我们比较了自适应Gap-SUR（3.2）和Gap-UCB方法（3.1）（γk=1）·√a）基于真实间隙的均匀间隙(·). 右图：通过（4.7）计算的K=400时的L（^C（K），C）在六种不同EI方法中的箱线图。表1还强调了在响应面之间进行区分的好处，因为Con18 Ruimeng Hu和Michael Ludkovski当前的M-Gap算法相对于Gap-SUR明显更差（损失高出约30%）。这些方法之间唯一的区别是，Gap SUR在200个样本中进行了146次采样，而同时进行的方法仅限于对每个响应进行100次采样。所有在整个X×L范围内进行优化的方法都将重点放在噪音更大的Y上，对其进行70–85%的采样（参见数据栏）。作为最后的比较，表1的最后一行报告了Gap-SUR方法在实际环境中的性能，其中还必须通过学习θi，s，σ来训练GP核K`。所有参数，包括被视为GP协方差结构金块的观测噪声σ，都是通过MLE估计的。由于训练会将额外的噪声引入固定的响应曲面，因此算法性能必然会降低，尤其是在交叉算法运行的变化方面。这可能表明静态GP模型在这里并不理想。表1还显示，经验EL（^C（K））和实际损失L（^C（K），C）指标是一致的，因此前者可以用作内部在线评估工具，以监控估计分类的准确性。这两个指标之间的不匹配是由模型规格错误造成的，因为不正确地推断出u（x）的协方差结构会导致过度乐观：EL<L。这个问题在很大程度上独立于抽样方案，更多地涉及建模框架，而不是toEI采集函数。4.4. 许多表面。

我们的下一个示例将处理一个更复杂的设置，其中L=5个曲面和一个二维输入空间X=[-响应参数（θ，θ，η，t`）u（x，x）2- 十、- 0.5x（4,6.5,23，-10） u（x，x）2（x- 1） +2倍- 2（7.5,7.5,475,60）u（x，x）2sin（2x）+2（1,8,2,1.9）u（x，x）8（x- 1） +8x- 3（8,8,8000,300）u（x，x）0.5（x+3）+16x- 6（8，4，2500，150）我们假设恒定的同调观测噪声`（x，x）~ N（0，σ`），σ`=0.5`. GPM模型具有可分离的各向异性5/2协方差函数和特定的超参数，以及固定的趋势t`。图4显示了相应的分类C。通过从每个样本（x，x）生成10个LHS样本，序列设计在K=50时初始化；在每个步骤中，使用随机化方法从LHS候选集T（大小=100）中选择采样位置-贪心法 = 0.1.图4左上角的面板显示了使用Gap SUR采集功能，在K=500个样本之后，估计的分类^C（K），其他面板显示了分配给每个`=1，5.如图所示，该算法在X×L上联合采样时具有很高的分辨力。在任何给定的分类边界上，该算法有效地只对五个响应中的两个进行了采样，内生地恢复了最佳与次最佳测试的概念。因此，来自Y\'的样品主要位于表面u\'和其他表面的边界附近。这些轮廓，在哪里`= u`- minj6=`uj=0，正是Gap EI指标所针对的区域。由于C和C的边界最长，因此选择了相对较多的样本（D=126，D=109）；相反，最小的一组是C，它只接收D=70个样本。表2显示了不同采集功能的相对性能。

具体而言，我们比较（i）均匀抽样；（ii）空间填充LHS采样；（iii）并行ΓBeststrategy（4.5）排序响应面的顺序设计19-2.-1 0 1 2-2.-1012x1x2（x）=1（x）=2（x）=3（x）=5（x）=4-2.-1 0 1 2-2.-1012x1x21x2123456（x）=1（x）=2（x）=3（x）=5（x）=4-2.-1 0 1 2-2.-1012x1x1x0246810（x）=1（x）=2（x）=3（x）=5（x）=4总体^C`=1`=2-2.-1 0 1 2-2.-1012x1x2012345（x）=1（x）=2（x）=3（x）=5（x）=4-2.-1 0 1 2-2.-1012x1x1x0246810（x）=1（x）=2（x）=3（x）=5（x）=4-2.-1 0 1 2-2.-图4。X上的二维排名=[-2, 2] × [-2，2]使用Gap SUR启发式。左上角的面板：实心黑线表示真实的C（x，x），红色虚线表示K=500时的估计等级C（K）（x，x）。其他面板显示了5个响应面的边缘设计（x，x）1:D`（K）。阴影表示估计的经验间隙B`（x，x），`=1，5.我们观察到，大多数样品被B`\' 0.实心曲线表示真实类别C（x，x）的边界。这类似于基于熵的抽样；（iv）Gap UCB和（v）Gap SUR。我们注意到，对于许多曲面，关键不一定是曲面之间的预算分配（这里，对于相同的σ`，最佳D`\'大致相等），而是有效地放置最适合每个曲面的样本位置。这种影响可以通过比较非适应性策略（即x和`）与并行的ΓBest策略（4.5）（针对分类边界，但在`）与Gap SUR/Gap UCB策略（针对不同指数的分类边界的不同部分）来观察。上述步骤中的每一步都会带来显著的性能提升；当观测噪声依赖于指数（或状态）时，它预计会更加明显。5.流行病管理案例研究。

