表5中的数据表明，标准偏差率的近似值（5.4）相当准确，尤其是对于两个利率之间的强负相关而言。表5：不同相关性的经验和理论标准偏差比率。ρsd-0.25-0.20-0.15-0.10-0.05 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25ρ*df0。80 1.00 0.75 0.50 0.25 0 -0.25-0.50-0.75-1-0.80Γdev4。501 5.301 5.305 5.224 5.073 5.010 4.850 4.867 4.554 4.467 3.788u3.714 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 4.472 3.714通过仔细检查图2中的数据，我们推断∈ [-0.25,0.25]，ρ的方差降低幅度最大*（5.6）中定义了DFA。因此，我们得出结论，u表现出Γdev的定性行为，因此（5.4）提供了标准偏差率的良好近似值。事实上，我们的观察结果表明，u起着较低的作用。只要ρvd和ρvf接近于零，我们就可以将这些结果推广到布朗河和河流之间的完全相关结构，如前所示。图2：当ρsv=-0.10，ρsf=-0.20和ρvd=ρvf=0。假设汇率动态独立于利率动态，即ρsd=ρsf=0，并确定最佳相关性ρ*SV为给定波动率ξ的最大标准偏差率对应的值。然后，图3中的数据表明，当相关性的绝对值很小时，方差减少的程度最高。事实上，我们注意到两件事。首先，当波动率降低时，最佳相关性接近于零，即limξ→0ρ*sv=0，这是备注4.3中的预期值。

第二，标准偏差率ρ*SV随着波动性的降低而增加。实际上，ξd，f 1（见表2），因此这两种利率对混合蒙特卡罗/PDEestimator的方差几乎没有影响。因此，由于ρ*Sv接近于零，方差主要来自（2.12）中定义的σ。另一方面，ξ的值越小，σ的方差越小，混合估计量的方差也越小，从而导致标准偏差率越高。当增加均值回复速度k或长期方差θ时，我们观察到类似的行为。k值越大，σ的方差越小，因为平方波动率具有均值回复特性，这确保了过程快速返回长期平均值。另一方面，θ值越大，波动性越大，这导致标准蒙特卡罗估计量的方差增加，因为SDE中驱动汇率过程的差异项越大。我们在分析结束时指出，ρsda和ρsfclose的值在一定程度上会产生类似的结果。然而，当两个相关性的绝对值不小时，σ以及由此产生的k、ξ和θ对混合估计量方差的影响减小。图3中的最大值在ρsv=0和ξ=0.05附近达到，其中标准图3：4000次模拟和10个时间步的标准偏差率，当ρsd=ρsf=0时，根据相关性ρsv和波动率ξ绘制。偏差率为Γdev=23。因此，与标准蒙特卡罗方法相同的精度水平需要529倍的模拟。接下来，我们检查不同地点和期限的方差减少。

图4中的数据表明，除非期权远远超出资金范围且到期日很小，否则变化的Sand T对标准偏差率几乎没有影响，标准偏差率约为2。用标准蒙特卡罗方法计算期权价格意味着积分支付函数，这在执行时是不可微分的，而用混合蒙特卡罗/概率密度方法我们积分平滑条件价格。由于正收益的概率随着沙粒T的减少而降低，因此用前者准确估计它需要更多的模拟。因此，标准蒙特卡罗方法的相对标准误差会随着资金的使用或接近到期日而增加，采用混合算法的好处也变得显而易见。例如，对于一个3个月的通话，其现货价格为75%的罢工，我们观察到的方差折减系数为5275。此外，图4表明，当期权远远超出资金范围时，在（4.29）中得出的标准偏差率近似值不成立。例如，wecompute a=0.7893，这给出了理论标准偏差比u=1.629。当ns=105且T=0.5时，这接近估计值Γdev=1.832。然而，当ns=85和T=0.1时，我们观察到更高的标准偏差比Γdev=19.863。假设国内外短期利率动态相互独立，也独立于汇率及其波动的动态，设ρsv=-0.10，和以前一样。此外，假设其他模型参数，以及黑点、走向和成熟度，采用本节开头列出的值。

使用Monte-Carlo模拟法，当Igun=1000时，取RmSv=1.4，按标准时间步进行模拟，取RmSv=1.4，取RmSv=1.4，按标准时间步进行模拟-0.60.比因子完全相关的估计值高出约0.14%，即Θ*= 12.11968. 一方面，从分析可操作性的角度来看，这些因素的假定独立性是至关重要的（Ahlip和Rutkowski，2013），但可能会导致相当不同的期权价格。另一方面，一个完整的相关性结构会导致aricher模型，并更好地拟合观察到的市场数据。最后，我们测试了混合方法的准确性，并使用Ahlip和Rutkowski（2013）的半解析定价公式来确定真实的期权价格，Θ=12.13603，因此相对误差约为0。0015%，这证实了混合蒙特卡罗/偏微分方程估计是正确的。5.2追加卖出期权设定现货、走向、障碍和到期日为：S=100、K=105、B=110和T=0.25，并考虑持续监控追加卖出期权。我们将首先使用混合蒙特卡罗/偏微分方程方法评估合同。因此，对于方差和利率路径的特定实现，我们计算条件期权价格，即u（t，x）=Ehe-RTtrduduK- 装货单+马克斯特≤U≤TSu<BGf、d、vT、St=xi。（5.7）我们知道，u满足以下初始边值问题：tu+utxxu+aVtxxxu- rdtu=0，0<x<B，t<t（5.8）u（t，B）=0，T≤ Tu（T，x）=（K）- x） +,，0≤ x<B.我们从初始条件开始，在一个矩形区域上，用t向后求解偏微分方程∈ [0，T]和x∈ [0.7S，B]在具有N+1个时间节点和L+1个空间节点的均匀网格上离散。

我们选择了空间计算域的这个特定下边界，以减少空间节点的数量，同时确保由于我们选择域而产生的截断误差可以忽略不计。我们使用无中心差分格式来近似空间导数，并使用线性边界条件（Tavella和Randall 2000）说明xxu=0，在下限，期权深藏在货币中，价格在x中可以被视为线性。为了方便起见，我们使用了用于离散平方波动率和利率的时间网格。障碍期权价格的最终估计是在大量布朗运动W、W和W的离散轨迹上的蒙特卡罗平均值。或者，我们可以使用Fatone等人（2008）的微扰公式来近似条件期权价格，然后使用简单的蒙特卡罗平均值来估计外部预期。因此，我们称这种数值格式为混合蒙特卡罗/珀特方法。Fatone et al.（2008）通过级数展开，用时间相关参数近似Black-Scholes模型中的向上卖出期权价格，并为前三项提供了明确的公式，其中涉及一些基本和非基本的超越函数。

