然后我们有以下两种关系τλy≤ T= 1.- e xp-Cαrt-y-α（57）Pτry≤ T≤ Cαy-αeb（α，y）t+r-eb（α，y）ea（α，y）h1- E-ea（α，y）ti, （58）式中，ea和b由（16）和Cα定义：=πΓ（α）sin（πα/2）。此外，我们有以下两个最大绝对值的渐近尾概率。Mλ（t，y）：=Psup0≤s≤Tλs>y~ Cαrt（y）-α（59）Mr（t，y）：=Psup0≤s≤Trs>y~ Cαbt+r- 文学士（1）- E-在）（y）-α. （60）备注5.6在给出该结果的证明之前，我们注意到，当Mλ和mRnt为零时，我们比较了两个渐近尾概率。而当t为大e-nough时，mr与长期利率b近似成正比。到（13），我们有了τλy>t= PZtZrZ∞yN（ds，du，dζ）=0然后通过直接积分得到第一个结果（57）。对于α-循环，应用建议5.4，我们有τry>t= 进出口-nCαy-αZtbr（y）sdsoi。（61）因此我们得到E[br（y）t]=eb（α，y）1.-E-ea（α，y）t+重新-ea（α，y）t，by（61）我们通过凸性得到第二个结果（58）。第一个渐近尾是关系P的直接结果sup0≤s≤Tλs>y=1.- Pτλy<t. 对于r的渐近尾，由（52）可知，l（y，t）=σαZZ∞yμα（dζ）Z∞E-a（t）-s） ds- σαZZ∞yζμα（dζ）中兴通讯-a（t）-s） l（y，s）ds-σ中兴-a（t）-s） l（y，s）ds-中兴通讯-a（t）-s） ψ（y）α（l（y，s））ds，（62），其中ψ（y）α（q）=σαZRy（e）-qζ- 1+qζ）μα（dζ）。这也表明l（y，t）≤ -σαZa cos（πα/2）αΓ(-α)(1 - E-at）y-α=CασαZa（1）- E-at）y-α（63）自-（αcos（πα/2）Γ(-α))-1=Cα。在（62）中，我们还有yαl（y，t）=-σαZαcos（πα/2）Γ(-α） 中兴通讯-a（t）-s） ds+σαZ（α- 1） cos（πα/2）Γ(-α） y-1Zte-a（t）-s） l（y，s）ds-σ中兴-a（t）-s） l（y，s）yαds-中兴通讯-a（t）-s） ψ（1）α（yl（y，s））ds。梳理（63），我们认为这是y→ ∞,yαl（y，t）→ -σαZαcos（πα/2）Γ(-α） 中兴通讯-a（t）-s） ds=CασαZ1- E-阿塔。（64）此外，对于t，这种收敛是局部一致的。

由花冠y5。2，P（sup0≤s≤Trs>y）=P（τry≤ t） =1- E-l（y，t）r-abRtl（y，s）ds~ l（y，t）r+abZtl（y，s）ds。我们有r跳跃的尾部（64）。备注5.7考虑（17）中定义的br（y）。我们注意到，对于0<t<τry，rt=br（y）t，那么对于任何固定的t，sup0≤T≤TeExpn-Ztrsdsoi- eExpn-Ztbr（y）sdsoi≤ 2P（τry）≤ T）=P（sup0≤s≤T根据命题5.5，一个人有P（sup0≤s≤Trs>y）~ C（T）y-α、 当C（T）是T上的常数时。这意味着它是y→ ∞, r可以用br（y）和速率y来近似-α.在近似意义上，我们看到了大跳跃的作用，它导致（17）中所示的额外负漂移项，并迫使利率处于较低水平，因为α降低到1.6数值说明。在本节中，我们给出了数值示例，以说明前面章节中获得的结果。我们对参数α的作用特别感兴趣。在第一个例子中，我们在图1中给出了三个不同的α值：2、1.5和1.2的α稳定L’evy过程ss Z的轨迹。其他参数固定为bea=0.1、b=0.3、σ=0.1、σZ=0.3和r=0.1。我们发现，较小的α值意味着在过程Z的跳跃之间有更大的跳跃和更深的负漂移。然后，我们使用与图1相同的Z轨迹，在图2中说明了定义2.1中描述的短期利率r的α-CIR过程。

