然后，在第一种情况下，概率最大化问题可以表述为Maximizep，PπD（P，P，H）（13），在第二种情况下，概率最大化问题可以表述为Maximizep，ηπR（P，η，H）（14）。由于我们将注意力集中在D-和R-政策上，类似于（10），我们定义了仅限于这些政策类别的最大值：对于两种价格政策，PπD=maxP，PπD（P，P，H）（15），对于转诊政策，PπR=maxP，ηπR（P，η，H）（16）。在下一节中，我们将研究这些策略是如何执行的。特别是，我们研究了它们在整个政策三元组空间（P，P，η）上是否是最优的，无论是理论上（对于特定的网络结构）还是数值上（更一般地）。请注意，尽管早期采用者将获得额外的消费期，但假设他们在第一期的预期效用为负值，第一期消费的唯一价值是学习价值——假设2.5.4理论结果我们从描述一般学位分布的最优双价政策开始。提议6（最优双价政策）。对于任意度分布f（d），（^P，^P，0）=（\'A，AH，0）始终是最优的双价格策略，即^πd=πd（\'A，AH，H）。因此，垄断者总是可以通过收取价格并在每个时期收获采用者的全部盈余来实现最佳利润。直觉是，任何较低阈值的采用策略*（即任何d*五十） 可以通过从下面选择合适的序列SP0、kand P1、KC转换为“A”和AH来实现。因此，通过等式（11）中的利润定义，可以得出结论，垄断者可以收取这样的最高价格，并实现最佳的低门槛采用策略，从而为某些特定的f（d）获得早期和晚期采用者的最佳分数。请注意，最优转诊政策（^P，^P，^η）比最优双价政策更难以描述。

事实上，推荐政策可能会导致双阈值采用策略，如果存在大量低学历代理，这可能是最佳选择。而Ferreral^η主要用于吸引高度代理（并设置理想的上限阈值D）*U） 然后，垄断者可以收取低价格P，以诱使低学历代理人提前收养（因为他们的低学历可能会阻止他们从朋友那里收集信息，因此他们不会晚收养）。但是，如果有大量高等级的产品，垄断者可能更愿意使用推荐来实现上限阈值策略。在这种情况下，他可以收取尽可能高的价格P=A，并使用推荐给实体高学历代理人的方式尽早采用。因此，对于一般的度分布f（d），没有直接的模拟位置6。现在，我们将研究这两类动态定价策略ESD和R在d-正则网络上的性能，即在所有代理都具有d度的网络上。这将模拟代理在与其他代理交互的倾向上是同质的情况。下面的定理说明了这种特殊情况的结果。定理3（d-正则网络的最优性能）。假设网络是d正则的，即对于某些d，f（d）=1，否则f（d）=0。然后：（i）对于所有d，πd=π>πR；（ii）limd→∞^πD=limd→∞^πR=limd→∞^π=啊。第（i）部分指出，在d-正则网络上，最优双价格策略在策略三元组（P，P，η）的整个空间上是最优的。这一结果背后的直觉是，在两种价格政策下，垄断者可以获得早期和晚期使用者的全部剩余，同时也可以选择最佳的信息获取方式*. 这如图1所示，其中D类和R类的最优策略下的利润与递减率相对应。

特别是，任何转介政策所实现的利润严格由价格折扣最优政策所获得的利润决定。原因是垄断者是否提供推荐奖励取决于技术的质量θ。如果θ=L，那么早期收养者将不会获得任何推荐奖励，因为他的邻居都不会收养他。A20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000246810214161820预期利润参考2-价格A1H图1：在d-正规网络上，两种价格和推荐激励政策在d-正规网络上的最优比例，具有d学位。模型参数为AH=10，AH=20，AL=-10，铝=-20，p=0.4。AHI由水平黑线显示。价格折扣- P、 另一方面，无论θ的值是多少，都会支付给早期采用者。因此，垄断者必须提供一个“过度”的推荐奖励金额η，以补偿早期采用者没有获得该奖励的风险。由于垄断企业在θ=H的条件下优化了利润，这导致推荐成为比跨期价格歧视更昂贵的激励形式。第（二）部分指出，当网络完全连通时，D-最优策略和最优策略变得等价。特别是，在这种限制下，即使是推荐策略，在所有可能的策略空间内也是最优的。本质上，在这种情况下，消费者希望在第二个阶段几乎完全了解情况，即使早期采用者中只有一小部分人。因此，均衡只涉及在第一阶段采用的一小部分（最优政策使消费者与众不同）——那么他们是否通过折扣或转介获得报酬是一个微不足道的差异——以及在第二阶段从晚采用者那里提取的AHI的全部剩余。

随着d的增长，这往往是所有代理，导致完全剩余和完全效率。定理3对营销人员具有重要的意义：在一个代理商（大致）有相同的互动倾向的环境中，双价格策略是最佳的策略选择。另一方面，在（大致）完全混合的匹配环境中，两种价格和推荐激励政策都表现良好（如果选择得当）。上述见解是在正则网络的假设下获得的。为了了解度异质性的作用，我们分析了一个二度网络，即一个代理可以是低度数据或高度数据的网络。我们证明，在理想条件下，这种异质性允许垄断者设计一种成本最低、信息获取最大化的策略。要了解直觉，请考虑图2中星形网络的简单示例。我们发现，早期采用的不同模式会对信息差异产生显著影响。在早期采用延迟采用推荐激励的情况下，较低的阈值均衡为两种价格政策图2：推荐下的早期采用模式和星型网络上的两种价格政策。双价格策略意味着价格折扣被给予许多代理（所有外围节点），只实现有限的信息差异（只有中心节点是有信息的，并且采用较晚）。因此，这对垄断者来说代价高昂，因为一小部分代理人采用晚，一大部分代理人采用早，并且必须受到激励。另一方面，在适当选择转诊策略的情况下，上限阈值均衡在信息上更有效。其中哪一项最终更具吸引力取决于价格折扣的大小和推荐激励。