然而，我们将只关注零阶近似，因为使用一阶校正项会导致计算时间增加百倍，并且与混合蒙特卡罗/偏微分方程方法相比，该方法的性能较差。分别使用M=4×10模拟和N=200时间步来最小化采样和离散误差，我们得到了一个零阶近似值：Θ=5.7700。由于期权定价问题的封闭式解决方案不可用，我们需要找到准确的参考估计值*以计算数值方法的不同误差。因此，我们使用混合蒙特卡罗/PDEalgorithm和Crank-Nicolson方案，M=4×10模拟，N=200时间步，L=20空间步，以发现：Θ*= 5.7631. 因此，混合蒙特卡罗/Pert方法的近似误差为：Θ- Θ*= 0.0069，即约0.1%。在图5中，我们报告了使用参考估计Θ计算的时间离散化误差*– 其精度将在下文讨论——或Θ，以及大量模拟和空间步长，即M=4×10和L=20。对于标准蒙特卡罗和混合蒙特卡罗/Pert方法，时间离散化误差定义为偏差，而对于混合蒙特卡罗/PDE算法，由于我们选择了有限差分网格，它包含有限差分（FD）时间离散化误差。此后，术语“离散化误差”代表时间离散化误差。另一方面，标准蒙特卡罗仅在离散时间监控屏障的穿越。这会导致监控错误，包括在离散化错误中。

此外，由于期权的淘汰特性，真实价格小于蒙特卡罗估计值，这解释了图5中显示的强正偏差。图5中的数据表明标准蒙特卡罗和a10的平方根收敛-310-210-110010-410-310-210-1100时间步长误差混合MC/PDE离散化误差蒙特卡罗离散化误差混合MC/Pert离散化误差参考线斜率为0.5参考线斜率为1.0图5：混合蒙特卡罗/PDE、混合蒙特卡罗/Pert和标准蒙特卡罗方法的时间离散化误差与时间步长的对数图。混合算法的一阶收敛性。另一方面，我们可以使用布朗桥技术（参见Glasserman 2003）来改进第一种方法并恢复Firstorder收敛。事实上，图5中的（红色）蒙特卡罗曲线几乎与（绿色）混合蒙特卡罗/珀特曲线和布朗桥校正一致。例如，我们计算了N=8个时间步的离散化偏差为0.0075，适用于带布朗桥的Monte Carlo和混合Monte Carlo/Pert。在图6中，我们报告了使用Θ计算的空间离散化误差*以及大量模拟和时间步长，即M=4×10和N=200。当罢工线位于两个相邻节点之间的中间时，数据表明存在二阶收敛和局部最小离散化误差，这种技术称为网格移位（Tavella和Randall 2000）。

因此，考虑到时间离散误差（T-Err）的一阶收敛性和有限差分空间离散误差（S-Err）的二阶收敛性，采用混合蒙特卡罗/PDE方法，并使用外推，我们得到了参考估计的近似均方根误差（RMSE）：T-Err≈ 5.76×10-4.S-Err≈ 10.80×10-4、科技发展署≈ 2.09×10-4.=> RMSE≈ 1.67×10-3.这相当于实际期权价格的0.03%左右的RMSE，表明参考估计值Θ*= 5.7631精确到小数点后两位。接下来，我们比较了三种数值方法在给定精度水平下的计算时间，特别是当RMSE最多为期权价格的0.30%时。首先，使用上面确定的经验收敛率和外推法，我们需要M=2.5×10模拟和N=800时间步，因此使用标准蒙特卡罗方法的CPU时间为61.2秒。其次，我们使用混合蒙特卡罗/PDE10010110达到了这一精度水平-310-210-1空间阶跃误差混合MC/PDE空间-离散化误差斜率为2.0的参考线图6：混合蒙特卡罗/PDE方法的绝对空间离散化误差与空间步长的对数图。当M=12000、N=10和L=12时，在2秒内使用该方法。第三，我们需要使用混合蒙特卡罗/Pert方法，采用零级近似，M=12000，n=10，需要3.1秒。因此，当追加和卖出期权价格估计不需要太精确时，例如，当精度的小数点后一位足够时，这两种混合算法在CPU时间和效率方面是可比的，并且比标准蒙特卡罗算法快得多。然而，更高的精度要求混合蒙特卡罗/珀特近似中至少有一阶校正项，这使得它非常耗时。

因此，我们得出结论，混合蒙特卡罗/偏微分方程方法是三种方案中更好的。我们在上文中提到，带布朗桥的蒙特卡罗恢复了观测到的离散化误差的一阶收敛性和混合蒙特卡罗/Pert方法的偏差水平。混合蒙特卡罗/偏微分方程方法的时间离散误差约为1.6倍，包括FD时间离散误差。对于小数点后两位的精度，我们定义了100个时间步长和20个空间步长，因此空间和时间离散化误差约为0.02%。然后，对于混合蒙特卡罗/PDE方法，通过40000次模拟获得载体期权价格估计所需的时间为26秒，对于带布朗桥的蒙特卡罗方法，所需时间为2.1秒（对于标准蒙特卡罗方法，为1.4秒）。因此，后者的计算成本降低了92%。总之，由于标准偏差的平方根收敛性，Γdevn需要高于4.5，以使混合蒙特卡罗/偏微分方程方法优于蒙特卡罗布朗桥方法。正如在欧洲看涨期权的情况下，方差减少对汇率和平方效用或利率之间的相关性变化最为敏感。图7展示了与图1相似的特征。特别是，最高的图7：400个模拟、10个时间步和4个空间步的标准偏差率，在后两者相等时，根据相关系数ρsv、ρsda和ρsf绘制。当ρsv≈ 0.05和ρsd≈ ρsf≈ 0，在这种情况下Γdev=40。根据之前的观察，这相当于混合算法的计算效率降低了80倍。

仔细检查图7中的数据表明，对应于Γdev>4.5的点集（ρsv，ρsd）大致可以用以下不等式来描述：ρsv- 0.05+ 1.6ρsd<4.2-2，（5.9）即椭圆的内部，这是一组参数，其中方差减少的好处超过了在这种情况下求解条件偏微分方程的额外复杂性。通过混合方法实现的方差减少导致计算节省（样本数量），节省的因素大致与所需的精度无关。相反，有限差分法的更高精度只能通过更多的网格点来实现。因此，为了获得足够高的精度，混合方法似乎永远无法战胜标准的蒙特卡罗方法。对于小误差，混合方法的渐进复杂性增益要求PDE可以用独立于所需精度的恒定作用力来求解（对于给定统计误差，这种作用力将被减少的样本数所抵消）。最近为随机偏微分方程开发的多级蒙特卡罗方法（Giles和Reisinger 2012）正是为了实现这一目标而设计的，它通过将主要样本数集中在最粗糙的网格上，同时在路径数为零的细网格上计算修正来实现。在当前背景下的应用和数值分析是进一步研究的主题。6结论第5节中进行的数值实验表明，根据合同和模型参数，在某些情况下，混合方法优于标准蒙特卡罗方法和有限差分方法。当条件期权价格的闭式解可用时，我们通常会看到在精度和计算时间方面都有相当大的改进。