我们观察到，由于跳跃与利率的实际水平有关，因此αcor的较小值对应图2中持续的低利率。图1：α0.0.2 0.4 0.6 0.8 1不同值的α稳定L’evy过程Z-3.-2.-101234tZtα-稳定过程Z:r0=0.1，a=0.1，b=0.3，σ=0.1，σZ=0.3α=2α=1.5α=1.2图2：相同Z.0.20.40.6 0.8 100.050.10.150.20.250.30.35trtα的α-CIR模型的短期利率r-CIR过程：r0=0.1，a=0.1，b=0.3，σ=0.1，σZ=0.3α=2α=1.5α=1.2在第二个例子中，我们通过图3展示了主权债券价格b（0，T）的预测。4.参数为a=0.1、b=0.3、σ=0.1、σZ=0.3和r=0.05。除了α的三个值：2、1.5和1.2，我们还考虑了经典CIR模型中的债券价格（当σZ=0时）。有趣的是，正如命题4.5所示，对于执行成熟度而言，债券价格相对于α的价值递减，在CIR模型中价格最低。这一观察结果意味着，在预期意义上，较小的α对应于较低的利率现象，尽管这种情况也意味着短期利率有较大的正跳变（如下图所示）。图3：主权债券价格B（0，T）0.2 0.4 0.6 0.8 10.930.940.950.960.970.980.991TB（0，T）r0=0.05，a=0.1，B=0.3，σ=0.1，σZ=0.3CIRα=2α=1.5α=1.2最后，我们说明了第一次ge跳跃τy（如（50））的行为，即短期利率过程超出了预期。参数为a=0.1，b=0.1，σ=0.1，σZ=0.1，r=0.2，andy=0.1。图4显示了推论5给出的概率函数P（τy>t）。2.对于α的不同值。我们认为，对于较小的α值，这种概率很快收敛到0，对于较大的α值，这种概率收敛到0的时间要长得多。图5说明了命题5对τy的期望。3，作为α的函数。

预期跳跃时间随着α的增加而增加，这意味着对于较小的α，第一次大跳跃可能发生得更快。这两个检验表明，α<2的α-CIR模型可以描述利率的大幅波动。图4：第一次大跳跃超过0.24 6 8 1000.10.20.30.40.50.60.70.80.91t的概率函数P（τy>t）概率0=0.2，y=0.1，a=0.1，b=0.3，σ=0.1，σZ=0.1α=1.8α=1.5α=1.2图5：第一次大跳跃超过1.1.2 1.1.3 1.1.5 1.1.6 1.7α=1.8α=1.5α=1.5α=1.2α=1.5α=1.2，σ=0.1,1,1.1,1,1,1.1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1，σZ=0.1y=0.05y=0.1y=0.27结论本文的目的是引入α-CIR短期利率模型，它是标准CIR模型的一个扩展，除了布朗运动外，还加入了一个谱正的α-稳定的L′evy过程，并保留了分支性质。我们的主要财务贡献是在一个简洁的框架中描述了在当前主权债券市场中观察到的一些公认的、似乎令人困惑的事实。特别是，我们在这个相对简单的模型中协调了利率的显著变化与极低利率的实际持续性。此外，在我们的模型中，利率的演变表现出集群性或自激性，最近在随机建模中，尤其是在金融领域，这一点得到了强调。一个有趣的财务结果是，债券价格随着跳跃过程的尾部命运而上涨，这是违反直觉的，并开启了对风险分析结果的讨论。

