从CheiRankPageRank平衡中，我们发现美国、德国、英国的负效应最大（最小负dBc/dσc）；正导数仅在中国台北（s=38）和韩国（s=19）可见。对于进出口余额，结果相差甚远：首先，c 6的所有衍生工具均为负值；最负面的价值观包括香港（最负面的是深红色，但由于其V.Kandiah、H.Escaith和D.L.Shepelyansky：《世界经济活动网络13小规模谷歌矩阵》）、中国台北、韩国、越南。因此，谷歌矩阵方法为分析国家和部门之间复杂的经济关系带来了新的视角。图19。与图18相同，衍生的dBc/dσ涵盖了德国2008年的劳动力成本c=11。Toppanel展示了当bc由CheiRank和PageRank向量确定时的情况；特殊值为dB/dσ=-行组（灰色）为0.0367，德国（品红）为dB/dσ=0.3248。底部面板显示从导出导入值计算bc时的情况；特殊值为db/dσ=-行组（灰色）为0.0280，德国（品红）为dB/dσ=0.4911。这些国家的名称可以在表1和世界国家地图[22]中找到。图19和图20显示了德国和美国劳动力成本影响的另一个结果。在德国，美国、俄罗斯、中国对CheiRank PageRank余额的负敏感性最强，而瑞士和奥地利对进出口余额的负敏感性最强。然而，美国和俄罗斯受到的影响相对较弱。这就突出了这两种方法在质量上的差异。美国劳动力成本的增加。

20加拿大和墨西哥的CheiRank PageRank balance生产的积极衍生品，从经济角度来看是合理的，因为这些国家将受益于美国较高的生产成本。相反，出口进口为加拿大和墨西哥带来了最强劲的消极衍生品。图21显示了CheiRank PageRank余额bc中劳动力成本导数dBc/dσcof的整个矩阵（导数的数值在[26]中给出）。当然，对角线项有最强的正导数，如图20所示。如图18所示，2008年美国的衍生dBc/dσ覆盖劳动力成本c=34。顶部面板显示了当bc由CheiRank和PageRank向量确定时的情况；特殊值为dB/dσ=-0.0257福罗组（灰色）和dB/dσ=0.3148（美国品红）。底部面板显示从导出导入值计算bc的情况；特殊值为dB/dσ=-行组为0.0632（灰色），美国为dB/dσ=0.4852（品红）。国家名称见表1和世界国家地图[22]。但反对角线项会改变符号，表征一个国家对另一个国家劳动力成本的敏感性。具有高导数值的垂直线对应于德国（c=11）、日本（c=18）、韩国（c=19）、美国（c=34）、中国（c=37）、俄罗斯（c=41）。世界其他地区（ROW）对其他国家（c=58）也有明显的影响。因此，获得世界其他地区国家的单个经合组织数据是可取的。在图21中，我们考虑了劳动力成本不变国家的影响。我们还可以看到c国CheiRank PageRankbalance Bc上给定部门的价格变化δ的影响。这种敏感性由图22中的导数dBc/dδsshown的矩形矩阵给出（数值数据见[26]）。

最强的正导数（蓝色方块）为s=2、c=50（矿业和沙特阿拉伯）、s=23、c=44（汽车和香港）、s=27、c=20（金融和卢森堡）。最强的负导数（红色方块）是fors=2、c=3（采矿业和比利时）、s=2、c=42（采矿业和经济对采矿产品非常敏感的新加坡）、s=7、c=11（石油和德国）、s=7、c=18（石油和日本）、s=7、c=37（石油和中国）、s=11、c=34（基本金属制造业和美国）、s=11、，c=42（14 V.Kandiah、H.Escaith和D.L.Shepelyansky的制造：世界经济活动网络的谷歌矩阵c\'c 10 20 30 40 5051015250354045505500.2y-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05图。21.2008年c国劳动力成本变化影响的全球视角。矩阵元素dBc/dσ以截断色标显示的颜色给出；上插图中显示了标度以上的矩阵元素（对角线项），其中y=dBc/dσc。在用颜色显示的导数矩阵中，x轴显示了劳动力成本变化σc发生的国家指数，y轴显示了受变化影响的国家。这里bc是根据cheirank和PageRank概率计算的。国家识别号SC=1。。。，表1给出了58个。基本金属和新加坡）。所有这些结果都符合上述国家对特定活动部门敏感的经济现实。这显示了谷歌矩阵方法在WNEA分析中的优势。3.8从获得的谷歌矩阵G，G得到的活动部门的世界变换矩阵*当然，我们可以分析世界经济对活动部门的转变。对于这种分析，我们计算转移矩阵xt=（1）- η)(1 - ηG*)-1G，（15），其中η是一个数值常数。

