这意味着利姆→∞明∈[0,]λmin生长激素- γEtk+h= 0.再加上上面的不等式，这个yieldslimk→∞明∈[0,]λminγE∞- γEtk+h> 0.通过应用Wang，Kuo和Hsu[25]中引理1中证明的迹不等式，我们现在可以得出→∞明∈[0,]trαγE∞- γEtk+h> 林克→∞明∈[0,]tr（α）λminγE∞- γEtk+h> 0和thereforelimk→∞马克斯∈[0,]trαγEtk+h6 trα∧γE∞=trβT. （9） 证明的其余部分与命题4.9的证明一样。补充存在一些ε>0和0<h<h< 以及递增序列（kn）n∈N和limn→∞kn=∞就这样γEtkn+h< trγEtkn+h- ε表示所有n∈ N.定义函数gn:（0，) → R、 h 7→ n的tr（γEtkn+h）∈ N.为所有人∈ 我们有吗-ε>trγEtkn+h- trγEtkn+h= gn（h）- gn（h）=g′n（h）*n） ·（h）- h）=-2 trαγEtkn+h*N+ trβT· （h）- h） ，专家对一些h*N∈ （h，h）。因此-2 trαγEtkn+h*N+ trβT< -εh- 所有n∈ 但这与（9）相矛盾。因此，这个假设是错误的，我们可以特别断定→∞trγ-内皮素= 林克→∞trγEtk和林苏普→∞trγ-内皮素= 林克→∞trγEtk-.对于观察股票收益率和专家意见的投资者来说，上述声明一般不成立。例4.11。图e 4显示了一些典型参数随时间绘制的γCt轨迹。在这个例子中，我们有一个金融市场，d=3只股票，每年有一个专家意见，即。 = 1.表3列出了剩余的模型参数。请注意，所选专家矩阵Γ约为155.14 13.25 -36.5913.25 1.40 -3.13-36.59-3.13 8.83特征值分别约为164.92,0.19和0.26。在任何信息日期之后，γ-Ct的踪迹略有减少，最终增加，直到下一个专家意见到达。

由于我们已经像例4.5和例4.6一样，以tr（γCt）是周期函数的方式构造了相应的Γ，这表明在用C-投资者替换E-投资者时，前面定理中的主张不成立。α =2.38 1 .08 -1.471.08 1 .19 -0.75-1.47-0.75 2.74β =-7.68 9.76 -3.26-4.38-9.01-0.52-0.30-4.51 2.98σ =-0.95-0.56-0.37-0.80-0.27 0.930.39 -0.19 0.97Σ=6.07 2 .63 0.362.63 2 .38 -0.020.36 -0.02 0.94表3：示例4.110 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3的模型参数← tr（LC）← tr（UC）tr（γC）图4:tr（γCt）的发展在示例4.11中，接下来，我们确定了参数的一个条件，使得该声明也适用于H=C。多元股票回报的专家意见建议4.1 2。假设σσT=sids，对于ωs>0和（γCtk+h）k∈边界一致。Thenlim inft→∞trγCt= 林克→∞trγ-Ctk,林监督→∞trγCt= 林克→∞trγ-Ctk-.证据首先，我们注意到，在信息日期之间，γCTI的踪迹与DDTTR不同γCt= tr-αγCt- γCtα+βT- γCt（σ∑T）-1γCt= -2 trαγCt+ trβT- trγCt（σ∑T）-1γCt.因此，当且仅当if2 tr时，它保持SDDTTR（γCt）>0αγCt+ trγCt（σ∑T）-1γCt6 trβT.此外，我们还证明了limt→∞γRt=γR∞哪里-αγR∞- γR∞α+βT- γR∞（σT）-1γR∞= 0d。就这样-αγR∞- γR∞α+βT- γR∞（σT）-1γR∞= 0，即2 trαγR∞+ trγR∞（σT）-1γR∞= trβT.再次使用Weyl不等式，我们推导出Minh∈[0,]λminγR∞- γ-Ctk+h= 明∈[0,]λminγR∞- GCh+GCh- γ-Ctk+h> 明∈[0,]λminγR∞- GCh+ 明∈[0,]λminGCh- γ-Ctk+h,其中GCh=limk→∞γCtk+HF适用于任何h∈ [0, ]. 还记得γR吗∞= 极限→∞γRt=limk→∞γRtk+h每小时∈ [0, ] 对于每一个t>0，γCt6γRt，见命题3.2。

