这意味着≤ (-qn*)普南(-qn*|恩）-pn*< (-qn*)普南(-qn*|恩）- EQn[B]+c,第一个不平等性之所以存在，是因为-qn*对于投资者2来说，以pn价格是最理想的*, 对于每个n.使用关系（5.8）和表示（2.7），我们得到（回忆定义（5.2））0<Pnan(-qn*B+En）qn*-Pnan（En）qn*+ EQn[B]- c=infQ∈~Mn情商-B+Enqn*+安康*（H（Q | P）-H（Qn | P））-Pnan（En）qn*+ EQn[B]- C≤ EQnEnqn*-Pnan（En）qn*- C≤ 2 | | En | | L∞qn*-c=2 | | En | | L∞rnqn*- c、 自从| |恩| |L∞/注册护士→ 0和rn/qn*→ 1/l 因此，c≤ 0，自c>0以来的矛盾。同样，当EQn（0）[B]<EQn（0）[B]时，对于足够大的n，则qn*< 0到一个子序列qn*/注册护士→-l < 0.在本例中，我们使用相同的参数来表明-qn*对于投资者1而言，对于足够大的n而言，这可能不是最佳选择。最后，^p>d的情况与上述分析对称，因此省略了。然而，撤回假设| | Eni | | L∞/注册护士→ 0可以给出一些有趣的例子，其中均衡价格收敛到一个不同于极限市场唯一无套利价格的价格，并出现定理4.3，4.4。下面的命题给出了一系列这样的例子。提议5.4。假设2.2、4.1和4.7成立。对函数pn（p）施加假设3.3，风险规避常数等于1，对相应函数qp施加假设4.5∞（q） 。如果foreach n∈ N和i=1，2，ain≡ 艾兰德埃尼≡ bniB，对于某些ai>0和bni∈ R、 如下陈述：渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价21i。对于每个市场n∈ N、 独特的PEPQ对（pn*, qn*) 由q给出*n=（abn）- abn）/（a+a）和pn*= 情商-荷兰银行[B]，其中1/a:=1/a+1/a和bn:=bn+bn。二、让每个n∈ N、 bn=κrn，对于某些κ∈ （0，δ+/a）和bn=b∈ R、 我们明白了→∞qn*/rn=l > 0和pn*→ ^p<d.证明。

第一项i.的证明基于相关文献的标准参数（例如参见[5]中的定理3.2]）。我们记得平衡量是优化问题（5.5）的解，这要归功于函数q 7的严格凹性→ qpnai（q | Eni）我们对任何q都能得到∈ R和everyn∈ N、 qpna（q | En）+pna(-q | En）≤ bnpna（bn）。然后我们观察到，实际上bnpna（bn）=qn*pna（qn*|En）+pna(-qn*|恩）, 也就是说qn*是指平衡量。均衡价格*等于情商-abn[B]后面紧跟着（5.6）。对于第二项，我们有q*n/rn=（aκrn）- ab）/（a+a）→ aκ/（a+a）>0。自pn以来*是每n的均衡价格，我们有pn*< pn（qn*|嗯，自从qn*是投资者1的最佳位置，价格为pn*. 然后通过使用引理5.1证明中的表示（5.8），我们得到了thatlimn→∞pna（q*n | En）=limn→∞pna（aκrn/（a+a））=p∞（aκ）。还记得吗*= 情商-abn[B]并注意到函数q7的严格凹性→ qpna（q | En）和方程（5.9）给出了pn*n在减少，因此它有一个极限点，因此，我们有limn→∞P*n=^p≤ P∞（aκ）<p∞（0）=d，其中最后一个严格不等式遵循假设4.5。命题5.4表明，在某些情况下，均衡数量增加到单位，同时均衡价格不同于限制性无套利价格。重要的是要指出，即使限制价格不同于d，两个投资者都以均衡价格最优行事。当然，重要的因素是，其中一个投资者被赋予了在债权上的巨大地位，她愿意以一个促使另一个投资者以最佳方式进入大额债权制度的价格出售其部分头寸。

换句话说，只要市场中的一些参与者已经面临与可交易衍生品的收益高度相关的风险，5.4号提案就调整了一些场外衍生品市场的较大交易量和相应的极端价格。这种情况符合近年来观察到的极端交易量和价格，例如在抵押贷款证券市场。备注5.5。命题5.4的证明可以很容易地推广到以下情况：禀赋的形式为Eni=bniB+Eni，命题5.4中的BNIA和Eni的选择是有界的随机禀赋，即| | Eni | L∞/注册护士→ 0.6. 假设3.3的力量在于其在各种模型中的有效性。在本节中，我们将给出四个经过充分研究的市场模型示例。然后，在下一节中，我们将特别关注一个例子，22 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos，以及交易成本。值得注意的是，即使标准对偶结果不再适用，假设3.3的一个版本仍然成立，更重要的是，定理4.3和4.4.6.1的结论也成立。在固定市场中消除风险厌恶。如第3.1.1节所示，对于固定市场，如果风险规避消失（即→ 0）那么假设3.3成立，rn=a-1与p∞(l) = p(l). 此外，由于可接受的交易策略类A是一个锥，它遵循任何qn，即^πan（qn）=（1/an）^π（anqn）。所以，对于qn=lrn=l/an，不仅无差异价格会轻微收敛，而且最优交易策略是明确已知的，即（1/an）^π(l) = rn^π(l) = （qn）/l)^π(l). 请注意，在这种情况下，标准化的最优交易策略通常会收敛，但不一定提供华硕对冲。6.2. 具有高度相关性的基础风险模型。

[12,21,33,38]等中详细讨论了这个例子。这里，对于每n个风险资产，我们有一个根据SNTSNT=u（Yt）dt+σ（Yt）演变的风险资产SNTρndWt+p1-ρnd~Wt,dYt=b（Yt）dt+a（Yt）dWt，其中W和W是两个独立的布朗运动。过滤概率空间是标准的二维增广维纳空间。系数a、b具有适当的规律性，因此Y具有唯一的强解，取R的开放子集E中的值。将λ：=u/σ作为风险的市场价格，并假设σ（Y）>0，Y∈ 对于E上的连续有界函数B，λ在E上有界。如[33，第5.3节]所示，Bn=B=infy∈EB（y）和“Bn=”B=supy∈所有n.集合rn=（1）的EB（y）- ρn）-1.如[38]所示（另见[33]），对于固定风险规避a>0和l ∈ Rl 6=0:pna(lrn）=-A.l日志Ehe-ρnRTλ（Yt）dWt-RTλ（Yt）dt-A.lB（YT）iEhe-ρnRTλ（Yt）dWt-RTλ（Yt）dti.对于l = 0一hasdn=pna（0）=EQn[B（YT）]=Ehe-ρnRTλ（Yt）dWt-RTλ（Yt）dtB（Yt）iEhe-ρnRTλ（Yt）dWt-RTλ（Yt）dti。因此，如果ρn→ 1（高相关性极限）然后rn→ ∞ 安德林↑∞pna(lrn）=p∞(l) = -A.l日志EQhe-A.lB（YT）i; l 6= 0;画↑∞pna（0）=p∞（0）=EQ[B（YT）]，其中Q是ρ=1市场中的唯一鞅测度，其中过滤仅限于FW。此外，使用l\'Hopital的规则可以得到liml→0p∞(l) = 等式[B（YT）]=p∞（0）因此假设3。3满足δ=∞.渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价236.3。交易限制消失的大型市场。下一个例子是[34]中考虑的一般半完整设置的简化版本。这里(Ohm, F、 假设P）支持一系列独立的布朗运动W，W。。。。过滤是FW，W，。。。。有一系列（可能可交易的）资产。。。

