我们推测，主要定理在矩阵∑t给出的形式下仍然有效，矩阵∑t是有限维的，但是需要仔细分析才能在前一节中定义λ，asseen。我们注意到∑Ttends在很大程度上是确定的。如果我们机械地应用我们在逆多项式项旁边看到的Szeg–o极限定理，行列式det（∑T）将有一个与d log（1）相对应的额外项- 五十） ：exp（TXk=1dk），随着Td的增加而增加。这是Fisher-Hartwig猜想（Fisher和Hartwig 1969）的一个特例，它已经被证明了一段时间（Ehrhardt 2001）。事实上，在Toeplitz算子文献中，人们考虑了单位圆上具有几个（共轭）极点的函数，以及其他类型的奇点。单位圆上奇异点/零点附近的分析需要仔细分析，我们希望算子理论方法在这里有所帮助。我们注意到，虽然需要进行理论论证、可逆性考虑和初始点选择，但对于最后几节，算法和编码只需要很少的修改。由于这些模型依赖于一组有限的参数pi，我们只需要提供系数θ和梯度矩阵θipj，这将取决于模型。9结论我们测试了R和C++代码中的似然函数和校准算法。用niteToepliz矩阵定义的内部产品替换标度MA组件的理念似乎富有成效，我们预计与向量自回归模型相关的其他结果可能会有相应的变量分析。

这里提出的校准算法如何应用于实际预测还有待观察。附加ix A一些矩阵事实MMA A A.1让X，Y，β，K，Ohm 是具有相容维数的矩阵，因此以下表达式形式良好（（Y′）- β′X′）K（Y- Xβ）Ohm) （51）进一步假设K和Ohm 是可逆对称正定矩阵。还假设（X′KX）是不可验证的。用X，Y，K，Ohm已知，上述表达式在βopt=（X′KX）处具有最小值-因此，β独立于Ohm .证据设置β=βopt+b并展开表达式。Tr（（Y′）- β′X′）K（Y- Xβ）Ohm) = Tr（（Y′）- β′optX′）K（Y- Xβ（opt）Ohm)-Tr（b′X′K（Y- Xβ（opt）Ohm) - Tr（（Y′）- β′optX′）KXbOhm)+Tr（（b′X′KXb）Ohm) （52）现在注意（X′KX）βopt=X′KYβ′opt（X′KX）=Y′KX我们看到中间项都是零，而第一项和最后一项是正的，因为正定义矩阵K和Ohm 也是积极的定义和应用程序谎言引理2。所以最小值是b=0。这证明了该方法的最优性uΦ选择下面是众所周知的：引理A.2假设K为正定义。然后pk=K- 公里（米’公里）-1M′K（53）是所有M的正半定义，因此M′KM是可逆的。证明：考虑一个分解K=L′L，集LM=M.WeseeL′-1PKL-1=它- LM（M′L′LM）-1M′L′=IT- M（M′M）-1M′是一个投影，因此具有特征值0和1。因此，PKI是积极的定义。所以我们在pOhmoptis是正半限定的，与样本数据X无关。实际上，可能存在数据XOhm 特征值为零。在这种情况下，需要进行一些正规化。附录ix B模拟结果使用我们的R脚本，我们已经测试并确认了∑Tand K和¨K之间的关系。我们还确认了确定性的Szeg–o极限。

我们还确认了根反转算法下似然函数的不变量，这是在小样本情况下进行的，因为大样本数据会导致中间步骤中的错误。使用模拟数据，然后最大化似然函数，我们也能够在我们的测试用例中恢复原始模型。这包括eso简单p=0，q=2模型（标量θ为2×2.oARMA p=2，q=2模型oVARMA模型k=2，（p=1，q=1）矩阵多项式：Φ=-0.02284288 0.40277051.06073525 -0.2589487Θ= --0.4100472 0.32275802.1013041 0.2378265和Xt=（I）- ΦL）Xt+（I+ΘL）t.我们分别写出矩阵多项式ΘM（L）和ΦM（L）。（矩阵中的长小数是因为我们运行了一个模拟来搜索稳定矩阵。）这相当于标量θ=det（ΘM（L）和AR项ad j（ΘM（L）ΦM（L）的p=2、q=2模型。我们能够恢复标量分母和二次矩阵多项式分子k=2的VARMA模型由（p=2，q=2）矩阵多项式给出。这相当于（p=4，q=4）标量MAmodel。我们再次恢复了等价的标量分母模型k=4，p=5，q=3的VARMA模型，其中分子为矩阵多项式，分母为标度多项式。在前两种情况下，我们可以通过初始向量为0的优化来确定最优参数，而在最后一种情况下，我们必须应用上述不确定性区域的划分。确认我们要感谢Thong Nguyen在文学方面提供的非常有用的建议和帮助。他通过富有洞察力的对话和提供阅读材料，丰富了我们在时间序列和统计方面的知识。他指出（16）基本上是Yule-Walker方程，有不同的扭曲。

我们感谢Utkarshsmant的鼓励，并在进行muchof试验的地方提供基础设施。任何错误都只会影响我们的责任。Bibilog r aphyAnderson，T.W.和A.Takemura（1986年）。“为什么会出现不可逆的估计移动平均线？”发表于：《时间序列分析杂志》7235254。青木，Masanao（1987年）。时间序列的状态空间建模。Universitext。斯普林格。Basor，E.L.和Widom H.（2000年）。《论托普利茨决定论——博罗丁和奥昆科夫的同一性》。《积分方程与算子理论》37，第3 97-401页。新罕布什尔州宾厄姆（2012）。“Szegs定理及其概率后代”。在：Probab。调查9，第287-324页。内政部：10.1214/11-PS178。网址：http://dx.doi.org/10.1214/11-PS178.Bistritz，Y.（2002年3月）。“多项式相对于单位圆的零位不受非本质奇点的影响”。地址：IEEE Trans。关于电路和系统，第一部分49，第305-314页。Borodin，A.M.和A.Okounkov（2000年）。“Toeplitz行列式的Fredholm行列式公式”。《积分方程与算子理论》37，第386-396页。博克斯、乔治和格威琳·詹金斯（1970）。时间序列分析：预测和控制。时间序列分析和数字处理中的霍尔顿日序列。霍尔顿·戴公司，科恩，A.（1922年）。“乌尔泽尔的乌尔泽尔酒店位于埃尼姆克里泽的一家酒店”。学生：数学。泽特。14，第110-148页。Davis，R A.和William T.M.D unsmuir（1996年）。“单位圆上有根的MA（1）过程的最大似然估计”。摘自：计量经济学理论12.1，第1-29页。issn:0266466614694360。网址：http://www.jstor.org/stable/3532753.Davis，理查德A.和李松（2011年12月2日）。“单位根源于一级以上的移动平均值”。安。统计学家。39.6，第3062-3091页。内政部：10.1214/11-AOS935。网址：http://dx.doi.org/10.1214/11-AOS935.Ehrhardt，T.（2001）。

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