最后一个例子是基于传染病背景下的控制问题[32,34,35,39]。考虑随机SIR模型，该模型是一个分区状态空间模型，将人口池划分为三类：易感人数St、感染人数St和恢复人数Rt。我们假设固定的人口规模EM=St+It+Rt，因此状态空间是二维单纯形X={（s，i）∈ Z+：s+i≤ M} 。在典型的环境中，M∈ [10,10]，因此X是离散的，但太大，无法明确列举20 Ruimeng Hu和Michael LudkovskiTable 2对于二维示例，Z（500）表示真实损失与经验损失。对于UCB启发法，冷却计划的形式为γk=c√log k.错误概率为ErrP rob=Ave（1-p（500）最佳（x））超过测试集。向量D`（500）列出了Y`，`=1，（4.64E-5）5.47E-3（2.39E-5）5.47E-3（2.39E-4）4.10（100100100100100100100）4.10（100100100100100100100）4.10（100100100100100100）4.10（100100100100100100100100100100100）4.10（100100100100100100100100100100）10）4.10（100100100100100100100100100100100100100100100100）10）10）10）4（100100100100100100100100100）10）10）4（100100）10）10）10）非自适应LHS 5（10）非自适应LHS 5.97E-3（10（10（10）非自适应LHS 5.97E-3（10（10（10）5（10（10）5（10）5.97E-3（10010010010010010010010010）非自适应LH5（10）5（10）5（10 Gap UCB，c=0.53.41E-3（1.45E-5）2.97E-3（1.14E-4）3.05%（129、103、104、72、92）（按|X |\'10的顺序）。（St，It）的动态是时间固定的，将在（5.3）中详细说明。控制员的目标是通过及时干预减轻疫情影响，例如通过降低个人接触率来降低感染率的社会距离措施；从数学上讲，这相当于修改（St，It）的动力学。

为了进行成本效益优化，我们一方面引入流行病成本，这里的成本与累积感染者的数量成正比，另一方面引入干预成本，这与当前CISt剩余易感者的数量成正比。然后，通过比较不采取行动的预期成本u（s，i）（以当前状态（s，i）为条件）和立即采取行动的预期成本uA（s，i），可以（短视地）优化干预方案。更准确地说，让u（s，i）：=E[s- ST |I=I，S=S]和（5.1）uA（S，I）：=EA[S- ST |I=I，S=S]+CIs。（5.2）以上，T=inf{T:It=0}是疫情的随机结束日期；由于固定的人群和感染后对疾病的假定免疫力，该流行病保证有一个婴儿期。不同之处在于- 因此，STTHES精确地测量了在暴发期间某个时间点感染的原始易感者的总数。总体目标是对u和uA进行排序，干预区域对应于{（s，i）：uA（s，i）>u（s，i）}。由于没有可用于u′s的分析公式，一个合理的程序（由于易于处理SIR模型的大量扩展，因此也是首选）是一个蒙特卡罗抽样器，给定初始条件s=s，I=I和区域∈ {0，A}生成一条轨迹（St，It）（ω），并使用它来计算路径St（ω），连接到（1.1）的框架。从政策角度来看，（5.1）-（5.2）中的权衡围绕着什么都不做，让疫情继续发展，这会为每个最终受感染的个体带来单位成本，或者实施预防性社会疏远措施，这会让每个易感者付出代价，但会降低未来受感染者的预期数量。典型的应对措施可能是公共广告宣传、学校停课或分发预防药物。

