我们允许从数据中拟合斜t分布的相应参数。这三个分布通过最大似然估计与数据相匹配，对每个观测值进行平均加权；我们的目标不是构造能够准确捕捉未来收益不确定性的分布，而是简单地构造对于这类问题来说是现实的分布。我们还使用了使用矩匹配算法构建的场景集。对于每一组随机的公司，我们根据它们的历史收益计算出所有所需的边际矩和相关性，并将其作为矩匹配算法的输入。为了比较结果，我们在三组数值试验中使用了相同的构造分布。在本节中，我们使用β-CVaR作为尾部风险度量。这不仅是因为β-CVaR导致了可处理的基于场景的优化问题，而且对于椭圆分布的旋转，我们可以准确地评估β-CVaR，这为我们提供了一种方法来评估近似基于场景的问题产生的解的真实性能。此外，为了确保非风险区域的概率不可忽略，我们将假设我们的投资总是有积极的约束（即。

禁止卖空）。我们在本文中使用的第一类非椭圆分布称为多元斜-t2 4 6 8 10 12 14 16 18 20维。00.10.20.30.40.50.60.70.80.9球形分布的非风险区域概率（=0.95且无约束）t2。0t3。0t5。0正常2 4 6 8 10 12 16 18 20尺寸0。10.20.30.40.50.60.70.80.91.0球形分布（=0.99和正约束）的非风险区域概率t2。0t3。0t5。0正态分布图5：不同球形分布和维度的非风险区域概率0。15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.150.100.050.000.050.100.150.200.1230.1230.3350.3350.9122.4796.73818.3160。15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.150.100.050.000.050.100.150.200.1230.1230.3350.3350.9122.4796.73818.31649.787t0。15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.150.100.050.000.050.100.150.200.1230.1230.1230.3350.9122.4796.73818.31649.787扭曲图6：符合两种资产分配的财务回报数据的分配等高线图[AC03]。这类分布通过包含一组额外的参数来调节偏度，从而推广了椭圆多元t分布。在这种情况下，我们用相应t分布的风险区域来近似风险区域。我们使用的第二类是使用[HKW03]的矩匹配算法构造的离散分布。这些分布以前曾应用于金融问题[KWVZ07]。该算法使用特定的相关矩阵构造场景集，其边缘指定了前四个矩。该算法首先从多元正态分布中提取样本，然后对其迭代应用变换，直到其边缘矩和相关矩阵之间的差异充分接近其目标值。

由于该算法是用椭圆分布的样本初始化的，最终分布接近椭圆，我们用具有相同均值和协方差结构的多元正态分布的风险区域来近似这些分布的风险区域。6.2具有配额约束的非风险区域的概率我们首先估计一系列分布、维度和约束的非风险区域的概率。我们只计算正态分布和t分布的概率，因为斜t分布和矩匹配场景集使用基于这些分布的代理风险区域。这项研究的主要目的是提供关于该方法在何种情况下有效的直觉：在概率可以忽略不计的非风险区域汇总情景几乎没有什么好处。对于每个分布，我们对2000个场景进行采样，并计算不同β和约束水平下非风险区域中的点的比例。特别是，对于每个维度，我们计算β=0.95和β=0.99，以及一系列配额。对应于配额0<q<1is{x的可行域∈ Rd:0≤ xi≤ 对于i=1，d、 Pdi=1xi=1}。配额是在投资组合选择问题中使用的一个很自然的约束，因为它们确保投资组合不会过度暴露于一种资产。

配额也可被视为鬼约束，用于仅具有正约束的非风险区域的概率太小的情况。0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Quota0。700.750.800.850.900.951.00非风险情景维度的比例：5正常，β=0.95正常，β=0.99t4。0，β=0.95t4。0，β=0.990.20.30.40.50.60.70.80.91.0Quota0。550.600.650.700.750.800.850.900.95非风险情景维度的比例：10正常，β=0.95正常，β=0.99t4。0，β=0.95t4。0，β=0.990.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1.0Quota0。30.40.50.60.70.80.91.0非风险情景维度的比例：20正常，β=0.95正常，β=0.99t4。0，β=0.95t4。0，β=0.990.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1.0Quota0。20.30.40.50.60.70.80.9非风险情景维度的比例：30正常，β=0.95正常，β=0.99t4。0，β=0.95t4。0，β=0.99图7：无风险情景的比例在图7中，对于我们测试的每个维度，我们绘制了一次试验的结果。完整结果见附录A。从中得出的第一个重要观察结果是，与图4中的不相关病例相比，非风险区域的病例比例高得惊人；即使对于β=0.95和尺寸30，这个比例也不可忽略。正如预期的那样，随着我们收紧配额，非风险区域的场景比例增加。然而，对于更高的维度，配额需要更严格，才能产生显著差异。这些图还进一步证明，t分布具有比轻尾正态分布更高概率的非风险区域。

