5中的1秒ZBM13 2013年5月20日数据完全符合Hurwitz Zeta分布表6。对称的负δ和正δ组合成一类。自由度数f=9-1.-2 = 6. 相应的χ（6，0.02）=15.033，χ（6，0.01）=16.812，χ（6，0.001）=22.457[111]均大于实验值13.215。在我们的例子中，Riemann和Hurwitz zeta函数应该针对实参数S>1和（S>1，Q>0）进行计算。这项任务比计算复变元σ+t的黎曼-泽塔函数更简单√-1.σ、 t∈ R.对于σ=这已成为一种竞争。寻找表6:b增量的150000001值，ZBM13，2013年5月30日，Hurwitz Zeta分布，S=2.385873201，Q=1.510384234|Δpmp=124mHz-非专业人士（非专业人士）非专业人士（非专业人士）非专业人士（非专业人士）非专业人士（非专业人士）非专业人士（非非专业人士）非专业人士（非专业人士）非专业人士（非专业人士）非专业人士（非专业人士）非专业人士（非专业人士）非专业人士（非专业人士）非专业人士（非专业人士）154（154（154）1540 0 0 0 0 0 0 0.73732525259 9 9 9 288 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 449749 2.2679397620.0316550378 1 0.004166667 0.007249441 1.739865873 0.314622821P240 1 0.953725178 228.8940428 13.21497997[139]，其中ζ（+t√-1） =0，无法证明黎曼假设，但对计算机科学有贡献。

作者编写了C++函数riemannzeta和HurwitzZeta，并将它们从XLL导出，XLL是一种动态链接库DLL的形式，用作Microsoft Excel的加载项[161]。这有助于使用Microsoft Solver和Goal Seek在S>1.001和Q>0.001的约束条件下优化参数S和Q。表6的成本函数是九个类别的实验χ。15.2 Hurwitz-ZetaThe的Euler-Maclaurin公式选择的计算方法基于Euler-Maclaurin求和[44，第114-117页]。伯努利数取自[1，第810页]。推导过程很长，作者只给出了Hurwitz-zeta函数的最终公式，这是他在文献中找不到的。然而，对于黎曼-泽塔，其概念与[44]中的相同。由于直接和的收敛速度很慢，Euler-Maclaurin求和应用于差ζ（S，Q）-N-1Xi=0（i+Q）-S=∞Xi=N（i+Q）-S、 ζ（S，Q）=N-1Xi=0（i+Q）-S+（N+Q）1-党卫军- 1+2（N+Q）-S++MXk=1B2k（N+Q）1-s-2kQ2k-2j=0（S+j）（2k）！+E（S，Q，N，M），其中B2kare是伯努利数，E（S，Q，N，M）是误差项。使用Harold Edwards[44]和Linas Vepˇstas[227]的估计值，选择N=20和M=13，以确保图21所示S值的C++内置类型double支持的16位小数精度。Hurwitz Zeta分布是描述b增量分布的透视图，不需要尝试组合多个会话或更小的范围。由于分布在时间上发生变化，甚至在一个范围/会话内，这可能会阻止泛化。16关于抛物线分形的评论提到，在许多情况下，幂律仍然是实验事实[6，第36-41页]，寻找渐近行为和对数修正可以提供理论解释。

