一种可能性是，我们误解了克林论文中的一些合同规定，导致我们正在考虑的合同与他们的合同存在一些细微差异，这些差异导致不同的费用。另一种可能的解释是，克林等人使用蒙特卡罗方法来确定费用。；这可能会在计算费用时引入一个显著的错误，除非使用了大量的模拟。他们没有报告结果的置信区间，因此很难理解差距的原因。此外，我们可以观察到，out两种MC方法比测试2-Static给出了更大的置信区间：测试2B静态使用的参数可能比之前的测试形成了更难的定价问题，应该进行更多模拟以获得相同质量的结果。同样在这种情况下，HPDE被证明是最稳定的方法。5.1.4测试3-静态：为了降低金融风险，保险公司必须对冲已售出的VA：为了实现这一目标，他们必须计算产品的价格。在这项测试中，我们想展示如何使用不同的方法来计算主要参数。这可以通过变量上的小冲击的有限差来实现。一般来说，PDE方法属于w.r.t.MC方法：价格通过有限差分计算，因此冲击下的价格已经计算出来。对于MC方法，这相当困难，因为定价必须重复改变输入。首先，我们计算测试1-Static和测试2-Static的乘积的基础希腊增量。因为在这种情况下，我们不想计算公平费用αg，所以我们随意地对其进行计算。我们为每个模型选择两个值：一个用于无棘轮情况，另一个用于棘轮情况。选择的价值包括保险公司的成本，而不考虑相关性，并且在实际案例中可能是合理的。

结果见表10（表中的所有值必须乘以10-4).在这次测试中，我们用所有的方法得到了非常准确的结果。无论如何，HPDE被证明是最好的：它更稳定、更准确。我们注意到，尽管在改变相关参数ρ时公平费用变化很大，但Delta的值变化很小。事实证明，Hestonmodel情况下的增量计算比BS HW模型情况下更困难。5.1.5测试4-静态：风险管理死亡率和寿命风险是不可忽视的风险。通常，风险管理团队必须在考虑这些风险的情况下计算财务准备金。通常会选择极端情况，并根据这些情况制定政策。在这项测试中，我们分析了不同的定价方法在致命电击下的表现：死亡概率增加了10%，但最后一个等于1。简而言之，我们只报告D案件的公平费用。结果见表11。在这项测试中，我们得到了与测试1-静态和测试2-静态相似的结果，死亡率冲击不影响四种方法的收敛质量。

我们观察到，死亡冲击会降低αg的值（约5分钟bp），这意味着死亡率的增加不应成为保险公司损失的来源。因此，保险公司应注意长寿风险。Sr曲线kωρσ100 0.04平坦1.0 0.2变量0.15表4：关于试验1-静态的模型参数。英语vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv63±0.1084.84.84.84.84.84.84.84.94.94.84.84.94.84.84.94.94.84.84.84.94.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.94.94.84.84.84.94.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.81.81.81.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.77±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.77±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.76 110.30±1.20 111.1410.4222.22.18.18±0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 22.22 22.22 22.22.42.42.42.8 8.18±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.32 110.110±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10±0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 sC 472 s 478 s 395 s 461sD 1866 s 1896 s 1903 s 1800稳定5：测试1-静态。在第一个表格中，Black-Scholes-Hull-White车型的公平费用，没有棘轮或年度棘轮。在第二个表中，无棘轮情况下的运行时间（ρ=-0.5). 最后，在ρ=-0.5，无棘轮。

表2和表4列出了本试验所用的参数。SVθkωρr100 0.150.151.0 0 0.2变量0.04表6：关于试验2-静态的模型参数。vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv95±0.4261.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.35.35.35.35.5235.5235.35.35.35.35.35.59.61.61.61.61.61.61.61.61.61.56.35.35.35.35.35.5235.5235.5235.5235.22.22.22.22.22±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.60.60.60±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6 6 6 6 6 6 6 6 6.6 6 6 6 6 6.6 6 6 6 6 6 6 6 6.6 6 6 6 6.6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6.0.02 32.43±2.14 32.586.62.9962.62.97B.97B 31.45±1.43.32.32.32±1.32.32.32±1.32.32.32±1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32 s 410 s 491 sD1915 s 1907 s 1755 s 1933稳定7：测试2-静态。在第一个表中，赫斯顿模型的公平费用，没有棘轮或年度棘轮。在第二个表中，无棘轮情况下的运行时间（ρ=-0.5). 最后，在ρ=-0.5，无棘轮。