在图7中，t分布的非风险区域对于维度5和10的概率大约高0.05到0.1，对于维度20和30的概率大约高0.1到0.2。6.3聚合抽样在本节中，我们通过观察这些场景生成方法产生的解的最优性差距，比较通过抽样和聚合抽样产生的解的质量。为此，我们使用以下版本的投资组合选择问题。极小值≥0β-CVaR-xTY以至于≥ τ、 dXi=1xi=1,0≤ 十、≤ u、 式中，u是输入分布的平均值（而非情景集），τ是目标回报，u是资产配额的向量。与（P2）和（P3）中的公式相比，使用该公式的主要原因是，给定资产收益分布，很容易选择合适的预期目标收益τ。为了简单起见，在我们的测试中，我们设置τ=nPni=1ui，这确保了约束是可行的，但不是微不足道的满足。请注意，在上述公式中，我们使用了确定性约束xTu≥ τ而非exTY≥ τ . 这是因为后一个约束取决于场景集。因此，基于情景的近似解决方案对于原始问题可能不可行，这使得测量解决方案质量成为问题。在本实验中，我们测试了三类分布：正态分布、t分布和斜t分布的聚合抽样算法的性能。对于每个分布和问题维度，我们使用构建的分布进行五次试验（如第6.1节所述）。每个试验包括通过采样和聚合采样生成50个场景集，为每个场景集解决相应的基于场景的问题，并计算得出的每个解决方案的最佳差距。

然后，对于每种情景生成方法，我们计算最优性差距的平均值和标准偏差（S.D.）。对于skew-t分布，虽然我们能够评估任何候选解的目标函数值，但为了找到真正的最优解值（或接近它的值），我们求助于解决规模为200000的非常大样本集的问题。该实验的完整结果见附录B。在图8中，我们绘制了尺寸为10和30的原始试验结果。我们观察到，与基本采样相比，使用聚集采样可以持续改善溶液质量。此外，溶液值更稳定。解决方案质量和稳定性方面的改善对于T分布来说尤其大。这是因为如第5节所述，对于厚尾分布，非风险区域的概率更大。聚集抽样甚至可以为SKEW-t分布提供始终如一的更好的解决方案，我们用t分布的风险区域来近似风险区域。6.4聚合还原这些测试的目的是量化通过使用聚合还原产生的误差。特别是，我们计算了最优解值中产生的误差。对于给定的场景集，对非风险场景进行集合，针对该缩减集解决问题，并计算该解决方案相对于原始场景集的最优差距。对于这些测试，我们使用与第6.3节相同的问题，并对正态分布、t分布和动量匹配分布进行测试。正如第4节所解释的，我们使用正态分布的风险区域来逼近矩匹配场景集的风险区域。对于每个分布族和问题维度，我们再次对不同的分布实例进行五次试验。

在每个试验中，对于不同的初始情景集大小，n=100、200、500，以及两个不同级别的尾部风险度量β=0.95、0.99，我们计算30个不同情景集的减少误差，并报告平均误差。完整结果见附录C。这些结果表明，缩减误差通常非常小，事实上，对于使用β=0.95的几乎所有问题，都没有引起误差。对于β=0.99，最小的情景集大小n=100，正态分布的误差较小（<0.01），重尾t分布的误差稍大（<0.02），风险区域近似于正态分布的缩减矩匹配情景集的误差最大（0.1-0.5）。然而，随着场景集大小的增加，所有错误都会减少，对于最大的场景集大小n=500，几乎所有问题都不会产生错误。将缩减误差与附录A中相应的非风险区域概率进行比较，我们发现，对于非风险区域概率较大的高维分布，通常会出现较大的误差。这是可以预期的，因为非风险区域越大，聚合的场景就越多。在附录C的表33中，我们还包括了我们用正态分布近似风险区域的矩匹配场景集的简化场景比例。在这种情况下，缩减情景的比例通常略高于相应正态分布的比例。