他运用科尔莫戈罗夫的技术，对二的幂除以奇数后得到的余数的平均最小周期进行平滑处理，并找到一个有趣的双对数依赖关系[6，p.39，图1]。他的七个例子来自植物学、文学、医学、火山活动、遗传学、科学出版物的数量、与计算机科学重要的空间元素紧凑排列相关的图论，包括奥洛夫·阿伦尼乌斯定律：一个地区的物种数与该地区的力量成正比。作者增加了第一个名字来区分儿子和父亲——斯万特·阿伦纽斯（1903年诺贝尔化学奖，因为“……电解解离理论”），他提出的化学反应速率常数的温度依赖性方程也被称为“阿伦纽斯劳”。由于常数与温度倒数（以开尔文度为单位）的对数曲线上有很好的直线，因此可以将其添加到阿诺德列表中。16.1绘制Arrhenius的数据作者审阅了文章[9]，并在Microsoft Excel中输入了106对（以分米为单位的面积，物种数量）[9，第96页，表格]。这是我们第一次在图22中看到Olof的结果。我的眼睛看到：1）抛物线的碎片将更好地用于Calluna Pinus木材、药草Pinus木材、桃金娘云杉木材、药草云杉wod、药草山II和海岸协会II；2） 松树痘苗有一个很大的异常值。在原始表格中，13个关联伴随着更大区域的实验数据和计算数据之间10-30%的偏差：8-10个观察值中的上2-3个。

Arrhenius解释说：“很容易看出，计算值和观测值非常一致。通常，随着面积的增加，偏差会增加。这取决于这样一个事实，即较小区域的值是比较大区域的值更多观测值的平均值。”16.2抛物线的缺点是在对数坐标系中与直线的偏差在频率与ranksplots的对比中，抛物线分形被统称为抛物线分形。所谓的国王效应与最高频率等级的离群值有关。一个常见的例子是城镇规模关系，在法国，巴黎偏离了曲线。几个现象图22:Microsoft Excel中输入并绘制了[9]中的数据。据称，ena遵循抛物线分形：星系强度、城镇规模分布、语言、物种和石油系统的碳氢化合物聚集http://www.hubbertpeak.com/laherrere/fractal.htm.他们扩大了阿诺德的名单。引用的参考文献[36]证明，“经验和相关过程的异常振荡经常发生的点集通常是一个随机分形”，并建议如何评估其Hausdorff维数。图20、21和22表明，抛物线的一部分比直线更好。然而，抛物线有一个缺点：在许多情况下，它不能在不违反自然单调性的情况下，在观测间隔之外进行推断。需要更多数据来证实或否定经济学中的抛物线分形效应。对于金融时间序列而言，澄清市场问题是很有价值的。17极端b增量表16中的Min、nmin、Max和NMA列表示极端b增量及其在范围和会话中出现的次数。对于每个契约，这些值组合在一个样本中，其中b-增量M和b-增量M分别取nsMin和nsmaxtimes。

这些值是从带有日期的会话行中提取的。对EPDF进行评估，见图23。同样，NGN13的等级除以10。绝对值取的相同极端b增量绘制在双对数坐标中，如图24所示。图23:2013年3月至7月期间，以δ表示的极端b增量频率。虽然获得0δ和±1δb增量的几率最高，如图20、21所示，但在一个疗程中将其作为极端值的几率可以忽略不计，如图23所示。即便如此，如果我们在图24上的点云上方画直线，将它们外推到左边也是错误的。图24中的ZSN13、ZWN13、GCM13、SIN13、CLN13、NGN13、6BM13、6CM13、6EM13和6JM13证实了绝对极端b增量的频率具有最大值。其他间接证实：2013年3月至7月，没有ZCN13、ZBM13、ESM13、HGN13和6AM13的会议，其增量分别为0δ和±1δb。17.1弗里切特、费舍尔、蒂佩特、冯·米塞斯、格涅登科、甘贝尔、哈恩斯现代极值理论受到[59]、[163]、[64]、[13]的影响。Fisher和Tippett根据他们必须满足的函数关系给出了三个极限分布。Mises已经证明，对于2013年3月至7月交易的合同，最大阶统计量弱收敛于图24：绝对极端b-增量频率与等级的双对数图（以δ表示）。有三种。Gnedenko给出了极端阶统计量弱收敛的必要条件和充分条件的严格证明。哈恩改进了对格涅登科结果的阐述。内登科[64，第423页]的CDF相对于x的差异给出了费舍尔和蒂普特[59，第211-212页]的PDF，即DFF T（x）=e-十、-E-x=d∧G（x）dx，-∞ < x<∞,二、