这意味着γR∞- GChx=limk→∞xTγRtk+h- γ-Ctk+hx>0表示所有x∈ Rd，h∈ [0, ], 还有ThereForemin∈[0,]λminγR∞- GCh> 0.通过（γCtk+h）k的一致收敛∈Nto GChwe getlimk→∞明∈[0,]λminGCh- γ-Ctk+h= 因此，把这些结果放在一起，我们得到了limk→∞明∈[0,]λminγR∞- γ-Ctk+h> 为了证明我们的索赔，我们需要证明这一点→∞马克斯∈[0,]2 trαγCtk+h+ trγCtk+h（σσT）-1γCtk+h6 trβT,其中，钻机ht侧等于2 tr（αγR∞) + tr（γR）∞（σT）-1γR∞). 把这些放在一起，利用轨迹的周期性，我们发现我们需要证明→∞明∈[0,]2 trαγR∞- γ-Ctk+h+ tr（σT）-1.（γR）∞)- （γCtk+h）> 0.（10）Wang、Kuo和Hsu[25]中引理1对多元股票收益率的专家意见→∞明∈[0,]2 trαγR∞- γ-Ctk+h> 林克→∞明∈[0,]2tr（α）λminγR∞- γ-Ctk+h> 0.对于第二个求和，我们利用我们的假设σσT=sids>0。就这样（σT）-1.（γR）∞)- （γCtk+h）=s·tr（γR）∞)- （γCtk+h）.与上面类似，我们编写了→∞明∈[0,]tr（γR）∞)- （γCtk+h）= 明∈[0,]tr（γR）∞)- （GCh）+ 林克→∞明∈[0,]tr（GCh）- （γCtk+h）.通过一致收敛，第二个和为零。在第一次总结中，我们回顾了∈ [0, ] 我们已经展示了GCh6γR∞其中两个矩阵都是对称的正半定义。就这样（GCh）6 tr（γR）∞).把这些结果放在一起，我们得到了limk→∞明∈[0,]tr（γR）∞)- （γCtk+h）> （10）中的不等式已经被证明。我们不要求σσ是单位矩阵的倍数，还可以对专家协方差矩阵Γkt的形式进行一些限制，以确保信息日期之间γCtin的单音性。在这里，信息的日期再次是二进制的，我们不允许n常数Γk命题4.13。

假设初始协方差矩阵∑为正定义且完整-αΣ- ∑α+βT- ∑（σT）-1∑>0且专家的协方差矩阵的形式为Γk=ckγCtk-对于某些在任何信息日期tk的ck>0。然后在任意两个连续的信息日期之间，γCTI在正半定序的意义上是非递减的。证据假设-αγCtk-- γ-Ctk-α+βT- γ-Ctk-（σT）-1γCtk-> 0D对于某些k>0。我们在更新后查看协方差矩阵。首先，注意γCtk=Γkγ-Ctk-+ Γk-1γCtk-= ckγCtk-γ-Ctk-+ ckγCtk--1γCtk-=ck1+ckγCtk-.我们写dk=ck1+ck，注意dk<1。因此，更新后的协方差矩阵只是更新前矩阵的倍数。现在我们可以写作了- αγCtk- γCtkα+βT- γCtk（σσT）-1γCtk=dk-αγCtk-- γ-Ctk-α+ βT- dkγCtk-（σT）-1γCtk-= dk-αγCtk-- γ-Ctk-α+βT- γ-Ctk-（σT）-1γCtk-+ (1 - dk）βT+（dk）- dk）γ-Ctk-（σT）-1γCtk-.自dk以来- dk>0，假设为γCtk-, 这是一个正半限定矩阵的和，因此它本身就是一个正半限定矩阵。根据Rodriguez-Canabal[19]中的定理2.1，可以得出γCTI在区间[tk，tk+1]内单调不递减-αγCtk+1-- γCtk+1-α+βT- γCtk+1-（σT）-1γCtk+1-> 0d。归纳地说，在任意两个连续的数据之间，γCTI是单调的非递减的。多元股票收益率的专家意见上述定理特别暗示，γCTA的轨迹及其谱范数在任意两个连续信息日期之间递增。因此，在Theorem的假设下，我们还推导了Lim inft→∞trγCt= 林克→∞trγ-Ctk和lim inft→∞γCt= 林克→∞γ-Ctk,林监督→∞trγCt= 林克→∞trγ-Ctk-和林苏普→∞γCt= 林克→∞γ-Ctk-.5投资组合优化问题5。1最优策略和价值函数投资者的交易由自我融资交易策略π=（πt）t描述∈[0，T]式中，π为Rd中的值。

