案例1和案例2之间唯一的区别是w=10-前者为10，后者为1。回想一下，选择u=u意味着不同用途的投注者的初始财富是统一分配的。由于q=0.9，原子玩家（正确地）认为结果1相当可能是正确的。在图2中，我们绘制了不同用途玩家的实际总预期收益。总体而言，不同用途玩家的信念是相当不准确的，因此他们的预期收益为负值也就不足为奇了。尽管如此，作为κ↑ 1.在案例2中，使用不同的玩家的效果会变得更糟。直觉上，原子玩家很快提高了她对结果1的赌注，即κ↑ 1.结果1的潜在可能性上升，导致更多的差异玩家在结果2上下注，而更少的人在结果1上下注。由于结果1的实际概率为0.9，这对不同的参与者产生了传递性影响。我们在图3中绘制了房屋收入。对于所有κ，案例2的房屋收入高于案例1∈ （0.5,1），因为案例2中的下注总额较高。例5.3。尽管如此，在一些情况下，不同用途的玩家受到原子玩家活动的积极影响。我们现在选择情况1和2的u=u和q=0.57。结果1的实际概率是0.47。这两种情况之间唯一的区别是w=10-10在情况1中，而在情况2中，w=1。与例5.2相比，这里的结果1的可能性稍小。此外，我们仍然假设原子玩家的预测相当准确，但她的预测不再完美。我们在图4中绘制了不同用途玩家的实际预期收益。对于大多数κ值，情况1和2的图是相同的；然而，我们发现，当κ足够大时，情况2中的差异玩家的预期收益更高。大致上，原子玩家不知道，我们注意到,A.∈ [0.5,0.7]对于所有κ∈ 例5.2中的（0.5,1）。

特别是，不管房子的价格是多少，偏袒都会产生长期偏差。18 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKκ0.50.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4-0.3-0.2-0.1案例1案例2图2κ0.50.6 0.7 0.8 0.9 10.050.10.150.20.25案例1案例2图3开始下注，直到看房率低，因为她几乎是矛盾的。这解释了为什么曲线最初是相同的。当原子玩家开始在结果1上下注时，不同的玩家重新下注，如例5.2所示。这种转变会让他们感到满意，本质上是因为原子玩家押注于错误的结果。在图5中，我们绘制了房屋的收入。当κ较大时，我们在案例2中看到了一个非常小的改进，但图形在视觉上几乎无法区分。如示例5.2所示，增加金额与下注总额的增加相对应。它很轻，因为原子玩家对w将发生什么的不确定性导致她在案例2中下注很小，即使是κ≈ 1.κ0.50.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2-0.15-0.1-0.050.05案例1案例2图4κ0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.050.10.150.2案例1案例2图5示例5.4。我们可以说，在原子玩家在场的情况下，使用不同玩家的效果更好，即使没有对结果1的实际概率做出假设。在案例1和案例2中，我们现在选择u=u，q=0.95。如例5.2-5.3所示，weset w=10-10在情况1中，w=1在情况2中。原子弹玩家认为结果极有可能。总体而言，不同用途的玩家相信结果2会有利于婴儿：他们最初的财富超过90%由那些相信概率的人持有，比如例5.2，我们在这里看到了最受欢迎的长期偏见，因为Pf,A.∈ [0.5,0.53]对于所有κ∈(0.5, 1).结果2的高辊冲击系数至少为0.9。我们不判断球员信念的准确性。我们在图6中绘制了不同用户的主观预期收益。

对于低κ，图表是相同的，但最终，在案例2中，差异使用玩家的主观预期收益要高得多。直觉上，原子玩家提高了她对结果1的赌注，即κ↑ 1，因为她相信结果1会发生。结果1的隐含概率随之上升，这对那些相信结果2会改变的人来说是一个福音。这包括大多数的Diffuse玩家。在图7中，我们绘制了房屋的收入。对于κ的所有值，案例2中的房屋收益至少与案例1中的房屋收益一样大。通常情况下，改善是显著的。大致上，不同的投注者之间有太多的一致意见。他们在原子弹玩家面前下更多赌注，相信他们可以从她所谓的下注错误中获利。在案例2中，池的大小增加，为房屋带来更大的收入。κ0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.20.40.60.8案例1案例2图6κ0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.10.20.3案例1案例2图7示例5.5。与标准叙事相一致，由于原子弹玩家的存在，这座房子似乎总是暂时更好。我们也可以对此表示怀疑。在示例5.2-5.4中，我们对情况S1和2使用了相同的u。这种选择体现了一种理念，即原子玩家的存在不应影响静态parimutuel下注游戏中玩家最初的财富使用差异。或者，确定初始财富在整个人口中的分布可能是合理的，而不仅仅是不同使用人群。例如，我们可以指定那些相信结果1会发生的人持有的金额与那些相信结果2会发生的人持有的金额大致相同。然后，我们可以比较财富仅由不同用途的玩家持有的情况，以及一些财富由原子玩家持有的情况。