一般来说，一旦有足够大的疫情威胁，就需要进行干预。然而，如果干预成本较低，那么干预成本相对于其效益来说就太高了，因为疫情可能会自行结束。类似地，如果性病进展缓慢，易感人群自然会精疲力竭，再次使干预变得无关紧要（因为“为时已晚”）。量化这些场景需要一个精确的概率模型。（St，It）在各自规律下的动力学，并遵循连续时间马尔科夫序贯设计，对具有以下两个过渡通道的21条链进行排序：（感染：S+I）→ 2I，速率为βjStIt/M，j=0，A；康复：我→ R与它一起。）（5.3）如上所述，βA<β被解释为干预机制中受感染者和易感者之间的接触率降低，从而减少疫情增长和影响。（5.3）中描述的马尔可夫链（St，It）可以使用Gillespie时间步进算法[19]进行模拟，利用状态转换之间的逗留时间具有（依赖于状态的）指数分布，并且与下一个转换类型无关这一事实。然而，这些模拟非常耗时，需要O（M）均匀绘制。因此，有效的预期成本排序在应用中非常重要。备注5.1。由于（5.3）意味着每个感染期都有一个独立的Exp（γ）分布，因此E[S]- ST]=γERTItdt, 因此（5.1）也可以解释为与预期感染总天数的比例。我们注意到，在这个例子中，输入空间X是离散的，但这需要对算法1的实现进行最小的更改。最大的调整是，（1.2）中的噪声σ`（x）未知。σ`（x）’的知识对于训练GP协方差核K`至关重要，参见例（2.9）。

事实上，虽然可以同时训练K`和恒定观测噪声σ（后者在GP文献中被称为“金块”，可以通过最大似然法推断），但与状态相关的噪声K是无法识别的。我们通过分批程序（与[3，第3.1节]进行比较）来解决这个问题，以便随时估计σ`（x）。也就是说，我们使用相同的站点x≡ （s，i）r次，以获得独立样本y（1）`（x），y（r）`（x）来自相应的y`（x）。这允许估计条件方差eσ`（x）：=r-1rXi=1（y（i）（x）- y`（x）），其中y`（x）=rrXi=1y（i）`（x）是样本平均值。此外，如[40，第4.4.2节]所示，我们可以将x处的r样本视为具有噪声方差eσ`（x）/r的单一设计条目（x，\'y`（x））。由此产生的后平均设计尺寸减少了一个系数，大大加快了克里金模型拟合和更新的计算速度。形式上，算法1中的EI步骤被替换为使用（xk+1，`k+1）=（xk+2，`k+2）=（xk+r，`k+r）并每r次地面迭代重新计算一次EI分数。在我们的研究中，我们设定M=2000，β=0.75，βA=0.5，γ=0.5，每名易感者的干预成本为CI=0.25。图5显示了最终的决策边界C.在黑暗地区，干预的相对成本较低，因此行动是首选。例如，从atI=10，S=1800开始，如果不采取任何行动，疫情将影响40%以上的易感人群（预计成本约为800人），而在社交距离下，影响约为60名受感染者（导致60+CIS’510的总预期成本大大降低）。在光明地区，观望法的预期成本较低。例如，在I=50，S=1400时，未采取任何措施的新感染者的预期数量为385，而在0时，对抗措施的成本更高。25 × 1400 + 102 = 452.

总的来说，图5显示，最佳决策对当前易感者的数量非常敏感。这一特征是因为，当感染率主导恢复时（繁殖率R:=（β/γ）（S/M）高于1），疫情就会爆发。因此，对于一个敏感度超过85%（S>1700）的群体，初始增长率满足22 Ruimeng Hu和Michael Ludkovski1200 1300 1500 1600 1700 18000 50 100 150 200疑似感染（S，i）=0（S，i）=图5。拟合响应边界C使用Gap SUR预期改善指标的流行病响应示例。散点图表示K=200时的设计Z（K）；三角形表示初始设计Z（K），并围绕自适应放置的（s，i）K:K（绿色：Y；黄色：YA）旋转。βS/M>γ，可能引发暴发。然而，随着S的降低，接近βS/M\'γ的区域，随着疫情爆发的可能性和严重性的降低，社会距离变得不必要。特别是，图5显示，S<1350时，没有采取任何行动。在中间区域，有一个确定C（s，i）的非平凡分类边界。图5是通过使用Gap SUR采集功能构建自适应设计生成的，共有K=200个设计点，每个点的r=100批样品。输入空间被限制为X={s∈ {1200，…，1800}，我∈ {0, 200}}. 初始设计Z（K）包括50=25×2个位置，位于同一矩形5×5晶格上，每个Y，YA。在本例中，噪声水平σ`（s，i）高度依赖于状态，见图6。u表面的噪声要高得多，（s，i）\'（1800，5））的最大σ（s，i），而uA的最大噪声位于右上角。因此，Z（K）主要包含来自Yan的样本，并且在图的底部更密集。结论

