Forsythand Vetzal（2014）使用偏微分方程方法计算了随机制度转换波动率和利率情况下的VA骑手价格。在直接积分法下，期望值（28）计算为通过空间网格点上的求和近似的积分，参见Bauer等人（2008）。存在更有效的求积方法（需要更少的点来近似积分）。特别是，在风险资产的几何布朗运动过程中，使用Luo和Shevchenko（2014）中提出的高斯-埃尔米特求积以及Luo和Shevchenko（2015a）中的GMWB定价是非常有效的。第6.3节详细描述了VA乘客的一般定价方法。当基础资产在事件时间或其时刻之间的转移度以封闭形式已知时，可以应用该方法。它相对容易实现，计算速度也比PDE方法快，因为后者需要在事件时间之间有许多时间步长。在Luo和Shevchenko（2016）中，这种方法也被用于计算Vasicek模型下随机利率情况下的GMWB。在PDE和直接积分方法中，需要一些插值方案来实现跳跃条件（29），因为位于离散化空间网格点的状态变量在跳跃事件后不会出现在网格点上。这将在第6.4节中详细讨论。当然，如果潜在的随机过程比几何布朗运动（4）更复杂，并且不允许有效地计算传递度或其矩，则可以使用偏微分方程方法。在第7节GMAB定价的数值示例中，我们采用了一种直接积分方法，该方法基于应用于三次样条插值的高斯-埃尔米特积分求积，以下简称GHQC。

出于测试目的，我们还实施了CrankNicholson有限差分（FD）方案，用跳跃条件（29）求解PDE（36）。6.2总体算法描述PDE和直接积分数值方案都从t=t时合同值的最终条件开始-. 然后，使用（28）或求解t=t+N时合同价值的对应PDEgives解进行反向时间步进-1.将跳跃条件（29）应用于t=t+N时的解-1在t=t时给出解-N-1从中进一步向后，时间递归给出t的解。为简单起见，假设只有W（t）和A（t）状态变量。然后，数值算法将采取以下关键步骤。算法6.1（直接积分法或PDE法）o步骤1。生成一个辅助有限网格0=A<A<···<aj，以跟踪收益平衡A.o步骤2。将财富账户余额与空间离散为W<W<··<W，以生成计算预期的网格（28）。o第三步。在t=tN时，将最终条件应用于每个节点（Wm，Aj），j=1，2，J、 m=1，2，我要得到Qt-N（W，A）。o第四步。评估每个Aj的积分（28），j=0，J、 获得Qt+N-1（W，A）使用直接积分或求解偏微分方程。在直接积分法的情况下，这涉及W空间中的一维插值，以找到Qt的值-N（W，A）在不同于网格点的网格点处第五步。应用跳跃条件（29）以获得Qt-N-1（W，A）表示γN的所有可能值-1发现γN-1最大化Qt-N-1（W，A）。一般来说，这涉及（W，a）空间中的二维极化第六步。对t=tN重复步骤4和5-2，田纳西州-3.t、 o第7步。

在W=W（0）和A（0）时，评估从tto到获得解决方案Q（W，A）的向后时间步长的积分（28），或者如果计算某些对冲敏感性（如第6.5节中讨论的Delta和Gamma）需要这些积分，则可以在几个点上进行积分。在第7节中的数值例子中，我们实现了基于高斯-埃尔米特求积的直接积分法，我们使用了第4步中处理积分所需的一维三次样条插值和第5步中处理跳跃条件所需的双三次样条插值。如果模型中的其他随机状态变量（类似于W）在合同事件时间之间随机变化，如随机波动率和/或随机利率，则应生成这些额外维度的网格，且所需的积分或PDEto评估（28）将具有额外维度。此外，额外的辅助状态变量（类似于toA）在合同事件时间之间保持不变，如税基和/或额外福利基数，将需要在网格中增加额外维度，并在事件时间对跳跃条件进行插值。我们必须考虑由于退出和市场运动，W（t）变为零的可能性，因此必须使用下限W=0。上限Wm应设置为远离时间零点W（0）时的初始财富。一个好的边界选择可以基于S（T）分布的高分位数。例如，在几何布朗运动过程（5）的情况下，可以保守地设置wm=W（0）e | mean（ln（S（T）/S（0）））|+5×stdev（ln（S（T）/S（0））。通常，在ln W空间中使用等间距网格更有效。在这种情况下，Wc不能设置为零，而是应该设置为一个非常小的值（例如W=10）-10).