然而，在网络中存在一些高度节点的情况下，提供引用是非常便宜的，如我们在下面的命题中所示。命题7（二级网络的最佳性能）。如果网络只有两个度，即f（du）=q和f（dl）=1- 对一些人来说≥ 那么，对于任何dl:（i）limq→0limdu→∞πD<limq→0limdu→∞^πR=limq→0limdu→∞^π;（ii）（^P，^P，0）=（A，AH，0）和（^P，^P，^η）=（AH，AH，η+），其中η+=AH-亚太地区（1）-~f（du））du，分别是最优的两种价格和推荐政策，如q→ 0和du→ ∞;（三）林克→1利姆杜→∞^πD=limq→1利姆杜→∞^πR=limq→1利姆杜→∞^π;（iv）对于任何问题∈ （0,1），limdu→∞πR<AH。前面的命题考察了D-和R-最优利润，因为高学位的Du增长任意大，而低学位的Dl保持不变。在这种情况下，一小部分试剂与他人互动的倾向性非常大。第（i）部分指出，在政策三元组（P，P，η）的整个空间内，推荐政策是最优的，尤其是主导折扣政策。请注意，在这种程度分布下，星形网络是一种可能的实现方式。要了解这一点，请考虑dl=1的极端情况；非正式地说，这相当于一个星形网络，中心有一个有限度节点，外围有一个有限度节点。因此，垄断者会希望激励这个网络中心的代理人。推荐激励政策允许他做到这一点，从而实现“免费”的最大信息访问：总激励成本可以显示为零，而总收入可以显示为收敛于AH、延迟采用者的总盈余和可实现的最大利润。

另一方面，最优的双价格政策导致一级代理中有相当一部分提前采用（因为采用较低的门槛策略），这对垄断者来说是一个巨大的损失。第（二）部分展示了最优限制政策的形式。最优双价格策略asusual设定价格，以获得早期和晚期采用者的全部盈余，从而达到早期采用者的最佳比例。在这里，这意味着所有低学历的代理人都很早就采取了行动，而他们只收获了剩余。事实上，由于较低的阈值策略需要在限制范围内实现零信息访问，任何延迟采用的低级别代理都将保持不知情状态，因此不会延迟采用。因此，垄断者只捕获早期采用者的全部剩余，即“A”。另一方面，最优推荐政策设置η，以使所有高度代理尽早采用，从而产生完全的信息访问*= 1早期采用者的比例越来越小。这让她可以充分利用后来的用户啊，他们都是低学历的经纪人。第（iii）部分指出，当度分布收敛于完全连接网络的度分布时，D-和R-最优策略下的收益等于所有策略集（P，P，η）上的最优收益。事实上，在本例中，我们从第3项的第（ii）部分恢复了结果。另一方面，我们在第（四）部分中看到，只要高等级代理的比例是非平凡的，推荐政策就无法捕获延迟采用者的总剩余，因为必须激励非平凡的代理比例提前采用。5.5数值研究更一般的度分布为了了解我们的理论结果如何扩展到更一般的度分布，我们检查了一系列度分布的两类动态定价策略D和R的性能。

我们使用了Jackson和Rogers（2007）的一个模型，该模型适用于广泛的社交网络，并涵盖了无标度网络和作为极端情况形成的统一随机网络。累积分布函数isF（d）=1-rmd+rm1+r（17），其中m是平均度数，0<r<∞. 随着r趋于0（分别为），分布接近无标度（分别为指数）分布。，∞). 这个家族有两个有趣的性质：变化的m相当于分布中的一阶随机优势转移；变化r相当于分布中的二阶随机优势转移。形式上，当分布Fhas参数（m，r）和分布F has参数（m，r）使得r=r和m>m时，则F严格一阶随机支配F。此外，当分布Fhas参数（m，r）和分布F has参数（m，r）使得m=m>0且r<r时，则F为严格的均值保持分布。图3说明了D-和r-最优定价策略的性能。曲线上的每个点都代表了（13）和（14）中数值优化的利润，请注意，在本例中，我们只考虑在最多一个度下发挥a5 10 15 20 25 304681012141618最佳利润的定价政策-价格参考图3：两种价格和推荐激励政策与平均程度的最佳比例。度分布如（17）所示，在所有情况下r=2。模型参数区域H=10，AH=20，AL=-10，铝=-20，p=0.4。给定度分布（即，当r固定为2时，m的每个单独值）。我们发现，在平均学位m高于某一阈值（m）的学位分布上，推荐激励政策比两种价格政策表现得更好≈ 7).

事实上，在这种分布上，可以感受到命题4的影响：学位高于阈值d的代理人*尽早投入，并以最大效率投入。因此，由于信息效率最高，他们以较低的激励成本（以推荐费的形式）获得较高的信息访问。尽管搭便车的人的学位低于d级门槛*U、 由于分布具有较高的m，他们的学位仍然相对较高。因此，他们非常有可能收集信息（即，至少有一个邻居提前投资）。这就意味着，对于一小部分高效的早期使用者来说，免费搭车者中的晚期采用率很高。从图3中可以看出，推荐激励政策主要由两种价格政策决定，即平均学位m低于某一阈值（m）的学位分布≈ 7). 在这种分配和转介激励政策下，搭便车代理商的学位非常低。因此，即使早期领养的代理拥有更高的学位，从而产生了更高的信息访问，一些搭便车的代理也很可能保持不知情，因为他们的低学位转化为拥有早期领养邻居的低概率。这就转化为较低的延迟采用率。然而，在双价格政策下，学位低于d门槛的代理商是不受欢迎的*我早领养。尽管后者倾向于产生较低的信息访问，但搭便车者的学位高于阈值d*因此，土地不太可能保持不知情状态。这就转化为一种高效的混合策略，在这种环境下这是很自然的。请注意，我们考虑（17）中学位分布的学位支持范围为1到200。后者在该有限支撑上归一化，因此其总和为1.5 10 15 20 25米（平均度数）051015202530标准度。德夫。