在这篇文章中，我们构造了几个有效的顺序设计策略来解决L中最小值的确定问题≥ 2个响应面。我们的Gap SURheuristic将（1.1）与轮廓查找和贝叶斯优化相结合，为逐步减少不确定性框架提供了新的应用[10]。我们的Gap UCB启发式算法通过将X×L中所有可能的采样对视为ARM，并试图平衡armexploration和剥削来模拟多臂强盗。我们的方法基于克里格框架，但这主要是为了方便，并不重要。为此，可以使用最大似然法代替贝叶斯公式来拟合bu`（·），用点估计量及其标准误差代替后验M`（x）。因此，可以选择许多其他回归框架。然而，计算效率和顺序框架对建模u`（·）的可能方法造成了一些效率限制。一方面，我们需要很强的一致性，即各类别C（K）的收敛性→ C问→ ∞. 特别是，回归方法必须是非参数和局部的。另一方面，我们希望有一个顺序程序，允许在从^C（k）移动到^C（k+1）时高效地更新规则。最后，在实际环境中，进一步的挑战，如异方差、排序响应面的非高斯序列设计231200 1300 1400 1500 1700 1700 18000 50 100 150 200怀疑受影响1002003004005006001200 1300 1500 1700 1700 18000 50 100 150 200怀疑受影响1020304050Eσ（s，i）eσA（s，i）图6。在无对抗措施（左面板，`=0）和行动（右面板，`=A）制度下，流行病反应示例的估计噪声标准偏差eσ`（s，i）。

注意两个面板的不同色阶，带有σ（·） σA（·）适用于所有（s，i）。取样器Y〃和响应面的异质结构很重要。GP的一个合适替代方案是局部回归或黄土[44]，这是一个非参数回归框架，用于为u`（x）建立点态线性回归模型。黄土非常有效，非常适合具有未知噪声分布的异方差环境，如第5节所述。它还自动生成fit的后验均值和方差（允许使用基于bu`（x）和δ`（x）的衍生公式）。然而，黄土是不可更新的，如果要使用许多设计增强迭代，就会造成计算瓶颈。同时，安装速度非常快，因此根据实施情况，它可能仍然与更复杂的方法竞争。本着这种精神，分段线性回归（首先将X划分为几个单元，然后在每个单元中进行最小二乘回归）可通过Sherman Morrison Woodburyformulas进行更新，如果有明确的划分策略可用，则可采用分段线性回归。我们进一步注意到，GP克里金法只是构建实验设计的一种方便的临时替代方法。因此，一旦生成Z，人们可以切换到不同的响应面模型，以建立对u′s和^C的最终估计。例如，当基本平滑度（由协方差核指定）在X上强烈变化时，treed GP方法[24]允许响应面具有更高的精确性。因为treed GP模型的计算成本很高，在DoE期间使用vanilla GP和treed GP进行^C的最终估计，可以达成妥协。另一个富有成效的扩展是研究固定密度设置中的排序算法。

如前所述，顺序排序算法是在固定预算设置下进行的，增加了设计，直到达到预先规定的大小K。实际上，通常希望通过针对预先设定的置信水平来规定自适应、数据驱动的终止。良好的终止标准应同时考虑准确性和效率，确保bu`（x）的准确性，并预计进一步采样步骤的信息增益较低。一个建议的终止标准是跟踪经验损失EL（^C（k））的演变，并在EL（^C（k））终止时终止- EL（^C（k+1））足够小。这相当于最小化Lk:=EL（^C（k））+k、 在哪里 > 0是模拟成本的参数；我们越是关心效率，效率就越高 是当设计尺寸k较小时，第一项将占主导地位，因此LK预计将首先减少→ ∞, 损失函数的改善率会缩小，最终会增加。然而，我们发现EL（^C（k））非常嘈杂，尤其是如果克里格模型跨阶段重新训练。从这个意义上讲，终止标准需要足够稳健，以产生足够强大（临时）的保证，确保真正达到一定的容忍阈值。参考资料。[1] R Aid、L Campi、N Langren’e和H Pham。“最优多重切换问题的概率数值方法及其在发电投资中的应用”。摘自：《暹罗金融数学杂志》5.1（2014），第191-231页。[2] R.安德森和D.米卢蒂诺维奇。“目标跟踪Dubins反馈控制的随机方法”。2011年IEEE/RSJ智能机器人和系统国际会议。2011年，第3917-3922页。[3] B.安肯曼、B.L.纳尔逊和J.斯塔姆。“模拟元建模的随机克里金法”。《运筹学》58.2（2010），第371-382页。[4] P.奥尔、N.塞萨·比安奇和P.菲舍尔。