这可能表明风险区域的替代物稍微太小，但这同样可以通过以下事实来解释：矩匹配场景集通常比相应的正态分布具有更大的尾部，正如我们在第5节中所观察到的，这也会导致非风险区域的概率更高。在这两种情况下，减少小矩匹配场景集所导致的较大错误都可以用这些增加的可能性来解释。7案例研究在本节中，我们将展示所提出的方法在实践中可能出现的困难问题上的应用。该问题的特点是高维、资产收益率的重尾非椭圆分布以及整数变量的存在。我们将第4.2节中提出的带ghost约束算法的SAA方法的性能与使用基本采样和无ghost约束的聚合采样的标准SAA方法进行了比较。7.1问题结构使用以下问题：minimizex，zβ-CVaR-xTY以至于≥ τ、 xi≤ 对于每个i=1，d、 dXi=1xi=1，dXi=1zi=l，0≤ 十、≤ u、 子∈ {0，1}对于每个i=1，d、 这个问题与第6.3节中使用的问题类似，只是我们现在使用二进制决策变量来限制可以投资的资产数量。涉及整数变量的额外约束可能会改变可行投资组合的圆锥壳，但是，第3.3.1节中提出的计算可行区域圆锥壳的方法无法处理这些约束。因此，在构建风险区域时，我们忽略了这些约束。这是可以接受的，因为生成的圆锥壳将包含真正的圆锥壳。当β=0.99，d=50个资产，最大资产数量l=10时，问题得到解决。

资产收益率的随机向量Y是通过将Skew-t分布拟合到FTSE100股票指数公司的历史月度回报数据来构建的。用于该分布的风险区域按照第6.1.7.2节SAA方法详细信息的末尾所述进行构建。在SAA方法的每次迭代中，最优性差距的估计使用[KSHdM01]中所述的程序计算每个找到的解决方案的最优性差距。设N为场景集size，M为每次迭代中使用的复制次数。对于m=1，M分别用gm和νmn表示第M个构造场景集对应的目标函数和最优解值。在这种情况下，gmN（x）=β-CVaR(-xTYm），其中ym表示与第m个构造场景集相对应的离散随机向量。最优解值和目标函数的估计器由以下公式给出：\'νMN=MXm=1νMN，\'gMN（x）=MXm=1gMN（x），现在，由解x得到的最优性差距估计器的α级置信区间由\'gMN（x）给出- νMN+Φ-1(1 - α） “SM√M.式中，SMI是gmN（x）的标准偏差-m=1，M、 Φ是标准正态分布的累积分布函数。请注意，存在其他估算最优值的程序，这些程序只需要解决一个或两个问题[BM06]，[SB13]。样本量、重复次数和界限对于这个实验，用来解决这个问题的初始样本量是N=N=200，在每次迭代中，这个样本量增加N/2=100。每次迭代中使用的复制次数固定为M=10。选择这些更新规则是为了简单；更新样本大小和复制次数的更复杂规则可以在[RS13]中找到。对于重影约束，使用以下启发式规则。首先用^xmn表示m=1。

，m为每个复制找到的解决方案。在每次迭代结束时，边界l≤ 十、≤ u更新如下：l=最大值\'xMN- Φ-1（α）－σMN√M、 0,u=min`xMN+Φ-1（α）－σMN√M、 一,,式中，\'xMNand\'σmn是溶液^xmNover m=1，…，的元素平均值和标准偏差，M、 参数0<α<1控制重影约束收紧的力度。在这个实验中，我们使用α=0.99。解决方案验证考虑到近似风险区域的潜在危险，以及错误指定Ghost约束，通过计算其对应的样本值来验证解决方案的质量非常重要[KW07]。也就是说，在我们计算了所有候选解的β-CVaR后，我们针对SAA方法最终迭代产生的所有解的大型独立采样场景集。对于本实验，使用100000的样本量进行验证。7.3结果本实验结果如图9所示。在图9a中显示了SAA方法每次迭代结束时发现的最佳优化差距，在图9b中显示了每个方法产生的最终解的样本外值的方框图，以帮助我们解释结果。在图9c中，我们绘制了SAA方法中使用的非风险区域的概率随鬼约束的演变。就最优性差距和最终样本外值而言，这两种聚合抽样方法都明显优于基本抽样。对于最小样本量N=200，有和没有重影约束的最佳gapof聚合采样相似，因为此时未添加重影约束。随着样本量的增加，重影约束变得更加严格，非风险区域的概率增加。