这就是我们现在采取的方法。在情况1中，w=10-10μ的密度由p 7定义→g（p）+g（1）- p） 。对于情况2，我们设置w=1和u=u。我们为两种情况选择q=1，同样，对结果1的实际概率不做任何假设。直觉上，在案例1中，有一半的参与者认为结果1即将发生，而另一半认为结果2将会发生。对于案例2，在许多事件的过程中，不同使用的玩家可能会因为原子玩家而停止参与，这使得这种直觉在另一种情况下受到质疑（见第1节）。20 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKplayers都认为结果2即将发生。原子玩家的财富相当于不同玩家的集体财富，他相信结果1会发生。请注意，在案例1和案例2中，Diff use玩家的初始财富总额相等；然而，在案例2中，整个人口的财富是案例1的两倍。这与示例5.2-5.4中的参数选择一致。在这里研究房屋收入时，我们可能也会在案例2中选择u=0.5×u和w=0.5，以确保整个人口的财富在这两个场景中是相同的。我们将很快对此发表评论。有人可能会怀疑案例1和案例2非常相似，但事实并非如此。在图8中，我们绘制了不同使用玩家对κ的主观预期收益≈ 1.案例2的主观预期收益高于案例1。否则，所有κ的值都较低，而且下降幅度往往很大。为了解释这一观察结果，我们在图9中绘制了结果1的隐含概率。病例1中所有κ的结果1的隐含概率约为0.5。

对于案例2，它几乎是1- κ表示低κ，但接近0.5表示κ↑ 1.由于不同的玩家相信结果2会发生，但原子玩家相信结果1会发生，直觉似乎如下。大致上，与原子玩家相比，使用异能的玩家更愿意忍受不利的下注条件。尽管事实上，每种类型的玩家基本上都确定他们下注的结果会发生，但在情况2中，当κ较低时，不同使用的玩家比原子玩家提高赌注的速度要快得多。差异玩家这样做是以他们自己的主观预期收益为代价的，在案例2中，直到κ为止，这几乎为零≈ 0.84.原子玩家不会在本质上提高对结果1的赌注，直到结果1和κ的隐含概率的值使其主观预期收益非常高。有人可能会说，原子玩家的策略优于不同玩家使用的策略，尽管我们没有对她的预测的准确性做出假设。也许原因是，与不同使用的玩家不同，她认为自己拥有大量财富，因此对其他赌徒产生了个人影响。在图E10中，我们绘制了房屋的收入。我们发现，在案例1中，小κ的房屋收入较高，但在案例2中，大κ的房屋收入较高。在案例2中选择u=0.5×u和w=0.5后（参见上文的规划），我们在图11中重新绘制房屋收入。现在，在案例1中，房子的收入更高。不管我们的标准化程度如何，关键的一点是，在案例1中，众议院的最高收入总是要高得多。从直觉上看，与原子玩家相比，使用不同的玩家似乎更能忍受糟糕的条件，如前所述。