“多臂土匪问题的有限时间分析”。《机器学习》47.2-3（2002），第235-256页。[5] J·阿齐米、A·芬和X·Z·芬。“通过模拟匹配进行批量贝叶斯优化”。神经信息处理系统的进展23。由J.La Offerty、C.Williams、J.Shawe Taylor、R.Zemel和A.Culotta编著。柯兰联合公司，2010年，第109-117页。[6] J·贝特、D·金斯伯格、L·李、V·皮切尼和E·巴斯克斯。“用于估计失效概率的计算机实验的顺序设计”。《统计与计算》第22.3页（2012年），第773-793页。[7] S.布贝克、R.穆诺斯和G.斯托尔茨。“全副武装和持枪强盗的纯粹探索”。《理论计算机科学》412.19（2011），第1832-1852页。[8] S.Bubeck、R.Munos、G.Stoltz和C.Szepesvari。“X-武装匪徒”。摘自：《机器学习研究杂志》第12期（2011年），第1655-1695页。[9] A.Carpentier、A.Lazaric、M.Ghavamzadeh、R.Munos和P.Auer。“多武装匪徒主动学习的上限算法”。内容：算法学习理论。斯普林格。2011年，第189-203页。[10] C.Chevalier、J.Bect、D.Ginsbourger、E.Vazquez、V.Picheny和Y.Richet。“基于快速并行克里格法的逐步不确定性降低，并应用于异常集的识别”。摘自：Technometrics 56.4（2014），第455-465页。[11] C.骑士、D.金斯伯格和X.埃默里。“批量连续数据同化的修正克里格更新公式”。主题：地球数学。斯普林格，2014年，第119-122页。[12] H.A.奇普曼、E.I.乔治和R.E.麦卡洛赫。“BART：贝叶斯加性回归树”。《应用统计年鉴》4.1（2010），第266-298页。[13] T.Choi和M.J.Schervish。“关于非参数回归问题的后验一致性”。摘自：《多元分析杂志》98.10（2007），1969-1987页。[14] D.A.科恩。

利用神经网络探索优化实验设计。《神经网络》9.6（1996），第1071-1083页。[15] D.埃格罗夫。“最佳停止和统计学习的蒙特卡罗算法”。安。阿普尔。Probab。15.2（2005），第1396-1432页。参考文献25[16]J.A.Fuemmeler和V.V.Veeravalli。“传感器网络能效跟踪的智能睡眠策略”。地址：IEEE Trans。信号处理。56.5（2008），第2091-2101页。[17] V.加比隆、M.加瓦姆扎德、A.拉扎里克和S.布贝克。“多强盗最佳武器识别”。简介：神经信息处理系统的进展。2011年，第2222-2230页。[18] S·E·加诺、J·E·雷诺、J·D·马丁和T·W·辛普森。“变量优化中使用的克里金模型的更新策略”。《结构与多学科优化》32.4（2006），第287-298页。[19] D.T.吉莱斯皮。“耦合化学反应的精确随机模拟”。摘自：《物理化学杂志》81.25（1977），第2340-2361页。[20] R.B.Gramacy和D.W.Apley。“大型计算机实验的局部高斯过程近似”。摘自：《计算与图形统计杂志》24.2（2015），第561-578页。[21]R·B·格拉梅西和H·K·H·李。“超级计算机实验的自适应设计与分析”。摘自：Technometrics 51.2（2009），第130-145页。[22]R.B.格拉梅西和M.卢德科夫斯基。“最优停车问题的顺序设计”。摘自：《暹罗金融数学杂志》6.1（2015），第748-775页。[23]R·B·格拉梅西和N·波尔森。“用于顺序设计和优化的高斯过程模型的粒子学习”。摘自：《计算与图形统计杂志》20.1（2011），第102-118页。[24]R.B.格拉梅西和M.塔迪。“tgp，一个用于树型高斯过程模型的R包”。摘自：《统计软件杂志》第33期（2012年），第1-48页。[25]R.B.格拉梅西、M.塔迪和N.波尔森。“学习和设计的动态树”。