如果不是这样，混合算法将以增加计算时间为代价提供更高的精度，并且它执行经典方案的参数值集是有限的。本文进行的分析不仅限于四维HestonCIR模型，而且可以推广到更高维的问题。例如，我们可以考虑多因素短期利率，如Dang等人（2015年）所述，具有CIR动态和期限结构，在这种情况下，收敛和方差缩减分析适用于证明的一些轻微修改。随机波动率解释了波动率的聚集性、增量依赖性、长期微笑和倾斜，但在隐含波动率中会产生不现实的短期模式。因此，为了改善短期内隐含波动率的行为，可以将原始模型扩展为Cozma和Reisinger（2015a）中的随机局部波动率模型，该模型可以很容易地用于障碍期权定价，而无需额外的计算功能，或者在即期外汇汇率中添加一个独立的跳跃成分，在这种情况下，分析公式可能适用于欧式期权的条件价格。例如，当跳跃大小的分布为正态（Merton 1976）或双指数（Kou 2002）时，就是这种情况。然而，仍然存在一些尚未解决的问题，如离散化方案的强收敛速度，或是一个具有观察到的二阶收敛的有限差分方案，以便及时为障碍期权定价。此外，研究套期保值参数也是相关的，我们打算在未来的研究中继续研究所有这些主题。利益声明作者报告没有利益冲突。只有作者对论文的内容和写作负责。

Andrei Cozma的研究由EPSRC资助，感谢您的支持。参考Sahlip，R.和Rutkowski，M.（2013）。Hestonstochastic波动率模型和CIR利率下的外汇期权定价。定量金融，13（6）：955-966。Ait-Sahalia，Y.和Kimmel，R.（2007年）。随机波动率模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》，83:413–452。阿明，H.H.N.（2012）。校准不同的利率模型，以获得良好的收益率曲线。德尔夫特理工大学硕士论文。Andersen，L.和Piterberg，V.（2007年）。随机波动模型中的矩爆炸。《金融与随机》，11（1）：29-50。Ang，X.X.（2013）。PDE/Monte Carlo混合方法是在高维系统下定价的有效方法。牛津大学硕士论文。Brigo，D.和Mercurio，F.（2006年）。利率模型：理论与实践。德国柏林斯普林伯格。克拉克，I.J.（2011）。外汇期权定价：从业者指南。约翰·威利父子公司。1985年和1985年，罗斯·艾尔索尔斯。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385-407。Cozma，A.和Reisinger，C.（2015a）。具有CIR利率的Heston随机局部波动模型的Euler离散格式的收敛性。工作文件，arXiv:1501.06084v3[q-fin.CP]。Cozma，A.和Reisinger，C.（2015b）。Cox-Ingersoll-Ross过程Euler离散格式的指数可积性。工作文件，arXiv:1601.00919[q-fin.CP]。Dang，D.-M.，Jackson，K.R.，和Mohammadi，M.（2015）。用于高维金融模型的蒙特卡罗方法的降维和方差。应用数学金融学。Dereich，S.，Neuenkirch，A.，和Szpruch，L.（2012）。Cox-Ingersoll-Ross过程强近似的Euler型方法。

《皇家学会会刊》，A，468（2140）：1105-1115。Driffill，J.，Kenc，T.，和Sola，M.（2003年）。对具有制度变迁的期限结构模型的实证检验。计算经济学与金融65，计算经济学学会。Dufresne，D.（2001年）。综合平方根过程。第90号研究论文，墨尔本大学军事研究中心。Elices，A.和Gim\'enez，E.（2013年）。运用套期保值策略估计模型风险和准备金计算。定量金融，13（7）：1015-1028。埃里斯曼，M.（2011）。评估或有可转换资本的分析命题。圣加仑大学硕士论文。埃文斯，L.C.（1998）。偏微分方程，数学研究生课程第19卷。美国数学学会。L.法通、M.C.雷基奥尼和F.齐里利（2008）。Black和Scholes世界中含时参数的Barrieroption定价的摄动公式。风险杂志，10（2）：131-146。费舍尔，M.和纳波，G.（2009）。关于连续模的矩。随机分析与应用，28（1）：103-122。贾尔斯，M.（2008）。多级蒙特卡罗路径模拟。运筹学，56（3）：607-617。贾尔斯，M.和赖辛格，C.（2012）。随机有限差分和多级蒙特卡罗或一类SPD金融。暹罗金融数学杂志，3（1）：572-592。格拉斯曼，P.（2003）。金融工程中的蒙特卡罗方法，《随机建模和应用概率》第53卷。斯普林格。格泽拉克，L.A.和奥斯特利，C.W.（2011）。关于具有随机利率的Heston模型。暹罗金融数学杂志，2:255–286。赫斯顿，S.（1993）。具有随机波动性的期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。金融研究回顾，6（2）：327-343。海厄姆，D.J.和毛，X.（2005）。

涉及平均回复平方根过程的蒙特卡罗模拟的收敛性。计算金融杂志，8（3）：35-62。赫尔，J.和怀特，A.（1987）。随机波动资产的期权定价。《金融杂志》，42（2）：281-300。亨特，C.（2005）。混合衍生产品。欧洲货币衍生品和风险管理手册。Hurn，A.S.，Lindsay，K.A.，和McClelland，A.J.（2014）。利用期权价格数据估计随机波动率模型的参数。商业与经济统计杂志。内政部：10.1080/07350015.2014.981634。Hutzenthaler，M.和Jentzen，A.（2015）。具有非全局Lipschitz连续系数的随机微分方程的数值逼近。美国数学学会回忆录，236（1112）。Jacquier，A.和Martini，C.（2011）。海斯顿2010。SSRN电子杂志。白皮书，Zeliade Systems。Jessen，C.和Poulsen，R.（2013）。障碍期权估值模型的实证表现。定量金融，13（1）：1-11。Kloeden，P.和Neuenkirch，A.（2012）。数学金融中随机微分方程数值方法的收敛性。《计算金融的最新发展：基础、算法和应用》，Gerstner，T.和Kloeden，P.编辑。世界科学出版公司。寇世杰（2002）。期权定价的跳差模型。管理科学，48（8）：1086-1101。拉弗尔斯，L.（2009）。利率差异模型的经验似然估计。布拉迪斯拉发夸美纽斯大学硕士学位。李普，T.，洛佩尔，G.，和皮龙诺，O.（2013）。混合蒙特卡罗和部分微分方程的期权定价。《中国数学年鉴》，B辑，34（2）：255-276。Loeper，G.和Pironeau，O.（2009）。随机波动率模型的PDE/Monte Carlo混合方法。