这里的值πit，i=1，d、 表示t时投资于stocki的财富比例，而-投资于无风险债券∈ Rd表示由1组成的向量。设Xπ=（Xπt）t∈[0，T]表示与π相对应的财富过程。对于财富过程的动力学，我们得到dxπt=XπtπTt（ut）- rtd）dt+σdWt+ rtdt.投资者在时间零点的初始资本为Xπ=X>0。我们表示byAH（x）=π=（πt）t∈[0，T]π是FH适应的，Xπ=X，EZTkσTπtkdt< ∞一类可容许的交易策略，其中H∈ {R，E，C，F}。当v∈ RDI是一个向量，然后kvk表示v的欧几里德范数。我们的投资组合优化问题的目标是最大化终端财富的预期对数效用。我们称之为vh（x）=supnE[log（xπT）]π ∈ AH（x）优化问题的其他值函数。人们可以这么说∈ {R，E，C，F}并为其保持状态写入^ut- rtd）T（σ∑T）-1（μut）- rtd）= tr（σT）-1E[^ut（^ut）t]- 2（rtd）T（σσT）-1mt+（rtd）T（σσT）-1（rtd），其中mt是ut的平均值。使用此等式，可以计算优化问题的最佳策略，并证明其是可接受的。提议5.1。让H∈ {R，E，C，F}。最优化问题的最优策略vh（x）=supnE[log（xπT）]π ∈ AH（x）oisπ*= (π*t） t∈[0，T]带π*t=（σt）-1（μuHt）- rtd）。证据从财富过程的动力学，我们可以得到任意π∈ AH（x）thatlog（xπT）=log（x）+ZTπTt（ut）- rtd）+rt-kσTπtkdt+ZTπTtσdWt。我们现在应用Fubini并使用它，因为π∈ 啊（x），随机积分的期望值为零。因此，我们推导出[log（XπT）]=log（X）+ZTEπTt（ut）- rtd）+rt-kσTπtkdt=log（x）+ZTEhEπTt（ut）- rtd）+rt-kσTπtkFHtidt=log（x）+ZTEπTt（μHt）- rtd）+rt-kσTπtkdt。多元股票回报的专家意见∈ [0，T]。

在逐点最大化之后，我们正式获取表达式在e xp ctation内关于πt的导数。使用一阶条件，我们将导数设置为零，这意味着设置^uHt- rtd- σσTπ等于零向量。由于我们假设σ是正定义，这意味着π*t=（σt）-1（μuHt）- rtd）逐点最大化上述被积函数。还需要检查（π）*t） t∈[0，T]确实是可容许的。首先，我们注意到ztkσTπ*tkdt=ZTσT（σσT）-1（μuHt）- rtd）dt=ZT（^uHt）- rtd）T（σ∑T）-1（μuHt）- rtd）dt。带着期望和应用我们得到的FubiniZTkσTπ*tkdt=中兴通讯（^uHt）- rtd）T（σ∑T）-1（μuHt）- rtd）dt=ZTtr（σT）-1E[^ut（^ut）t]- 2（rtd）T（σσT）-1mt+（rtd）T（σσT）-1（rtd）dt，其中最后一个等式已在上文中说明。最后两个求和的积分都符合（rt）t的连续性∈[0，T]和（mt）T∈[0，T]。我们更详细地考虑了第一次总结。我们有E[^ut（^ut）t]=∑t+mtmTt- γh由方程（1）确定。因此，ZTtr（σT）-1E[^ut（^ut）t]dt=ZTtr（σT）-1（∑t+MTT）- γ（Ht）dt=ZTtr（σT）-1（∑t+MTT）- tr（σT）-1γ-羟色胺dt。回想一下（σT）-1为对称正定义，γ为对称正半定义。可以证明产品（σσT）-1γHTC有一个非负的交易，henceZTtr（σT）-1E[^ut（^ut）t]dt 6ZTtr（σT）-1（∑t+MTT）dt，这是由于连续性而确定的。就这样ZTkσTπ*tkdt< ∞,so（π）*t） t∈[0，T]是一个可接受的策略。注意，在完全信息下，最优策略为（σσT）-1（ut）- rtd）。这意味着，对于部分信息下的投资组合优化问题，确定性等价原则成立，这意味着最优策略中的漂移被过滤器所取代。既然我们有了一个明确的最优交易策略公式，那么就很容易写出优化问题的最优值函数。定理5.2。