动态位置=uidt+iXj=1σijdWjt；i=1,2,3。。。，其中u=（u，u，…）满足感∞i=1（ui）<∞ σ是对称矩阵∑的下三角平方根=∑iji、 j=2,1，。。。，假设正定义，因此对于某些λ>0和所有ξ=（ξ，ξ，…）withP∞i=1（ξi）<∞, 我们有ξ′∑ξ≥ λξ′ξ.索赔（在人寿保险市场中是典型的）以独立的、FWIAdapted索赔Bi:B=P的总和给出∞i=1Bi。为了使B得到充分定义，并便于进行大额索赔分析，我们假设λBii<∞, i=1，2。。。安德普∞i=1logEheλBii< ∞ 总而言之λ∈ R.对于n=1，2。。。我们通过限制第一批资产的交易来构建第四个市场。因此↑ ∞这种说法是渐进可对冲的，尽管对于每个n，市场都是不完整的。如[34]所示，Bn=dn+ess infP[Yn]和‘Bn=dn+ess supP[Yn]，其中dn是pni=1bian和Yn:=P的唯一复制资本∞i=n+1Bi。根据假设3.3，dn→ d=等式[B]，其中Qi是极限完全市场中的唯一鞅测度。辛塞普∞i=1logEheλBii< ∞总而言之λ∈ R、 我们知道limn↑∞E伊恩= 0.进一步假设Yn足够快地收敛到0，从而满足具有缩放rn的LDP→ ∞ 好的速率函数I使得{I=0}={0}。最后，假设对于某些δ>0，|λ|<δ意味着（6.1）lim supn↑∞注册护士∞Xi=nlogEheλrnBii< ∞.例如，如果Bi~ N（0，δi），带p∞i=1δi<∞. 修正风险规避an=a>0。如[34]所示，在l = 我们有limn↑∞pna（0）=d=p∞(0). 此外，对于0|l| < δ/alimn↑∞pna(lrn）=p∞(l) = D-A.lsupy∈R(-l嗯- I（y））。此外，从I（y）=0可以得出<-> y=0，（6.1）和I的下半连续性，它遵循liml→0alsupy∈R(-l嗯- I（y））=0，所以p∞(l) → d=p∞（0）作为l → 因此，假设3.3成立。最后，在[34]中还显示，对于所有q∈ R（2.10）的标准化剩余风险过程^Yna（q）正是Yna，因此不依赖于q.6.4。

违约概率为零的Black-Scholes-Merton模型。该示例取自[25]，其设置与[29]中的设置类似。这里，我们考虑Black-Scholes-Merton模型，除了股票可能在独立泊松过程的第一跳时违约。该索赔是24米切尔·安科罗佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛斯可违约债券，如果该股票在时间T之前未违约，则支付1。债券持有人希望通过交易Sn来对冲索赔，但需要考虑违约事件，因为在违约发生后，股票停留在0。固定n，让λn>0。对于每个n，假设概率空间支持布朗运动，并且是一个强度为λn的独立泊松过程nn。用nn表示补偿泊松过程，因此Nnt=Nnt- λn（τn）∧ t） 式中τn=inf{t≥ 0:Nn=1}。过滤是由NNA和W生成的，经过增强，以满足通常条件。（单一）风险资产根据SNTSNT-= 1t≤τn（udt+σdWt）-dNnt，=1t≤τn（u+λn）dt+σdWt- dNnt.该索赔是一种可违约债券，如果SNT在T之前违约，则支付1：即B=1τn≤T。这里，Bn=0和¨Bn=1，这是因为我们可以等效地改变默认强度，取任何正值。因此，假设4.1成立，即使d=1，因此d为6∈ 如[25]所示，una（0，q）=-aFn（0；q），其中Fn（·；q）解ODE˙Fn（t；q）-λFn（t；q）-u2σFn（t；q）+minφσφFn（t；q）+λneμσ-φ= 0; T≤ T、 Fn（T；q）=e-aq。很容易看出，上述最小化中的最优^φ满足^φn（t；q）e^φn（t；q）=λn（Fn（t；q））-1eμσ，其中可以证明Fn（t；q）>0。现在，让λn↓ 0（消失默认概率）并设置rn=-对数（λn）。

qn=lrn，你可以证明这一点l < 1/a:limn↑∞pna(lrn=limn↑∞-l阿诺Fn（0；lrn）Fn（0；0）= P∞a(l) = 1.辛塞利姆l→0p∞a(l) = 1=limn↑∞pna（0），我们看到假设3.3是满足的，尽管地图l 7.→ lP∞(l) = l 并不是严格意义上的凹形。7.BLACK-SCHOLES-MERTON模型中的交易成本为零在本节中，我们证明了极限无差异价格的存在，以及由此产生的关于最优位置的陈述，甚至扩展到了有摩擦的模型，其中第2节中使用的标准对偶结果并没有得到充分的发展（见[11]）。因此，这个例子有自己的章节由于声明依赖于n，因此它不能精确地进入第2节的设置。然而，正如对附录A中命题的检查所示，定理4.3、4.4的结果很容易扩展到一系列一致有界的权利要求。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价25我们考虑了具有比例交易成本的Black-Scholes-Merton模型，如[4,6,10,13,20,23,27,28,35]中所研究的。我们采用[10]的方法，尤其是[4,23]。使用[4]的符号，股票S根据几何布朗运动（7.1）dStSt=udt+σdWt演化；T≤ T.这里，过滤概率空间是标准的一维维纳空间。现在，Fix a time t≤ Tand s>0，并假设St=s。分别用X和Y表示货币市场中美元持有量和与交易策略L、M相关的股票持有量的过程，其中Lt=Mt=0，L表示从货币市场到股票的累积转移（股票股份），而Mr表示从股票到货币市场的累积转移。我们用（L，M）的集合表示，其中L，M是自适应的，非递减的，左连续的，Lt=Mt=0。

存在成比例的交易成本λ∈ （0，1）通过交易。换句话说，对于给定的初始位置（x，y），其中x∈ R是它们的初始资本，y是它们的初始资本∈ R在S中持有的初始股份，相应的过程按照toXτ=XL，M，x，tτ=x演变-ZτtSu（1+λ）dLu+ZτtSu（1）- λ） dMu；T≤ τ ≤ T、 Yτ=YL，M，Y，Tτ=Y+Lτ- Mτ；T≤ τ ≤ T.（7.2）索赔B是S:i.e.B=（ST）上的欧洲看涨期权- K） +，并假设投资者正在考虑出售看涨期权。对于固定风险规避a>0的指数型投资者，无索赔的价值函数由（7.3）ua（x，y；s，t，λ）=supL，M给出∈AtEs，t[Ua（XT+YTST）]。这里，Es，t[·]指给定St=s的时间t条件。呼叫q单位的值函数为（7.4）ua（x，y，q；s，t，λ）=supL，M∈阿特斯，tUa（XT+YTST）- q（圣- K） +）.然后通过平衡方程（7.5）ua（x+qpa（x，y，q；s，t，λ），y，q；s、 t，λ）=ua（x，y；s，t，λ）。备注7.1。因此，pa（x，y，q；s，t，λ）是平均无差别报价，而不是第2节中定义的平均无差别报价。然而，使用第2节和定义（5.7）中关于一般索赔B的论点，买卖价格由paska（q；B）=-pbida（q；-B） 其中pbida（q；B）表示平均投标价格（1/q）pbida（qB）。尽管[4]中的结果在消失交易成本（即λn）的联合限制中说明→ 0）和明确的风险规避（即a=→ ∞), 它们很容易（正如作者所提到的）转化为λn的联合极限的渐近性→ 0和q=qn→ ∞ 对于固定的风险规避a.这种翻译在以下命题中是精确的。26 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos 7.2提案。修正s>0，0≤ T≤ T，x∈ R、 y∈ R、 λ∈ （0,1）和a>0。（ask）无差异价格与x无关，因此写pa=pa（y，q；s，t，λ）。