Comptes Rendus Mathematique，347（9-10）：559-563。罗德·R.、科克克·R.、范·迪克·D.（2010）。随机波动率模型有偏模拟模式的比较。定量金融，10（2）：177-194。麦基，W.A.（2014）。存在随机波动的路径依赖合约定价——结合数值积分、有限差分和条件蒙特卡罗。工作文件，可在SSRN上获得：http://ssrn.com/abstract=2510746.Merton，R.C.（1976）。基础股票收益不连续时的期权定价。《金融经济学杂志》，3（1-2）：125–144。Neuenkirch，A.和Szpruch，L.（2014）。定义在一个域中的标量SDE的一阶强近似。Numerische Mathematik，128（1）：103–136。欧文·D·B.（1980）。正规积分表。《统计学中的通信——模拟与计算》，B9（4）：389-419。皮特堡，V.（2006年）。微笑的混血儿。风险，19（5）：66-71。Sch–obel，R.和Zhu，J.（1999）。带有Ornstein-Uhlenbeck过程的随机波动率：一个推广。《欧洲金融评论》，3（1）：23-46。Shreve，S.E.（2004）。金融随机演算2：连续时间模型。斯普林格金融公司。斯普林格。Tavella，D.和Randall，C.（2000年）。金融工具定价：有限差异法。威利，纽约。Van Haastrecht，A.，Lord，R.，Pelsser，A.，和Schrager，D.（2009）。具有随机利率和随机波动性的长期股权和外汇衍生品定价。保险：数学与经济学，45（3）：436-448。Van Haastrecht，A.和Pelsser，A.（2011）。随机利率和随机波动下外汇、外汇和股票期权的一般定价。定量金融，11（5）：665-691。威拉德，G.A.（1997）。在多因素模型中计算路径无关衍生证券的价格和灵敏度。衍生工具杂志，5（1）：45-61。附录A。

引理3.1Let{Gyt，0的证明≤ T≤ T}是WYT生成的自然过滤，并使用缩写符号Eyt·= E· |吉特. 如果我们假设∈ [tn，tn+1]在Gytn条件下，我们得到Θt= 经验λZtnYudu+uZtnqYuδWyuδtdu经验λ+t- tn2δtu（t）- tn）Ytn.在注意到下面的身份后，supx∈[0,1]λx+ux= 1.> 0，我们推断 ≤0表示EytnΘt≤ 艾顿Θtn和 > 0表示EytnΘt≤ Eytn公司Θtn+1.此外，由于Y是分段常数，ZtnqYuδWyuδtdu=ZtnqYudWyu，0≤ N≤ N.从今往后，我们遵循Cozma和Reisinger（2015b）中命题3.6的论点。附录B.命题3.2的证明我们发现定义一个新的随机过程很方便≡ Stexp兹特富杜= 性爱Ztrdu-似曾相识du+Zt√武德苏. （B.1）自≤ 书信电报，T∈ [0，T]，必须证明T of e上的上确界的唯一性Lωt= SωE经验ωztrdu-ωZtvudu+ωXj=1a1jZt√武德居. （B.2）让Gd，vt，0≤ T≤ T是布朗驱动因子WandW产生的自然过滤，即在时间T之前观察到的过程RDV和RDV产生的过滤，以及Gvt，0≤ T≤ T是W生成的过滤。在σ-代数Gd，vt上调节（B.2）右侧的期望，并考虑到Wand是独立的，我们可以使用矩母函数（MGF）计算内部期望：E经验ωaZt√vudWu+ωaZt√武德武Gd，vt= E经验ωaZt√武德武Gd，vtE经验ωaZt√武德武Gd，vt= 经验ωa+aZtvudu. （B.3）用（B.3）引线替换回（B.2）Lωt= SωE经验ωztrdu+ωa+a-ωZtvudu+ωXj=3a1jZt√武德居.接下来，我们利用H¨older不等式，其中p，q>1，q=p/（p）- 1） ，以迫使termrtudu超出期望值，然后将第二个期望值条件化为σ-代数Lωt≤ SωE经验pωztrdu体育课经验Qωa+a+qa-ωZtvudu+qωaZt√武德武Q

（B.4）剩下要做的就是证明（B.4）右侧的两个期望值的上确界t是有限的。然而，Cozma和Reisinger（2015b）中的命题3.2提供了以下充分条件：≥p2pωξd，（B.5）以及≥ qωρsvξ（B.6）和ωξaq+2ωρsvξk+ωξa+a- ωξQ- K≤ 0，（B.7）表示所有T>0。（3.7）中的第一个假设确保q（α）>1，因此q（α）>1。这意味着q（α）/（q（α）-1) > 1. 由于（3.7）中的第二个假设，我们可以发现p>1，因此kd2ξd>αp>αq（α）q（α）- 1.=> kd>p2pαξd.（B.8）下面x中的二次方程有不同符号的根，正根q（α）：αξax+2αρsvξk+αξa+a- αξ十、- k=0。然而，H–older配对满足p=q/（q）- 1） ，所以q<q（α）≤ q（α）。因此，q位于二次曲线的两个根之间，这意味着αξaq+2αρsvξk+αξa+a- αξQ- k<0。（B.9）从（3.6）开始，如果ρsv>0，q<q（α）≤kαρsvξ=> k>qαρsvξ（B.10），当相关系数为非正时，这显然成立。考虑下面的三个连续映射，当ω=α时，它们是严格正的，ω 7→ K- qωρsvξ；ω 7→ 杜兰特-p2pωξd；ω 7→ K- ωξaq-2ωρsvξk+ωξa+a- ωξq、 然后我们可以找到α>α，使得这三个函数在[α，α]上都是正的。因此，我们已经证明了条件（B.5）-（B.7）是满足的，结论如下。区间[1，α）的扩展直接来自Jensen不等式。在a=0的特殊情况下，即ρsd=ρsvρvd，参数是相同的，在条件（B.7）中只出现差异，即2ωρsvξk+ωξ1.- ρsv- ωξQ- K≤ 从今以后，我们可以很容易地证明，只要ask>αρsvξ+pα（α），命题3.2在这种情况下仍然成立- 1） ξ，kd2ξd>αmax1，kk- αρsvξ，k（k- αρsvξ）- α(α - 1)ξ.附录C。