图4中的度数：图3中使用的度数分布的度数与平均度数m的标准偏差，如（17）中的r=2。提前领养的模式，但这可以通过合理的延迟领养率得到补偿。换句话说，双价格政策主导转介激励政策，并不是因为它能提供更高的信息访问（和效率），而是因为它能保证低学历代理的采用——正是那些在转介激励政策下可能无法从邻居处收集信息的代理。需要注意的是，平均度数m本身并不能驱动图3中的结果。事实上，我们从定理3中知道，在d-正则网络上，即使平均d度增加，推荐也不会主导两种价格策略。在这个分布中，随着m的增加，度分布的方差也随之增加。高程度的差异（即程度上的高度异质性）可以让转诊激励一小部分高程度代理尽早采用，从而有效地传播信息。在图4中，我们绘制了用于产生图3结果的分布的度数与平均度数m的标准偏差。度的标准差随m的增大而增大。这种程度异质性的增加在很大程度上推动了FIG的盈利结果。3.学位分布方差的影响为了更好地了解学位分布方差的作用，我们改变了参数。在图5中，我们根据[0,1]范围内的1/r，绘制了两类定价政策的最佳利润。更高的1/r意味着我们在保持平均度数（对应于参数m）不变的情况下增加了度数分布的扩散。这意味着我们在保持平均学位固定的同时增加学位方差。

我们看到，随着差异的增加，推荐政策（完整的条款）往往会表现得更好。这在程度分布的上尾端创造了足够的厚度，以允许高度代理的小部分通过推荐受到激励，并产生更高的信息效率（因为高度邻居f（d）的概率随着高度0的增加而增加）。1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11/R456789101112131415最佳利润双价（m=3）转介（m=3）双价（m=7）转介（m=7）双价（m=10）转介（m=10）图5：两种价格（虚线曲线）和转介激励（全曲线）政策与1/r的最佳利润。学位分布如（17）所示，其相应的r和F值为m（平均学位）。因此，增加1/r会增加学位差异，同时保持平均学位不变。其他模型参数如图3所示。为了解释这个图形图例中对颜色的引用，读者可以参考本文的在线版本。而f（d）也会增加，但仍然相对较低）。另一方面，双价政策只会激励低阶代理，随着上尾翼变厚，后者的影响越来越小，因为拥有低阶邻居的概率降低（即低阶代理的f（d）降低）。因此，随着程度差异的增加，两种价格政策（虚线）的表现往往更糟。在中等平均学位（m=7）的情况下，学位分布的上尾增厚使得推荐政策开始在某个临界值（这里，1/r）主导两种价格政策≈ 0.35或更高≈ 3).学位分布平均值的影响为了检验在保持方差不变的情况下增加平均学位的效果，我们不能使用（17）中的学位分布。

相反，我们研究了f（du）=0.1和f（dl）=0.9的二度分布，其中du=dl+7，其中dlis从5到20变化。推荐和两种价格政策的最佳利润显示在图6的上面板中，而学位分布的固定标准偏差显示在下面板中。向上转移分布对这两种政策都有好处，因为在这两种政策下，民众中可能不知情的低学历代理人更少。另一方面，仅仅提高平均程度通常不允许转诊达到两种以上的价格政策。真正允许推荐政策主导双价格政策的是，当有一小部分非常高的代理（相对于其他代理）时。在这种情况下，任何人都有可能与他们有联系（因为这样的高流动性消费者的f（d）很高），因此垄断者只需要通过推荐来激励他们，以便通知其他人群。在这里，恒定的扩散度可以防止一小部分高流动性药物的产生。这只会带来6 8 10 12 16 18 20 2211112131415161718最佳利润两个价格参考的平均价格。522.533.5Std。学位发展图6：两种价格和推荐激励政策在转移的两学位分布上的最佳利益。度分布为f（du）=0.1和f（dl）=0.9，其中du=dl+7，dl在5到20之间变化。这会增加平均度数，同时保持度数方差不变。顶部面板显示了最佳性能与平均度，而底部面板显示了度与平均度的标准偏差。模型参数如图所示。

3.如果相邻概率f（d）相对于f（d）变得足够高，则发生高d。为了说明这是如何工作的，我们研究了增加平均度同时增加方差的效果。我们再次使用f（du）=0.1和f（dl）=0.9的二度分布，但我们现在将dl固定在6，而du从12变化到190。图7的上面板显示了转诊和两种价格政策的最佳利润，下面板显示了程度的标准偏差。现在我们看到，学位分布的厚尾可以让推荐主导两种价格政策，因为Ferrelals现在可以激励一小部分非常有影响力的代理（即高f（du）的代理）尽早采用，从而有效地传播信息。还需注意的是，学位差价的增加损害了两项价格政策，因为低学位代理人的影响力越来越小（即f（dl）减少），因此此类政策的信息量越来越少。6 8 10 12 14 16 18 20 22 268101214161820最佳利润双价参考6 8 10 12 14 16 20 22 26平均度数102030405060STD。度的发展图7：两种价格和推荐激励政策在两个度的分布上的最优收益，平均值和标准差都在增加。度分布为f（du）=0.1和f（dl）=0.9，其中dl=6，而du在12到190之间变化。这增加了度分布的平均值和标准差。顶部面板显示了最佳性能与平均度的对比，而底部面板显示了度与平均度的标准偏差。模型参数如图3.5.6福利到目前为止，我们已经分析了不同激励政策对垄断者利益的影响。监管机构可能关心社会福利。