此外，对于someVA车手来说，在一个空间中使用等间距网格也更有效。6.3直接积分法为了计算Q（W（0），A（0）），我们必须评估递归（28）中的期望值。假设W（t）的条件概率密度-n） 给定W（t+n）-1） 以闭式epn（w | w（t+n）表示-1） ），所需的期望值（28）可以计算为qt+n-1.W（t+n）-1） ，A=Z+∞epn（w | w（t+n）-1） ）eQt-n（w，A）dw，（37）其中-n（w，A）=Bn-1，n(1 - qn）Qt-n（w，A）+qnDn（w，A）.可以使用各种数值积分（求积）方法估计上述积分。请注意，我们总是可以找到W（t-n） 作为标准正态随机变量Z asW（t）的变换-n） =ψ（Z）：=F-1n（Φ（Z）），其中Φ（·）是标准正态分布，Fn（·）和F-1n（·）是分布，是W（t）的倒数-n） 。然后，积分（37）可以重写为qt+n-1.W（t+n）-1） ，A=√2πZ+∞-∞E-泽克特-n（ψn（z），A）dz。（38）这类被积函数非常适合高斯-厄米求积，对于任意函数f（x），它给出了以下近似值Z+∞-∞E-xf（x）dx≈qXi=1λ（q）if（ξ（q）i）。（39）这里，q是埃尔米特多项式的阶数，ξ（q）i，i=1，2，q是厄米多项式Hq（x）的根，相关权重λ（q）i由λ（q）i=q给出-1q！√πq[Hq]-1（ξ（q）i）]。如果函数f（x）没有奇点，这种近似积分可以很好地工作，如果f（x）由一个2q次多项式表示，它可以精确地计算积分- 1或更少。注意Eqt（w，·）仅在网格点Wm，m=0，1，M和插值需要估计正交点处的Eqt（w，·）。

根据我们在pricingdi不同VA担保方面的经验，我们建议使用自然三次样条插值，该插值在一阶导数中光滑，在二阶导数中连续；二阶导数假设在上限以上的外推区域为零。当然，很难找到分布Fn（·）及其逆F-一般为1n（·）。在几何布朗运动过程（5）的情况下，跃迁密度epn（·|·）只是一个正态密度和w（t）-n） =ψn（Z）：=W（t+n-1） 经验（注册护士）- α -σn）dtn+σnpdtnZ.然后，高斯-厄米特求积在积分（37）计算中的直接应用给出了sqt+n-1.W（t+n）-1） ，A≈√πqXi=1λ（q）ieQt-Nψn(√2ξ（q）i），A, （40）应为每个网格点W（t+n）计算-1） =Wm，m=0，1，M.通常，要获得非常好的精度，需要最少数量的正交点；在下一节的数值示例中，我们使用q=9，但在q=5时也得到了非常好的结果。如果W（t+n）的跃迁密度函数-1） 到W（t）-n） 在封闭形式下是未知的，但一个人可以找到它的时刻，然后也可以通过匹配时刻的方法，以类似的效率和准确性进行积分，如罗和舍甫琴科（2014，2015a）所述。该方法在二维情况下也能很好地发挥作用，参见Luo和Shevchenko（2016），在随机利率的情况下，该方法被应用于GMWB定价。6.4跳跃条件应用在PDE或直接积分法中，必须在事件时间应用跳跃条件（29）以获得Qt-n（W，A）。对于最优策略，我们选择了一个值γn∈ 最大化价值Qt-n（W，A）。为了应用跳转条件，使用辅助有限网格0=A<A<···<AJ=wm来跟踪剩余的福利基本状态变量A。