这就导致了具有ghost约束的聚集抽样的最佳最优性差距要小得多。由于我们无法验证重影约束是否有效，因此我们必须谨慎看待这一差距。然而，最终验证后的样本外验证表明，与无ghost约束的聚合抽样相比，具有ghost约束的聚合抽样确实产生了更高质量的解决方案。8结论在论文[FTW17]中，我们提出了一种使用带有尾部风险度量的仓促计划的风险区域生成情景的通用方法。作为概念证明，我们演示了如何将其应用于椭圆分布回报的投资组合选择问题。在这项工作中，我们介绍了如何将这种方法用于更现实的投资组合选择问题，特别是那些高维、具有非椭圆资产收益率和整数决策变量的问题。将该方法应用于更现实的问题的主要问题是它对非椭圆分布的扩展。为了做到这一点，我们建议使用近似风险区域，得出的结果表明，我们的方法将对风险区域的小错误具有鲁棒性。虽然本文的重点是投资组合选择，但其结果是针对一般随机规划得出的，这意味着使用近似风险区域可以解决其他具有尾部风险度量的问题。我们测试了我们的方法在解决实际问题时的性能，这些问题的回报分布是根据真实的财务回报数据确定的。在溶液质量和稳定性方面，聚合采样通常优于基本采样。我们还表明，对于大小合理的场景集，聚合减少在解决方案中几乎没有错误。

这些结果不仅适用于椭圆分布，也适用于我们使用近似风险区域的非椭圆分布。使用风险区域生成情景的效果取决于风险区域的概率：非风险区域的概率越大，可以聚合的情景就越多。直接从风险区域的定义可以看出，随着问题变得更加受限，这种可能性会降低。基于这一观察结果，提出了一种基于SAA方法的启发式方法，该方法在问题中添加了称为ghost约束的人工约束。随着算法的发展，重影约束变得更加严格，这使得人们能够专注于高质量的解决方案。该算法在一个困难的案例研究问题上进行了演示，结果表明，该算法在没有重影约束的情况下显著优于基本采样和聚合采样。该算法是以一种非问题的特定方式提出的，有可能应用于其他具有尾部风险度量的随机规划。参考文献[AC03]Adelchi Azzalini和Antonella Capitanio。由对称性扰动产生的分布，重点是多元斜t分布。皇家统计学会杂志：B辑（统计方法），65:367–389，2003年。[ADEH99]P.Artzner、F.Delbaen、J.Eber和D.Heath。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–228，1999年。卡洛·阿塞比和德克·塔什。关于预期短缺的一致性。《银行与金融杂志》，26（7）：1487-15032002。[BM06]G–uzin Bayraksan和David P.Morton。随机规划中解的质量评估。数学规划，108（2-3）：495-5142006年9月。[BT06]Dimitris Bertsimas和Aur\'elie Thiele。稳健的数据驱动优化：不确定性下的现代决策。

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多面体讲座（数学研究生教材）。斯普林格42008.100 200 500场景数量。0000.0050.0100.0150.0200.025最优间隙分布：正常，尺寸：10，β=0.95抽样。抽样500 1000 2000场景数量。0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.016最优间隙分布：正常，尺寸：30，β=0.99抽样。抽样100 200 500个场景。000.010.020.030.040.050.06最优间隙分布：t4。0，尺寸：10，β=0.95取样。抽样500 1000 2000场景数量。000.010.020.030.040.050.06最优间隙分布：t4。0，尺寸：30，β=0.99取样。抽样100 200 500个场景。0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.035最优性间隙分布：斜T，尺寸：10，β=0.95抽样。抽样500 1000 2000场景数量。000.010.020.030.040.050.06最优性间隙分布：斜T，尺寸：30，β=0.99抽样。采样图8：稳定性测试，比较采样和聚集采样的性能200 300 400 500场景数量0。0250.0500.075取样。采样（无重影约束）Agg。抽样（幽灵约束）（a）最佳最优性gapAgg。采样（重影约束）Agg。采样（无重影约束）采样方法0。120.130.140.150.16样本外值（b）样本外值200 300 500场景数量0。850.900.95非风险区域概率（c）概率。非风险区域图9：案例研究结果B聚合抽样表下表列出了聚合抽样与各种分布抽样相比，最优性差距的平均值和标准偏差的相对减少。详见第6.3节。n=100 n=200 n=500平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D。