此外，在其他情况下，政府可能希望通过实施被认为具有某种社会价值的项目（如健康、教育、卫生、更可持续的能源形式等），实现福利最大化。从福利角度解释定价政策的含义也很重要。从社会福利的角度来看，考虑到代理人的优先权，任何完全最优的分配都将是让尽可能少的代理人进行实验，然后通知只在第二阶段消费的其他代理人，假定信息只能通过网络传播。这通常有利于推荐激励，而不是折扣定价，因为它们鼓励高学历代理而不是低学历代理进行实验。主要的警告是，我们假定垄断者确信产品质量高。这可能会导致她鼓励实验，即使从先验概率的角度来看，这不是社会最优的。也就是说，在某些情况下，如果先前的isso较低，则进行任何代理试验都是没有意义的。除此之外，社会的最佳选择是在第一阶段选择一些高程度的代理人进行实验。在提案7第（i）部分的情况下，转诊激励显然是近似最优的。更一般地说，当有许多高学位代理人（如提案7第（三）部分和第（四）部分）时，社会最优将是对推荐激励进行定量，以便不是所有的高学位代理人都进行了实验，而是刚好足够通知其他代理人。5.7模型扩展5。7.1不知情的垄断者到目前为止，我们已经研究了垄断者被告知产品质量的情况。如果垄断者不知情，并且事先知道产品质量高，那么两种价格政策将不再主导d-正规网络上的推荐。

事实上，两种推荐（R-政策）和两种价格政策（D-政策）都会产生相同的预期收益，这相当于整个定价政策三元组（P，P，η）空间内的最佳预期收益。事实上，转介不再是一种比双价政策更昂贵的激励形式，因为现在已经不确定它们是否需要支付。这在定理3的以下推论中得到了总结。推论1（d-正则网络上的最优性能）。假设网络是d正则的，即对于某些d，f（d）=1，否则f（d）=0。当垄断者不知道产品质量θ并与消费者分享先验p时，则：（i）对于所有d，πd=πR=π；（ii）limd→∞^πD=limd→∞^πR=limd→∞^π=多环芳烃。鉴于向垄断者的转移不会影响福利，如果我们考虑到这些利益，那么只需要考虑代理人的消费价值。否则，社会最优就变得微不足道，因为只有一个代理可以进行实验，然后将结果公布给所有其他代理。还要注意的是，在第（ii）部分中，限制性最优预期利润现在等于PAH，而不是AH，反映了垄断者之前关于高质量的p。另一方面，当市政当局不知情时，2度网络命题7的结果仍然成立。事实上，因为他们只能激励高学历的代理商，转介仍然允许一小部分非常高学历的消费者尽早采用，并向所有其他消费者提供信息。请注意，从假设2，pAH>a开始，这仍然是一种有利于最大化的采纳模式，因此，不知情的垄断者倾向于晚采纳而不是早采纳。

唯一的区别是，在第（iv）部分中，最佳预期利润率由PAH而非AH限定，再次反映了垄断者之前关于质量高的p。5.7.2非线性转介支付我们一直关注线性转介支付，其中预期转介支付与代理人的学位成线性比例。Lobel等人（2016年）研究了非线性转介支付，即支付最多转介数量的政策。在这里，垄断者不仅可以选择推荐支付η的值，还可以选择推荐的最大数量dmax∈NS{∞} 消费者可以获得的。这一额外的自由度立即意味着，垄断者可以获得至少与线性转介支付一样高的利润——后者只是Dmax=∞.更一般地说，在我们的模型中，非线性支付可能会造成一种情况，即有三个早期采用阈值，而不是两个——就像线性推荐的情况一样。事实上，与学位略高于dmax的代理相比，学位远高于dmax的代理早期采用的动机可能更低，因为前者从邻居那里收集信息的机会高于后者，因此可能更愿意推迟采用。这可能会造成一种情况，即“低学历”代理和一组单独的“中等学历”代理会提前采用，而其他代理会推迟采用。然而，很容易推导出两阈值采用模式（定理2和命题1中的相关性质）在非线性条件下成立的条件。事实上，由于从邻居那里收集信息的概率超过1，因此延迟采用的好处也超过1。因此，如果η被选择为足够大，那么对于学位高于某个阈值的所有代理来说，早期采用是值得的。

上述情况（三个采用门槛）将不再出现。有趣的是，如果Dmax固定，然后垄断者在其他参数P和η上进行优化，那么利润将如何。为了便于说明，在图8中，我们将使用这种非线性转介支付的利润与不同程度分布的线性情况进行了比较（因为m是变化的）。在整个过程中，dmaxis在不同的值下保持固定。我们看到，较低的Dmax可以通过减少必须支付的转介数量，让垄断者获得更高的利润。在m值较低的学位分布上尤其如此，在m值较低的情况下，上限策略的d值相对较低*U、 在这种情况下，线性转介将支付大量高学历代理的转介费用，远远超过他们早期采用所需的数量。另一方面，较低的dmax可能会阻止Monopolist只激励非常高的代理人，从而实现非常高的5 10 15 20 25 30M46810 12141618最佳利润最大值=6dmax=20线性推荐（dmax=∞)图8：当只能给出最大数量的推荐时，非线性推荐策略的最佳性能。度分布如（17）所示，r=2。平均度数m是不同的。模型参数如图3所示。D*U、 这是对高m的学位分配最有效的采用策略。因此，固定的Dmax可以降低激励更高学位代理人的成本，但也可能限制垄断者的价格歧视能力。6结论当一种新产品或技术被引入时，其质量存在不确定性。这种品质可以通过冒险尝试产品来学习。也可以通过让他人尝试，然后免费使用他们生成的信息来学习。

我们开发的网络游戏类别使我们能够研究代理的选择如何取决于他们的等级，发现在学位支持的两端，代理可以选择提前采用，而其他代理则选择免费使用前者生成的信息。从我们的分析中获得的见解也可以指导营销者或垄断者设计最优的动态定价政策。我们将注意力集中在简单而显著的定价政策上：（i）跨期价格歧视（即早期采用价格折扣）和（ii）推荐激励。我们发现，前者构成了一种筛选机制，在该机制下，低学历代理选择提前采用，而后者构成了一种筛选机制，在该机制下，高学历代理选择提前采用。实现这种机制所需的唯一网络信息是学位分布。我们还表明，如果代理人之间具有相同的互动倾向（由d-调节网络建模），跨时间价格歧视会产生最佳收益；然而，如果一小部分代理人有不成比例的与他人互动的倾向，推荐激励会产生最佳效果。