他们甚至愿意打赌≈ 0.5，也就是说，在案例1中，当κ≈ 0.51。众议院因为筹集κ而失去了收入，因为全体民众几乎已经尽其所能下注。在案例2中，原子玩家的re Luctancet显著提高了她对结果1的赌注，直到赌注条件改善，这意味着大多数K的总下注金额较低。只有当κ足够高时，泳池才会很大，所以房子收集的东西不多。在例5.2-5.4中，CASE2中的房屋收入至少与案例1中的房屋收入一样大。当然，在这些研究中，众议院的最高收入是2美元。在这里，逐点分析并没有那么清晰，这导致我们更直接地考虑房子的str-ategic行为。到目前为止，我们已经理解了这座房子是由外来因素决定的。放松这种假设的一种方法是将我们的游戏分为两个阶段。在第一阶段，高滚柱冲击21博彩组织选择一个小时的价值，以最大限度地提高她的收入。第二阶段与我们当前的设置相同。在新的框架下，众议院需要考虑的不仅仅是初始财富在整个人口中的分配。众议院还必须考虑，对于每种类型的玩家，他们的初始财富是如何在人口中分配的。独立于我们对全体人民财富的正常化，众议院的收入是最大化的≈ 情况1和atκ为0.506≈ 情况2为0.839。因此，房屋分别在案例1和案例2中选择κ的这些价值。在图8中，当k≈在Ca se 2中为0.506，而当κ≈ 情况2为0.839。

这些数字来自我们最初的参数选择，确保在两种情况下，不同玩家的初始财富总额均为1。无论是在第1种情况下，还是在第2种情况下，不同用途的玩家都表现不佳。我们仍然可以说，与我们之前的逐点分析相比，案例2的设置对他们有利。大致上，因为原子玩家不太愿意在糟糕的下注条件下下注，所以当她不在时，房子更容易捕食不同玩家。κ0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.20.40.60.8案例1案例2图8κ0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.10.20.30.40.6案例1案例2图9κ0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.10.20.30.5案例1案例2图10κ0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.10.10.20.30.5案例1案例1案例2图1122 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER Muno Kapf,A.我们通过研究Pf的性质，简要地重新讨论推论4.6,A.作为fκ的功能。我们希望这突出了我们模型的一些理论特征，尽管我们没有将附录a中的发现与我们的中心问题联系起来。为了生成这些图形，我们使用第5节的方法和符号。回想一下我们的说法，在一个极端的情况下，所有最初的财富都由那些认为结果2极有可能发生的人持有，Pf,A.≈ 1.- κ代表所有κ。我们在图1-2中说明了这一点，图中描绘了ma pκ7→ Pf,A.当u=u，q=0，w=1时。在这里，99%以上的差异使用玩家的初始财富属于那些认为结果2的支持率至少为0.99的人。原子玩家相信结果一定会发生。正如所料，该图与κ7地图的图在视觉上无法区分→ 1.- κ.通常，更难以广泛地描述κ7功能的属性→ Pf,A..我们知道,A.∈ (1 - κ、 κ），但我们的球员的异质性允许在这些范围内有广泛的可能性。

他们的不同信仰、对（1.2）的影响和财富约束之间存在着丰富的相互作用。通过绘制κ7图→ Pf,A.图13低估了对q、w和u的假设，显示了一些my riad的可能性。例如，用于生成线A的u的密度g是高斯密度与不同均值的线性组合。A线的振荡是由于g的明显峰值而产生的。κ0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.10.20.30.40.5n=100图12κ0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.40.50.60.70.9A B C D图13附录B.命题4.2的证明我们仅证明（i）。（ii）的论点是相似的，如上所述，（iii）是由于艾萨克（[28]）。假设（4.4）成立。然后1- qd<1- κqd<d+d<k（d+d）<qd。（B.1）我们得到了第一个和第三个不等式，因为κ∈ (0, 1). 第二个不等式是（4.9），而最后一个不等式是（4.4）的重新排列。目前，关键的观察结果是，最左边的数量少于最右边的数量，这让我们可以使用艾萨克的作品（[28]）。定义地图Φ：R≥0-→ RHIGH-滚柱冲击23byΦ（b，b）=bκ（b+d+b+d）qb+d- 1.+ Bκ（b+d+b+d）（1）- q） b+d- 1..Φ（b，b）是原子玩家的预期收益，因为她打赌bion结果i，它允许我们重写（4.3）asaκqPf，a- 1.+ A.κ (1 - q） 一,- Pf，a- 1.= supb，b≥0b+b≤wΦ（b，b）。从技术上讲，带有b+b>的策略文件（b，b）是不可行的，但这并不重要。Isaacs证明Φ有一个唯一的全局最大值≥0，删除注释（b）, B), 吉文比（b）, B) =sκqdd1- κq- d、 0！。这证明了当w≥ B.w<b的情况是用初等微积分来处理的。首先，观察（4.4）意味着q>0和bΦ（0，0）=κ（d+d）qd- 1 > 0.自从bΦ（b, 0）=0和bbΦ（b，b）=-2κd（b+d）q（b+d）总是负的，因此bΦ（b，0）>0表示0≤ b<b.