Imp.2.747 2.542 3.226 3.321 3.697 2.8713.905 4.427 3.226 3.323 3.646 4.4393.803 2.993 4.889 3.538 4.567 3.9273.376 3.040 3.402 2.517 5.182 4.3573.240 3.257 3.432 2 2 2 4.246 4.807 4.708表9：d=5的比较，β=0.95，正常回报率SN=100 n=200 n=500平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击1.989 1.876 2.670 2.422 2.460 2.4952.018 2.494 2.711 2.227 3.126 2.8641.559 1.652 1.736 1.230 2.727 2.6781.869 2.089 2.275 2.181 2.551 2.7311.996 2.085 2.285 2.061β=4610.8β=2.8210的比较表，正常回报率SN=500 n=1000 n=2000平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击2.357 2.124 2.890 3.039 3.026 2.8092.504 3.054 2.750 2.839 2.873 2.6892.308 1.963 2.546 2.854 2.803 2.803.948 3.369 2.592.3672.657 3.421 2.723.792.7β=2.792.792.549 2.549 2.9 2.542.9β=2.9β=2.7β=2.549，表10，正常回报率SN=500 n=1000 n=2000平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击1.943 1.842.1612.1482.901 2.8461.779 2.1952.197 2.067 2.590 2.4831.990 2.227 2.246 2.033 2.405 2.5142.019 2.012 2.076 2.057 2.010 1.8911.866 1.769 2.457 2.921.12，用于比较的表，正常回报率SN=100 n=200 n=500平均进口标准差进口平均进口标准差进口平均进口标准差进口平均进口标准差进口平均进口标准差进口2.857 2.661 2.762 1.981 3.500 3.7093.407 3.431 3.692 3.416 5.572 6.1674.335 3.062 3.872 4.195 3.244 3.1494.280 3.748 4.636 6.732 4.974 6.5932.578 1.773.664 3.1604.500，用于比较的β=T40.019和T40.95。0returnsn=100 n=200 n=500平均进口标准差进口平均进口标准差进口平均进口标准差进口平均进口标准差进口1.899 2.091 2.169 1.805 2.939 2.5992.078 1.910 2.358 2.229 2.982 2.3401.996 2.923 2.639 3.9802.088 1.7272.658 2.958 2.436 2.222 2.357 2.080 2.171 1.1.1.1.232.10，用于比较的β=T42.952.10和T42.10。0returnsn=500 n=1000 n=2000平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击。

平均Imp.S.D.Imp.4.142 5.028 4.215 4.383 5.571 5.2213.039 3.843 4.096 4.346 4.857 6.0843.378 3.831 4.020 4.267 5.007 5.6173.722 4.886 3.744 3.247 4.3363.616 3.524 4 4 4.999 3.739 5.116 6.277表15：D=20、β=0.99和t4的比较。0returnsn=500 n=1000 n=2000平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击3.035 3.068 2.950 2.547 3.741 4.0422.359 1.983 3 3.513 5.068 3.384 3.0293.507 4.356 2.977 3.966 3.686 4.9152.950 3.005 3.079 1.964 3.936 4 4 4.2402.228 2.043.549 3.227 3.227 3.16β=267β=0.974比较表。0returnsn=100 n=200 n=500平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击1.917 1.601 2.766 3.020 3.352 2 2.6441.887 1.857 2.748 2.416 3.414 3.2903.1713.489 4.433.427 3.949 3.7742.620 3.170 3.038 3.518 2.872 3.1782.391 2.408 2.027 1.891.433.465β=0.4β=0.4β=0.4β=0.4β=0，偏态T回归SN=100 n=200 n=500平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击1.839 2.189 2.215 1.925 2.977 2.6501.631 2.021 2.203 2.087 2.150 2.5541.962 1.671 1 1 1.872 1.187 3.172 3.5131.627 1.868 1.661 2.136 1.775 1.4392.502 2.417 2.572.647 2.152，用于比较的表：β=5802.647，和倾斜T返回SN=500 n=1000 n=2000平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击4.646 5.803 4.921 4.384 5.843 6.2684.639 4.025 6.296 5.028 6.513 7 7 7.4383.355 3.840 3.655 3 3.1633.305 3.3593.317 2.257 3.448 3.623.794 4 4.7323.395 3.365 3.164 3.354β=1.19进行比较，表1.0，和歪斜T回报SN=500 n=1000 n=2000平均进口标准偏差进口平均进口标准偏差进口平均进口标准偏差进口2.631 3.659 3.364 4.298 4.000 4.0992.285 2.809 2.667 3.201 3.482 2 2.8823.266 4.545 3.617 4.340 3.791 3.1382.923.334 3.750 3.796 4.304 5.4922.289 2.658 2.754 2.284β回报率比较表