由于学位的异质性更大，跨期价格歧视和转诊激励政策都可以成为利益最大化选择的一部分。我们还表明，在代理人具有相同的互动倾向的情况下，转介和跨期价格歧视都可以实现福利最大化；然而，当一些代理人与其他人互动的倾向过大时，转介产生的福利严格高于跨期价格歧视。这项工作可以帮助开发更复杂的技术采用模型，考虑到产品质量的不确定性、信息搭便车和推荐激励的作用，以及更复杂的行业结构。一个可能的未来方向是，向垄断者提供有关消费者程度的信息，并允许她根据这些额外信息进行价格歧视。这样的模型反过来又可以导致更好的动态定价机制的发展，从而优化大型社会系统中的信息传播。这也可以为政策提供信息，既可以监管垄断企业，也可以促进其他差异化过程（例如，政府指导其他非营利项目）。7附录7。1平均场近似的有效性在本节中，我们将迄今分析的平均场设置中的平衡结果与有限模型中的平衡结果进行比较，在有限模型中，代理完全了解网络拓扑。由于游戏的第二阶段（t=1）完全取决于第一阶段（t=0）的结果，因此我们将只检查第一阶段中代理的行为。我们将比较纳什均衡和平均场均衡下两类网络的结果：（i）完整网络和（ii）星形网络。

我们将看到，平均场模型的优势在于选择独特的均衡结果，并消除在完全信息下可能出现的不可信均衡。7.1.1在一个完整的网络上：这里我们假设一组N个完全连接的代理。在双价格政策下（即η=0）：可能存在许多纳什均衡。存在一个对称纳什均衡，其中allagents采用混合策略ui=ω。还有许多纯策略纳什均衡：对于某些i=1∈ N和u-i=0是纳什均衡。因此，在所有的HPN实验中，都应该有一个单独的平衡点。平均场模型中的一个类似情况是n-正则图。存在一个单对称混合策略平均场均衡，其中所有代理都扮演u（n）=ω，但这很容易纯化，以匹配任何非对称纯策略均衡。在推荐政策下（即η>η）：有关网络产品环境中的双头垄断的讨论，请参见Chen等人（2015）。他们的模型与这里的大多数维度不同，因此不会直接应用，但研究了当企业是垄断者与双头垄断者时，它们的激励是如何不同的。可能存在许多纳什均衡。还有一个对称纳什均衡，其中所有代理都使用混合策略ui=ω。也可能存在许多纯策略均衡：在一个子集Nω的代理中，所有i的ui=1，使得ω=|Nω|-1 | N|-1和u-i=0是阿纳什平衡。这是因为在这种情况下，所有代理都是不同的，即∏采用=\'A- P+Pη（1）- ω） （n）- 1） =p（啊）- P）=∏在n-正则图上的类似平均场模型中，存在一个单一的对称混合策略平均场平衡，其中所有代理都扮演u（n）=ω的角色。

因此，平均场模型再次选择了对称混合策略均衡，但也很容易纯化，以匹配任何非对称纯策略均衡。7.1.2在星型网络上：这里我们假设一组N个代理：一个代理位于星型网络的中心，N个代理- 1.周边地区的特工。我们用i=n来标记中心代理。在双价格策略下（即η=0）：可以有许多纯策略和混合策略纳什均衡。纯策略均衡为un=1和un-n=0以及un=0和u-n=1。换句话说，要么中心实验，要么外围搭便车，要么相反。可能存在混合策略纳什均衡，其中un=ω和u-n=0，其中un=0和u-n=ω。也可能存在混合策略纳什均衡，其中un=ω和u-n=ω，换句话说，中心节点的混合策略使外围不同，同时，外围的混合策略使中心节点不同。二度平均场模型（dl=1，du=n- 1） 可以理解为类似于星形网络，尽管星形只是这个二度模型的一种可能实现。在二度情况下，根据博弈参数，唯一的平均场平衡可以采用u（n）的形式- 1） =0且u（1）=ω，u（n）- 1） =0且u（1）=1或u（n）- 1） =ω和u（1）=1，取决于游戏参数。这些都是低门槛策略。因此，平均场平衡有效地选择了外围采用的早期平衡和中心自由乘车的平衡。在推荐政策下（即η>η）：我们在这里概述了两种可能的纯策略纳什均衡：在有限模型下，η足够高，μn=1和μn-n=0以及un=0和u-n=1是纯灰平衡。

也可能存在混合策略纳什均衡。在平均场模型下，有足够高的η，我们有一个上限阈值策略：唯一的平均场平衡可以有u（n）的形式-1） =ω和u（1）=0，u（n）-1） =1和u（1）=0或u（n）-1） =1和u（1）=ω，取决于游戏参数。因此，平均场均衡有效地选择了中心采用早期和周边免费乘车的均衡。7.2邻域之间的度依赖对均衡结果的影响在迄今为止分析的平均场模型中，邻域度的分布由边缘透视度分布f（d）给出。研究邻居之间的依赖程度如何影响平衡结果将是一件有趣的事情。为此，让我们介绍以下术语。LetP（d | k）是当代理具有度k时，邻居具有度d的概率。那么我们有以下定义。定义7。（邻里关系）。我们说，相互作用结构表现出负（正）邻域连接ifP（d | k） ()P（d | k）表示k>k，其中 表明Firstorder随机优势。有效地说，负邻居关系意味着更高级别的代理更有可能与较低级别的代理连接，而正邻居关系意味着他更有可能与另一个更高级别的代理连接。在双价格政策导致低阈值策略的情况下，负邻域效应将保持均衡的低阈值性质。事实上，较低的学历现在更有可能与高学历的搭便车者联系在一起，因此有更大的动机尽早采用。