我们的研究表明，与阻尼系数α的情况一样，结果对η在0.5<η<0.9范围内的变化是稳健的，因此，在下面我们给出了η=0.7的结果。我们注意到，维基百科网络[27]和秀丽隐杆线虫神经网络[31]也使用了类似的ImpactRank结构。在某种意义上，（15）可以被视为粒子的散射矩阵，通过G项进入一个系统，然后通过展开项1+ηG离开*+ （ηG）*).... = 1/(1 - ηG*). 在这种方法中，η描述了系统中的弛豫速率。我们注意到Tbelong属于Google matrix类。S\'C 5 10 15 20 25 30 3551015253503540455055-0.0200.020.040.060.08图。22.2008年行业精神变化对c国平衡影响的全球视角。颜色与矩阵素dBc/dδs成正比，x轴表示部门指数s（部门在表2中给出），y轴表示受变化影响的国家指数c（国家在表1中给出）。这里B由CheiRank和PageRank概率计算得出。从大小为N的全球矩阵T中，我们得到了大小为N的缩减矩阵Rss（c），描述了c国活动部门的转变。我们有Rss（c）=PCT、s、c、c，其中cis是我们感兴趣的目标国家。[26]中给出了中国、美国、德国的所有其他部门s的部门转换矩阵Rss（c）。全世界的简化变换矩阵由Rss=PcRss（c）/Nc的所有国家的平均值得出（见图23）。图23的结果显示了一些特征：简化的转移矩阵有一个强对角元素（这是因为每个产品本身都是强投影），有对应于重要扇区的特征水平线（例如s=2,7,11,25）。通过考虑将一个特定部门转变为一个特定国家的其他部门。

对于s=2（采矿），我们在图24中给出了法国、德国、瑞士和美国的转换向量v（s）。全球价格相似，但德国在s=7（石油）部门和瑞士在s=20（制造和回收）部门有显著提升。为了比较，我们给出了（1）的输入/输出矩阵M的变换结果。比较显示aV。Kandiah，H.Escaith和D.L.Shepelyansky：世界经济活动网络的谷歌矩阵1510 20 3051015202530350.020.040.060.080.10.120.14图。23.2008年全世界（各国平均）部门间平均缩减转移矩阵Rs的图像。这里，x轴代表初始扇区，y轴代表sis转换到的最终扇区。表2给出了扇区编号。颜色与矩阵元素成正比，η=0.7。两种方法之间存在巨大差异，这是因为M没有考虑多重网络转换。扇区s=34的转换如下图所示。25代表塞浦路斯（蓝色）、新加坡（红色）、卢森堡（绿色）和马耳他（黑色）。我们看到，对于卢森堡来说，s=20到s=6（出版）发生了巨大的转变。同时，与图24中s=2的情况不同的是，全球产品在不同国家具有相似的特点。与价值交换矩阵的转换结果进行比较，C与图24中的情况再次非常不同。WNEA所获得的活动部门转型结果为分析世界经济活动之间的相互作用开辟了新的可能性。

谷歌矩阵方法提供了与通常的输入/输出矩阵方法截然不同的新型结果。这与转换矩阵（14）考虑了网络上各个周期的总和这一事实有关。4讨论在这项工作中，我们从ECD WTO TiVA数据库开发了世界经济活动网络的谷歌矩阵分析。PageRank和Cheirank概率可以获得世界各国的排名，这取决于它们的富裕程度，主要取决于它们经济关系的效率。所开发的方法证明了经济活动部门的不对称性，其中一些是以出口为导向的0050,10,15v（s）1020 30s00,20,40,6v（s）图24。顶部面板：2008年几个国家的简化转移矩阵转换向量的文件v（S）示例。这里，初始扇区为s=2（采矿），而转换向量v（s）由图23中定义的矩阵形成；这些国家是法国（蓝色）、德国（红色）、瑞士（绿色）和美国（黑色）。底部面板：为了进行比较，我们在这里展示了与顶部面板相同的内容，但不是T，而是使用输入/输出矩阵M和规范化列（此处不替换悬挂节点，一个国家内部的转换被视为零）；PCMSS，cc给出的国家cis的此类amatrix列；在这里，相同的国家以与顶部面板相同的颜色显示。。00050,1v（s）1020 30s00,20,40,60,8v（s）图25。如图24所示，初始扇区s=34（教育）。结果显示塞浦路斯（蓝色）、新加坡（红色）、卢森堡（绿色）和马耳他（黑色）。还有一些是进口导向的。我们还表明，WNEA谷歌矩阵的数据源选择了面向特定活动部门的特定社区。