P DFF T（x）=kxk+1e-十、-k=dΦGα（x）dx，x>0，k=a>0，III.P DFF T（x）=k(-x） k-1e-(-x） k=dψGα（x）dx，x<0，k=a≤ 0.对于组合绝对极端b增量的样本，II可能有用。莫里斯·弗雷切特在1927年写了一篇关于第二次世界大战的文章[60]。它也是以他的名义使用的。根据定义[65，第45页]，分布函数F（x）和F（x）是一种类型，如果b>0和a，F（x）=F（bx+a）。很容易看出F（x）=ΦGα=k（x）=e-十、-k、 x>0且F（x）=e-（bx+a）-k、 x>-A是有效的CDF，属于k>0、b>0的一种类型。虽然改变协调系统的规模和起源并不会产生新的类型，但我们得到了更好的拟合工具P DFII（x）=kb（bx+a）k+1e-（bx+a）-k、 x>-ab，k>0，b>0，a≥ 0.（44）P[P DFII（|δ-尺寸|）的最小化-EP DFZSN13（|δ-大小|）给出了解决方案（k=3.955386，b=0.142783，a=0），如图25所示。使用微软解决方案的Constraint a≥ 0，当猜测a>0时，稳定地获得最佳a=0。如果a=0，则PDF为2型甘贝尔分布，表示埃米尔·甘贝尔[75]的贡献。最佳的b6=1排除了Fr\'etchet的情况。使用一个连续的类似PDF的等式44来最小化皮尔逊的χfit优度是不方便的：类的分数边界将是牵强的。极端和普通b增量是离散的。图25:2013年3月至7月ZSN13的绝对极端b增量频率与等级的曲线图，用|δ|表示，以及近似的缩放和移位Fr | echet-Fisher-TippettGnedenko-Type-2-Gumbel PDF，P DFII。17.2我们需要一个离散分布图，图25，看起来匹配，但存在以下问题：1）理论密度是连续的，2）大|δ|的频率被低估。事实上，点|δ|=82是在频率为0.003322的情况下获得的，但理论密度为0.00000286，减少了1162倍。

需要一个模拟单峰P DFII的有限正数序列和收敛序列。理想情况下，它应该在整数区间[01100]内。作者检查了序列（P DFII（n）），n∈ N、 将其倒数级数重新用作规范化乘法器，以确保有效的离散概率质量函数PMF，P MFII（N）=kb（bn+a）k+1e-（bn+a）-金伯利进程∞i=1kb（bi+a）k+1e-（bi+a）-k、 n∈ N、 k>0，b>0，a≥ 0，（45），其中P MFII（0）=0。分母收敛。级数收敛性的Maclaurin-Cauchy积分检验[57，第281页，第373项]证明了这一点：当x>n>0时，p DFII（x）是正的且单调递减的∞-abP DFII（x）dx=1，因此收敛于任何下界x≥ -ab.将等式45中的分母与一般的狄里克莱级数[76，p.1]f（s）=p进行比较∞阿内-λns，其中（λn）是一个实数递增序列，其极限为整数，s=σ+t√-1是一个复变量，其实部和虚部为σ和t，我们注意到设置σ=1，t=0，an=kb（bn+a）k+1，λn=（bn+1）-基耶兹分母=f（1）。然而，我们的（λn）是一个实数正递减序列，当k>0，b>0，a时，其极限为零≥ 0和limn→∞E-λn=1。在甘贝尔的情况下a=0，an=kbknk+1=ν-1bν-1nν，ν=k+1>1和p∞n=nane-λn≈ν-1bν-1P∞n=nnν=ν-1bν-1ζn（ν）表示大n∈ N、 式中ζN（ν）表示Riemann zeta函数的剩余部分，其实参数大于1——收敛域。一般情况下，a>0也会导致收敛，因为每一个总和和剩余正值都会减少。

