由于许多经济时间序列中的“动量”，往往会出现自相关，从而导致自我维持的上升和下降。因此，电流扰动可能会受到前一时期扰动的影响。最著名的解决自相关问题的模型是一阶自回归过程。这是通过使用Durbin-Watson测试来完成的[80] （1.4）其中et是OLS回归的残差。这些值将介于0和4之间。介于0和1之间的值表示强正自相关，介于1和2之间的值表示弱正自相关。值等于2表示没有自相关或完美模型。2到3之间的值表示弱负自相关，3到4之间的值表示强负相关。我们使用概率密度函数、累积分布函数和互补累积分布函数来计算概率。概率密度函数（pdf）定义为 （1.5）概率密度函数必须满足两个要求： 适用于所有x（1.6）和 （1.7）21随机变量X取值等于或低于给定数值a的概率为 （1.8）该函数称为累积分布函数（cdf）。cdf必须满足某些属性，例如： (1.9)  (1.10) 和 （1.11）性质（1.9）表明C（X）是一种概率[83]。与累积分布函数不同的是，互补累积分布函数显示变量高于某个值的概率[84]。

（1.12）互补累积分布函数 还必须满足某些标准： (1.13)  (1.14) 和 （1.15）22第2章：逻辑函数在收入、财富和支出分配中的应用费米-狄拉克、玻色-爱因斯坦和玻尔兹曼-吉布斯分布是统计物理学中最重要的分布。到目前为止，用于模拟社会经济系统并取得一定成功的统计物理分布包括Bose-Einstein分布和Maxwell-Boltzmann分布。本章研究了物流分配在一些最重要的经济变量中的应用，如来自九个具有不同经济特征的国家的人口的收入、财富和支出。这种分布最初是在经济系统之外使用的，最近由于经济系统与生物和物理系统的相似性而开始使用。2.1方法使用的概率分布是累积逻辑分布，一方面适用于累积收入、支出或财富，另一方面也适用于累积概率。逻辑功能或乙状结肠功能定义为（2.1）其中L是曲线的最大值，x0是s形中点的x值，k=曲线的陡度[85]。Logistic映射是Logistic函数的基础，用于显示非常简单的非线性动力学方程会产生多么复杂的混沌行为[86]。我们使用logistic累积概率分布C（x），它被定义为积分 （2.2）23它给出了随机变量低于给定值x的概率。

我们在y轴上表示累积人口概率，即收入/财富/支出低于x轴相应水平的人口份额。累积收入/财富/支出包含在x轴上。根据这类概率，我们计算收入低于某个阈值的人口比例。因此，收入低于零的概率为0%（因为假设每个人都有一定的收入）。累计收入、财富或支出包含在x轴上。假设X代表X轴上的累计收入/财富/支出值。=  其中X代表X轴上的累积收入/财富/支出，i=[1,10]表示平均值，i=[1,9]表示收入上限，其中iN。因此，概率的十进制对数log10（C（X））是相依概率，而X（累积收入）的十进制对数是自变量。此外，参数a、b和c是通过使用如上等式2.2所述的逻辑分布拟合数据获得的。使用两个轴的十进制对数值（即对数刻度）生成结果。然后，应用对数刻度，等式（2.1）变为 （2.3）这是对数形式的逻辑函数。总累积概率为 在平均收入的情况下，包含代表概率的图的集合是S={（0,0%），（X1,10%），（X2,20%），（X3,30%），（X4,40%），（X5,50%），（X6,60%），（X7,70%），（X8,80%），（X9,90%），（X10,100%）}。对于收入数据集的上限，= {（0,0%），（X1，10%），（X2，20%），（X3，30%），（X4，40%），（X5，50%），（X6，60%），（X7，70%），（X8，80%），（X9，90%）。

拟合时考虑了概率集S和S1的十进制对数值。收入数据集的上限不包括十分之一的数值，该数值包含人口的高收入部分。至于收入的下限，这一套类似，只是每个值代表收入十分位数的最低支出值。24对于第一个十分位数（最低收入十分位数），C代表收入低于平均收入或收入上限或第一个十分位数下限的人口，因此等于10%。对于收入下限，第一个十分位数的值为0。随后，对于最高收入，累积分布函数为100%（对于平均收入）。对于收入上限和下限数据集，我们不代表最高十分位（第十位）的值，因为任何统计机构都没有提供该值。2.2数据特征我们将使用来自巴西[65]、芬兰[63,66]、法国[67-71]、意大利[72-73]、菲律宾[74]、罗马尼亚[75]、新加坡[76]、英国[64]和乌干达[77]的可支配收入数据。这些数据是针对巴西、芬兰、法国和新加坡的个人数据。菲律宾、罗马尼亚、意大利和英国的数据都是关于家庭的。此外，对于法国、芬兰和意大利，我们能够获得平均收入和收入上限的数据。英国的数据以周支出值和年收入值表示。这些数据是以不同的货币单位考虑的。例如，就法国而言，在所考虑的整个时间段内，它们都是以欧元表示的。意大利被认为是里拉，里拉是欧元之前的国家货币（上一年被认为是1998年意大利的里拉），以及2000年开始的欧元。