命题3.3的证明为了方便起见，定义了一个新的随机过程L byLt≡ Stexp兹特富杜= 性爱Ztrdu-似曾相识du+aZtqVudWu+Xj=2a1jZtqVuδWjuδtdu. （C.1）作为St≤ 书信电报，T∈ [0，T]，必须证明T和δT上的上确界的唯一性Lωt= SωE经验ωztrdu-ωZtVudu+ωaZtqVudWu+ωXj=2a1jZtqVuδWjuδtdu. （C.2）将右侧的期望值调整为Gd、VT，并记住：⊥⊥W、 我们可以将内部期望分为两部分，我们使用MGFs进行计算。首先，E经验ωaZtqVudWuGd，vT= 经验ωaZtVudu. （C.3）第二，让t∈ [tn，tn+1）。由于V是分段常数，而Whas是独立增量，E经验ωaZtqVuδWuδtduGd，vT= E经验ωaZtnqVudWu+ωat- tnδtZtn+1tnqVudWuGd，vT= 经验ωaZtnVudu经验ωa（t）- tn）（δt）Ztn+1tnVudu≤ 经验ωaZtVudu. （C.4）用（C.3）和（C.4）替换回（C.2）导致上界ELωt≤ SωE经验ωztrdu+ωXj=3a1jZtqVuδWjuδtdu+ωa+a-ωZtVudu. （C.5）接下来，我们利用H¨older不等式对（p，q），其中p，q>1，q=p/（p）-1） ，迫使TermrTudu超出预期。然后，我们将第二个期望条件设置在σ-代数gv上，并按照（C.4）中的步骤到达atELωt≤ SωE经验pωztrdu体育课经验qωaZtqVuδWuδtdu+qωa+a+qa-ωZtVuduq、 （C.6）我们剩下要做的就是证明（C.6）右边两个期望值的上确界t和δt是有限的。然而，我们可以很容易地从引理3.1推导出以下有效条件：≥pωTξd，k≥ qωρsvξ+Tξ，（C.7）其中 = Qω(ω - 1） +ω（q）- 1)a+a. （C.8）注意，我们在（C.8）中使用了dpj=1a1j=1。另一方面，（3.10）中的第一个假设确保q（α）>1。这反过来意味着q（α）/（q（α）-1) > 1. 由于（3.10）中的第二个假设，我们可以找到p>1，这样2kdtξd>αp>αq（α）q（α）- 1.=> kd>pαTξd。

（C.9）下面x中的二次方程有不同符号的根，正根q（α）：Tαξa+ax+αρsvξ+Tαξa+a-Tαξ十、- k=0。然而，H–older配对满足p=q/（q）- 1） 因此q<q（α）。因此，q位于二次曲线的两个根之间，这意味着tαξa+aq+αρsvξ+Tαξa+a-TαξQ- k<0。（C.10）重新排列上述不等式中的项，我们得到k>qαρsvξ+Tξqα(α - 1） +α（q）- 1)a+a. （C.11）从（C.9）和（C.11）中，利用一个类似于命题3.2证明中所用的连续性论证，我们推导出（C.7）中的两个条件在一个区间[α，α]上保持，对于某些α>α，这就结束了证明，ω ∈ [1, α]. 如果A和A同时为零，即ρsv=ρsd=0，我们可以很容易地证明命题3.3在ask>α（α）的情况下仍然成立- 1） Tξ，kdTξd>2αk4k- α(α - 1） Tξ。附录D.命题3.4的证明我们严格遵循命题3.2的论点，并以σ-代数gvtinstead为条件来推导它Rωt≤ SωE经验ω1.- ρsv-ωZtvudu+ωρsvZt√武德武. （D.1）首先，假设α=1，T≥ 0.如果k<ρsvξ，则↓ 1+ν（ω）对数ωρsvξ-k+ν（ω）ωρsvξ-K- ν(ω)= ∞.因此，通过一个连续性参数，我们可以找到α>1，这样对于所有ω∈ （1，α），k<ωρsvξ-pω（ω）- 1） ξ和T<ν（ω）对数ωρsvξ-k+ν（ω）ωρsvξ-K- ν(ω). （D.2）如果k=ρsvξ，则ρsv∈ （0,1]和limω↓ 1+^ν(ω)π- 阿尔克坦ωρsvξ-k^ν（ω）= limω↓ 1+^ν（ω）弧tanpω- (ω - 1） ρsv√ω - 1ρsv！=∞.此外，请注意，对于所有ω>1，ωρsvξ-pω（ω）- 1) ξ ≤ ωk-pω（ω）- 1） k<k。因此，我们可以找到α>1，这样对于所有ω∈ （1，α），ωρsvξ-pω（ω）- 1） ξ<k<ωρsvξ+pω（ω- 1） ξ（D.3）和t<^ν（ω）π- 阿尔克坦ωρsvξ-k^ν（ω）. （D.4）如果k>ρsvξ，那么我们可以找到α>1，这样对于所有ω∈ （1，α），k>ωρsvξ+pω（ω）- 1) ξ.

（D.5）结论来自Cozma和Reisinger（2015b）以及（D.2）-（D.5）中的命题3.2。接下来，假设α>1，T<T*, 和T*定义见（3.16）-（3.19）。如果k<αρsvξ-pα（α- 1） ξ，通过连续性参数，我们可以找到α>α，这样对于所有ω∈ （α，α），k<ωρsvξ-pω（ω）- 1） ξ和T<ν（ω）对数ωρsvξ-k+ν（ω）ωρsvξ-K- ν(ω). （D.6）如果k=αρsvξ-pα（α- 1） ξ，然后ρsv∈ （0,1]对于所有ω>α，ω- α<pω（ω）- 1) -pα（α- 1) => ωρsvξ-pω（ω）- 1） ξ<αρsvξ-pα（α- 1) ξ.此外，注意limω↓ α+^ν(ω)π- 阿尔克坦ωρsvξ-k^ν（ω）= limω↓ α+^ν（ω）arctan^ν（ω）αρsvξ-K=αρsvξ-k、 因此，我们可以找到α>α，这样对于所有ω∈ （α，α），ωρsvξ-pω（ω）- 1） ξ<k<ωρsvξ+pω（ω- 1） ξ（D.7）和t<^ν（ω）π- 阿尔克坦ωρsvξ-k^ν（ω）. （D.8）如果αρsvξ-pα（α- 1） ξ<k<αρsvξ+pα（α- 1） ξ，我们可以清楚地找到α>α，这样（D.7）和（D.8）都适用于所有ω∈ (α, α). 如果k=αρsvξ+pα（α- 1） ξ，那么对于所有ω>α- ω） ρsv<pω（ω）- 1) -pα（α- 1) => αρsvξ+pα（α- 1） ξ<ωρsvξ+pω（ω- 1) ξ.此外，注意limω↓ α+^ν(ω)π- 阿尔克坦ωρsvξ-k^ν（ω）= limω↓ α+2π^ν(ω)= ∞.因此，我们可以找到α>α，使得（D.7）和（D.8）都适用于所有ω∈ (α, α). 最后，如果k>αρsvξ+pα（α- 1） ξ，那么我们可以找到α>α，这样对于所有ω∈ （α，α），k>ωρsvξ+pω（ω）- 1) ξ. （D.9）结论来自Cozma和Reisinger（2015b）以及（D.6）-（D.9）中的命题3.2。区间[1，α）的扩展遵循Jensen不等式。附录E.命题3.5的证明我们严格遵循命题3.3的论点，并以σ-代数gvtinstead为条件来推导命题ERωt≤ SωE经验ω1.- ρsv-ωZtVudu+ωρsvZtqVuδWuδtdu. （E.1）假设T<T*, 和T*从（3.21）到（3.22）。如果k<αρsvξ+pα（α- 1） ξ，然后通过连续性参数，我们可以找到α>α，这样对于所有ω∈ （α，α），k<ωρsvξ+pω（ω）- 1） ξ和T<ωρsvξ+pω（ω- 1) ξ - K