特别是，我们的ecasts模型表明，极低利率的持续性被这种尾部肥胖所加剧，而这种持续性在统计学上被第一次大跳跃的到来所打破，而第一次大跳跃的到达概率随着利率本身的降低而降低。主要的数学贡献是通过使用随机场引入了α-CIR模型的更一般的积分表示。这种积分表示在很大程度上有助于简化数学证明，并有助于建立我们的模型与CBI过程的联系，进而与有效利率模型的联系。我们还用这种表示法描述了极性跳跃频率定律和第一次跳跃定律。从计算的角度来看，我们表明，我们的模型允许对一大类相关量（例如债券价格和衍生品）以及第一次大跳跃的规律和预期进行封闭形式的公式化数值积分。对进一步研究工作的展望包括对α-CIRinter汇率模型的实证和统计分析。积分表示法还可以为其他金融模式提供一系列扩展。参考文献[1]Ait-Sahalia，Y.和Jacod，J.（2009）：估计高频数据中跳跃的活动程度。统计年鉴。37, 2202-2244.[2] Ait-Sahalia，Y.，Cacho Diaz，J.，和Laeven，R.J.（2015）：金融传染相互刺激的跳跃过程建模。金融经济学杂志。117(3), 585-606.[3] Alberrio，S.，Lytvynov，E.a和Mahnig，a.（2004）：基于L’evy领域的内部收益率期限结构模型。《随机过程及其应用》，114:251263。[4] Asmussen，S和Rosinski，J。

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然后我们用初始值x×yxt=x+cJt定义过程Y- aZtYxsds+σZtZYxsW（ds，du）+σZZtZYxs-ZR+ζeN（ds，du，dζ）。（65）让我们假设如下：（a）在t=0时，有一个个体的质量为x。它在t>0时演化并给出质量Rx。（b） 每个质量为c的移民按照泊松过程Jt到达。JTI的到达时间用0表示≤ τ≤ ··· ≤ τn≤ ···. 如果一个移民在时间τk到达，它给出质量r（k）t-τkat时间t，其中r（k）·是r·（c）的独立副本。然后我们得到yxt=rxt+JtXk=1r（k）（t- τk）。（66）我们现在通过第一步br（0）t=rxT和br（k）之间的关系来定义Picard序列br（k）-1） tand br（k）t定义为br（k）t=br（k-1） τk+c- aZtbr（k）sds+σZtZbr（k）sWτk（ds，du）+σZZtZbr（k）s-ZR+ζeNτk（ds，du，dζ）。这里（Wτk，Nτk）是τk处（W，N）的翻译器，即Wτk（[0，t]×A）=W（[τk，τk+t]×A）和Nτk（[0，t]×A×C）=N（[τk，τk+t]×A×C）。考虑（65），我们很容易得出Yt=br（0）t为0≤ t<τ，类似地，Yt=br（1）t-τ对τ≤ t<τ。更一般地说，应用命题2。不难看出r（1）t:=br（1）t- br（0）τ+与{br（0）t}无关，并具有与{rct}相同的分布。因此对于τ≤ t<τ，Yxt=rxt+r（1）t-τ. 类似地，对于τk-1.≤ t<τk，Yxt=rxt+Pki=1r（i）t-τi，其中r（k）t=br（k）t- br（k）-1） τk-τk-1+t。因此我们有（66）。同样通过第一步和指数公式，Ehe-qYxti=exp-xv（t，p）+λJZt1.- E-cv（t-s、 p）ds= 经验-xv（t，p）+λJZt1.- E-cv（u，p）杜.最后一个等式由替换t得出- 步骤3：使用辅助过程的重整化进行限制。考虑一个由（65）定义的Y（n）序列，其中jt被参数λn=abn的J（n）t替换，并由cn=1/n替换。让r由（2）给出初始值x。不难看出Y（n）→ 作为n→ ∞. ThenEE-prt= 画→∞Ehe-pY（n）ti=exp-xv（t，p）- abZtv（s，p）ds