这种解释是，只要原子弹玩家还没有在结果2上下注，她就应该下很大的赌注关于结果1。我们只需要说她不应该拿结果2打赌，每当b+b时，b（b，b）都是负的≤ w、 重新安排（B.1）意味着bΦ（0，0）=κ（d+d）（1）- q） d- 1 < 0.现在bΦ（b, 0) ≤ 0和bbΦ（b，b）=κdq（b+d）+κd（1）- q） （b+d）到处都是正的，所以bΦ（b，0）<0表示0≤ b<b. 自从bbΦ（b，b）=-2κd（b+d）（1）- q） （b+d）总是非正的，我们的结论是每当0时，b（b，b）必须为负≤ b<b. 特别地，如果b+b，b（b，b）是负数≤ W我们知道bΦB, 0= 0和bΦB, 0≤ 0在R上有唯一的全局最大值≥0atB, B.24 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKAppendix C.定理4.3的证明步骤1:If（f）, A.) 是一个平衡，然后是d, D> 0.我们表明，在均衡状态下，不同使用方在每个结果上下注的总金额是正的：d, D> 0.我们利用这个结果在第2步中完成定理4.3唯一方向的证明。它还允许我们在证明if方向时使用命题4.1和命题4.2。相反，假设我们可以找到一个纯策略纳什均衡（f, A.) 和d=0、紧随其后的是> 0：否则，定义3.3的（iii）意味着= A.= 0，这与定义3.3的（i）相矛盾。艾萨克工作的结果是q=0（[28]）。那么定义3.3的（iii）意味着= A.= 0.尤其是Pf,A.= 0.定义3.3中的（i）项，f≡ 0，这在d之后是不可能的> 0.因此，d> 0.同样地，d> 0.步骤2：如果存在平衡，则κ>0.5。我们通过形式化之前给出的启发式，完成定理4.3的仅当方向的证明。假设（f）, A.) 这是一种平衡。第一步意味着d, D> 0.然后两个,A.κ<1和1- Pf,A.根据命题4.1，κ<1（C.1）。

重新排列（C.1）完成了论点。第3步：定义和讨论“pi”（当κ>0.5时）。由于第2步的原因，我们假设κ>0.5用于剩余的证明（第3-9步）。这种假设确保了我们的讨论不是真空的，因为我们隐式地改变了区间的正长度[1]- κ, κ].我们现在定义并讨论“p”的数量∈ [1 - κ, κ]. 在步骤4和步骤5中定义ζIMAP时，我们使用此符号。Roug hly，当原子玩家押注结果时，结果1的隐含概率有一个简单的下限。同样，当原子玩家赌结果2时，“pis”是结果1隐含概率的上限。这两个命题都来自命题4.1和命题4.2。由于u的密度为正，mapp 7→upκ，1κupκ，1+ u0, 1 -1.-pκ（C.2）在[1]上减少并持续- κ, κ]. 在p=（1）时，其值为1/κ- κ） p=k时为0。因此，有一个独特的“p”∈ (1 - κ、 κ]这样Q=upκ，1κupκ，1+ u0, 1 -1.-\'pκ. （C.3）显然，\'p=κ，or等价地，（\'p，κ]是空的，当且仅当q=0。不管q的值如何，我们都知道Q≤upκ，1κupκ，1+ u0, 1 -1.-pκ如果p∈ [1 - κ、 \'p]q>upκ，1κupκ，1+ u0, 1 -1.-pκ如果p∈ （\'p，κ]（C.4）如果q>0，那么a未定义。粗略地说，原子玩家需要做出任意小的贝顿结果1，但并没有做到这一点。高辊冲击25我们稍后在定义ζi和ν时将这一观察结果与（4.4）和（4.8）联系起来。类似地，MAPP7→u0, 1 -1.-pκκupκ，1+ u0, 1 -1.-pκ（C.5）在[1]上不断增加和持续- κ, κ]. 在p=（1）时，其值为0- κ） p=κ时为1/κ，因此有一个独特的`p∈ [1 - κ、 κ）这样- q=u0, 1 -1.-\'pκκupκ，1+ u0, 1 -1.-\'pκ.现在“p=（1- κ） ，即[1]- κ、 当且仅当q=1时，\'p）为空。