对于每个Aj，我们使用（40）和插值关联一个连续解。一般来说，从（29）中可以看出，跳变条件使得确保跳变后的W和A值始终落在网格点上是不切实际的，如果不是不可能的话。因此，需要进行二维插值。在这项工作中，我们iW），（Njiwnaw） jAkA1灵魂jAWjAAA日本电报电话公司ntt W）、（AWQt）、（jitAWQ1）jAkA1kAiW 1iWmW 1mW），（njiAnAWhA） iW 1iW兆瓦1图1：跳跃条件的应用说明。t=t时的Qt（Wi，Aj）值-节点点（Wi，Aj）的nand等于t=t+nw且W=Wi时的Qt（W，A）- γnand A=Aj- C（γn）。点（W，A）位于由（Wm，Wm+1）和（Ak，Ak+1）限定的网格内。采用双三次样条插值以提高精度和效率。图1说明了跳转条件的应用。在a中形成一个统一的网格是很自然的，这样就可以在一个恒定增量δa=Aj+1上测试最佳退出策略-Aj，正如罗和舍甫琴科（2015a）在（8-9）规定的基本GMWB定价方面所做的那样。然而，大量的数值试验表明，如果使用a中的统一网格对带有棘轮和最优取款的GMAB进行定价（我们在第7节中的数值示例），那么a中的线性插值和三次插值都无法实现定价结果的高效收敛。在我们看到稳定的解决方案之前，必须使用非常细的网格，这可能需要几个小时才能获得合理的费用，这与基本GMWB形成鲜明对比，后者需要不到一分钟的计算机时间。另一方面，如果我们在Y=lna中使网格均匀，并使用基于变量Y的线性或三次插值，那么我们在一个中等精细的网格上获得了非常好的收敛性，并且公平费用的CPUtime约为30分钟（公平价格的几分钟）。

本研究中用于所有计算的CPU是Intel（R）Core（TM）i5-2400@3.1GHz。正如我们已经提到的，必须使用二维插值来应用跳跃条件。我们建议使用双线性插值或双三次样条插值，例如参见（Press et al.，1992，第3.6节），在这两种情况下，都应用于对数变换状态变量X=ln W和Y=ln a。对于本文中的数值示例，我们对所有数值结果采用了更精确的双三次样条插值。对于均匀网格，双三次样条的计算时间大约是一维三次样条的五倍。假设跳转条件需要位于网格内的点（W，A）处的值Q（W，A）：Wi≤ W≤ Wi+1和Aj≤ A.≤ Aj+1。等效地，点X=ln W和Y=ln A在网格内：ln Wi=xi≤ 十、≤ xi+1=ln Wi+1和ln Aj=yj≤ Y≤ yj+1=ln Aj+1。因为网格在X和Y变量中是一致的，所以二阶导数Q/桑德Q/Y可以通过三点中心差精确逼近，因此，对于任何一次插值，统一网格上的一维三次样条曲线只涉及四个相邻网格点。对于双立方线，我们可以首先在四个点Q（W，Aj）获得Q（·，·）-1） ，Q（W，Aj），Q（W，Aj+1），Q（W，Aj+2），通过对每个点在尺寸X=log W上应用一维三次样条，然后我们可以使用这四个值通过Y=log A的一维三次样条获得Q（W，A）。因此，单双三次样条插值需要五个一维三次样条插值，其中包括16个相邻（W，A）点的网格点。6.5根据风险中性概率度量Q计算（28）中的合同价格意味着可以找到复制VA担保的投资组合，即：。

进行对冲以消除财务风险。找到正确的套期保值取决于风险资产的基本随机模型。基本的套期保值是所谓的delta套期保值，消除了由于潜在风险资产S（t）的随机性而产生的随机性。在这里，我们将S（t）用作可交易资产，以对冲对财富账户W（t）的担保风险。你可以构建一个由货币市场账户和S（t）是S（t）的单位S（t）S（t）=W（t）W（t），其中W（t）是财富账户中被称为Delta的单位数。将VA担保的价值表示为Ut（W，A），这只是担保Qt（W，A）的合同价值与财富账户W的价值之间的差异，即Qt（W，A）=Ut（W，A）+W.（41）。然后，在delta对冲策略下，必须选择W（t）=Ut（W，A）W<=> S（t）=Ut（W，A）SWS表示合同事件时间之间的时间t。当然，如果模型中存在额外的随机性，如随机利率和/或随机波动性，则增量套期保值不会完全消除风险，需要使用额外资产进行套期保值，这是模型规范。参见。g、 Forsyth和Vetzal（2014），在制度转换随机波动率和利率的情况下构建套期保值。在存在额外随机因素的情况下，一种流行的主动对冲策略是最小方差对冲策略，其中选择W（t）是为了最小化投资组合瞬时变化的方差，例如，Huang和Kwok（2015）在随机波动率模型的情况下应用于HedgingLwm。从业人员还计算与利率和波动性（参考S Rho和V ega）有关的合同的其他敏感性（偏导数），甚至二次偏导数，如Gamma=Ut（W，A）/改进对冲策略。