（E.2）如果k=αρsvξ+pα（α- 1） ξ，因为k，ξ>0，对于所有ω>α，我们有ρsv>-r1-α> -=> αρsvξ+pα（α- 1） ξ<ωρsvξ+pω（ω- 1) ξ.此外，请注意4（k- αρsvξ）α（α- 1） ξ=αρsvξ+pα（α- 1) ξ - kand-limω↓ α+ωρsvξ+pω（ω- 1) ξ - k=T*,和T*从（3.22）。因此，我们可以找到α>α，使得（E.2）适用于所有ω∈ (α, α).最后，如果k>αρsvξ+pα（α- 1） ξ，sincelimω↓ α+4（k）- ωρsvξ）ω（ω- 1） ξ=T*,和T*从（3.22）中，我们可以找到α>α，这样对于所有ω∈ （α，α），k>ωρsvξ+pω（ω）- 1） ξ和T<4（k- ωρsvξ）ω（ω- 1)ξ. （E.3）结论来自引理3.1和（E.2）-（E.3）。区间[1，α）的扩展遵循Jensen不等式，ηω=ηα，ω ∈ [1, α]. 附录F.命题3.6的证明以下辅助结果证明了外国利率几乎肯定是积极的。引理F.1。让κ>（rf）-1并确定停止时间τκ=infT≥ 0:rft≤ κ-1.. （F.1）如果2kfθF>ξF，则为limκ→∞Pτκ≤ T= 0.（F.2）证明。定义函数U:（0，∞) 7.→ R byU（x）=x-α、 α=2ξf2kfθf- ξf. （F.3）根据It^o的公式，我们有EhurfT∧τκi=U射频- 埃兹特∧τκαrfs-(1+α)kfθf- kfrfs- ρsfξfqvsrfsds+EZT∧τκα（1+α）ξfrfs-（1+α）ds- 埃兹特∧τκαξfrfs-（0.5+α）dWfs。（F.4）然而，EZTαξFrfs-（1+2α）s<τκds≤ αξfκ1+2αT<∞,（F.4）右边的随机积分是真鞅。因此，EhUrfT∧τκ我≤ U射频- 埃兹特∧τκA.rfs-(1+α)- Brfs-α- cv0。5秒rfs-(0.5+α)ds，（F.5）式中=8ξF2kfθf- ξf, b=kf2ξf2kfθf- ξf, c=|ρsf | 2ξf2kfθf- ξf. （F.6）利用Fubini定理和（F.5）中的H¨older不等式，我们得到了rfT∧τκ我≤ U射频-ZTa呃rfs-（1+α）s<τκi- b呃rfs-（1+α）s<τκiα1+α- c苏普∈[0，T]Ehv1+αui2（1+α）Ehrfs-（1+α）s<τκi1+2α2（1+α）ds。（F.7）平方根过程的矩是一致有界的（Dereich et al.2012），函数F:[0，∞) 7.→ 定义的byf（x）=ax- bxα1+α- c苏普∈[0，T]Ev1+αu2（1+α）x1+2α2（1+α）（F.8）从下面清楚地被限定。

因此，我们可以找到一个不依赖于κ的常数C，即EHUrfT∧τκ我≤ C.（F.9）因为rf有连续的路径，所以我们有rfτκ=κ-1和U（rfτκ）=κα。因此，利用（F.9）和U为正的事实，我们推断出κPτκ≤ T= 埃胡rfτκτκ≤ Ti=EhUrfT∧τκτκ≤ 钛≤ 埃胡rfT∧τκ我≤ C.（F.10）k→ ∞ 在（F.10）中得出结论。接下来的两个引理给出了原始和离散化的异化率过程的矩界。引理F.2。该过程具有一致有界矩，即监督∈[0，T]rftP< ∞, P≥ 1.（F.11）证据。p有问题吗≥ 1.从（2.1）开始，rft=rf+kfθft- kfZtrfudu- ρsfξfZtqvurfudu+ξfZtqrfudWfu。（F.12）使用2p | ab |≤ |a |+| b |和H¨older不等式，我们推导出rftP≤ 22（p-1)rf+kfθftp+2p-2 |ρsf | pξpfZtvudup+2p-2.2kf+|ρsf |ξfP兹特富杜p+22（p-1） ξpfZtqrfudWfup、 （F.13）固定t∈ [0，T]。利用H¨older不等式，我们得到SUP∈[0，t]rfsP≤ 22（p-1)rf+kfθfTp+2p-2 |ρsf | pξpfTp-1ZTvpudu+2p-2.2kf+|ρsf |ξfpTp-1Ztrfupdu+22（p-1） ξpfsups∈[0，t]ZsqrfudWfup、 （F.14）从Burkholder-Davis-Gundy不等式中，我们知道存在一个常数Cp>0，即E小吃∈[0，t]ZsqrfudWfuP≤ CpE兹特富杜p/2≤Cp+CpTp-1EZtrfupdu.采用（F.14）中的期望和Fubini定理，E小吃∈[0，t]rfsP≤ 22（p-1)rf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfTpsupu∈[0，T]Evpu+P-2.2kf+|ρsf |ξfpTp-1+22便士-3ξpfCpTp-1.中兴通讯小吃∈[0，u]rfsP杜。应用Gronwall不等式，我们得到监督∈[0，T]rftP≤2（p-1)rf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfTpsupu∈[0，T]Evpu×expnp-2.2kf+|ρsf |ξfpTp+22p-3ξpfCpTpo。（F.15）根据v的矩的有界性得出结论。引理F.3。（2.9）中的过程^rffrom具有一致有界矩，即supδt∈（0，η）E监督∈[0，T]^rftP< ∞, P≥ 1.η > 0. （F.16）证据。解决任何问题≥ 1和η>0。从（2.8）开始，~rft=rf+kfθft- kfZtrfudu- ρsfξfZtqVurfudu+ξfZtqrfudWfu。