无论如何，1.- q>u0, 1 -1.-pκκupκ，1+ u0, 1 -1.-pκ如果p∈ [1 - κ、 ”（p）1- Q≤u0, 1 -1.-pκκupκ，1+ u0, 1 -1.-pκ如果p∈ [p，κ]。（C.6）本意见与（4.6）和（4.8）有关，这反映在我们对ζ和ν的定义中。我们通过观察得出结论，我们有“p<”psinceκ∈ (0.5, 1). 这是对我们未来定义的另一个关键评论。第4步：定义和讨论ζi（当κ>0.5时）。我们定义并讨论函数ζ和ζ。我们在第5步定义洋时使用了这个符号。直观地说，ζi（p）表示原子玩家在对结果i进行正向下注时，不会面临预算约束的金额，结果1的隐含概率为p（参见（4.5）和（4.7））。为了p∈ [p，κ]，用ζ（p）=sκq1定义ζ- κqupκ，1iu0, 1 -1.- pκ- upκ，1i。由于u具有正密度，（C.4）表示upκ，1i>0，u0, 1 -1.- pκ> 0，q>upκ，1κupκ，1+ u0, 1 -1.-pκ为了p∈ （\'p，κ）。如（4.9）所示，ζ在（`p，κ）上为正。我们还从（C.3）得到ζ（`p）=ζ（κ）=0。我们定义了p的ζ∈ [1 - κ、 \'p]乘以ζ（p）=sκ（1）- q） 一,- κ (1 - q） upκ，1iu0, 1 -1.- pκ- u0, 1 -1.- pκ.使用我们讨论ζ的技巧，我们看到ζ在（1）上是正的- κ、 p）和ζ（1）- κ） =ζ（\'p）=0。第5步：定义和讨论φ（当κ>0.5时）。我们引入了隐含概率映射。我们在第8步和第9步中看到，一个固定的φ点明显地对应于一个纯策略纳什均衡，反之亦然，这最终允许我们完成定理4.3的证明。26 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNK~n的域是结果1隐含概率的候选集p。我们只需要考虑p∈ [1 - κ、 κ]，正如我们在步骤9中观察到的。

提案4.1说：pκ，1i和u0, 1 -1.- pκ（C.7）是不同使用方分别对结果1和2下注的总金额。原子玩家的赌注由命题4.2描述。例如，ifq>upκ，1κupκ，1+ u0, 1 -1.-pκ,也就是说，p∈ （\'p，κ），那么原子玩家对结果2不下注，对结果1下注min{w，ζ（p）}。使用这些赌注重新计算结果1的隐含概率，wegetmin{w，ζ（p）}+upκ，1imin{w，ζ（p）}+upκ，1i+u0, 1 -1.- pκ来自定义3.2。我们将φ（p）设置为该值。从某种意义上说，只有当p等于φ（p）时，这一过程才有潜在意义，导致我们关注固定点。以下是该解释所建议的完整定义：ν（p）=upκ，1最小{w，ζ（p）}+upκ，1i+u0, 1 -1.- pκ如果p∈ [1 - κ、 \'p）upκ，1upκ，1+ u0, 1 -1.-pκ如果p∈ [\'p，\'p]min{w，ζ（p）}+upκ，1imin{w，ζ（p）}+upκ，1i+u0, 1 -1.- pκ如果p∈ （`p，κ）。观察到在[1]上а是连续的- κ、 κ]因为u的密度为正，ζi（`pi）=0（参见步骤4）。这有助于我们证明在第7步中，~n有一个独特的固定点。第6步：ψ降低（当κ>0.5时）。我们发现，а正在减少。在第7步中，我们使用该属性来论证а具有唯一的固定点。由于u的密度在任何地方都是正的，所以在[\'p，\'p]上，μ正在减小。必须证明两种情况下的φ都在下降[1- κ、 因为φ是连续的。证明是相似的，所以我们考虑前一种情况。如果[1]，我们就完成了- κ、 “\'p）为空。假设不是这样。回想一下第3步，这相当于假设q<1。