作为另一种收敛性证明，这种考虑暗示，可能很难找到分母的表达式，需要一种数值方法。Euler-Maclaurin求和法是一种候选方法。17.3建议分布的Euler-Maclaurin公式类似于Riemann和Hurwitz zeta，我们直接计算从1到M的项之和- 1和剩余的总和[44，第106页]，适用于等式45，作为三个总和∞Xn=MP DFII（n）≈Z∞MP DFII（x）dx+P DFII（M）+mXj=1B2j（2j）！P DFII（2j-1） （十）∞M、 顶部（2j）在哪里- 1） 是导数阶数和B~Jare-Bernoulli数。这个近似值的误差等于2m=（2m+1）！Z∞M\'B2m+1（x）P DFII（2m+1）（x）dx，其中\'B2m+1（x）=B2m+1（x）-bxc）是2m+1次的伯努利多项式。“B2m+1（x）”在符号中交替出现。如果P DFII（2m+1）（x）在[M]上是单调的，∞),然后，误差| R2m |的评估只需要计算第一个省略项：|R2m |不超过该项绝对值的两倍。FirstCommand和前两个Summand之和等于Z∞Mkbe-（bx+a）-k（bx+a）k+1dx=Z-（bM+a）-keydy=1- E-（bM+a）-k、 Z∞MP DFII（x）dx+P DFII（M）=1- E-（bM+a）-K1.-kb2（bM+a）k+1.对于第三项和| R2m |我们需要（2m+1）的导数。Letf（x）=V（x）S（x）=f（0）=V（0）S（0），V（0）=kbe-（bx+a）-k、 S（0）=（bx+a）-K-1.莱布尼茨公式[56，第236-238页]给出f（n）=Pni=0CniV（n）-i） S（i）。上面定义了S（0），S（1）=b(-K- 1） （bx+a）-1S（0），我们猜s（n）=bn（bx+a）-nS（0）nYi=1(-K- i） 。对于n=0，1是有效的。让它在n>1时有效。然后，对于n+1，公式给出S（n+1）=bn+1（bx+a）-N-1S（0）Qn+1i=1(-K-i） 。然而，差分off（n）给出了相同的结果：bnQni=0(-K-（一）[-nb（bx+a）-N-1S（0）+（bx+a）-nb(-K-1） （bx+a）-1S（0）]=bn+1（bx+a）-N-1S（0）Qni=1(-K- （一）(-K- （n+1））。这就完成了S（n）的数学归纳证明。

得到V（n）的公式是有问题的：V（1）=kbf（0）=kbV（0）S（0），莱布尼兹公式在V（n）的分支中递归出现-i） 每走一步。奇数阶1，3，5的前三个导数是P-DFII（1）（x）=P-DFII（x）bbx+ak（bx+a）k- K- 1., （46）P DFII（3）（x）=P DFII（x）bbx+a-k（bx+a）3k++6（k+k）（bx+a）2k-7k+18k+11k（bx+a）k+k+6k+11k+6,（47）P DFII（5）（x）=P DFII（x）bbx+ak（bx+a）5k-15（k+k）（bx+a）4k++65k+150k+85k（bx+a）3k-90k+375k+510k+225k（bx+a）2k++31k+225k+595k+675k+274k（bx+a）k+-K- 15k- 85k- 225k- 274k- 120.（48）省略了对等式46-48中的正则性的讨论，因为它们不足以建立通用公式。导数在atx接近零→ ∞. 三个相关的伯努利数是B=，B=-, B=。当M=200，k=3.955386，b=0.142783，a=0时，第三次求和中的前三项等于P DFII（1）（M）=-0.7130872262 × 10-10，BP DFII（3）（M）=0.1230723154×10-14，英国石油公司DFII（5）（M）=-0.5219062910 ×-19.在这些条件下仅使用一阶和三阶导数会产生错误≈ 10-19.对于方程式45中接近1的分母值，这比现代的8字节C++内置类型double[213，pp.74-76，pp.628-629]保持16位螳螂小数的精度要好。近似离散P MFII（n）分母的最终公式为∞Xi=1P DFII（x）≈M-1Xn=1P DFII（n）+1- E-（bM+a）-K1.-kb2（bM+a）k+1++P DFII（1）（M）-P-DFII（3）（M）+P-DFII（5）（M）。（49）等式49表示的分母并不总是接近1，如图26所示。等式45中枚举数的计算很简单。对于P MFII（n），皮尔逊χ类边界的选择是自然的，见表7。χ（7，0.05）=14.067大于10个等级的最佳7.368。通过χ-最优k，b，a=0，我们得到pMFII（82）=6.159×10-5.