现在，让λn→ 0并设置rn:=λ-2n。对于l > 0和qn=lrn=lλ-2.我们已经有了一切↑∞λn | yn |=0:limn↑∞pa（yn，qn；s，t，λn）=p∞a(l; s、 t）：=ψ（s，t；√A.l),其中对于b>0，ψ（；b）：（0，∞) ×[0，T]7→ R是非线性black-Scholes偏微分方程ψt+σsψss的唯一连续粘性解1+S（bsψss）= 0; （s，t）∈ (0, ∞) ×（0，T）；ψ（s，T）=（s- K） +；s∈ (0, ∞);林斯↑∞ψ（s，t）s=1；T≤ T在T.（7.6）中均匀分布，这里是S:r7→ (- 1.∞) 满意度（A）=1+S（A）pAS（A）- A.S（0）=0；利马↓-∞S（A）=-1.利马↑∞S（A）/A=1。备注7.3。上述结果允许YNY发生变化，因为直觉上，调用中QNN的位置大小将与股票中qny的初始位置相关联∈ R.注意，对于yn=qny=lyλ-2nwehaveλn|yn |→ 0.为了获得与定理4.3、4.4类似的最佳位置选择结果，首先需要确定限制价格p的范围∞a(l; s、 t）在提案7.2中l 在0到之间变化∞. 换句话说，我们必须考虑小b和大b的ψ（；b）的渐近性↓ 下面的定理7.4证明了ψ（s，t；b）的连续性→ ψ（s，t；0）。但是，对于b=0，（7.6）只是正规的Black-Scholes偏微分方程，它允许一个唯一的（显式的）经典解。因此l ↓ 0时，限制无差异价格收敛于完全市场中的唯一价格，λn=0，给定St=s。定理7.4。设ψ（；b）：（0，∞) ×[0，T]7→ R是非线性Black-Scholes偏微分方程（7.6）的唯一连续粘性解。然后作为b→ 0，我们有一个局部一致的ψ（；b）→ ψ（；0），其中ψ（；0）是线性Black-Scholes偏微分方程的唯一连续解。接下来，我们确定ψ（；b）的极限为b↑ ∞. 在这里，我们的直觉告诉我们，作为股票波动率的函数，随着波动率变大，看涨期权的Black-Scholes价格收敛于初始价格。

事实上，这里也出现了类似的现象↑ ∞, 如下所示：定理7.5。对于固定值>0，0≤ T≤ 这张地图不是B7吗→ ψ（s，t；b）随着（7.7）的增加而增加↑∞ψ（s，t；b）=（s）- K） +t=Ts 0≤ t<t.备注7.6。对下面定理7.4的证明的检查表明，ψ（s，t；b）在b中不断增加。因此，如果qn=lnrnwherelN→ l ≥ 然后无差异价格收敛到ψ（s，t；√A.l).渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价∞a(l; s、 t）在适当的情况下，我们现在考虑交易成本为λn的第n个市场中的最优销售数量问题。为了简化表示，我们假设给定St=s，投资者有机会在第n个市场中以pn的价格出售看涨期权。为了筹集这笔交易的资金，投资者兑现了她在股票中的初始头寸，获得Y（1）-λn）用于出售y股。然后，用x+ys（1-λn）在现金方面，她通过解决问题（7.8）supq>0ua（x+ys（1）来确定出售期权的最佳数量-λn）+qpn，0，q；s、 t，λn）。在无摩擦的情况下，如果在N市场中无套利（见[24]），则最优^qnexistand是唯一的。在考虑交易成本时，我们使用小的和大的价格，而不是确定每个市场中的无套利价格l p的渐近性∞a(l; s、 t）在定理7.4、7.5中获得，以确定可出售期权的合理价格的最大范围。事实上，从上述理论来看l↓0p∞a(l; s、 t）=ψ（s，t；0）；林l↑∞P∞a(l; s、 t）=s。众所周知，ψ（s，t；0）<s。此外，如果要出售期权，交易成本的影响是，要价a）应至少与ψ（s，t；0）一样大，b）不高于p，因为没有人会以该价格购买§。因此，唯一合理的销售价格范围是（ψ（s，t；0），s）。

有了这个动机，我们就有了：定理7.7。让我们pn∈ （ψ（s，t；0），s）对于每一个n，带pn→ ~p其中~p∈ （ψ（s，t；0），s）。设λn→ 对于每个n，存在一个最大化子^qn>0到（7.8）。另外，对于任何序列{^qn}n∈Nof最大化者：（7.9）lim infn↑∞^qnrn>0；林尚↑∞^qnrn<∞.因此，直到子序列，^qn/rn→ l 因此对于任何序列{yn}n∈确保λn | yn |→ 0:limn↑∞pa（yn，^qn；s，t，λn）=p∞a(l; s、 t）=ψ（s，t；√A.l).附录A.技术支持结果以下命题提供了主要的技术工具，以证明在无摩擦和交易成本情况下的最佳位置选择结果。为了与交易成本案例无缝结合，将结果分为多头和空头头寸。§从技术上讲：没有人会以p（1+λn）或以上的价格购买股票，因为购买股票而不交易会更可取。使其保持为λn↓ 0，我们需要pn≤ p、 我们的结果适用于pn<p.28的米切尔·安克洛佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛萨。1.多头仓位。假设：假设A.1。{pn}是定义在（0，∞) 因此，对于每n，Pn是不增加且连续的存在一个γ>0，使得lim supn↑∞谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|=C（γ）<∞.o 存在rn→ ∞ δ>0，使得0<l < 我们有limn↑∞pn(lrn）=p∞(l).o 和p∞+（0）：=liml↓0p∞(l) 和pn(∞) := 林克↑∞pn（q）我们有lim supn↑∞pn(∞) < P∞+(0).要找到收敛的最大上界，设置δ+：=supk>0 | limn↑∞pn(lrn）=p∞(l),  0≤ l < K∈ [δ, ∞].（A.1）注意，对于0l < δ+我们有pn(∞) ≤ pn(lrn）所以lim supn↑∞pn(∞) ≤ P∞(l) ≤ P∞+(0). 因此，假设a.1中第四点的充分条件是p∞(l) < P∞+（0）对于某些人l < δ+.在假设A.1下，我们得到了正头寸大小的以下结果：命题A.2。让假设A.1保持不变。

让我们pn→ §p.o如果是lim supn↑∞pn(∞) < ~p<p∞+（0）然后对于足够大的n，优化问题（A.2）infq>0（qpn）- qpn（q）），允许极小值^qn>0如果林超恩↑∞pn(∞) < ~p<p∞+（0）那么对于任何极小元序列{^qn}：（A.3）0<lim infn↑∞^qnrn.o如果加上liml↑δ+p∞(l) < ~p<p∞+（0）然后对于任何极小元序列{^qn}：（A.4）lim supn↑∞^qnrn<δ+。命题A.2的证明。首先考虑（A.2）中的最小化问题。自pn→ 有一些ε>0和Nε，因此N≥ Nε意味着lim supn↑∞pn(∞) + ε<~pn<p∞+(0) - ε. 接下来，选择l > 0足够小，因此pn<p∞(l) - ε/2. 通过扩大Nε，我们知道N≥ Nεpn(∞) ≤林尚↑∞pn(∞) + ε/2和p∞(l) < pn(lrn）+ε/4，因此（A.5）pn(∞) + ε/2 ≤ ~pn≤ pn(l注册护士）-ε/4.对于固定n，请注意limq↑∞（~pn）- pn（q））=pn- pn(∞) ≥ ε/2. 因此，如果{qmn}m∈如果是（a.2）的最小序列，那么{qmn}是有界的，因此有一个累积点^qn。我们现在证明了^qn6=0，它与qpn（q）的连续性相结合，证明了^qn>0是一个极小值。为了证明^qn6=0，我们使用了一个矛盾论点。注意，假设A.1中的γ：lim infq↓0（qpn- qpn（q））=-lim s upq↓0qpn（q）≥ -谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价对于给定的ε，通过扩大Nε，我们可以假设对于N≥ Nεlim infq↓0（qpn- qpn（q））≥ -林世平↑∞谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|-ε = -C（γ）- ε.但是，为了l 来自（A.5）：（A.6）lrnpn- lrnpn(l注册护士）≤ -lrnε/4。结合最后两个显示，我们得到所选的n，我们有-lrnε/4≥ -C（γ）- ε.然而，通过可能增大Nε，以及→ ∞, 我们总是可以把事情安排好-lrnε/4<-C（γ）- ε. 这导致了一个矛盾，证明了^qn6=0。现在，让{qn}是一个极小值序列。我们首先声明，lim infn↑∞^qn>0。事实上，假设有一个子序列（仍然标记为n），那么limn↑∞^qn=0。