（F.17）自^rft以来≤ |根据引理F.2的论点，我们推导出小吃∈[0，t]^rfsP≤ 22（p-1)rf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfTpsupu∈[0，T]EVpu+P-2.2kf+|ρsf |ξfpTp-1+22便士-3ξpfCpTp-1.ZtEhrfu皮杜。（F.18）自supu以来∈[0，T]EVpu≤ 苏普∈[0，T]EVpu, V定义如（2.6）所示，rfu≤ 小吃∈[0，u]^rfs，应用Gronwall不等式，我们得到监督∈[0，T]^rftP≤2（p-1)rf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfTpsupu∈[0，T]EVpu×expnp-2.2kf+|ρsf |ξfpTp+22p-3ξpfCpTpo。（F.19）结论来自Cozma和Reisinger（2015a）中的命题3.4。接下来，我们使用引理F.3来证明两次连续离散之间的Ldi差的收敛性。引理F.4。^rf和rf之间的Ldi差通过δt收敛到零，即limδt→0supt∈[0，T]呃^rft- rfti=0。（F.20）证据。假设t∈ [tn，tn+1]自|^rft-rft|≤ |■rft-~rftn |从（2.8）中，我们可以将上述绝对差值的平方限定为：^rft- rft≤kfθfδt+0.5 |ρsf |ξfδtVtn+kf+0.5 |ρsf |ξfδt^rftn+ξfq^rftnWft- Wftn≤ 4kfθf（δt）+ρsf|ξf（δt）Vtn+2kf+|ρsf |ξf（δt）^rftn+ 4ξf^rftnWft- Wftn.因此，支持∈[0，T]呃^rft- rft我≤ 4kfθf（δt）+ρsf|ξf（δt）supt∈[0，T]E及物动词+2kf+|ρsf |ξf（δt）sup0≤N≤嗯^rftni+4ξfδt sup0≤N≤氖^rftn. （F.21）使用引理F.3以及Cozma和Reisinger（2015a）中的命题3.4得出结论。下面的引理导出了停止过程的强均方收敛性。引理F.5。设l>vand定义停止时间τl=infT≥ 0:vt≥ Lτ=τκ∧ τl，（F.22）和（F.1）中定义的τκ。然后停止的过程在L中一致收敛，即limδt→0E监督∈[0，T]rft∧τ- ^rft∧τ= 0.（F.23）证据。

从（F.12）和（F.17）开始，自| rft- ^rft|≤ |rft- ~rft |，我们有rft∧τ- ^rft∧τ≤- kfZt∧τrfu- ^rfu杜- kfZt∧τ^rfu- rfudu+ξfZt∧τqrfu-q^rfudWfu+ξfZt∧τq^rfu-qrfu德福- ρsfξfZt∧τ√似曾相识qrfu-q^rfu杜- ρsfξfZt∧τ√似曾相识q^rfu-qrfu杜- ρsfξfZt∧τqrfu√似曾相识-qVu杜. （F.24）固定t∈ [0，T]。将两边平方，利用柯西不等式，然后取期望值，利用杜布鞅不等式和富比尼定理，我们得到小吃∈[0，t]rfs∧τ- ^rfs∧τ≤ 7kfTZtEhrfu- ^rfuu<τidu+7kfTZTEh^rfu- rfuidu+28ξfZtEqrfu-q^rfuu<τdu+28ξfZTEh^rfu- rfuidu+7ρsfξfTZtE似曾相识qrfu-q^rfuu<τdu+7ρsfξfTZTEhrfu似曾相识- 似曾相识idu+7ρsfξfTZTEhvu^rfu- rfuu<τidu。（F.25）另一方面，我们知道| rfu- ^rfu | 1u<τ≤ |rfu∧τ- ^rfu∧τ|和qrfu-q^rfuu<τ≤qrfu∧τ-q^rfu∧τ≤ κrfu∧τ- ^rfu∧τ. （F.26）用（F.26）代入（F.25），我们得到以下不等式：E小吃∈[0，t]rfs∧τ- ^rfs∧τ≤7kfT+28ξfκ+7ρsfξfT lκ中兴通讯小吃∈[0，u]rfs∧τ- ^rfs∧τdu+7KFTSUP∈[0，T]呃^rfu- rfu我+28ξfT+7ρsfξfTl苏普∈[0，T]呃^rfu- rfui+7ρsfξfTsupu∈[0，T]呃rfu伊苏普∈[0，T]呃似曾相识- 似曾相识i、 （F.27）在（F.27）的右边，最后三项收敛到零，这源自引理F.3和F.4，以及Cozma和Reisinger（2015a）中的命题3.5。结论来自Gronwall不等式的简单应用。从引理F.4中，我们知道为了建立rf的强均方收敛性，必须证明^rf的这一点，因为rft- rft≤ 2.rft- ^rft+ 2.^rft- rft, T∈ [0，T]。（F.28）引理F.6。如果2kfθf>ξf，则过程^rf在L中强收敛，即limδt→0supt∈[0，T]呃rft- ^rfti=0。（F.29）证据。