这仅是实验值0.003322的54倍。由于这些条件下的分母等于1.0000039587885819，因此可以通过连续的P DFII（x）获得相同的密度值。由于|δ|的离散性，使用后者不太方便。极值理论、PM FII（n）和P DFII（x）的局限性很可能是由于违反了理论假设，如构成样本的I.I.D.变量。18关于离散分布的第二点意见传统和计算离散性要求离散和晶格概率分布。科尔莫戈罗夫的远见意味着需求将增长。在上一节中，将现有的连续分布P DFII（x）转换为离散分布。转换步骤可以概括为：图26：用等式49表示的极值P M FIIdenominator等式45与k和b的相关性，其中a=0，M=200。Plot正在使用Maplesoft的Maple 10。1） 在整数参数n处计算现有的P DF（x）；2） 将“所有”P DF（n）的倒数作为一个因子，确保pnn=MP DF（n）PNi=MP DF（i）=1，其中m和n可以是-∞ 和∞; 3） 如果极限为±，则确定分母的收敛性∞. 后一步可能很简单：PDF通常是有限子区间上的可积、正和单调函数。这支持级数收敛性的乌勒-柯西积分检验。级数求和算法的作用也因矩αm=P而增加∞n=1nmP MF（n）。连续的父分布和离散的子分布通过p DF（x）相互关联。

连续正态和离散7之间的不同关系：用P MFII（|δ|）拟合ZSN13的极端b增量，k=2.50205129050786，b=0.145521989804209；a=0是固定的；f=10- 1.- 2 = 7.|δ| Pm |δ| p=PP-MFII（|δ|）Np=pPm |δ|（Pm）-Np5，6，7128 0.396078909 119.2197517 0.6466441878 43 0.107926455 32.48586293 3.402927949 27 0.085068712 25.60568221 0.0759254171015 0.066185687 19.921891851 1.21599943113 0.051504694 15.50291288 0.40409005312 10.0403335941 12 12.14111814 0.10725129799 0.03187799 9 9 0.595276012 0.0369299914，15 13 0.045979023 13.83968581 0.05094568416-29 32 0.096558428 29.06408697 0.29657168830-82 10 0.023772516 7.155527325 1.13073774 SUM 301 0.945288358 284.5317959 7.368024797二项分布由Stephen Stigler[212]提醒：“当我们想到二项式的正态近似值时，我们通常会考虑大样本。皮尔逊发现，即使是最小数量的试验，两种分布也完全一致……正态密度的特征是微分方程f（x）f（x）=-十、-uσ. Pearson发现对称二项分布的概率函数p（k）（n个独立试验，每个试验p=0.5）正好满足类似的差异方程2p（k+1）-p（k）p（k+1）+p（k）=（k+）-n（n+1）对于所有n，k”。19最后一次减去第一次价格作为b增量之和。如果b增量是随机变量，那么在一个范围内最后一次和第一次价格之间的差异就是随机变量之和。由于讨论了a增量的性质，总结数也是随机的。关于增量Ps、rNs、r的信息- 可从表16中计算δ中的Ps和Rex。按此顺序计算两列的平均值。列大小包含等于Ns，r的b增量数- 1.