在芬兰的情况下，对数据进行了修改，使每年收入的数值根据所考虑的去年来表示，从而使数据更加可靠和现实。在罗马尼亚，数据是用列伊表示的，直到2005年7月，一种新货币被称为重列伊。1个重leu=10000 leu之间的比率。就巴西而言，我们多年来一直在处理不同的货币问题。因此，在1960年以来的时间间隔内，货币为克鲁塞罗、克鲁扎多、新克鲁塞罗、新克鲁扎多、雷亚尔克鲁塞罗和雷亚尔。数据以菲律宾比索、新加坡元和乌干达先令表示。在分析物流分布参数时，了解所考虑国家的经济环境非常有用。因此，第一类国家是芬兰、法国、意大利和英国，它们的特点是增长缓慢，即使不是负增长，但它们都是发达国家，收入也很高。巴西是一个中等收入的发达国家。然而，由于外部因素，近年来经济增长大幅放缓。与大多数远东经济体一样，菲律宾和新加坡没有受到最近经济危机的影响，经济增长很快。新加坡是一个发达国家，而菲律宾是一个发展中国家。罗马尼亚是一个发展中国家。乌干达是一个经济增长率高的国家（撒哈拉以南非洲地区的经济增长率最高），但从所有标准来看，它仍然是一个穷国[77]。值得注意的是，关于乌干达支出的数据，没有提供第10个十分位数（上一个）的数据。

2.3结果我们在图2.1-2.2和表2.1-2.14中以图形方式展示了结果。在表2.1-2.11中，我们展示了拟合可支配收入的结果，在表2.12中，我们展示了拟合养老金的结果。此外，在表2.13中，我们显示了支出的结果。表2.14显示了财富的结果。我们使用Matlab应用了物流配送。图2.1逻辑分布拟合芬兰1987年收入上限的年度数据。在x轴上，我们代表了十进制对数累积收入——log10（Xi），在y轴上代表了累积概率log10（Ci）的十进制对数。26图2.2逻辑分布拟合了乌干达2010年平均支出的年度数据。在x轴上，我们表示十进制对数累积平均支出——log10（Xi），在y轴上表示累积概率log10（Ci）的十进制对数。其他年份的分布与图2.1-2.2所示的年度分布非常相似。年度物流分布满足累积分布函数（1.9-1.11）的条件。物流分布与数据非常吻合。因此，在所有情况下，年度数据拟合的确定系数值均在99%以上。然而，英国的支出和养老金数据无法拟合，尽管乌干达的支出数据和法国的非活跃人群收入数据可以拟合得很好。逻辑分布可以应用于具有许多不同特征的数据。因此，它可以应用于收入、支出和财富。此外，它也适用于作为平均值和上限计算的数据。

收入、支出和财富可以用名义价值或实际价值表示。这显示了广泛的适用性。通常情况下，对于同一变量，将参数值从一年到另一年进行比较时，其特征是变化较小。在较长的时间间隔内，同一变量的初始值和最终值之间的变化较小，但与一年到下一年的变化相比，变化较大。我们认为，这表明了当应用于宏观经济变量时，逻辑分布的力量。对于芬兰、法国和意大利等国家，我们有两组数据，即收入上限数据集和平均收入数据集。通过拟合年度数据，我们可以观察到，与同一年的平均收入数据集相比，在所有情况下，收入数据集上限的R2值都略高。考虑到收入数据集的上限不包含收入的十分之一，这是可以解释的。也就是说，这是可以解释的，因为十分之一人口的收入主要取决于资产价格，而其他人口的收入主要取决于工资。有一些国家，如巴西、意大利和罗马尼亚，在提供数据的这几年中使用了不同的货币。我们可以注意到，货币的变化并不影响确定系数（R2）的值。然而，b参数的值变化很大。27我们可以看到，一个国家的经济状况与收入分配的决定系数（R2）之间没有相关性。

与芬兰、法国、意大利和英国等高收入发达国家相比，菲律宾、罗马尼亚等发展中国家或巴西等发达国家的决定系数（R2）值相等或更高。这是违反直觉的，尤其是因为第一组国家在黑市中的份额更高。我们可以看到，物流配送不受通货膨胀的影响。这些例子是关于意大利的，当时的货币是意大利里拉（根据提供的数据，截至1998年），而罗马尼亚在2000-2004年间的通货膨胀率达到了两位数，高达40%。因此，对于这些国家和时间间隔，与其他数据相比，参数和确定系数的表现并无不同。1838年，Verhulst首次提出逻辑分布的适用性，1920年，Pearl和Reed独立推导了逻辑分布的适用性，以模拟动物种群的进化。设N（t）表示总体规模，N’（t）表示其导数。Verlhust-Pearl模型是  （2.4）其中参数λ>0，K>N（0）。因此，λ是内在增长率，K是承载能力。根据[87]的解决方案是 （2.5）通过求解微分方程（2.4），我们得到了类似于logistic函数和费米-狄拉克函数的解（2.5）。方程（2.4）也被称为logistic-cdf模型。Verlhust-Pearl模型赞同马尔萨斯的观点，即由于资源的限制，自然界中的任何动物种群都不能超过某个阈值。根据该模型，动物数量（N）限制为K（最大数量或承载能力）。

同样，收入、支出和财富分配也有一定的上限，这是由生产率和投资限制给出的。物流功能的适用性源于这样一个事实：唯一产生附加值的经济部门是农业和工业，而服务业和贸易尤其是收入和财富的再分配。由于大多数交易和交易都是随机发生的，因此对混沌系统建模的logistic28函数适用于占收入和财富分配很大一部分的混沌交易和交易。2.4结论物流配送是一种非常稳健的配送方式。它能够描述使用不同方法计算的几个宏观经济变量的分布。这可以描述所有收入群体的演变，包括传统上由帕累托分布描述的高收入人群。鉴于拟合年度数据所得系数的可变性较低，逻辑分布是一个非常强大的统计工具。更重要的是，养老金不完全由市场监管，也由国家机构监管（至少对于国家养老金而言），可以通过物流配送进行很好的匹配。