在这里，我们建议读者参考金融衍生品定价领域的标准教科书，如Wilmott（2013）或Hull（2006）。合同敏感性的数值估算（称为希腊人）比合同价格的估算更困难。计算价格的一般标准方法是扰动相关参数并重新计算价格。然后可以使用两点中心差估计第一个导数，使用三点中心差估计第二个导数。总的来说，与蒙特卡罗方法相比，有限差分PDE（或直接积分）方法通常在计算希腊语时产生更高的精度（至少在低维情况下，当有限差分方法可行或可以直接积分时）。对于Delta和Gamma，有限差分法（或直接积分法）产生二阶精确值，而无需使用统一网格点上已计算的价格重新计算价格。使用以下所谓的似然法，可以实现对主要元素δ和γ的更精确计算。在反向归纳法中，在最后一个时间步（t，t）中作为积分（37）计算的tis合同价格。关于W（0）=W的差异（37），可以发现δ为Qt+（w，A）w=ZeQt-（w，A）ep（w | w）wdw=ZeQt-（s，A） ln ep（w | w）sep（w | w）dw=EQt+eQt-（W，A） ln ep（W | W）Ww、 A. （42）因此，可以使用与Q+t（s，A）相同的直接积分法，用系数计算 ln ep（W | W）/向被积函数走去。类似地，计算伽马所需的导数可以如下所示：Qt+（w，A）w=ZeQt-（w，A）W ln ep（w | w）wep（w | w）dw=ZeQt-（w，A） ln ep（w | w）W+ln ep（w | w）w#ep（w | w）dw=EQt+“EQt-（W，A） ln ep（w | w）W+ln ep（w | w）w#w、 A#。

（43）注意，Delta和Gamma的上述积分仅适用于（t，t）时间步长和单个网格点W（0）=W。此处，t应理解为当前合同估值时间，而不是合同启动时的时间。同样，对于使用有限差分法的偏微分方程方法，有时可以推导出希腊人的相应偏微分方程，并在最后一个时间步求解这些偏微分方程，参见Tavella和Randall（2000）。与蒙特卡罗方法类似，用于计算价格的模拟可用于计算（42）和（43）中预期的额外因子加权的德尔塔和伽马。说明了如何在基本Black-Scholes模型下推导套期保值组合。这里，我们假设基础风险资产S（t）遵循ds（t）=u（t）S（t）+σ（t）S（t）dBP（t），（44），其中BP（t）是物理（真实）概率测度下的标准布朗运动，u（t）是真实漂移。那么财富账户的演变是w（t）=（u（t）- α） W（t）+σ（t）W（t）dBP（t）。在这里，我们假设连续收取的费用与财富账户成比例，但处理离散收取费用的情况并不困难。为了对冲风险，担保书作者在S（t）的Sunits，即形成一个投资组合∏t=-Ut（W，A）+S×SBy伊藤引理，投资组合的变化（tn）-n=1，N平均∏t=-美国犹他州t+美国犹他州WdW+σS美国犹他州Wdt- SdS+αW dt，（45），其中最后一项αW dt是在dt上收取的费用金额。背景S=Ut（W，A）WWS=Qt（W，A）W- 1.WS（46）消除了（45）中的所有随机项，使投资组合局部无风险。这意味着投资组合以无风险利率r（t）收益，即d∏t=r∏tdt，导致PDE美国犹他州t+（r- α） W美国犹他州W+σS美国犹他州W- 车辙- αW=0。（47）替换为Ut（W，A）=Qt（W，A）-上文中的W给出了Qt（W，A）的PDE，即有担保合同的总价值，即。

与（36）相同。回顾费曼-卡克定理，很容易看出，与此偏微分方程相对应的W的随机过程是风险中性过程（4）。7数值示例：为VA乘客定价的GMAB Pricinumerical解决方案涉及许多复杂的数值过程和特征。与金融市场中大多数奇异衍生产品的定价相比，这些风险更大。这些解决方案必须经过适当的测试和验证。作为一个数字示例，我们使用直接积分法（GHQC）计算GMAB的准确价格，并考虑到第4.3节中规定的年度棘轮和最优取款。凭借这些特点，GMAB非常接近MLC（2014）和AMP（2014）在澳大利亚销售的真实产品。我们假设风险资产的几何布朗运动模型（4）。在适用的情况下，我们将结果与MC和差异PDE方法进行比较。在为GMAB附加条款定价时遇到的数字困难在其他VA担保中很常见。此外，文献中也没有这一特定产品的全面数字定价结果。这些经过验证的结果（报告了大量的参数）可以作为从业人员和研究人员开发具有担保的VAs数字定价的基准。我们考虑四种GMAB类型：1。GMAB有年度棘轮，但没有取款。在这种情况下，可以使用标准MC方法与GHQC结果进行比较——除了通过高斯-埃尔米特求积验证数值积分外，这是对与棘轮特征相关的已实现数值函数的良好验证。2.GMAB具有年度棘轮机制，定期提取固定比例的财富账户。