然后我们有，使用假设A.1的γ，thatlim infn↑∞（^qn)pn- ^qnpn（^qn））=-林尚↑∞^qnpn（^qn）≥ -林尚↑∞谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|=-C（γ）。但是，这直接违反了（A.6）中^qin的最低限度。因此，有一些K>0，所以^qn≥ K代表足够大的n。现在，假设lim infn↑∞^qn/rn=0，取一个子序列，使limn↑∞^qn/rn=0。对于所有的0<c<δ+我们看到pn- crn（pn）≥^qncrn（~pn）- pn（^qn））。（A.7）作为n↑ ∞我们知道这一点-pn（crn）→ ~p-P∞（c） ，^qn/（crn）→ 0和pn→ p.回想一下lim infn↑∞^qn≥K和假设A.1中的γ。注意，如果K>γ，那么pn（K）≤ pn（γ）=γγpn（γ）≤γsupq≤γq | pn（q）|，而如果K≤ γthenpn（K）=KKpn（K）≤Ksupq≤γq | pn（q）|。把这些放在一起会让你大吃一惊↑∞pn（^qn）≤γ ∧克里姆苏普↑∞谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|=C（γ）γ∧因此，取n↑ ∞ 在（A.7）中给出了▄p≥ P∞（c） 。拿c↓ 0表示p≥ P∞+（0）矛盾。因此，（A.3）成立。接下来，假设lim supn↑∞^qn/rn≥ δ+取一个子序列，使limn↑∞^qn/rn=k≥ δ+.对于每个c<δ+我们有^qn/rn≥ c，因此对于任何K>0，^qn≥ K代表足够大的n。因此，我们有（A.8）Kpn- Kpn（K）≥ ^qn（~pn）- pn（^qn））≥ ^qn（~pn）- pn（crn））.30米凯尔·阿瑟罗佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛斯，Kpn/^qn→ 0.此外，对于任何0<c′<δ+：lim infn↑∞pn（K）^qn≥ 林恩芬↑∞pn（c′rn）^qn=0。因此，除以^qnin（A.8）并取n↑ ∞ 收益率0≥ ~p- P∞（c） 。拿c↑ δ+给出了p≤极限↑δ+p∞（c） ，这是一个矛盾。因此，（A.4）成立。A.2。空头头寸。我们只是陈述q<0的结果，因为证明是完全相同的。首先，我们假设：假设A.3。

{pn}是定义在(- ∞ , 0）使得每n，Pn不增加且连续存在一个γ<0，使得lim supn↑∞谱仪半定量分析≥γq | pn（q）|=C（γ）<∞.o 存在rn→ ∞ δ>0，这样- δ < l < 我们有limn↑∞pn(lrn）=p∞(l).o 和p∞-（0）：=liml↑0p∞(l) 和pn(-∞) := 林克↓-∞pn（q）我们有p∞-（0）<lim infn↑∞pn(-∞).要找到收敛的最小下界，请设置δ-:= infk<0 | limn↑∞pn(lrn）=p∞(l), 0≥ l > K≤∈ [-∞, δ-].（A.9）和以前一样，我们对任何δ-< l < 0即p∞-(0) ≤ P∞(l) ≤ 林恩芬↑∞pn(-∞) 因此，上述第四点的充分条件是∞-（0）<p∞(l) 有些时候-< l < 0.主要结果如下：命题A.4。让假设A.3保持不变。让我们pn→ ■p.o如果p∞-（0）<p<lim infn↑∞pn(-∞) 然后对于足够大的n，优化问题（A.10）infq<0（qpn）- qpn（q）），允许一个极小值^qn<0如果p∞-（0）<p<lim infn↑∞pn(-∞) 然后对于任何极小值序列{^qn}：（A.11）0<lim infn↑∞-^qnrn.o如果另外p∞-（0）<p<liml↓δ-P∞(l) 然后对于任何极小元序列{^qn}：（A.12）lim supn↑∞-^qnrn<-δ-.A.3。多头和空头头寸。现在，我们将上一节的长结果和短结果合并为一个结果，用于证明第4节的无摩擦结果。这里，我们假设A.5。{pn}n∈Nis是R上的一系列函数，因此对于每n，pn是非递增且连续的存在一个γ>0，使得lim supn↑∞sup | q|≤γq | pn（q）|=C（γ）<∞.o 存在rn→ ∞ δ>0，这样|l| < 我们有pn(l注册护士）→ P∞(l).渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价31oliml→0p∞(l) = P∞(0).提案A.6。假设A.5保持并定义δ+，δ-如第（9）和（A）款所述。让我们pn→ ~p.o假设lim supn↑∞pn(∞) < P∞(0).

如果林超恩↑∞pn(∞) < ~p<p∞（0）那么对于nL足够大的优化问题infq，任何一个极小值∈R（qp- qpn（q））为正。此外，对于任何极小元序列{^qn}n∈我们有0<lim infn↑∞^qn/rn。如果加上liml↑δ+p∞(l) < ~p<p∞（0）然后对于任何极小值序列{^qn}n∈我们有那份晚餐↑∞^qn/rn<δ+.o假设p∞（0）<lim infn↑∞pn(-∞). 如果p∞（0）<p<lim infn↑∞pn(-∞) 然后，对于足够大的问题，任何最小化的优化问题infq∈R（qpn- qpn（q））为负。此外，对于任何极小元序列{^qn}n∈我们有0<lim infn↑∞-^qn/rn。如果另外p∞（0）<p<liml↓δ-P∞(l) 那么对于任何极小值序列{^qn}，我们都有thatlim supn↑∞-^qn/rn<-δ-.命题A.6的证明。我们将为lim supn证明结果↑∞pn(∞) < ~p<p∞（0）和liml↑∞P∞(l) <~p<p∞（0）分别；另一个案件的证据完全相同。首先，因为pn（0）对每个n都有很好的定义，所以我们有0××pn- 0×pn（0）=0。此外，对于ε>0，使lim supn↑∞pn(∞) + ε<p<p∞(0) -ε对于q<0和n，我们有足够大的qp- qpn（q）≥ qp- qpn（0）≥ -qε/2>0，但是，从（A.6）我们可以看到l > 0所以lrnpn- lrnpn(lrn）<0。因此，在q>0的情况下最小化是必要的，因此命题A.2给出了（0，∞), 以及上述极小化子的共感行为^qn/rng，完成了结果。附录B.第4.1节的证明定理4.3和4.4的证明基于我们在附录a中证明的更一般的结果。因此，作为定理4.3和4.4证明的前提，我们首先证明函数pn（q）：=pnan（q）满足上述假设a.5。引理。假设2.1、2.2、3.3和4.1成立。然后，pn（q）：=pnan（q）满足假设A.5。引理B.1的证明。