投资组合优化问题的最优值为vh（x）=log（x）+ZTE（^uHt）- rtd）T（σ∑T）-1（μuHt）- rtd）+ rtdt=log（x）+ZTrt- （rtd）T（σσT）-1mt+（rtd）T（σσT）-1（rtd）dt+ZTtr（σT）-1（∑t+MTT）- γ（Ht）dt。多元股票回报的专家意见。我们很快就写出了证据。如上所述，VH（x）=log（x）+ZTE(π*t） t（^ut）- rtd）+rt-kσTπ*tkdt。在插入位置5.1中的最优策略后，积分项变为（^ut）- rtd）T（σ∑T）-1（μut）- rtd）+rt-^ut- rtd）T（σ∑T）-1σidt。表达式中的最后一个和可以写成^ut- rtd）T（σ∑T）-1σ=^ut- rtd）T（σ∑T）-1σ^ut- rtd）T（σ∑T）-1σT=（^uT）- rtd）T（σ∑T）-1（μut）- 总的来说，我们得到的值函数是vh（x）=log（x）+ZTEh（^ut）- rtd）T（σ∑T）-1（μut）- rtd+rtidt。现在声明如下。5.2价值函数的性质推论5.3。对于任何x>0，它都保持最大值虚拟现实（x），虚拟现实（x）6 VC（x）6 VF（x）。证据根据命题3.2，我们知道γRt-γCTI是任意t的正半限定矩阵∈ [0，T]。根据估算（σσT）-1这是积极的定义。因此，这些矩阵的乘积有一个非负迹sotr（σT）-1（γRt- γCt）> 0.因此，tr（σT）-1γRt> tr（σT）-1γCt,这意味着前面的定理是VC（x）>VR（x）。H=E而不是R也是如此，所以VC（x）>VE（x）。因为γFt=0dwe，所以VF（x）>VC（x）。根据定理3.4，我们立即推导出当专家意见的数量趋于一致时，关于值函数的渐近性质的以下结果。推论5.4。充分满足定理3.4的假设。用VE，N（x）和VC，N（x）表示N个专家意见对应的值函数。德林→∞VE，N（x）=limN→∞VC，N（x）=VF（x）。证据回想一下定理3.4中的thatlimN→∞γE，Nu= 画→∞γC，Nu= γFu=0d对于所有的u∈ （0，T）。

我们观察到这一点（σT）-1（∑t+MTT）- γ（Ht）6 tr（σT）-1（∑t+MTT）因为两者（σT）-1和γ为正半定义。利用支配收敛，我们从定理5.2中的值函数表示得出结论，当N趋于一致时，VE，N（x）和VC，N（x）收敛到VF（x）。多元股票收益的专家意见6数值结果6。1在详细分析了HTT的条件协方差矩阵γ的行为后，对各种投资者进行了筛选∈ [0，T]我们简要介绍了过滤器随时间的发展。我们已经看到，^uRTF遵循一个惊人的微分方程。对于^ue和^uc，有更新过滤器的信息日期。在H=E的情况下，我们有一个明确的公式，用于在这些信息日期之间开发^uets。在cas e H=C中，过滤器遵循两个专家意见之间的随机微分方程。例6.1。我们考虑一个投资期限T为一年且N=10个等距信息日期的例子。在我们的金融市场中，有三种股票。专家的方差矩阵假定为常数，即对于所有k，Γk=Γ∈ {0，…，N- 1}. 表4列出了基础模型参数。漂移过程u的平均δ由向量（0.05，0.10，0.08）T给出∈ R.在图5中，我们展示了漂移过程以及各种滤波器的一种可能实现。第一个组件分别绘制在最上面的子批次中，第二个组件绘制在中间的子批次中，第三个组件绘制在最低的子批次中。此外，图表中还包括了实验数据。虽然过滤器只考虑返回观测值，但过滤器只取决于专家意见Zk。在每个信息日期，通过取前一个过滤器和专家意见Zk的加权平均值形成过滤器。

组合过滤器包括两个方面。它考虑了返回的观察结果和以经验意见的形式注意信息传递的步骤。α =2 1 -11 2 -1.-1.-1 2β =0.3 0.5 0.10.5 0.2 0.20.1 0.2 0.2σ =0.30 0.08 0.050.08 0.40 0.050.05 0.05 0.35Σ=0.2 0.1 0.10.1 0.3 0.10.1 0.1 0.2Γ =0.80 0.32 0.160.32 0.72 0.240.16 0.24 0.64表4：模型参数示例6.16.2价值函数分析我们还可以确定H投资者的效率，H∈ {R，E，C}，在罗杰斯的意义上[20]。因此，我们用xh表示H投资者需要的初始资本，以实现与F投资者相同的预期对数效用，初始资本xF=1。也就是说，xH是通过解VH（xH）=VF（1）得到的。ρH=xFxH=xh的值被称为H投资者的效率。可以看出，在多维cas中，ewe具有ρH=exp-ZTtr（σT）-1γ-羟色胺dt.基于这个表示，我们得到了协方差矩阵（γHt）t∈[0，T]我们可以推导出max{ρR，ρE}6ρC。这是直观的，因为C投资者可以使用bo th Returns Observations专家意见对多变量股票收益进行0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.-0.50.5第一部分0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.-0.50.5秒分量0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.-0.50.5第三组分uRZkuE^uCδ图5：u的第一、第二和第三组分以及示例6.1中的各种过滤器，以及做出交易决策的专家意见，而R投资者和E投资者各自手头都有其中一个信息来源。在定理3.4中，我们已经看到，当我们让专家意见的数量N趋于一致，且相关协方差矩阵Γ（N）kare有界时，滤波协方差矩阵esγE，nt和γC，nt收敛到零matr ix，即。