CheiRank PageRank平衡表允许确定经济关系网络健全的经济崛起国家。这一因素对各国价格变化和劳动力成本的敏感性，决定了通过通常的进出口汇率分析，世界经济体之间隐藏的关系是不可见的。16 V.Kandiah、H.Escaith和D.L.Shepelyansky：世界经济活动网络的谷歌矩阵谷歌矩阵分析也确定了世界活动部门的转型特征。与UN COMTRADE的多产品世界贸易网络的比较表明，WNEA和WTN这两个网络之间存在某些相似之处。同时，WNEA数据为活动部门的互动提供了新的元素，而COMTRADE数据库中没有产品的直接互动。从这个角度来看，OECD-WTO的数据在更深层次上反映了经济现实。但与此同时，经合组织-世贸组织的网络与关税贸易相比（国家、年份、部门较少）还不够发达。因此，扩展OECD-WTO数据库是非常必要的。我们认为，在[13,14]中开发的谷歌矩阵分析更好地捕捉了多功能定向张量相互作用的新现实，这种方法的普遍特征也可以扩展到多功能金融网络流，现在吸引了研究人员的积极兴趣[32,33]。不幸的是，与本文讨论的网络相比，财务流数据的可访问性要低得多。我们指出，最近在物理学界发展起来的一些矩阵方法开始在经济系统中找到积极的应用（参见[34,35]）。

然而，对于物理学家来说，这些矩阵通常来自于酉或厄米特系综，在那里，随机矩阵理论允许获得某些普适结果。在这里，我们证明了相互作用经济系统中出现的有向网络和张量是由Perron-Frobenius算子矩阵描述的，这在物理学中没有得到太多的研究。因此，物理学家、数学家和计算机科学家现在可以应用于复杂的相互作用的经济系统，这是一个新的研究领域。5致谢我们感谢OECD[1]和WTO[2]的代表为我们提供了友好访问本工作中调查的数据集的机会。我们中的一位（VK）感谢经济研究和统计部门WTO Gen`eve在其实习期间的热情好客。我们感谢L.Ermann就图表编制进行的有益讨论和建议。这项研究部分得到了EC FETOpen项目“定向网络分析的新工具和算法”（NADINE No.288956）的支持。参考文献1。经合组织，秘书长2014年给部长们的报告，可查阅：http://www.oecd.org.查阅日期：2015年4月52日。世界贸易组织（2014）2014年国际贸易统计数据：http://www.wto.org/.2015年4月获得。W.W.Leontief，《国内生产和对外贸易：重新审查的美国资本状况》，Proc。美国人菲尔。Soc。97(4), 332 (1953)4. W.W.Leontief，《投入产出经济学》，牛津大学出版社，纽约州纽约（1986）5。R.E.Miller和P.D.Blair，《投入产出分析：基础和扩展》，剑桥大学出版社，英国剑桥（2009）6。S.Dorogovtsev，《复杂网络讲座》，牛津大学出版社，牛津（2010）7。S.布林和L.佩奇，《大规模超文本网络搜索引擎的剖析，计算机网络和ISDN系统》30，107（1998）8。A.M.兰维尔和C.D。

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古尔，《信贷风险的随机矩阵法》，公共科学图书馆综合版9（5），e98030（2014）18诉坎迪亚，H.Escaith和D.L.Shepelyansky：世界经济活动网络的谷歌矩阵国家名称国家代码国家流量国家名称国家代码国家流量澳大利亚澳大利亚30瑞典瑞典奥地利31瑞士CHE3比利时BEL 32土耳其TUR4加拿大CAN 33英国GBR5智利CHL 34美国6捷克共和国CZE 35阿根廷ARG7丹麦DNK 36巴西BRA8爱沙尼亚EST 37中国大陆CHN9芬兰FIN 38中国台北TWN10法国FRA 39印度IND11德国DEU 40印尼IDN12希腊GRC 41俄罗斯RUS13匈牙利HUN 42新加坡SGP14冰岛ISL 43南非ZAF15爱尔兰IRL 44香港HKG16以色列ISR 45马来西亚MYS17意大利ITA 46菲律宾PHL18日本JPN 47泰国泰国19韩国KOR 48罗马尼亚ROU20卢森堡49越南VNM21墨西哥MEX 50沙特阿拉伯沙特22荷兰NLD 51文莱达鲁萨兰国BRN23新西兰NZL 52保加利亚BGR24挪威NOR 53塞浦路斯CYP25波兰POL 54拉脱维亚LVA26葡萄牙PRT 55立陶宛LTU27斯洛伐克共和国SVK 56马耳他MLT28斯洛文尼亚SVN 57柬埔寨KHM29西班牙ESP 58世界其他国家排名第一。Nc列表=58个国家（世界其他地区为同一排），包括国家名称、代码和货币。V.Kandiah、H.Escaith和D.L.Shepelyansky：《世界经济活动网络谷歌矩阵》19 OECD ICIO分类ISIC Rev。