如第3.1节所示，pnan（q）在q和map q 7中都在减小→ qpnan（q）是一个概念明确的概念，适用于所有q∈ 因此，pnan（q）是连续的(-∞, 0）和（0，∞) 分别地但是，众所周知，0处的连续性也遵循limq→0pnan（q）=EQn[B]=pnan（0）=dn。因此，假设A.5中的要点一成立。关于第二点，让γ>0。If0<q≤ 那么对于任何0<l < δ+和n足够大，因此rn≥ l/γ：pnan（q）≤ pnan（0）=dn=EQn[B]；普南（q）≥ 普南(l32米切尔·安克索佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛西夫-γ ≤ 对于任何δ，q<0-< l′< 0和n，所以rn≥ -l′/γ：pnan（q）≥ pnan（0）=dnEQn[B]；普南（q）≤ 普南(l′rn）。原名：林超恩↑∞sup | q|≤γq | pnan（q）|≤ γmax|d |，| p∞(l)|, |P∞(l′)|= C（γ）和子弹头2保持。第三点和第四点是假设3.3，完成了结果。定理4.3的证明。对于pn∈ 在本文中，最优位置^qn（^pn）是问题（4.3）的唯一解。使用Uanin（2.1）和pnanin（2.6）的显式公式，该优化问题相当于发现（B.1）^qn（~pn）∈ 阿格明克∈Rqpn- qpnan（q）.一旦满足必要的假设pn（q）=pnan（q），定理的结果将遵循命题A.6。根据引理B.1，假设A.5成立。现在，让我们∈ In.~pn→ ~p，其中~p和~p<d.自pn起(∞) ≤ ■Pn和d=p∞我们有晚餐↑∞pn(∞) = 林尚↑∞Bn≤ 画↑∞~pn=~p<d=p∞(0).因此，定理的结论来自命题A.6。同样地，我们来看看pn∈ In.~pn→ §p，其中自pn起(-∞) ≥ ■Pn和d=p∞（0）我们有信息↑∞pn(-∞) = 林恩芬↑∞十亿≥ 画↑∞~pn=~p>d=p∞(0).因此，定理的结论也遵循命题A.6，从而得出结论。定理4.4的证明。

在定理4.3的证明中，只要证明在pn（q）=pnan（q）和（B.1）中给出的最佳位置^qn（~pn）中满足了命题A.6的必要假设就足够了。同样，根据Emma B.1，我们假设A.5成立。现在，让我们∈ In.~pn→ ~p，其中~p和∞（δ+）<p<d.自pn起(∞) ≤ ■Pn和d=p∞我们有晚餐↑∞pn(∞) = 林尚↑∞Bn≤ 画↑∞~pn=~p<d=p∞(0).因此，定理的结论来自命题A.6。同样地，我们来看看pn∈ In.~pn→ ~p其中~pand p∞(δ-) > ~p>d.自pn起(-∞) ≥ ■Pn和d=p∞（0）我们有信息↑∞pn(-∞) = 林恩芬↑∞十亿≥ 画↑∞~pn=~p>d=p∞(0).因此，定理的结论也遵循命题A.6，从而得出结论。推论4.6的证明。例如，设为pn→ ~p∈ （p∞（δ+，d）使0<l= 林恩芬↑∞^qn（~p）rn≤ 林尚↑∞^qn（~pn）rn=\'l < δ+.渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价为^qn^qn（~pn），并假设某些子序列（仍标记为n）为^qn/rn→ l ∈ [l,l]. 让τ∈ [l,l]. 通过^qn^qnpn的最优性- ^qnpnan（^qn）≤ τrn~pn- τrnpnan（τrn）。除以rn，让n↑ ∞ 使用假设3.3和（3.7）得到l~p-lP∞(l) ≤ τp-τp∞(τ).因为这适用于所有τ∈ [l,l], 我们明白了l~p-lP∞(l) ≤ infτ∈[ l,l]（τp）- τp∞(τ)) .因此，我们看到^qn/r的唯一可能极限点是l~p- lP∞(l) 结束[l,l].但是，在严格的凹度假设下lP∞(l) 任何极小值都是唯一的，因此结果如下。定理4.10的证明。我们开始证明第一个要点，也就是说，我们证明了（4.20）中的最优购买量问题存在最大化者。

为此，我们使用以下基本结果（见[17，命题2.47]）：∈ 当使用αU时，它为Uafrom（2.1）保留的“αUof（4.16）”为≡ a thatU（x）=F（UaU（x））；F（t）=U（U）-1aU（t））=U-奥洛格(-aUt）;U\'aU（x）=^F（U（x））；^F（t）=UKaU（U-1（t））=-“奥伊-“奥乌-1（t），其中F，^F是凹的并且是递增的。因此，根据Jensen不等式，对于任意一组随机变量sz:^F-1.苏普兹∈ZE[U¨aU（Z）]≤ 苏普兹∈ZE[U（Z）]≤ F苏普兹∈泽UaU（Z）,^F在哪里-1（s）=U(-（1/aU）对数(-“aUs”）正在严格增加。因此，美国-“奥洛格-“aUun”aU（x）-qpn，q）≤ 联合国大学（x）-qpn，q）≤ U-奥洛格-奥乌纳（x）- qpn，q）.因为对于a>0的任何一个，una（x- ~pnq，q）=e-a（x）-~pnq）una（0，q），我们从（2.6）中得到-“奥洛格(-\'aUun\'au（0））+x- <<pnq+qpn>>aU（q）≤ 联合国大学（x）- ■pnq，q）≤ U-奥洛格(-奥努纳（0））+x- ■pnq+qpnaU（q）.（B.2）现在，让我们∈ In=（Bn，\'Bn）。作为limq↑∞pnaU（q）=Bn，limq↓-∞pnaU（q）=Bnwe havelim | q|↑∞q（pnaU（q）- ~pn）=-∞,34 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos，因此来自（B.2）和limx中的第二个不等式↓-∞U（x）=-∞ （来源于（4.17）WeActainLimq↑∞联合国大学（x）- ~pnq，q）=-∞, 林克↓-∞联合国大学（x）- ~pnq，q）=-∞.作为U（x）- ■pnq-|q | kBkL∞) ≤ 联合国大学（x）- ■pnq，q）≤ 0，任意最大化序列{qnm}m∈n必须有边界并有一个累积点^qn。现在，联合国大学（x）- ■pnq，q）允许变分表示（见[32]）（B.3）unU（x- ~pnq，q）=infQn∈~Mn，y>0y（x- ~pnq）+yqEQn[B]+E“VydQndPFT！#！，式中（B.4）V（y）：=supx∈R（U（x）- xy）。因此，我们看到q 7→ 联合国大学（x）- ~pnq，q）是凹的，因此在R上是连续的，而^qnis确实是一个最大化子。我们下一个节目是p∞（δ+）<p<d和In ~pn→ §p（4.21）中所包含的（4.22）中关于否定位置的相应证明被省略，因为它是完全相同的）。我们首先声称，对于足够大的n，任何最大化者^q都是正的。

的确，自从→ d其中dn=EQn[B]=pna（0）（对于任何a>0）和p<d，pn→ ~p我们可以找到足够大的n，以便~pn<dn。因此，对于q<0，我们有（因为对于任何a>0，pna（q）在q中减小）qpnau（q）-qpn≤ q（dn）- ~pn）≤ 0.鉴于（B.2），这意味着q≤ 0表示（B.5）联合国大学（x）- ■pnq，q）≤ U-奥洛格-奥努纳（0）+ 十、.现在，让我们l > 是这样吗l\'aU/a<δ+。在q=l我们有(l注册护士）- ~pn=pna（`aU）l/（阿恩）- ~pn→ P∞（‘aU’l/（a）- ~p.~p<p∞（0）和p∞在0处连续，我们可以找到一个l 足够小，因此上述数量对于n大来说严格为正。因此，从（B.2）我们可以看到- ~pnlrn，l注册护士）≥ U-“奥洛格(-\'aUun\'au（0））+x- ~pnlrn+lrnpn“aU(lrn）.作为n↑ ∞ 考虑到假设4.9，上面的右手边收敛到0，而（B.5）的右手边在某些常数C的U（C+x）<0的范围内。因此，对于足够大的n，最大值可以是非正的。现在，让{^qn}n∈Nbe一系列（正）最大化器。我们用矛盾证明了（4.21）中的下界；i、 e.假设lim infn↑∞^qn/rn=0，取一个序列（仍然标记为n），其中^qn/rn→ 0.让0<l < δ+aU/a，并假设^qn/rn≤ l. 由于^qnw是一个优化器，我们从（B.2）中得到-“奥洛格(-\'aUun\'aU（0））+x- ~pnlrn+lrnpn“aU(l注册护士）≤ -奥洛格(-奥努纳（0））+x- ~pn^qn+^qnpnaU（^qn）。渐近完全市场中未定权益的定价与最优头寸lrn>0-l罗格(-\'aUun\'aU（0））+xl注册护士-~pn+pn\'aU(l注册护士）≤ -l纳乌洛格(-奥努纳（0））+xlrn+^qnl注册护士pnaU（^qn）- ~pn.对于任何a>0，-（1/a）≤ una（0）=-（1/a）e-H（Qn | P）。此外，从（2.7）开始，它适用于任何a，b>0的pna（q）=pnb（aq/b）。因此，根据假设3.3和4.9p∞“aUlA.- ~p≤ 林恩芬↑∞^qnl注册护士pnau（^qn）- ~pn= 0，其中自^qn/rn之后的最后一个等式→ 0，~pn→ ~p和| pnaU（q）|≤ kBkL∞. 拿l ↓ 0表示p≥ P∞（0）矛盾。