表2和表6给出了本测试所用的参数。SVθkωρr100 0.220.224.75 0.55-0.569 0.04表8：关于试验2B静态的模型参数。无棘轮年度棘轮MC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 138.54±2.70 141.86±2.70 130.83 137.13131.11125.40±2.46 128.33±2.77 117.08 124.19117.56B 132.57±1.98 137.16±2.18 130.80 135.76 119.33±1.80 123.68±2.00 117.18 122.78C 131.10±1.28 135.79±1.32 130.80 133.85±0.80117.74±1.17.24±1.21.20±0.79±0.73±0.72133.02 116.98±0.84 118.72±0.82 117.19 119.62表9：试验2B静态。赫斯顿模式收费合理，没有棘轮或年度棘轮。

表3和表8给出了本试验所用的参数。ρ无棘轮（αg=150）棘轮（αg=250）HMC SMC HPDE APDE MC HMC SMC HPDE APDE MCA 6055±12 6060±8 6058 60347123±12 7119±8 7118 7128B 6043±9 6054±4 6058 6050 7108±9 7115±4 7119 7126C 6059±6 6057±2 6058 6052±17117±6 7119±2 7120 7120 7120±1 d 6059±4 7119 7119 7120 7120 7120 A 6057 73907±6 679 7396052±10 6057±5 6059 6044 7382±10 7389±5 7387 7391C 6058±6 6057±2 6058 6050±17389±6 7392±2 7390 7389±1D 6059±5 6058±1 6058 6055 7391±5 7392±1 7391 7390A 6095±13 6093±9 6100 60027647±14 7651±9 7636 7649B 6101±10 6097±5 6098 6041 7646±10 7648±5 7643 7644C 6098±7 7696±5 7696±2 7697 60647±2 7647±16097 6080 7650±5 7650±1 7649 7646ρ无棘轮（αg=50）棘轮（αg=100）HMC SMC HPDE APDE MC HMC SMC HPDE APDE MCA 7870±20 7856±23 7875 78678509±14 8499±15 8502 8512B 7873±15 7868±16 7875 7873 8506±10 8503±11 8506 8516C 7874±9 7877±10 7875 7874±1.8505±7 7811 787 8508±7 788508 788508±25779777868405±168390±1783958400B7792±167790±18779777948398±128391±1383978405C7796±117801±1177977797±28399±88398±83978401±2d7803±87803±87779777958402±68395A7730±317719±31771876998268±228282828283B773±207717±22828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282828282827717±38283±10 8484±10 8282 8286±2D 7714±9 7723±11 7717 7715 8278±7 8287±7 8282 8279表10：试验3-静态。Black-Scholes-Hull-White模型和Heston模型的增量计算，无棘轮或年度棘轮（这些值必须乘以10-4).