摘自：《美国统计协会杂志》106.493（2011），第109-123页。[26]S.Gr–unew–alder、J.-Y.Audibert、M.Opper和J.Shawe Taylor。“高斯过程强盗问题的遗憾边界”。年：国际艺术情报与统计会议。2010年，第273-280页。[27]J.赫斯帕尼亚、M.卢德科夫斯基和S.昆特罗。“基于回归的动态规划用于目标跟踪的小型无人机随机最优协调”。摘自：《智能与机器人系统杂志》82（2016年1月），第135-162页。[28]M.W.Ho Off man、B.Shahriari和N.de Freitas。在贝叶斯多臂土匪优化中利用相关性和预算约束。技术代表arXiv预印本arXiv:1303.67462013。[29]D.琼斯、M.肖洛和W.韦尔奇。“高效地对昂贵的黑盒函数进行全局优化”。摘自：《全球优化杂志》13.4（1998），第455-492页。[30]A.Joshi、F.Porikli和N.Papanikolopoulos。“图像分类的多课堂主动学习”。摘自：《计算机视觉与模式识别》，2009年。CVPR 2009。IEEE会议。IEEE。2009年，第2372-2379页。[31]赖昌星、王文星、S·凯克雷、A·舍勒·沃尔夫和N·塞科曼迪。“液化天然气终端储存的评估”。摘自：运筹学59.3（2011），第602-616页。[32]林俊杰和卢德科夫斯基。“隐马尔可夫随机运动模型中的序贯贝叶斯推断及其在季节性流行病检测和响应中的应用”。《统计与计算24.6》（2014），第1047-1062页。[33]F.朗斯塔夫和E.施瓦茨。“通过模拟评估美式期权：一种简单的租赁方方法”。参考文献[34]M.Ludkovski和J.Niemi。“流动管理的最佳动态政策”。《传染病统计通讯》第2（1）（2010）条，第5条（电子版）。[35]M.卢德科夫斯基和J.尼米。

“使用随机模拟的最优疾病暴发决策”。参加：模拟会议（WSC），2011年冬季会议记录。IEEE。2011年，第3844-3853页。[36]D.麦凯。“基于信息的主动数据选择目标函数”。《神经计算4.4》（1992），第590-604页。[37]M.McKay、R.Beckman和W.Conover。“计算机代码输出分析中选择输入变量值的三种方法的比较”。摘自：Technometrics 21（1979），第239-245页。[38]N.Meinshausen和B.Hambly。“多重行使期权估值的蒙特卡罗方法”。《数学金融》第14.4页（2004年），第557-583页。[39]D.梅尔、R.约翰逊、R.格拉梅西和M.曼格尔。“流行病学干预措施适应性管理的统计框架”。《公共科学图书馆综合》第4（6）（2009）号，第5087页。[40]V.皮切尼和D.金斯伯格。“用于部分收敛模拟的非平稳时空高斯过程模型”。摘自：SIAM/ASA《不确定性量化杂志》1.1（2013），第57-78页。[41]V.皮切尼、D.金斯伯格、Y.里奇特和G.卡普林。“基于分位数的可调精度噪声计算机实验优化”。摘自：Technometrics 55.1（2013），第2-13页。[42]V.皮切尼、D.金斯伯格、O.罗斯坦、R.T.哈夫特卡和N.-H.金。“精确逼近目标区域的自适应实验设计”。摘自：机械设计杂志132（2010），第071008页。[43]P.兰扬、D.宾厄姆和G.米切利迪斯。“复杂计算机代码轮廓估计的序贯实验设计”。摘自：Technometrics 50.4（2008），第527-541页。[44]B.里普利。黄土{stats}：局部多项式回归拟合。R软件包verion 3.0.1。[45]O.Roustant、D.Ginsbourger和Y.Deville。“DiceKriging，DiceOptim：通过基于kriging的元建模和优化分析计算机实验的两个R包”。摘自：《统计软件杂志》51.1（2012），pp。

1–51.[46]N.斯里尼瓦斯、A.克劳斯、S.卡卡德和M.西格。“bandit环境下高斯过程优化的信息论方法”。摘自：IEEE信息论学报58.5（2012），第3250-3265页。[47]C·K·威廉姆斯和C·E·拉斯穆森。机器学习的高斯过程。麻省理工学院出版社，2006年。[48]M.泽沃斯、T.C.约翰逊和F.阿拉泽米。“低买高卖”的投资策略。《数学金融23.3》（2013），第560-578页。