因此，lim infn↑∞^qn/rn>0。为了获得（4.21）中的上限，我们首先声明（B.6）pnU（x，^qn）≥ ~pn。假设（B.6）（4.21）中的上界如下：的确，假设lim supn↑∞^qn/rn=k≥ δ+取一个子序列（仍然标记为n），使^qn/rn→ k、 让0<l < δ+使^qn/rn≥ l 为了拉吉诺。由于pnU（x，q）在q中减少，（B.6）意味着pn≤ pnU（x，lrn）。拿n↑ ∞ 给出p≤ P∞(l)然后服用l ↑ δ+给出p≤ P∞(δ+). 但是，这是一个矛盾，因此（4.21）成立。为了证明（B.6），回到（B.3）。写出ZQ，n:=dQn/dP | FT.从（B.3）开始，对于（B.7）联合国大学（x）的任何y>0，它如下- ■pnq，q）- 联合国大学（x）y+~pnq≤ qEQn[B]+y超高压（yZQ，n）i+xy-联合国大学（x）.考虑问题（B.8）infy>0y超高压（yZQ，n）i+xy-联合国大学（x）.根据[33，引理A.4]地图y 7→ EV（yZQ，n）可与导数E微分ZQ，nV′（yZQ，n）.因此，我们看到上面这张图的导数是yEhyZQ，nV′（yZQ，n）- V（yZQ，n）i+unU（x）=yE“ZyZQ，nτV′（τ）dτ#+unU（x）！，其中最后一个等式是自（d/dτ）（τV′（τ）之后的等式- V（τ））=τV′（τ）和自U∈ Ualislimτ↓0τV′（τ）=limτ↓0V（τ）=0。自从你∈ 假设4.9意味着unU（x）<0，V的严格凸性产生唯一的yQ，解（B.8），并且满足一阶条件-unU（x）=E“ZyQ，nZQ，nτV′（τ）dτ#。简单的计算表明τV′（τ）=1/αU（I（τ）），其中I（τ）=（U′）-1(τ). 自从你∈ 我们看到ZQ，n= 1给出“aUyQ，n”≤ -联合国大学（x）≤北卡罗来纳州奥伊克市36号米切尔·安克索佩洛斯、斯科特·罗伯逊和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛索等-奥努（x）≤ yQ，n≤ -欧努（x）。用这个yQ，nin（B.7）givesunU（x- ■pnq，q）- 联合国大学（x）yQ，n+~pnq≤ qEQn[B]+yQ，n超高压（yQ，nZQ，n）i+xy-联合国大学（x）= qEQn[B]+infy>0y超高压（yZQ，n）i+xy-联合国大学（x）.我们已经证明了一个^qn>0的存在，它使联合国大学（x）最大化- ~pnq，q），并表明对于足够大的un（x- ^qn，^qn）>联合国大学（x）。

因此，对于这个^qnw，我们使用yQ的不等式，n-联合国大学（x）（联合国大学（x）- ~pn^qn，^qn）-联合国大学（x））+~pn^qn≤ ^qnEQn[B]+infy>0y超高压（yZQ，n）i+xy-联合国大学（x）,或者，因为这个不等式对任何Qn都有效∈~MnthatunU（x）- ~pn^qn，^qn）-联合国大学（x）-\'aUunU（x）~pn^qn≤ -欧努（x）infQn∈~Mn^qnEQn[B]+infy>0y超高压（yZQ，n）i+xy-联合国大学（x）= -\'aUunU（x）^qnpnU（x，^qn），其中最后一个等式来自[32，命题7.1]。因此，我们得到了unU（x）的界（B.9）≤ 联合国大学（x）- ~pn^qn，^qn）≤ 联合国大学（x）-\'aUunU（x）^qn（pnU（x，^qn）- ：/pn）。由于unU（x）<0，^qn>0意味着（B.6），完成了结果。附录C.第7节的证明我们从一个引理开始，显示无差异价格如何与初始头寸和风险规避成比例。这是一个简单的结果，因为Atis是一个圆锥体：即对于每个c>0，（L，M）∈ 在<=>（cL，厘米）∈ 在自始至终，我们假设x，y∈ R、 0≤ T≤ T，s>0，a>0和λ∈ （0,1）（分别为λn∈ (0, 1)).引理C.1。对于（7.5）和q>0的paas：（C.1）pa（qx，qy，q；s，t，λ）=pqa（x，y，1；s，t，λ）。引理C.1的证明。对于（L，M）∈ 如（7.2）所示，注意- A.四十、 M，qx，tT+YL，M，qy，tT- q（圣- （K）+= -质量保证XL/q，M/q，x，tT+YL/q，M/q，x，tT-（圣- （K）+.（C.2）作为一个圆锥体：inf（L，M）∈艾茨-qtt+qm，XL-q（圣-K） +）i=inf（L，M）∈艾茨-qa（XL，M，x，tT+YL，M，y，tT-（圣-K） +）i.通过移除（ST- K） +根据上述计算，我们从（7.3）和（7.4）中获得：（C.3）ua（qx，qy，q；s，t，λ）=qqa（x，y，1；s，t，λ）；ua（qx，qy；s，t，λ）=qqa（x，y；s，t，λ）。参见[4，第2.1节]中的注释。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价∈ R表示uqa（x+x′，y，1；s，t，λ）=e-qax′uqa（x，y，1；s，t，λ）。为了使符号更清晰，设置p=pa（qx，qy，q；s，t，λ）和p′=pqa（x，y，1；s，t，λ），使（C.1）变成p=p′。

使用上述事实suqa（x，y；s，t，λ）=qua（qx，qy；s，t，λ）=qua（qx+qp，qy，q；s，t，λ）=qua（qx+qp′+q（p- p′），qy，q；s、 t，λ）；=uqa（x+p′+（p- p′），y，1；s、 t，λ）；=E-qa（p-p′）uqa（x+p′，y，1；s，t，λ）；=E-qa（p-p′）uqa（x，y；s，t，λ）。因此，p=p′。如[4，第374-375页]所述，对于ε>0的定义ε（x，y，s，t；λ）：=1+εu1/ε（x，y，1；s，t，λ）；vε，f（x，y，s，t；λ）：=1+εu1/ε（x，y；s，t，λ）。（C.4）接下来，定义ε（x，y，s，t；λ）：=x+sy+εlog（1-vε（x，y，s，t；λ））；=x+sy+ε对数-εu1/ε（x，y，1；s，t，λ）,zε，f（x，y，s，t；λ）：=x+sy+εlog1.-vε，f（x，y，s，t；λ）;= x+sy+ε对数-εu1/ε（x，y；s，t，λ）.（C.5）注意，通过定义x+py- zε和x+py- zε，表示λ交易成本市场中有索赔和无索赔的相应确定性等价物。此外：引理C.2。zε，zε，ffrom（C.5）与x无关，因此写zε（y，s，t；λ），zε，f（y，s，t；λ）。此外：ψ（s，t；0）-εu2σ（T）- （t）≤ zε（y，s，t；λ）≤ s（1+λ| y）- 1|);-εu2σ（T）- （t）≤ zε，f（y，s，t；λ）≤ λs | y |，（C.6），其中u是（7.1）中s的漂移，ψ（s，t；0）是无摩擦模型中的Black-Scholes价格。接下来，对于固定的（y，s，t）和ε，都是zε，zε，票价以λ为单位增加。最后，对于固定的（y，s，t）和λ，zε和zε，票价在（0，∞).38 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos证明引理C.2。zε，zε，独立于x的票价，以及（C.6）都符合[4，命题2.1]。接下来，利用（C.4）和（7.2）中vε的定义，我们得到了zε（y，s，t；λ）- sy=inf（长，米）∈Atεlog是的-ε(-RTtSτ（1+λ）dLτ+RTtSτ（1+λ）dMτ+yST+ST（LT-MT）-（圣-K） +）我= inf（L，M）∈Atεlog是的-ε(-RTtSτdLτ+RTtSτdMτ+yST+ST（LT-MT）-（圣-K） +）eλεRTtSτ（dLτ+dMτ）i.因此很明显，zε（y，s，t；λ）在λ中增加。由于zεf也适用于相同的公式，所以不存在（ST- K） +项zε，f（y，s，t；λ）也在λ中增加。