同样，高学历的搭便车者和低学历的早期采用者有更高的联系机会，因此有更高的搭便车动机。类似地，在上限转介策略下，负邻居关联将保留均衡的上限性质。事实上，较低学历的搭便车者现在更有可能与高学历的早期使用者联系在一起，因此搭便车的动机更大。同样，高学历的早期采用者有更高的机会与低学历的搭便车者建立联系，因此有更高的动机早期采用。出于相反的原因，正邻域效应往往会削弱平均场模型中得出的阈值结果。例如，在低门槛策略中，低等级的早期采用者更有可能与另一个低等级的早期采用者建立联系，因此早期采用的动机较小。7.3证明理由1。对于任何α∈ [0,1]通过Φ（α）=α（BR（α））定义对应关系Φ。任意定点α*Φ，以及相应的u*∈ BR（α）*) 使得α（u）*) = α*构成一个油田平衡。因此，我们需要证明对应Φ有一个固定点。我们在复合映射Φ（α）=α（BR（α））上使用了Kakutani的不动点定理。Kakutani的不动点定理要求Φ有一个紧域，这是平凡的，因为[0，1]是紧的。此外，Φ（α）必须是非空的；同样，这很简单，因为BR（·）和α（·）都有非空图像。接下来，我们证明Φ（α）有一个闭图。当我们在[0,1]上赋予平均场策略集产品拓扑时，我们首先表明BR有一个闭合图∞. 这很容易理解：如果αn→ α、 和un→ u，其中un∈ BR（αn）表示所有n，然后是un（d）→ u（d）表示所有d。由于∏defer（α，d）和∏adopt（α，d）是连续的，因此u（d）∈ BR（α），soBR有一个闭图。

还要注意的是，对于平均场策略空间上的产品拓扑，α（·）是连续的：如果un→ u，然后是α（un）→ α（u）由有界收敛定理确定。为了证明Φ有一个闭图，假设αn→ α、 而αn→ α、 αn在哪里∈ Φ（αn）表示所有n.选择un∈ BR（αn）使得α（un）=αn.根据泰科诺·弗夫定理[0,1]∞产品拓扑结构紧凑；因此，如果有必要，我们可以假设μn收敛到极限μ。因为BR有一个闭合图，所以我们知道∈ BR（α）。最后，由于α（·）是连续的，我们知道α（u）=α。因此α∈ Φ（α），按要求。最后，我们证明了Φ的图像是凸的。让α，α∈ Φ（α），设^α=Δα+（1-δ） α，其中δ∈ (0, 1). 选择u∈ BR（α）和u∈ BR（α），设^u=Δu+（1- δ)u;请注意^u∈ BR（α），因为BR（α）是凸的。最后，由于α（·）是线性的，我们有α（μ）=α，这表明α∈ Φ（α）-根据需要。根据Kakutani的不动点定理，Φ具有一个不动点α*. 放任*∈ BR（α）*)使α（u）*) = α*, 我们的结论是：*是平均场平衡。接下来，我们证明了关于α（u）唯一性定理的第二个结论*).我们按照一系列步骤进行，回顾（4）：步骤1：所有d≥ 1，采用∏（α，d）- πdefer（α，d）在α中严格递减∈ (0, 1). 注意η≥ 0，p>0，因此从（1）可以看出∏adopt（α，d）在α中没有增加。此外，AH>0，因此从（2）可以看出∏defer（α，d）严格地按要求在α中增加。第二步：为了所有人≥ 1，α>α，BRd（α） BRd（α）。紧接着是第1步和第3.1节BRD的定义。第3步：如果u、u是平均场策略，则u（d）≥ u（d），然后是α（u）≥ α(u). 这是因为α（·）的参数是线性的，具有非负系数。第四步：完成证明。现在假设有两个平均场平衡（u*, α*) 和（u0*, α0*), α0*> α*.

第二步，因为*∈ BR（α）*) 和u0*∈ BR（α0）*), 我们有*（d）≥ u0*（d） 。第3步，我们得到α*= α(u*) ≥ α(u0*) = α0*, 矛盾。Thustheα*在任何平均场中，均衡都必须是唯一的。因此*在这个意义上是独一无二的，这是需要的。定理2。现在想想，π（α，d）作为连接支架上连续变量d的函数[1，∞). 首先请注意（4）可以改写为π（α，d）=采用∏（α，d）- π延迟（α，d）=pAH+（1）- p） AL+ηp（1）- α） d+pAH（1- α） 对于任何α∈ (0, 1), π（α，d）是d的非递减函数和d的凸函数之和。因此∏（α，d）在d中是凸的。因此，它也是拟凸的，因此是(-∞, 0）是一个凸集，具体来说，是一个区间[1，y]，如果π（α，1）<0或区间（x，y），其中x≥ 1.否则。这些区间中的整数（即[1，y）TN+或（x，y）TN+）代表延迟采用是严格最佳响应的代理的程度，即{d:BRd（α）={0}。因此，对于严格采用是严格最佳响应的代理的程度，即{d:BRd（α）={1}}，位于该间隔之外，即在支撑度的任一端或两端。这个结果适用于这里的集合关系A B意味着所有x∈ A和y∈ B、 x≤ y、 任意一对（u，α），其中u∈ BR（α）和α∈ (0, 1). 因此，它适用于任何平均平衡（u*, α*) 这样α*∈ (0, 1).请注意，任何平均场平衡*具有相同的对应α*= α(u*) （参见定理1）。让d*L=sup{z:BRd（α*) = {1} ，对于所有d<z}和d*U=inf{z:BRd（α*) = {1} 对于所有d>z}定义了一对阈值d*d土地*Uvalid适用于平均场平衡中可能出现的所有策略，即任何策略*以至于*∈ BR（α）*) 和α*=α(u*).提议1。第（1）部分：我们首先在命题的第一部分证明η的存在。我们给出了一个充分的条件。