为每一个t∈ （0，T）。通过控制收敛，可以得出结论→∞ρE，N=exp-ZTtr（σT）-1γ英尺dt= 1和类似的limN→∞ρC，N=1。因此，在有限的范围内，越来越多的专家意见产生了最高的效率。例6.2。我们考虑一个市场，其中d=3支股票，m=d，一年的投资期限T，以及等距离信息日期tk=kT/N，其中专家的协方差矩阵是常数，即所有N的Γ（N）k=Γ∈ N和k∈ {0，…，N- 1}. 模型参数与例6.1中的相同。为了简单起见，我们假设无风险债券的利率为零∈ [0，T]我们从初始资本x=1开始。现在，我们可以计算不同投资者的价值函数，以及在ca se H=E和H=C中，不同的N值。请注意，因为我们已经将r设置为0，将xto设置为1，所以我们得到了一个更简单的值函数vh（1）=ZTtr（σT）-1（∑t+MTT）- γ（Ht）dt。多元股票回报的专家意见我们获得了VR（1）=0.4 503，VF（1）=1.5 358，以及表5左半部分列出的H=E和H=C的值。这里，VE，N（1）和VC，N（1）C对应于具有N个等式信息日期的情况。注意，N=0产生特殊情况VC，0（1）=VR（1）和VE，0（1）是投资者的价值函数，除了模型参数之外，投资者没有任何信息。在这种情况下，γE，0t=所有t的∑t∈ [0，T]。在最后一行中，我们为完全知情的投资者说明了价值函数VF（1）。我们可以观察到麦克斯VR（1），VE，N（1）6 VC，N（1）6 VF（1）对于所有N，这一事实已在推论5.3中得到证明。此外，值函数VE，N（1）和VC，N（1）在N中增加。对于较大的N值，VE、N（1）和Vc、N（1）之间的差异变为零，两个值函数都接近完整信息下的值函数VF（1）。

推论5.4已经证明了这一点。请注意，断言的收敛相当缓慢。表5右侧显示了不同投资者对不同N值的效率。N VE，N（1）VC，N（1）ρE，NρC，N0.0429 0.4503 22.47%33.7%10 0.6294 0.7414 40.40%45.18%100 1.1358 1.146 3 67.03%67.74%1000 1.4006 1.4010 87.35%87.39%10000 1.4933 1.493 95.84%95.84%H=F 1.5358 100.00%表5：各种N的价值函数和效率，例如6.2参考文献[1]比约克、数学、A.M.Davis、A.H、土地和部分投资信息。方法操作。第71号决议（2010年），第371-399页。[2] F.Black，R.Litterman，《全球投资组合优化》，金融分析师期刊，48（1992），第28-43页。[3] 不完全信息下的投资组合选择，随机过程。应用程序。，116（2006），第701-723页。[4] R.S.Bucy，Riccati方程的整体理论，J.计算机。系统科学。，1（1967），第349-361页。[5] M.H.A.Davis，S.Lleo，Black——连续时间里的垃圾人：过滤的案例，《定量金融快报》，1（2013），第30-35页。[6] R.J.Elliott，L.Aggoun，J.B.Moore，《隐马尔可夫模型：估计与控制》，斯普林格，纽约，1994年。[7] R.Frey，A.Gabih，R.Wunderlich，《部分信息下的投资组合优化与专家意见》，理论与应用金融国际期刊，第15期（2012），第1-18页。[8] R.Frey，A.Gabih，R.Wunderlich，部分信息下的投资组合优化与专家意见：一种动态规划方法，Common。斯托克。肛门。，8（2014），第49-79页。[9] A.Gabih，H.Kondakji，J.Sass，R.Wunderlich，高斯漂移市场中的专家意见和对数效用最大化，Common。斯托克。肛门。，8（2014），第27-47页。多元股票收益的专家意见[10]T。

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