表2、表4和表6给出了该测试所用的参数。无棘轮棘轮MC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BM-7.75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75.75 75 75 75.75 75 75.75 75 75.75 75.75 75.76.76.0±0.37±0 0 0 0±0 0 0 0 0 0 0 0±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 10德BM-0.534.4834.1933.8833.9233.8856.0356.8355.5455.6155.56±0.43±0.42±0.41±0.11032.0332.2331.9031.9431.8855.8955.1855.8055.8755.85±0.53±0.53±0.14±0.55±0.54±0.15+0.5228.9729.7229.3229.2655.1155.9355.4055.39±0.68±0.81±0.81±0.54±0.54±0.54±0.42±0.42±0.42±0.29.29.29±0.29±0.42±0.79±0.79±0.79±0.79±0.79±0.79±0.79±0.79±0.79±0.79±0.79±0。公平费用+10%死亡率冲击的影响。表2、表4和表6.5.2动态案例中提供了用于该测试的参数。在动态案例中，投保人应该从套期保值者的角度选择最差的策略，改变γt的值。PH可以提取更多（1≤ γt≤ 2） 或更少（0≤ γt≤ 1） 高于标准费率（更多细节见2.4.3）。在这个定价框架中，我们参考了Forsyth和Vetzal[9]中的价格：在他们的文章中，作者在Black-Scholes模型下，在静态框架中为GLWB合同定价，r=0.04，σ=0.15。合同参数见表12（见[9]中的表6.7）。他们治疗了两例：无棘轮，每3年治疗一次棘轮；两者都对应于第4.1.3节和第4.3.4节中的情况4。在第一种情况下，他们得到了αg=63.1 bp，在第二种情况下，αg=70.7 bp。在测试1和2中，我们分别引入了短期利率和随机波动率，以分析这些模型的发展对空中担保费的影响。

利率和波动率模型的参数与静态情况相同。以下是本节数值结果的简要总结。5.2.1测试1-动态：Black-Scholes船体白色模型测试1-动态是测试1-静态的动态情况。模型参数如表4所示。结果见表13。在这项测试中，PDE方法被证明比MC方法更有效。事实上，MC使用Longsta off-Schwartz方法来确定最佳撤离：该方法需要大量场景，以通过最小二乘法近似给定变量集的警察值，并且回归时间要求很高。然后，在固定时间工作，我们可以执行比静态情况更少的场景（大约10%），而PDE方法使用的参数几乎与静态情况相同。此外，回归问题被证明是困难的：有时，排除PHH可以选择的可能值中的值γ=0（因此排除无退出情况），我们得到了更高的αg值。这意味着回归不是非常准确，有时我们无法找到最佳退出：这就是为什么，使用MCmethods，我们通常会找到比正确值更小的αG值。特别是，在使用配置A和B时，我们排除了γ=0的值。我们要指出的是，如果没有ρ=-0.5我们得到了一个小的基准值，然后是PDEmethod（大约261对266）。另一个值得注意的是，MC方法在考虑棘轮时表现更好：在这种情况下，可能更容易找到最佳策略。这两种MC方法被证明是等效的：场景生成运行时的差异可以忽略，因为大部分时间都在寻找最佳退出。

APDE和HPDE方法都给出了良好且稳定的结果，但在案例A.5.2.2测试2-动态中，HPDEPERFORFORM更好：赫斯顿模型测试2-动态是测试2-静态的动态案例。模型参数如表6所示。结果见表14。在这个测试中，情况类似于测试1-Dynamic，但优化问题似乎比测试1-Dynamic更容易：MC方法收敛得更好，尤其是在使用高级配置时。PDE方法表现正常，HPDE方法比APDE方法好一点。PH 65 Gr.premium 100 DB的初始年龄连续策略动态支付0.05初始费用0棘轮效应/奖金5%提取率每Yαm0棘轮率每3 Yκ（t）见下表首次提取。收取的费用（续k（t）0≤ T≤ 1<t≤ 2<t≤ 3<t≤ 4<t≤ 5 t>55%4%3%2%1%0%表12：动态案例中使用的合同参数。两种MC方法被证明是等价的。我们注意到，在Heston模型的情况下，动态策略增加了αgless的值，而不是在BS HW的情况下：很可能，在利率的作用下，让PH获得比波动性更大的收益。5.2.3测试3-动态：Hedging测试3-动态是测试3-静态的动态情况。结果见表15。在这项测试中，我们对所有方法都取得了很好的结果，但在使用配置A和B时，MC方法被证明是不准确的。相对于测试3-Static，Delta的可能值范围增加了。这两种MC方法被证明是等效的。5.2.4测试4-动态：风险管理测试4-动态是测试4-静态的动态案例。