让我们证明存在这样的ηη < η,π（α，\'d）- 1) > 所有α的∏（α，`d）∈ (0, 1). 首先请注意，使用（4），我们可以π（α，`d）- π（α，\'d）- 1） =ηp（1）- α) - α-pAH（1）- α） \'d-1（18）对于任何α∈ （0,1），如果η<αpAH（1-α） \'d-1p（1）-α） ，则（18）的RHS为负值，因此π（α，`d）<π（α，\'d）- 1). 请注意，当η=0时，这显然也是正确的，对于η的小正值（即η<η），通过连续性（对于任何α）保持如此∈ （0,1），给出任何定义，对于某些η>0）。根据π（α，d）在d中（参见定理2的证明），通过归纳得出π（α，d+1）<π（α，d），适用于所有1≤ d</d.注意，在任何最佳响应中∈ BR（α）到α，u（d）=1π（α，d）>0，且u（d）=0π（α，d）<0。自从π（α，d）在d中严格递减，对于任何η<η，我们现在设置η=sup{η：d*U> 因此η是最大的η，因此每个平均场平衡都可以用d来表征*U> 第（2）部分：我们给出了一个充分的条件。让我们证明存在“η”∞ 以至于η > η, Π(α, 1) < π（α，2），对于所有α∈ (0, 1). 首先请注意，使用（4），我们可以Π(α, 2) - π（α，1）=ηp（1）- α) - 多环芳烃（1）- α - (1 - α） ）=p（η- 啊）- α（p（η）- 啊)+pAH(1)- α） 我们验证了当η>η=AH时，Π(α, 2) - 对于所有α，π（α，1）>0∈ (0, 1). 注意Π(α, 2) - π（α，1）是α的一个函数和α的一个纯二次函数之和。二次项在期望的α范围内严格为正。当η>AH时，α项也几乎为正。因此Π(α, 2) > 任何α的∏（α，1）∈ （0，1），当η>η时。根据π（α，d）在d中（参见定理2的证明），后面是归纳法π（α，d+1）>π（α，d），对于所有d≥ 1.自从π（α，d）在d中严格增加，η>η的结果如下。我们现在设置η=inf{η：d*L=0}。第（3）部分：。

通过在证明的前两部分中构造η和η，可以得出任何η<η<η*L=0或d*U> “d”是一个矛盾。因此，我们得出结论，对于所有η<η<η，任何平均场平衡都可以用一些d*L≥ 1和D*U≤\'d.注意，如果BRd（α*) 6={1}对于d=1，我们设置d*L=1。提议2。让我们*和u0*平均场平衡出现在分布f和f下，分别为和letα*= α(u*) α0*= α(u0*).我们从证明命题的第一部分开始。假设α0*> α*. 然后BR（α0*) BR（α）*) （参见定理1的证明，第2步）。因此我们有u0*（d）≤ u*（d） 对于所有的d，我们从中得到：α0*=除息的≥1f（d）u0*（d）≤除息的≥1f（d）u*（d） 。（19） 由于η<η（~f），u*必须是较低的阈值策略，即存在d*l对于所有d<d的情况，u（d）=1*对于所有d>d，焊盘u（d）=0*L.换句话说，就是*是一个递减函数。因为一阶随机支配着f和u*在下降时，我们得到：Xd≥1f（d）u*（d）≤除息的≥1f（d）u*（d） =α*,当与（19）结合时，得到α0*≤ α*, 矛盾。我们得出结论，α0*≤ α*,按要求。命题第二部分的证明以类似的方式进行。我们假设α0*< α*, 所以BR（α0*)  BR（α）*), 逆转（19）中的不等式：α0*=除息的≥1f（d）u0*（d）≥除息的≥1f（d）u*（d） 。（20） 此外，由于*是一种上限策略（参见命题1），我们得出结论，它正在增加，因此：≥1f（d）u*（d）≥除息的≥1f（d）u*（d） =α*,当与（20）结合时，得到α0*≥ α*, 矛盾。我们得出结论，α0*≥ α*,按要求。提议3。在（4）中设置η=0，并将价格和压力纳入π（α，d）=p（AH+AH）+（1）- p） 艾尔- P- p（啊- P） +P（啊- P） （1）- α） 我们将注意力限制在P<AH的情况下，否则就不会有药物延迟使用。

体贴的收获π（α，d）作为连续变量d在连接支承上的函数[1，∞).对于任何α∈ (0, 1), π（α，d）是d的严格递减函数。其结果如命题1第（1）部分所示。提议4。该证明与命题1第（2）部分的证明基本相同。首先请注意，使用（4）并结合价格和P，我们可以Π(α, 2) - π（α，1）=ηp（1）- α) - p（啊- P） （1）- α - (1 - α） ）=p（η- （啊- P） )- α（p（η）- （啊- P） ）+P（啊- P） （1）- α） 我们将注意力限制在P<AH的情况下，否则没有代理延迟采用。η+=AH- P、 因此，如果η>AH- P、 然后Π(α, 2) > 任何α的∏（α，1）∈ (0, 1).根据π（α，d）在d中（参见定理2的证明），通过归纳得出：π（α，d+1）>π（α，d），对于所有d≥ 1.因此π（α，d）在d中严格递增，其结果如命题1的第（2）部分所示。提议5。首先，我们认为，至少一种类型的分离均衡导致正利润并不存在。由于消费者永远不会以非负价格购买已知的低价商品，因此分离均衡必须涉及低价商品的零利润。为高端产品赚取正利润的策略必须在第一阶段有一个正价格，否则所有消费者都可以在第一阶段以0或更低的价格获得产品（考虑到通过分离被认为是高端产品），因此永远不会支付正价格。