此外，zε（y，s，t；λ），zε，f（y，s，t；λ）在ε中递减，这是由Holder不等式得出的。最后，请注意，映射γ7→ inf（L，M）∈艾茨-γ(-RTtSτ（1+λ）dLτ+RTtSτ（1+λ）dMτ+yST+ST（LT-MT）-（圣-K） 在上，i+是凸的，∞) （同样，当- K） +术语不存在）。实际上，取0<γ<γ和0<λ<1。设置γλ=λγ+（1- λ） γ和let（L，M），（L，M）∈ 在从z 7开始→ E-zis凸与（L，M）=λγλ（L，M）+（1）- λ） γλ（L，M）∈ 在凸性之后，首先最小化（L，M），然后最小化（L，M）。由于凸函数在其有效域的内部是连续的，并且由于zε，zε，由（C.6）确定，我们看到zε（y，s，t；λ），zε，f（y，s，t；λ）在ε上是连续的，∞).命题7.2的证明。在q=（εa）处使用引理C.1-1活动水疗中心xεa，yεa，εa；s、 t；λ= p1/ε（x，y，1；s，t，λ），所以vεx+paxεa，yεa，εa；s、 t；λ, y、 p，t；u= vε，f（x，y，s，t；λ）。因此，使用（C.4），（C.5）可以得到，因为引理C.2表示zε，zε，与大写字母x，thatpa无关xεa，yεa，εa；s、 t，λ= zεx+paxεγ，yεγ，εa；s、 t；λ, y、 s，t；λ- zε，f（x，y，s，t；λ）=zε（y，s，t；λ）- zε，f（y，s，t；λ）。因此，pai独立于x。定理的结论现在很容易得出：即让rn=λ-2随机设置qn=l注册护士。让我来∈ R.取εn=λn/（a）l) = （qna）-1那么qn=（εna）-1和λn=√εn√A.l. 是否有pa（yn，qn；s，t；λn）=paynλn/lεna，εna；s、 t，√εn√A.l= zεnynλnl, s、 t；√εn√A.l- zεn，fynλnl, s、 t；√εn√A.l.渐近完全市场中未定权益和最优仓位的定价现在，根据[4，定理3.1]我们得到了任意y∈ R那（C.7）林↑∞zεny、 s，t；√εn√A.l= ψ（s，t；√A.l); 画↑∞zεn，fy、 s，t；√εn√A.l= 0.此外，如[4，第389页]zεnynλnl, s、 t；√εn√A.l- zεn（0，s，t；√εn√A.l)≤ λnsλn|yn|l,同样的不等式也适用于zεn，f。

因此，如果limn↑∞λn | yn |=0我们看到↑∞pa（yn，qn；s，t；λn）=ψ（p，t；√A.l),这是理想的结果。定理7.4的证明。收敛性的证明遵循[3]的弱粘性极限，另见[16]第七章。让我们定义ψ*（s，t）=lim supρ↓0lim supb↓0supψ（^s，^t；b）：|s- ^s |+|t-^t |<ρ,和ψ*（s，t）=lim infρ↓0lim infb↓0infψ（^s，^t；b）：|s- ^s |+|t-^t |<ρ.第一步：ψ*（s，t）是线性Black-Scholes方程的粘性子解。设w（s，t）为光滑测试函数，并假设（s，t）∈ (0, ∞)×[0，T]是差ψ的严格局部极大值*（s，t）- [0]上的w（s，t），∞) ×[0，T]使得ψ*（s，t）=w（s，t）。我们可以，也将这样做，假设wss（s，t）6=0。我们验证了ψ*是一个粘性次溶液，通过证明如果t<t-wt（s，t）-sσwss（s，t）≤ 0，而如果t=t，则前面的不等式成立或ψ成立*（s，T）≤ （s）- K） +。假设t<t或t=t和ψ*（s，T）>（s- K） +。考虑一个例子↓ 0和局部最大化器（sn、tn）∈ (0, ∞) 函数（s，T）7的×[0，T]→ ψ（s，t；bn）-w（s，t），使得（sn，tn）→ （s，t），ψ（sn，tn；bn）→ Ψ*和ψ（sn，tn；bn）- w（锡，锡）→ 0.此类序列和最大化子的存在性如[3]所示。注意，对于足够大的n，我们有tn<T。事实上，如果t<t，那么对于足够大的n，tn<t之后是收敛tn→ t、 假设t=t和ψ*（s，T）>（s- K） +并设tn=T。

我们计算ψ*（s，t）=limn→∞ψ（sn，T；bn）=（s）- K） +。但是，既然我们假设ψ*（s，T）>（s-K） +我们得到了一个矛盾，这意味着对于所有足够大的n，tn<t。40 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSLet我们现在设置kn=ψ（sn，tn；bn）-w（sn，tn）并定义运算符b[ψ]=σsψss（s，t）1+Sbsψss（s，t）.由于ψ（；bn）是（7.6）的连续粘度解，且函数a 7→ A（1+S（A））是递增函数，我们得到如下0≥ -重量（sn，tn）-Gbn[w（sn，tn）+kn]。现在开始→ ∞ 利用事实lN→ 0，（锡，锡）→ （s，t），千牛→ 0和S（0）=0，我们得到-wt（s，t）-σswss（s，t）≤ 0，完成ψ的粘度亚溶解性证明*.第2步：ψ*（s，t）是线性Black-Scholes方程的粘性上解。如果这一步的证明与上一步的证明几乎相同，则证明无效。设w（s，t）为光滑测试函数，并假设（s，t）∈ (0, ∞) ×[0，T]是差ψ的严格全局极小值*（s，t）-[0]上的w（s，t），∞) ×[0，T]使得ψ*（s，t）=w（s，t）。我们可以，也将这样做，假设wss（s，t）6=0。我们验证了ψ*是粘性上解，通过证明如果t<t-wt（s，t）-sσwss（s，t）≥ 如果t=t，那么通过构造我们得到了上解性质ψ*（s，T）≥ （s）- K） +。我们需要显示粘度特性。考虑一个序列bn↓ 0和局部极小值（sn、tn）∈ (0, ∞) 函数（s，T）7的×[0，T]→ ψ（s，t；bn）-w（s，t），使得（sn，tn）→ （s，t），ψ（sn，tn；bn）→ Ψ*和ψ（sn，tn；bn）- w（锡，锡）→ 0.这种序列和极小值的存在性如[3]所示。