在这种情况下，还可以使用标准MC方法与GHQC结果进行比较——这是对由于棘轮和退出特性而实现的与跳跃条件相关的数值函数的良好验证。此外，为了测试与罚款应用相关的数值函数，我们假设养老金账户的静态提款率设置在罚款阈值以上。3.具有最佳季度取款和超级账户年度棘轮的GMAB，当W（t-n） <A（t）-n） .4。具有最佳季度提款和养老金账户年度棘轮的GMAB，如果提款γ高于罚金Threshold Gn，则适用罚金（19），如果W（t-n） <A（t）-n） 。作为比较，我们的PDE有限差异实施的结果也将展示在案例4中，这是上述四个案例中最复杂的一个。此外，我们还将计算案例4中离散收取（每季度）担保费的结果。所有报告的GHQC结果均基于q=9个正交点。如果q进一步增加，我们在结果中没有观察到任何实质性差异。基于q=5的结果也非常准确。7.1有棘轮且无取款的GMAB考虑有年度棘轮且无取款的GMAB附加条款。在这种情况下，可以使用标准MCM方法与GHQC结果进行比较，这是对与棘轮特性相关的已实现数值函数的良好验证。表1比较了GMAB票价α的GHQC和MC结果，以及利率r在1%到7%之间、波动率σ=10%和20%的年度棘轮。在利率r=5%和σ=10%时，两种方法之间的最大相对差异为0.76%。

两种方法之间的最大绝对差异是最低利率r=1%时的一个基点，其中利率最高。平均而言，相对差异为0.52%，绝对差异为0.5基点，即1000美元账户每年5美分。在网目尺寸M=400和J=200时获得GHQC结果，平均需要22秒的测试速率，rσ=10%σ=20%GHQC，bp MC，bpeδGHQC，bp MC，7.8.11 11%5.11%5.5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 0 0 0 0 0 7 7 7.1 1 1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.1 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.1 1.1 1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 GMAB Rider的利率r与年度棘轮和撤回合同期限为T=10年。eδ是蒙特卡罗（MC）和GHQC方法结果之间的相对差异。按价格计算（票价的计算需要对几个价格进行迭代）。MC结果是通过2000万次模拟获得的，每次价格大约需要62秒。两种方法在σ=20%时的一致性也很好。从绝对值来看，在最低利率=1%时，两种方法之间的最大差异为1.1个基点。相对而言，在最高利率r=7%时，两种方法之间的最大差异为0.34%。平均而言，相对差异为0.17%，比σ=10%时的相应情况小得多。7.2有棘轮和静态取款的GMAB考虑有年度棘轮和固定百分比的定期季度取款的GMAB附加条款。

在这种情况下，还可以使用标准MC方法与GHQC结果进行比较，这是对所实现的数值函数的一个很好的验证，该函数与棘轮和退出特征引起的跳跃条件有关。这里，我们考虑（19）中给出的惩罚的扩展类型帐户。在这种情况下，允许按apre确定的百分比水平定期提款。为了测试与惩罚应用相关的数值函数，我们还考虑了在预先确定的阈值水平以上的静态撤回，这将吸引惩罚。我们将提取阈值设定为每年财富账户的15%，提取频率为每季度，即每季度提取阈值为Gn=财富账户的3.75%。在第一次测试中，我们允许每季度定期提取财富账户余额的3.75%，即γn=n，并且对提取没有处罚。表2比较了票价α的GHQC和MC结果。相对而言，在利率r=5%时，两种方法之间的最大差异为0.08%。平均而言，相对差异为0.06%，绝对差异为0.3个基点。GHQC结果是在网格sizeM=400和J=400的情况下获得的，MC结果是在每个价格2000万次模拟的情况下获得的。与表1相比，在最低利率r=1%时，静态取款的公平费用比相应的不取款情况高出约8%，但比在r=7%时相应的不取款情况低约13%。