结果见表16。在这项测试中，我们得到了与测试4-Static类似的结果：费用略有降低（在BS HW模型中约为20个基点，在Heston模型中约为6个基点）。在图5.1中，我们给出了两种不同情况下t=1时的最佳策略作为示例。我们可以在t=1时看到最佳策略。我们可以看到，当账户价值达到较高值时，尤其是当利率较高或波动性较低时，失效是多么值得。更难理解的是，什么时候不退出：所有变量必须方便地混合在一起。英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语94.78±1.62 96.195.3±3.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 186.55 185.00A 256.6±15.6292929272.7±5.9 25257 7 7 7±5 5.9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 272 2.18 268 8 8.10 10 10 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 86.273.99 271.94HMC SMC HPDE APDEA 30 s 31 s 32 s 30 sB 119s 122 s 127 s 120 sC 482 s 487 s 463 s 466 sD 1911 s 1942 s 1732 s 1815稳定13：测试1-动态。

在第一个表格中，Black-Scholes-Hull-White车型的合理费用，包括诺拉切特或年度棘轮。在第二个表中，无棘轮情况下的运行时间（ρ=-0.5). 最后，在ρ=-0.5，无棘轮。表12和表4列出了本试验所用的参数。vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv71.33±1.25 71.507.0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.70±13.04 57.255.6±5.5 5.5.5 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5±5.5.5.5.5.5.5±5.5.5.5 5.5.5 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.7.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.7.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 5 5 5 5 s 418 s 460 sD1903 s 1844 s 1690 s 1896稳定14：测试2-动态。在第一个表中，赫斯顿模型的公平费用，没有棘轮或年度棘轮。在第二个表中，无棘轮情况下的运行时间（ρ=-0.5). 最后，在ρ=-0.5，无棘轮。

表12和表6中列出了用于本试验的参数。ρ无棘轮（αg=300）棘轮（αg=350）HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 8513±573 7951±557 8078 80978959±542 8279±551 8148 8200B 8220±347 8304±305 8081 8091 7922±324 8104±330 8151 8180C 8091±172 8146±161 8082 8073±428155±173 8120±162 8152 8163±38D 8089±108 8105±8152 816 816 816 816 816 819±758 819 816 819 819 816 816 816 816 818 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 816 818 81675317733±509 7379±667 7538 7539B 7685±257 7389±269 7517 7529 7640±259 7417±249 7527 7539C 7488±139 7443±150 7517 7514±317433±145 7604±137 7528 7530±29D 7428±90 7489±83 7517 7518 7523±87 7525±84 7528 7533A 7444±470 7612±491 7333 734269±421 7292±500 7304 7314 7357±137 7328 7328 7350 7368±221 738 738 738 738 738 7387201±124 7339 7336±287469±116 7293±112 7309 7307±26D 7270±78 7302±78 7340 7339 7291±70 7298±68 7310 7310ρ无棘轮（αg=75）棘轮（αg=100）HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 8181±472 7794±524 8436 84298349±293 8374±324 8477 8474B 8440±250 8383±223 8436 8436 8304±174 8527±154 8480 845 8437±19837±76 8479 8480±14D 8437±50 8472±53 8437 8438 8516±44 8501±43 8480 8480A 8756±626 8304±586 8329 83198751±758 8440±420 8341 8332B 8080±283 8345±394 8330 8327 8466±251 8184±217 8341 8339C 8313±148 8137±185 8330 8329±298303±106 8398±101 8341 8340±18D 8330 8330±8238±79 8330 8331 8343 8352 8345±747474A 7308 838 825±745 838 838 838 838 838 838 838 838 838 838 838 83582058244±736 8192±522 8191 8180B 8238±623 7919±416 8218 8215 8150±276 8213±229 8191 8189C 8143±145 7874±241 8218 8217±468216±133 8123±178 8192 8190±22D 8144±119 8131±108 8218 8219 8123±66 8195±77 8192 8191表15：测试3-动态。