注意，就像在粘性亚溶液中一样，对于足够大的n，我们有tn<T。由于ψ（；bn）是粘度为（7.6）的溶液，且函数a 7→ A（1+S（A））是递增函数，我们得到如下0≤ -重量（sn，tn）-Gbn[w（sn，tn）+kn]。现在开始→ ∞ 利用事实lN→ 0，（锡，锡）→ （s，t），千牛→ 0和S（0）=0，我们得到-wt（s，t）-σswss（s，t）≥ 0，完成了ψ的粘性上解性质的证明*.第3步：将估计值放在一起，或有权益的定价和渐近完全市场中的最优头寸，通过构造，我们得到了ψ*≤ Ψ*. 然后是[4]中定理3.1的证明中的比较论证，或相当于见第七节。[16]中的8给出了相反的不等式，即ψ*≥ Ψ*. 因此我们得到了ψ*= Ψ*函数ψ=ψ*= Ψ*是方程ψt+σsψss=0的解；ψ（T，s）=（s）- K） +。经典论点，例如[16]中的定理7.1，则意味着等式ψ*= Ψ*表示局部一致收敛ψl→ ψasl → 这就完成了定理的证明。定理7.5的证明。从λ=b的引理C.2√因此zε（y，s，t；b√ε） 因为[4，定理3.1]暗示了limε→0zε（y，s，t；b）√ε） =ψ（s，t；b），因此ψ（s，t；b）在b中增加。至于（7.7）中的渐近性，通过构造ψ（s，t；b）=（s- K） +对于p>0，b>0。因此，我们只考虑当t<t时。在这里，我们从7.2号提案中回忆起，利马↑∞S（A）/A=1。此外，如[4]所示，S（A）>0表示A>0。因此，让γ>0，并选择一个γ，使S（A）≥ (1 - γ） A换A≥ γ。现在，让ψ：（0，∞) ×[0，T]是带ψss的光滑函数≥ 0

WriteH[ψ]：=ψt+σsψss1+S（bsψss）.我们有以下基本估计，因为ψss≥ 0和7→ A（1+S（A））在增加：H[ψ]≥ ψt+1sψss≥Aγbσsψss1 + (1 - γ） bsψss= ψt+1sψss≥γb1-γσbsψss+2（1）-γ） b-σ8b（1）- γ)!≥ ψt-σ8b（1）- γ)+1 -γσbsψss+2（1）-γ） b- 1sψss<Aγb1- γσbsψss+2（1）- γ） b≥ ψt-σ8b（1）- γ)+1 -γσbsψss+2（1）-γ） b-1.- γσAγb+2（1- γ） b= ψt-σKγ2b+1-γσbsψss+2（1）-γ） b式中kγ：=4（1）- γ)+ (1 -γ)Aγ+2（1）- γ).总而言之，我们有ψ光滑的ψss≥ 0表示（C.8）H[ψ]≥ ψt-σKγ2b+1- γσbsψss+2（1）- γ） b.现在，设C>0，并用φ（s，t；C）表示当利率为0且资产波动率为C时，具有行使K，到期日为t的看涨期权在（s，t）的Black-Scholes价格∈ 考虑函数ψ（s，t）=φ（s，t；C）- M（T）- t） .42 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos显然，ψ是光滑的，根据φ（s，t；C）的显式公式，可以得出ψss≥ 0.然后我们从（C.8）（写φCto表示对C的依赖）得到thatH[ψ]≥ φCt+M-σKγ2a+（1）- γ)σbsφCss+2（1）- γ） b;= -CsφCss+M-σKγ2b+（1）- γ)σbsφCss+2（1）- γ） b.二次型（1/2）（1）- γ） σbx+（1/2）（σ- C） x的下界为-(σ- C） （1）- γ） σb.将其插入上述（sφc表示x的作用）yieldsH[ψ]≥ -(σ- C） 8（1）- γ） σb+M-σKγ2b+σ8（1-γ） b.显然，设置m=（σ- C） 8（1）- γ） σb+σKγ2b-σ8(1 - γ） b=C8（1-γ） σb-C4（1）-γ） b+σKγ2b，（C.9）产生H[ψ]≥ 因此，通过[4，定理3.1，第395-396页]中所示的比较论证，可以得出ψ（s，t；b）≥ ψ（s，t）。为了联系其中的结果，setz*（s，t）=ψ（s，t）=φ（s，t；C）-M（T）- t） )；Z*（s，t）=ψ（s，t；b），注意z*是一个（经典）子解；Z*是一种连续粘度的超级溶液；林斯↑∞Z*（s，t）/s=1，lims↑∞Z*（s，t）/s=1在0中均匀分布≤ T≤ T还有那个z*（0，t）=-M（a）（T）- （t）≤ Z*（0，t）=0表示任何t≤ 如果C>√2σ. 因此，[4]中的论点。

395-396]通过。到目前为止，C>0的选择是任意的。然后考虑当C=b1/4时。这是b→ ∞thatC=C（b）→ ∞,M=M（b）=8（1）- γ） σb-4(1 -γ） b3/2+σKγ2b→ 因此，从比较原理来看，LIM infb↑∞ψ（s，t；b）≥ lim infb↑∞φ（s，t；C（b））- M（b）（T）- t） =s，其中，最后一个等式源自众所周知的事实，即随着波动性接近实际值，Black-Scholes模型中的看涨期权价格收敛于初始股价。这就完成了证明，因为[4，命题2.1，定理3.1]中显示了ψ（s，t；b）≤ s代表所有b>0。渐近完全市场中未定权益和最优头寸的定价是定理7.7的证明。我们验证了命题A.2成立，得到了预期的结果。作为朝着这个方向迈出的第一步，我们以一种更容易处理的形式重写了相关的优化问题。对于pn∈ （ψ（s，t；0），s）回忆（7.8）中的最优销售数量问题：maxq>0ua（x+ys（1）-λn）+qpn，0，q；s、 t；λn）。有)x=x+ys（1- λn）考虑到（C.3）和（C.4），（C.5），对于q>0:ua（~x+q~pn，0，q；s，t；λn）=avqa~xq+~pn，0，s，t；λn- 1.= -ae-A.~x+q ~pn-qzqa（0，s，t；λn）,（C.10），因此有必要考虑优化问题（C.11）supq>0qpn- qzqa（0，s，t；λn）= - infq>0q(-~pn）- Q-zqa（0，s，t；λn）.极大子^qn>0的存在性以及^qn/rnin（7.9）作为λn的渐近行为→ 一旦证明必要的假设成立，0将遵循命题A.2。这里是mapq 7→ pn（q）=-zqa（0，s，t；λn）。我们首先考虑假设A.1。至于要点一，注意引理C.2，Pn是连续的，在（0，∞ ).

关于第二点，（C.6）给出-qs（1+λn）≤ qpn（q）≤ -qψ（s，t；0）+u2aσ（t- t） ，因此对于任何γ>0μm的supn↑∞谱仪半定量分析≤γq | pn（q）|≤ γmaxψ（s，t；0）+u2aσ（t）- t） γs:= C（γ）<∞,验证第二点。关于第三点，从（C.7）开始，其中εn=λn/（a）l), qn=lrnandrn=λ-2它适用于所有人l > 0该pn(l注册护士）→ -ψ（s，t；√A.l) = P∞(l). 因此，如果δ=δ+=∞. 最后，关于第四点，因为定理7.5表明l↑∞ψ（s，t；√A.l) =-林l↑∞P∞(l) = -s和s>ψ（s，t；0）=-P∞+（0），要点四成立（见充分条件假设A.1）。因此，假设A.1成立。最后，如上所述，对于p∈ （ψ（s，t；0），s）我们有-s=liml↑∞P∞(l) < -~p<p∞+（0）=liml↓0(-ψ（s，t；√A.l)) = -ψ（s，t；0）。因此，命题A.2的结果将通过，完成证明。44 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos[1]M.ANTHROPELOS和G.ZITKOVI\'C，关于不完全市场中的代理协议和部分均衡定价，数学。《金融》，20（2010），第411-446页。[2] G.A.ATKESON、L.A.EISFELDT和P-O.WEILL，场外衍生品市场。国家经济研究局，2013年。[3] G.BARLES和B.PERTHAME，《hamilton-jacobi-Bellman方程的控制和消失粘性解中的出口时间问题》，暹罗控制与优化杂志，26（1988），第1113-1148页。[4] G.BARLES和H.M.SONER，具有交易成本的期权定价和非线性Black-Scholes方程，FinanceStoch。，2（1998），第369-397页。[5] P.BARRIEU和N.EL KAROUI，Inf《风险度量和最优风险转移的卷积》，金融斯托赫出版社。，9（2005），第269-298页。[6] M.BICHUCH，《具有交易成本的有限时间最优投资的渐近分析》，暹罗J.金融数学。，3（2012），pp。

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