我们还测试了静态2.5%利率、r15%年支取16%年支取GHQC、bp MC、bpeδGHQC、bp MC、，10.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0棘轮与静力学提取财富账户的3.75%和4%（每年分别为15%和16%）。养老金门槛（养老金型账户）设定为每年15%。合同期限为T=10年，波动率σ=20%。eδ是蒙特卡罗（MC）和GHQC结果之间的相对差异。季度取款并获得了相同的模式：在较低的利率下，静态取款的公平费用（也低于处罚阈值）高于相应的不取款情况，而在较高的利率下则相反。在相对较低和较高的利率下，公平价格的这些差异可以大致解释如下。在利率较低的情况下，如果预期资本增长相对缓慢，则最好在惩罚阈值或低于惩罚阈值时进行定期提款，并在到期时提取受保护的资本。然而，在更高的利率下，预期资本增长率也很高，不进行定期提款并保持资本增长是有益的。上述测试还表明，MC和GHQC方法对于静态退出不超过惩罚阈值的GMAB定价非常一致。

这证明了我们在GHQC方法中使用abi三次插值数值实现跳跃条件的准确性和效率。在静态取款的第二个测试中，我们允许每季度定期取款4%（每年16%），即年度取款率略高于每年15%的惩罚阈值，并且每次取款都会受到惩罚。本试验的GHQC和MC结果也见表2。从绝对值来看，在利率r=6%的情况下，这两种方法之间的最大差异仅为0.07个基点，对于一个1000美元的账户，这一利率每年不到1美分。相对而言，在利率r=6%时，两种方法之间的最大差异为0.1%。平均而言，相对差异仅为0.03%，这表明在静态取款过多的情况下，这两种方法也非常一致，每次取款都会受到惩罚。这是一个非常令人信服的验证，我们的GHQC实现的所有与跳跃条件相关的数值函数，包括双三次样条插值，都是正确和准确的。上述测试与在最优取款情况下验证整个算法非常相似。这是因为在为最优取款案例定价时，使用了完全相同的积分和插值函数，唯一需要做的额外步骤是确定取款率，使价格最大化。然而，对于最优策略案例，我们将通过比较GHQC和有限差分PDE方法之间的结果进行进一步验证。与表2和表1中的不撤资案例相比，超过处罚阈值的静态撤资的公平费用大幅降低：在r=1%时，它比相应的不撤资案例减少了约80%，在r=7%时，它减少了约65%。

因此，无论利率水平如何，超过惩罚阈值的定期提款都是非常糟糕的策略。在这种情况下，惩罚会定期剥夺受保护的capitalon。请注意，罚金是根据整个提款金额计算的，而不仅仅是超出部分，请参见罚金函数（19）。因此，如第二次测试中所观察到的，稍微超过罚款额，可能会导致价格或公平费用发生巨大变化。上述两项测试表明，定期静态提款仅在极低利率下，且仅在提款率不超过处罚阈值时，才有轻微的好处。在下一节中，将通过数值结果证明，无论利率水平和罚金如何，最优提款都是有益的。7.3最佳提款——超级账户考虑为年度棘轮的超级账户设立GMAB，并假设保单持有人可以每季度执行一次最佳提款策略。对于超级账户，如果财富账户低于（17）和（18）中规定的收益基础，任何提款都将对受保护资本金额（收益基础）进行处罚。利率，rσ=10%σ=20%费用（b.p）eε费用（b.p）eε1%370.7 10%1235 23.7%2%191.2 2.8%700.1 9.89%3%118.1.2%478.8 4.54%4%78.52 0.9%355.52.48%5%54.47 1.1%275.2 1.51%6%39.00 1.48%218.8 1.16%7.38%1.36%176.9.01%1.03表3：根据GMAR账户的最佳提款利率，按aαbp=1.01的函数计算，根据GMAR账户的提款率，公平。合同期限为T=10年。eε是表1中最优退出情况下公平费用与静态（无退出）情况下公平费用之间的百分比差异。表3显示了超级账户的公平费用与σ=10%和σ=20%利率的函数关系。

