A、 B、C表示从量化回归模型构建的策略，分别应用于0.1、0.5和0.9的概率水平，而D表示普通的最小二乘回归模型。从左到右，子图报告了以下统计数据的箱线图：平均值（a）、标准偏差（b）、平均绝对偏差（c）、10%水平的风险值（d）、α=0.1（e）、bψ（rp，ψ）（f）、bψ（rp，ψ）（g）、ψ=0.9、夏普比（h）。普通最小二乘模型提供了最低的标准差，有（图5（b））和没有（图4（b））惩罚，正如预期的那样，因为其目标函数由投资组合方差给出。正如第2.1节所指出的，在假设E[Rp]=0和ξ（0.5）=0的情况下，中值回归使投资组合的平均绝对偏差最小化。这样的结果在QR（0.5）中是明确的（图4（c））；当我们强加l-与其他分位数回归模型相比，范数惩罚P QR（0.5）仍然提供了最低的MAD，但其表现优于LASSO（图5（c））。如果我们强加l-在中位数回归中，我们希望得到一个具有两个特征的投资组合：低平均绝对偏差和稀疏性，即活跃头寸数量有限。然后，在中值回归不受惩罚的情况下，获得稀疏投资组合的进一步目标可能需要更高的MAD，也就是说，当关注点仅放在等式（16）中定义的数量的最小化上时。在α-风险的情况下也会出现同样的现象：在θ=0.1时应用的分位数回归模型在不受惩罚时提供最佳结果（图4（e）），但当我们施加l-定额罚款（图5（e））。

就风险价值而言，没有系统性地优于其他策略的策略；事实上，基于VaR的排名并没有很好的定义，它取决于数据集和我们在其他情况下获得的非常相似的结果。图5：通过施加l-标准普尔500指数成分股的收益率系列。窗口大小为500个观察值的滚动分析。A、 B，C表示从分位数回归模型构建的策略，分别应用于0.1、0.5和0.9的概率水平，而D表示有序最小二乘回归模型。从左到右，子图报告以下统计数据的箱线图：平均值（a）、标准偏差（b）、平均绝对偏差（c）、10%水平的风险值（d）、α=0.1（e）、bψ（rp，ψ）（f）、bψ（rp，ψ）（g）、ψ=0.9、夏普比率（h）。窗户的大小。关于夏普比率（图4（h）-5（h）），最低的方差值允许Wols和LASSO排名靠前，即使它们平均不会产生显著的投资组合回报，如图4（a）-5（a）所示。此外，当我们关注平均回报时，没有一种策略系统地支配其他策略。最后，在HBψ（rp，0.9）和Bψ（rp，0.9）（子图（f）和（g））方面，θ=0.9的分位数回归始终优于其他策略。分析样本内结果后，重要的是检查它们是否在样本外得到确认。样本外分析的关键作用在于，它指的是投资者从金融投资组合中获得的实际表现。

现在，我们比较了普通最小二乘法和分位数回归（应用于θ={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}）模型，有和没有l-定额罚款，仅在图6-9中显示了通过运行ws=1000的滚动法获得的结果；类似的结果适用于ws=500。与样本内预期一致，普通最小二乘回归模型记录的样本外标准偏差最低。这个l-规范惩罚意味着所有策略的重要改进。尽管分位数回归模型在中心θ值的M AD方面工作得更好，正如预期的那样，有序东平方模型记录了最低的平均绝对偏差；重要的是要注意l-标准惩罚降低了所有策略的MAD（图6（b）-7（b））。当我们分析风险价值时l-范数惩罚带来了好处。在大多数情况下，理论最小二乘模型优于分位数回归模型，主要是当它们不是图6：由普通最小二乘（带套索）和无套索（OLS）构建的策略生成的样本外结果时l-范数惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-（2）模型。这些策略应用于标准普尔100指数成分股的收益率序列，滚动分析的窗口大小为1000个观察值。在子图中，我们考虑以下指标：标准偏差（a）、平均绝对偏差（b）、风险价值（c）和10%水平的α-风险（d）。图7：由普通最小二乘法（有套索）和无套索（OLS）构建的策略生成的样本外结果l-范数惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-（2）模型。

这些策略应用于标准普尔500指数成分股的收益率序列，滚动分析的窗口大小为1000个观察值。在子图中，我们考虑以下指标：标准偏差（a）、平均绝对偏差（b）、风险价值（c）和10%水平的α-风险（d）。惩罚。这个l-标准惩罚可以减少这种差距，并且（参见图6（c）-7（c））P QR（θ）在中高θ值下进行套索。例如，我们可以从图6（d）-7（d）中看到，样本外α-风险的行为随样本内情况而变化。事实上，分位数回归模型，无论有无惩罚，在低水平上都会产生令人失望的结果。这个l-标准惩罚非常有效，因为它减少了所有策略对α风险的暴露。套索被列为最佳策略，分位数回归模型在中心水平上效果更好。关于稳定性，高θ水平应用的分位数回归模型提供了图8：由普通最小二乘法（有（套索）和无（OLS）构建的策略生成的样本外结果l-范数惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-（2）模型。这些策略应用于标准普尔100指数成分股的收益率序列，滚动分析的窗口大小为1000个观察值。在子图中，我们考虑了以下度量：ψ=0.9时的bψ（rp，ψ）（a）和bψ（rp，ψ）（b），平均值（c）和S-harpe比（d）。图9：由普通最小二乘法（有套索）和无套索（OLS）构建的策略生成的样本外结果l-范数惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-（2）模型。