如果一些消费者在第一阶段以正价格购买，那么这不可能是一个分离均衡，因为低类型必须在分离均衡中获得0利润，而可能会偏离以模仿高类型，并在第一阶段获得正利润，在下一阶段没有销售（因为没有人会购买，因为第二阶段的价格是非负的，因此不会进行推荐付款）。接下来，让我们来研究池均衡。我们证明了均衡路径上的贝叶斯信度sp{θ=H | P，P，η}与均衡博弈是一致的。当θ为H或L时，将垄断（^P，^P，^η）作为一个纯策略进行展示。这样消费者就无法通过观察定价政策来推断关于θ的任何信息。因此P{θ=H|^P，^P，^η}=P，也就是说，后一个等于前一个。我们现在证明了策略是顺序理性的。考虑到（^P，^P，^η）被垄断者视为纯粹的策略，消费者扮演着重要角色*∈ EQ（^P，^P，^η），这是他们对该定价政策的最佳反应，因为他们相信{θ=H |P，^P，^η}=P。对于垄断者，当θ=H时，该政策（^P，^P，^η）通过构造导致非负收益π（^P，^P，^η，H）。另一方面，任何偏差（P，P，η）6=（^P，^P，^η）都会导致消费者形成信念P{θ=H |P，P，η}=0，这意味着不采用（即，μ）*= 0）因此为零，即π（P，P，η，H）=0。由此得出π（^P，^P，^η，H）≥π（P，P，η，H）表示任意（P，P，η）。同样，对于垄断者来说，当θ=L时，策略（^P，^P，^η）通过构造导致非负收益。另一方面，任何偏差（P，P，η）6=（^P，^P，^η）都会导致消费者形成信念P{θ=H |P，P，η}=0，这意味着不采用（即，μ）*= 0）因此为零，即π（P，P，η，L）=0。

由此得出π（^P，^P，^η，L）≥π（P，P，η，L）表示任意（P，P，η）。因此，我们展示了顺序合理性。然后，垄断者在世界的每个状态θ中选择定价策略（P，P，η）H=（P，P，η）L=（^P，^P，^η）∈ {H，L}和消费者*∈ EQ（^P，^P，^η）具有后验信度{θ=H |P，^P，^η}=P和播放u*= 对于任何其他策略（P，P，η），P{θ=H | P，P，η}=0，6=（^P，^P，^η）构成一个完美的贝叶斯均衡*（PBE）*).提议6。我们将首先排除一些价格。让P>A，然后∏采用（α，d）=A-对于任何d，P<0，因此任何药物的最佳反应都是不要过早采用。这导致α=α（u）=0，因此既不早采用也不晚采用，因此ρ（P，P，0，H）必须等于0。因此，我们可以将注意力限制在P上≤’A.同样，P>AH会导致AH的第二期支付- 晚领养时P<0，因此任何代理人的最佳反应是不晚领养。因此，我们可以将注意力限制在P上≤ 啊。我们现在将证明，任何具有某个阈值的较低阈值策略u都可以通过某个双价格策略调整为唯一均衡。设α=α（u）为相应的邻居采用概率。然后对于一些P<AH，我们可以找到一个特殊的rp<a，使得∏采用（α，d）=a- P=P（1）- (1 - α） （啊- P） =延迟（α，d）（21）对于这样一对P，P，一个d级的代理是不一样的，d级<d级的代理严格地说更喜欢提前采用，而d级>d级的代理严格地说更喜欢晚采用。然后选择dL度的试剂策略，即u（dL），使α=α（u）。只有一个这样的μ（dL）。因此，我们已经证明，对于任何较低的阈值策略u，都存在一对P，Psuch，该u作为唯一的平衡被维持。注意，从（21）开始，P。

事实上，有越来越多的序列SP1，k↑ A和P，k↑“一个这样的国家”∈ EQ（P0，k，P1，k，0）是所有k的唯一平衡策略。要看到这一点，让P1，k↑ a可以是任何单调递增的序列，收敛到a。然后，简单地设置P0，k=\'A- p（1）- (1 - α） （啊- P1，k）。由于等式（P0，k，P1，k，0）是一个单集，从（6）我们可以写出ρ（P0，k，P1，k，0，H）=P0，kβ（u）+P1，kγH（u）（22）。注意ρ（P0，k，P1，k，0，H）在k中严格递增。此外，因为我们已经证明，任何较低的阈值策略u都可以作为递增序列P1，k的适当选择来维持唯一的平衡↑ A和P，k↑我们可以写出πD（\'A，啊，H）=lim supP↑“A，P↑AHρ（P，P，0，H）（23）=最大{u：dU=∞}\'Aβ（u）+AHγH（u）（24）>max{u：dU=∞}Pβ（u）+PγH（u）（25）=lim supP↑P、 P↑对于任何P<A和P<AH，Pρ（P，P，0，H）（26）=πD（P，P，H）（27）。第一个平等只是（11）中对利益的定义。第二个等式来自limP0，k↑\'A，P1，k↑序列P1，k的AHP0，kβ（u）+P1，kγH（u）=Aβ（u）+AHγH（u）↑ A和P，k↑“一个这样的国家”∈ EQ（P0，k，P1，k，0）对于任何k，并且根据以下事实，任何较低阈值策略u都可以在适当选择此类序列的过程中保持为单峰平衡。然后得出^πD=maxP，PπD（P，P，H）=πD（\'A，AH，H）。定理3。第（i）部分：注意，对于具有α平衡的d-正则网络，使用（6）的结果是：ρ（P，P，η，H）=α（P- η(1 - α） d）+（1）- α)(1 - (1 - α） d）P.（28）接下来，注意如果α∈ （0,1），那么代理的差异意味着早期采用的预期效果等于等待的预期效果：- P+Pη（1）- α） d=p（1）- (1 - α） d）（啊- P） 。（29）因此，解（29）的任何P，η组合都可以得到相同的α。注意从（28）和（29）开始∈ （0,1），利润与P成正比- η(1 - α） d，而在P中，试剂的差异条件是线性的- pη（1）- α） d。