与表1中无取款的静态情况相比，eε下的列显示了由于最佳取款而产生的额外费用百分比。结果显示，除了在低利率和高波动性的情况下，大多数情况下，额外费用仅为1%或2%。在大多数情况下，由于最优取款而产生的额外费用对超级账户来说并不重要，主要是由于实施了重罚。如下一节所示，如果惩罚不如养老金账户那么严厉，额外费用将变得更加重要。如果惩罚完全消除，那么数值实验表明，额外费用将比静态情况大几倍，例如300%，这表明了最优策略的全部价值。7.4最佳提款——养老金账户考虑使用年度棘轮的养老金账户GMAB，并假设投保人可以每季度执行一次最佳提款策略。对于养老金账户，根据（17）和（19）的规定，如果财富账户W（t）低于a（t），超过预先定义的提款水平GN的任何提款都将惩罚受保护资本金额（t）。在这里，我们将年度提款限额设定为财富账户的15%，即Gn=0.25×15%=3.75%为四分之一提款阈值。利率（b.p）英语（b.p）英语（b.p）英语（b.p）英语（b.p）英语（b.p）英语（b.p）1%472.6 39%1474（1479）1474（1479）1474（1479）1474（1479）46%1479（1479）46%1479（1479）46（1479）46（1479）46（1479）46%4662%4662%22%22%22%22.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7%22.7 21 21 21%21%21%21%21%21%21%21%21%21%21%837 21%837 21%837%836.21%836.21%836.21%836.21%836.7%836.21%836.7%836.7%836.7%836.6.6.6.7%836.6.7%836.6.6.7 7 a=0.01%）作为GMAB利率r的函数当取款是最佳选择时，养老金账户。合同期限为T=10年，季度提款限额为Gn=0.25×15%。

eε是表1中最优退出情况下的公平费用与静态（无退出）情况下的公平费用之间的差异百分比。表4显示了当σ=10%和20%时，GMAB养老金账户的公平费用与利率的函数关系。与表1中无取款的静态情况相比，eε下的列显示了由于最佳取款而产生的额外费用百分比。结果表明，在最高利率r=7%时，额外费用约为9%，在最低利率r=1%时，额外费用约为39%。这一额外费用比超级账户的费用要重要得多，见表3，这显然是因为罚款减少了。在σ=20%时，额外费用的范围从最高利率r=7%时的约9%到最低利率r=1%时的约46%。从百分比和绝对值来看，该额外费用高于波动率较低σ=10%的情况。此外，在表4中，连续公平费用值α旁边括号中的数字是离散收取公平费用αd=-日志（1）- eαdtn）/dtn，其中在每个季度结束时，向投保人财富账户收取与账户价值eαdtnW（t）成比例的费用-n） ，参见财富过程（6）。结果表明，连续费用α和离散费用αd之间的差异很小。平均而言，相对差异为0。15%. 当然，如果收取费用的频率更高（例如月费），差异会更小。表4的最后一列显示了使用我们的有限差分法计算的连续费用。GHQC（求积法）和有限差分法之间的一致性非常好。两种方法之间公平费用的平均相对差异为0.20%。

图2显示了养老金账户的公平费用与利率r的函数曲线，使用表4中的结果，与表1中的静态情况（无提款）进行比较。相比之下，MLC（2014）提供的市场费用为“平衡投资组合”的10年资本保护的1.75%，以及“保守增长投资组合”的0.95%；AMP（2014）对“平衡战略”投资组合的10年资本保护率为1.3%，对“适度防御战略”投资组合的保护率为0.95%。虽然这些市场投资组合的波动性值未知，但市场价格似乎明显低于公平费用，这在之前的文献中也观察到了；e、 g.参见米列夫斯基和索尔兹伯里（2006年）、鲍尔等人（2008年）和陈等人（2008年）。0 50 100 150 250 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07公平费用α（bp）利率r养老金账户，σ=0.1最优支取（GHQC）无wirhdraw（GHQC）无支取（MC）100 200 300 500 600 700 900 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07公平费用α（bp）利率r养老金账户，σ=0.2最佳提款（GHQC）不提款（GHQC）不提款（MC）图2：与静态情况相比，当提款为最佳提款时，养老金账户GMAB在σ=10%和σ=20%时，作为利率r的函数，bp中的公平费用α。数值分别取自表4和表1。8结论在本文中，我们回顾了VA乘客的定价，并通过非最优随机控制框架提出了一种统一的定价方法。我们讨论了不同的模型和数值程序，这些模型和数值程序通常适用于大多数具有不同合同规格的VA乘客。