Black-Scholes-Hull-White模型和Heston模型的增量计算，无棘轮或棘轮（每3年一次）；这些值必须乘以10-4.本试验使用的参数见表12、表4和表6。无棘轮棘轮MC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BM-7.59±1.49±1.37±0 0 0 0 0±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±1 0 0 0 0 0 0 0 0 0±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 HPDE APDE BM-0.557.74 58.77 58.78 58.32 58.56 63.73 64.50 64.74 64.22 64.59±1.26±1.27±0.46±1.23±1.27±0.4653.08 53.77 55.57 55.07 55.76 59.86 61.17 61.79 61.22 62.11±1.45±1.46±0.58±1.51±1.59±0.59±0.546.33 46±0.19 50.50.50.50.50.66 55.66 55.67 54.79 57.29±5.76.01±1.87±1.76±1.85±0.76±0.76±0.76±0.85±0.76±0.76±0.76±0.85±0.76±0.76±0.76±0.76±0.85±0.76±0.76±0.76±。公平费用+10%死亡率冲击的影响。表12、表4和表6列出了本测试所用的参数。图5.1:BS HW模型和Heston模型在第一个事件时间（t=1）的最佳策略，假设B2+=100。模型参数见表4和表6。产品参数见表12，两种情况下的αg=135 bp。6结论在本文中，我们开发了四种方法来在不同条件下为GLWB合同定价。对于随机模型，考虑了随机利率和随机波动效应。关于投保人行为，考虑了静态和动态策略。由于GLWB可变年金是一种长期产品，随机利率和随机波动的影响不容忽视。

特别是，随机利率的影响似乎更为相关。[9]中的Forsyth和Vetzal也使用了同时具有随机利率和波动性的制度转换模型，但我们基于SDE的方法更现实，适合对冲。这四种方法在定价和增量计算方面都给出了兼容的结果。公平套期保值费用（即维持复制投资组合的成本）通过一系列参数的要求确定。PDE方法被证明不是非常昂贵，而MC方法被证明更昂贵。由于其收敛速度和结果的稳定性，混合偏微分方程似乎比其他偏微分方程表现得更好。此外，ADI PDE表现非常好，但实现起来比混合PDE更困难。在BS HW模型的情况下，标准MC由于其精确模拟而优于混合方法，而在赫斯顿模型的情况下，MC方法被证明大致等效，即使混合MC更容易实现。正如我们之前所说，PDE方法被证明比MC方法更有效，尤其是在动态情况下，在这种情况下，实施最优退出选择要简单得多。相似性约简将问题维度降低为二维问题，因此PDE方法表现良好。

无论如何，我们必须指出，MC方法为结果提供了一个置信区间，它们在风险度量计算中很有用（例如VAR或ES），而且由于它们对情景的理解，保险公司更喜欢它们。可以处理的未来发展是将随机利率和随机波动性结合起来：组合模型可以成为更现实的元素。最后，我们指出，我们的方法非常灵活，因为它们可以适应各种各样的投保人退出策略，例如基于效用模型的退出策略。参考文献[1]A.阿方西（2010）。CIR过程的高阶离散化方案：应用于有效项结构和Heston模型。《计算数学》，第79卷，第269号，第209-237页。[2] E.Appelloni，L.Caramellino A.Zanette 2014。利用Cox-Ingersoll-Ross利率模型对美式期权进行定价的稳健树方法。IMA J管理数学首次在线发布2014年1月15日OI:10.1093/imaman/dpt030。[3] A.R.巴西内洛、P.米洛索维奇、A.奥利维耶里、E.皮塔科（2011）。可变年金：一种统一的估值方法。《保险：数学与经济学》49，第285-297页。[4] M.Briani，L.Caramellino，A.Zanette（2014）。Hestonmodel的杂交树有限差异方法。预印本，arXiv:1307.7178v2。[5] M.Briani，L.Caramellino，A.Zanette（2015）。赫斯顿船体白色模型的数值近似。预印本，arXiv:1503.03705。[6] A.Belanger，P.Forsyth，G.Labahn（2009）。在部分提款的情况下评估最低死亡保障福利条款。应用数学金融16，第451-496页。[7] D.Brigo，F.Mercurio（2006年）。利率模型理论与实践。柏林斯普林格。[8] 陈志强，K.维特扎尔，P.福赛斯（2008）。

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