这些策略应用于标准普尔500指数成分股的收益率序列，滚动分析的窗口大小为1000个观察值。在子图中，我们考虑了以下度量：ψ=0.9时的bψ（rp，ψ）（a）和bψ（rp，ψ）（b），平均值（c）和S-harpe比（d）。从样本结果中脱颖而出，始终符合样本中的预期。如果通过使用相对于投资组合维度（即ws=500和n=452）不太大的样本量来估计投资组合权重，那么当量化回归模型未正则化时，bψ（rp，0.9）和bψ（rp，0.9）在θ上没有表现出明显的趋势，如图8（a）-（b）和图9（a）-（b）之间的比较所示。不同的是，当我们施加l-标准普尔500指数数据集也是如此。从平均收益率和夏普比率得出了类似的结论。特别是，在S&P 100数据集的情况下，在高θ水平下应用的分位数回归模型产生了最好的性能，无论有无惩罚，P QR（0.9）优于所有其他策略（参见图8（c）-（d））。在S&P500数据集的情况下，θ=0.9的分位数回归模型只有在与l-定额罚款。为了分析每个策略产生的投资组合价值的趋势超时，我们假设初始财富等于100美元，并根据样本外投资组合回报将其从ws+1更新为T。

在S&P100的情况下，θ=0.9的分位数回归模型不仅提供了最高的最终财富，而且随着时间的推移，它还主导了其他策略；不同的是，在标准普尔500指数数据集的情况下，当我们实施l-定额罚款（见图10）。图10：由普通最小二乘法（有（套索）和无（OLS）构建的策略产生的投资组合价值的演变l-范数惩罚）和分位数回归（有（P QR（θ））和无（QR（θ））l-规范惩罚，对于θ={0.1,0.5,0.9}）模型。根据所使用的数据集和回归模型在有无条件下的应用，子图报告了不同的结果l-定额罚款。滚动分析的窗口大小为1000个观测值。如上所述，如果没有规范化，大型投资组合会受到投资组合权重不断增加的变化的影响，并对交易费用产生负面影响。因此，营业额成为一个问题，尤其是对于分位数回归模型（图11）。这个l-范数惩罚允许获得稀疏的投资组合，随着时间的推移，其权重稳定，因此它在转换控制方面非常有效。事实上l-在所有分析的案例中，定额罚款导致营业额急剧下降。分位数回归模型是最能从正则化中获益的模型，因为OLS和QR（θ）之间的显著差距缩小到几乎不相关。为了总结样本外的结果l-定额罚款调整了投资组合权重，对营业额产生了显著的积极影响。此外，它还显著改善了portfoliorisk和性能。

一般来说，普通最小平方模型被证明是风险的最佳策略，因为它意味着最低水平的波动性和极端风险；分位数回归模型在中心θ值下效果更好。分位数回归应用于低θ值，在样本期望的极端ris k方面产生了不令人满意的结果；不同的是，当我们分析投资组合的可操作性和风险调整后的回报时，它提供了出色的性能图11：根据普通最小二乘法（带套索）和不带套索（OLS）构建的策略的周转率l-从分位数回归（有（P QR（θ））和没有（QR（θ））l-标准（惩罚）模型。该策略适用于标准普尔100指数（子地块（a））和500指数（子地块（b））的收益序列。滚动分析的窗口大小为1000个观测值。高水平的表现。对2004年11月4日至2014年11月21日的数据进行了实证分析。这些年的特点是特殊事件，即起源于美国、以2008年9月雷曼兄弟违约为标志的次贷危机，以及几年后袭击欧元区的主权债务危机。这些事件对金融市场产生了深远的影响，因此，检查它们是否影响所考虑的资产配置策略的绩效非常重要。此外，通过这种方式，我们可以分析战略的执行是否以及如何依赖于市场状态：以金融动荡为特征的状态和相对平静的状态。为此，我们将样本外投资组合收益率序列分为两个子期。

当窗口大小等于1000时，第一个子时段为2008年7月31日至2011年10月31日，而它涵盖了2006年10月31日至2010年10月31日之间的天数atws=500。鉴于与上述危机的接近性，我们可以将这一子时期与金融动荡的状态联系起来。第二个分周期包括截至2014年11月21日的剩余天数。正如预期的那样，与第一个子周期相比，这些策略在第二个子周期中记录了更好的样本外表现，例如，我们可以从表2中看到，在表2中，我们报告了从标准普尔500数据集获得的结果，应用了窗口大小为1000个观察值的滚动程序。与对整个样本的分析类似，在这两个子周期中，普通Leatsquares回归几乎总是记录了风险方面的最佳表现，通过标准差、平均绝对偏差、风险值和α-风险进行评估。