为了根据几何布朗运动模型对这些风险资产进行定价（通常在实践中假设），我们扩展并推广了基于高斯-埃尔米特求积的直接积分方法，该方法在罗和舍甫琴科（2015a）之前介绍，适用于一些规格和更简单的产品规格。例如，我们提出了资本保护担保（GMABriders）的数值估值，其规格与澳大利亚提供的实际市场产品非常匹配。g、 MLC（2014）和AMP（2014）。本保函的数值评估涉及其他VA附加条款定价过程中遇到的所有主要数值困难，如棘轮和提款。数值结果已通过MC和有限差分PDE方法验证，可作为制定VA车手数值定价的从业者和研究人员的基准。正如预期的那样，我们观察到，在较低的利率和较高的波动性水平下，为了对抗最优投保人行为而必须收取的额外费用最为显著，并且对罚款撤销阈值非常敏感。正如我们在第5.3节中已经讨论过的，基于最优保单持有人的费用是发行人最糟糕的情况，即，如果对担保进行对冲，则该费用将确保发行人不会遭受损失（换句话说，针对保单持有人策略和市场不确定性的全面保护）。如果发行人持续进行套期保值，但投资者偏离最优策略，则发行人将获得保证利润。任何与最优策略不同的策略都是超优的，并将导致较小的公平费用。当然，这种意义上的最优策略与投保人的情况无关。

投保人可以根据自己的偏好和情况采取最佳行动，这可能不同于使保单发行人损失最大化的最佳策略。生命周期建模可以用来分析和估计投保人行为的次优性。然而，如果不收取担保费用以覆盖最坏情况，保险产品二级市场的开发可能会使保单发行人面临一些重大风险。需要注意的是，担保可以写在多个资产上（几个共同基金）。在这种情况下，从业者仍然经常使用单一资产模型来计算价格和套期保值参数。显然，这种方法有明显的缺点（例如，几何布朗运动之和不是几何布朗运动）。PDE和直接积分方法在高维情况下不实用，因此必须依赖MC方法来准确处理多资产情况。在静态提取的情况下，不难考虑完整的多资产模型，并使用inNg和Li（2013）的标准MC计算价格。然而，在最优提款策略的情况下，多资产情况下的数值估值将需要开发回归类型MC，以解决受提款影响的过程的反向递归。可以应用控制随机化方法，即Kharroubi等人（2014年）开发的最小二乘法MC，但尚未研究该方法对VA车手定价的准确性和稳健性。VA骑手的规格细节通常因不同公司而异，很难从很长的产品规格文档中提取和比较。此外，学术文献中给出的特定GMxB乘客的结果通常指的是不同的规格。

因此，交叉验证和基准研究很少。鉴于VA车手定价所用的数值解很复杂，对这些解进行适当的测试和验证很重要。此外，弗吉尼亚州市场上定期出现的新产品越来越复杂，这就提出了一个重要问题，正如Carlinand Manso（2011）所讨论的，Moenig和Bauer（2015）所提到的，新的复杂产品是为了更好地满足投保人的需求，还是为了混淆而引入的。9确认该研究得到了CSIRO莫纳什退休金研究集群的支持，该集群由CSIRO、莫纳什大学、格里菲斯大学、威斯特瑙斯特拉利大学、沃里克大学和退休系统利益相关者合作，旨在为所有人带来更好的结果。这项研究也得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（项目编号：DP160103489）的部分支持。我们要感谢文颂丰的许多建设性意见。ReferencesAMP（2014年）。North Super和养老金担保：产品披露声明-B.AMP.部分。2014年7月1日版本，www.amp。通用域名格式。欧。阿齐姆扎德，Y.和P.A.福赛斯（2014）。gmxb合约最优bang-bang控制的存在性。滑铁卢大学的工作文件。巴西内洛，A.，P.米洛索维奇，A.奥利维耶里和E.皮塔科（2011）。可变年金：一种统一的估值方法。保险：数学与经济学49（1），285-297。Bauer，D.，A.Kling和J.Russ（2008）。保证最低福利不变年金的通用定价框架。ASTIN公告38（2），621-651。B–auerle，N.和U.Rieder（2011年）。马尔可夫决策过程及其在金融领域的应用。柏林斯普林格。B’elanger，A.，P.Forsyth和G.Labahn（2009年）。

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