固定κ>（rf）-1，l>v，回忆一下（F.22）中停止时间τ的定义。因为rf和^rf是非负的，所以∈[0，T]呃rft- ^rft我≤ 监督∈[0，T]呃rft- ^rftτ≤ ti+supt∈[0，T]呃rft- ^rftt<τi≤ 监督∈[0，T]呃rftτ≤ Ti+supt∈[0，T]呃^rftτ≤ Ti+supt∈[0，T]呃rft∧τ- ^rft∧τi、 自1τ≤ T≤ 1τκ≤ T+1τl≤应用柯西不等式，我们得到∈[0，T]呃rft- ^rft我≤监督∈[0，T]呃rfti+supt∈[0，T]呃^rft我Pτκ≤ T+监督∈[0，T]呃rfti+supt∈[0，T]呃^rft我Pτl≤ T+ 监督∈[0，T]呃rft∧τ- ^rft∧τi、 （F.30）另一方面，利用马尔可夫不等式，我们得到了一个上界τl≤ T≤ P监督∈[0，T]vt≥ L≤乐监督∈[0，T]vt. （F.31）然而，右边的预期显然受到伯克霍尔德-戴维斯根迪不平等的限制。取极限为δt→ （F.30）中的0，并使用引理F.1到F.3和F.5，因为κ和l可以任意大，从而得出结论。附录G.命题证明3.7注意T∈ [tn，tn+1）和J∈ {2,3,4}，因为V是分段常数，所以ZtqVuδWjuδtdu=n-1Xi=0qVtiWjti+1- Wjtiδtδt+qVtnWjtn+1- Wjtnδt（t- tn）=ZtqVudWju+qVtT- tnδtWjtn+1- Wjt-tn+1- tδtWjt- Wjtn. （G.1）为方便起见，T∈ [tn，tn+1）和J∈ {2,3,4}，我们定义了zjt=t- tnδtWjtn+1- Wjt-tn+1- tδtWjt- Wjtn. （G.2）用（G.1）和（G.2）代入（3.25），我们得到xt=x+Ztrdu- rfu-似曾相识du+ztqvudsu+Xj=2a1jqVtZjt。（G.3）因此，原始和离散化测井过程之间的绝对差异是xt- Xt=Ztrdu- rdu杜-Ztrfu- rfu杜-Zt似曾相识- 似曾相识du+Zt√似曾相识-qVu德瓦苏-Xj=2a1jqVtZjt.

（G.4）求（G.4）的两边的平方，应用柯西-施瓦兹不等式，取所有t的上确界∈ [0，T]，然后对所有黎曼积分使用柯西不等式，得到∈[0，T]xt- Xt≤ 7TZTrdu-rdudu+7TZTrfu- rfudu+TZT似曾相识- 似曾相识du+7支持∈[0，T]Zt√似曾相识-qVu德瓦苏+ 7Xj=2a1jsupt∈[0，T]Vtsupt∈[0，T]铁岭组. （G.5）我们使用了以下事实：∈[0，T]Vt≤ 监督∈[0，T]Vt，V定义如（2.6）所示。以期望为基础，利用Fubini定理、H¨older不等式、Doob鞅不等式和It^o等距，我们导出了监督∈[0，T]xt- Xt≤ 7Tsupt∈[0，T]呃rdt- rdti+7t∈[0，T]呃rft- rfti+Tsupt∈[0，T]呃及物动词- 及物动词i+28 supt∈[0，T]呃及物动词- 及物动词i+7Xj=2a1jE监督∈[0，T]Vt1/2E监督∈[0，T]铁岭组1/2. （G.6）收敛为δt→ （G.6）右侧前四项中的0项来自Cozma和Reisinger（2015a）中的3.6和3.5号提案。接下来，将（2.5）中定义的时间连续辅助方差过程进行积分，得到vt=v+kZtθ - 似曾相识du+ξZtqVudWu。（G.7）然而，V=max{0，~V}≤ || v |并且，利用柯西不等式、富比尼定理和杜布辛质，我们找到了一个上界监督∈[0，T]Vt≤ 3.v+kθT+ 3kTsupt∈[0，T]E及物动词+ 12ξT supt∈[0，T]E及物动词. （G.8）方差δt的FTE离散化二阶矩的一致有界性→ 0源于Cozma和Reisinger（2015a）中的命题3.4。最后，根据（G.2）中的定义，我们将该术语限定在（G.6）中的上一个预期范围内。监督∈[0，T]铁岭组= sup0≤n<Nsuptn≤t<tn+1T- tnδtWjtn+1- Wjtn-Wjt- Wjtn≤ 8 SUP00≤n<Nsuptn≤t<tn+1T- tnδtWjtn+1- Wjtn+Wjt- Wjtn≤ 16 sup0≤n<Nsuptn≤t<tn+1Wjt- Wjtn≤ 16支持∈[0，T]Wjt- Wjδtbt/δtc. （G.9）然而，布朗运动的欧拉连续模的矩收敛到0asδt→ 0（Fischer和Nappo，2009），这是证据的结论。

附录H.固定正数命题3.8的证明 γ等于log（1+) > γ、 明确挫折,γ=十、∈ RY∈ R:|x- y |<γ和| ex- |≥ . （H.1）然而，由于指数函数严格递增∈ B,γ<=> Y∈ （十）- γ、 x+γ）：emin{x，y}e | x-y|- 1.≥  <=> 前任eγ- 1.> .因此，B,γ=a(, γ), +∞, 哪里(, γ） =原木eγ- 1.> 0.（H.2）我们有以下一连串的事件，监督∈[0，T]圣-圣> 监督∈[0，T]xt-Xt≥γ∪监督∈[0，T]xt-Xt< γ、 监督∈[0，T]提取-提取> 监督∈[0，T]xt-Xt≥γ∪T∈ [0，T]：xt∈ B,γ监督∈[0，T]xt-Xt≥γ∪监督∈[0，T]xt>a(, γ). （H.3）就事件发生的概率而言，之前的包含变为：P监督∈[0，T]圣- 圣> ≤ P监督∈[0，T]xt- Xt≥ γ+ P监督∈[0，T]xt>a(, γ). （H.4）对数过程概率收敛是命题3.7和马尔可夫不等式的结果。因此，我们要证明的是，（H.4）右边的第二概率可以任意小。然而，如果我们 > 0，然后改变γ，然后是limγ→0a(, γ) = ∞. 马尔可夫不等式的一个简单应用监督∈[0，T]xt>a(, γ)≤ P监督∈[0，T]| xt |>a(, γ)≤a(, γ） E监督∈[0，T]| xt|. （H.5）另一方面，利用Jensen不等式和Doob鞅不等式，E监督∈[0，T]| xt|≤ |x |+T支持∈[0，T]Erdt+ 托普∈[0，T]Erft+Tsupt∈[0，T]E及物动词+ 2.√托普∈[0，T]E及物动词.然而，右边是有限的，因为平方根过程的矩是有界的，并且来自命题F.2，命题F.2总结了证明。附录I.定理3.9Fix的证明 > 0并定义事件A=n圣- 圣> o、 因为S和S是非负的，所以∈[0，T]呃圣- 圣αi≤ 监督∈[0，T]呃圣- 圣αAci+supt∈[0，T]呃圣- 圣αAi≤ α+supt∈[0，T]ESαtA+ 监督∈[0，T]ESαtA.

（I.1）设α<ω<min{α，α}，并将H¨older不等式应用于（I.1）右手边的两个期望（p，q）=ωα,ωω-α. 因此，支持∈[0，T]呃圣- 圣αi≤ α+监督∈[0，T]ESωtαω+supt∈[0，T]ESωtαω监督∈[0，T]P圣- 圣> 1.-αω.概率S的收敛性是命题3.8的结果。最后，雇佣提案3.2和3.3，然后 足够小的证据就可以得出结论。