定义两种功能：魟和魟元[1- κ、 ā（p）=upκ，1ζ（p）+upκ，1+ u0, 1 -1.-pκνw（p）=upκ，1w+upκ，1+ u0, 1 -1.-pκ.高速滚柱冲击27点是[1]上的φ（p）=max{φ（p），φw（p）}- κ、 因此，这足以说明和都在减少。显然，φwis正在减少。表示u乘以g的正的和连续的密度，我们可以看到，由于μ′（p）=-Gpκqκ（1）-q） 一,-κ(1-q） upκ，1u0, 1 -1.-pκ2κqκ（1）-q） 一,-κ(1-q） upκ，1u0, 1 -1.-pκ+ upκ，1-κ（1-q） 一,-κ(1-q）0.5upκ，13/2u0, 1 -1.-pκ-0.5g1.-1.-pκ2κqκ（1）-q） 一,-κ(1-q） upκ，1u0, 1 -1.-pκ+ upκ，1.第7步：ψ有一个唯一的固定点（当κ>0.5时）。我们证明了~n有一个独特的固定点。在第8步中，我们使用魟的固定点的存在性来证明纯策略纳什均衡的存在性，而在第9步中，我们使用魟的固定点的唯一性来证明均衡是唯一的。证明很简单：ν（1）- κ） =1，而а（κ）=0。由于а是连续的和递减的（见步骤5-6），它必须有一个唯一的固定点。步骤8：存在平衡（当κ>0.5时）。我们证明了一个纯策略纳什均衡的存在。在第7步的基础上，我们只需要描述如何从一个固定的角度构建平衡。假设^P是^的固定点。每种情况的证明都是相似的，所以我们只在^P∈ [1 - κ、 \"p)。确定可行的战略计划（f，a）byf（p）=1如果p≥^P/κ0如果P<^P/κ，f（P）=1如果1- P≥1.-^P/κ0如果1- p<1.-^P/κ、 a=0，anda=minnw，ζ^Po、 特别是，d=u^Pκ，1#和d=u“0,1-1.-^Pκ！。（C.6）意味着（4.6）是满意的，因为- κ） =1，我们知道^p6=（1- κ).因此，d，d>0，因为u的密度处处为正。

然后，我们有（iii）命题4.2对定义3.3的定义。由于^P是^的固定点，因此^P=u^Pκ，1最小，ζ^Po+μPκ，1#+u“0,1-1.-^Pκ！=Pf，a.从命题4.1中，我们看到定义3.3的（ii）成立。这就完成了证明，因为定义3.3的（i）显然是满足的。步骤9：步骤8中的平衡是唯一的（当κ>0.5）。28 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKWe通过证明步骤8中的平衡是唯一的来总结定理4.3的证明。关键的观察结果是，~n的固定点是唯一的lso（见第7步）。首先，我们描述了在给定平衡（f）的情况下，如何构造一个固定点, A.).从命题4.1和步骤1中，我们知道D= uPf,A.κ, 1> 0和d= u0, 1 -1.- Pf,A.κ> 0.尤其是Pf,A.∈ (1 - κ, κ). 根据命题4.2，有三种可能性.假设> 0和a= 0.其他情况也可以类似处理。根据第4.2（4.4）条的规定，该提案成立。因此，Pf,A.∈ （p，κ）由于（C.4）和= min（w，sκqd）D1.- κq- D)= 明尼苏达，ζPf,A.o、 根据定义3.2，Pf,A.=明尼苏达，ζPf,A.o+uPf,A.κ, 1minnw，ζPf,A.o+uPf,A.κ, 1+ u0, 1 -1.- Pf,A.κ= φPf,A.,也就是说，Pf,A.是一个固定点。现在假设我们有另一个平衡（f）, A.). 使用刚才描述的方法，我们可以看到,A.是一个固定点。由于在第7步中只有一个固定点，因此Pf,A.= Pf,A..根据步骤1和命题4.1，f和f除了当NP=Pf时，在任何地方都必须一致,A./κ或1- p=1.- Pf,A./κ.因为u有一个密度，所以f= Fu-a.s.显然，d= D和d= D.命题4.2意味着= A..参考书目1。欧洲百万信息：pari mutuel，可在https://www.euro-millions.com/pari-mutuel.查阅日期：2016-03-01.2。国际赛马管理局联合会2014年年度报告。

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