如果y=xa，x=ya，dx=axa-1dy，然后ZZMaxzMinzKP DF（z）dz=b（1- F） kXj=0Cjkzk-jminQjZyja（1- y） b类-1天。右积分是第一类欧拉积分，β函数，[111]B（p，q）=Γ（p）Γ（q）Γ（p+q）=Ztp-1（1- t） q-1dt，Re p>0，Re q>0。最后，αk=zkminF+b（1- F） kXj=0Cjkzk-jminQjB（1+ja，b）。（28）由于Γ（1）=1，Γ（z+1）=zΓ（z）[111]，B（1，B）=带平均值，k=1，是α=zmin+B（1- F） （zmax- zmin）B（1+a，B）。（29）R=zmin- α和质量脂肪zmin，第k个中心力矩为uk=RkF+ab（1- F） Z（Qx+R）kxa-1（1- xa）b-1dx=RkF+b（1- F） kXj=0CjkQk-jRjZyk公司-ja（1- y） b类-1天。最后，uk=RkF+b（1- F） kXj=0CjkQk-jRjB（1+k- ja，b）。（30）u=RF+b（1- F）QB（1+a，b）+2QRB（1+a，b）+Rb. （31）u=RF+b（1-F） （QB（1+a，b）+3QRB（1+a，b）+3QRB（1+a，b）+Rb）。（32）u=RF+b（1- F） （QB（1+a，b）+4QRB（1+a，b）+6QRB（1+a，b）+4QRB（1+a，b）+Rb）。（33）偏度为u。过剩峰度为uu- 3、u=α- α保持不变。在a增量柱状图上，最高条通常为零，如图7所示。APDF可以近似计算。对于a=1，等式27给出了b（1-F） Z最大值-zminat z=zmin，其中等式26返回图11中ECDF的Fsuitable。然而，事务之间的零次很可能是一秒钟不准确的结果。另一种方法是，在某些间隔上，应用理论上自然的zmin=0，F=0，并通过PDF的积分，方程式27来拟合钢筋的高度。我们可以使用（a增量，[积分区间]）：（0，[0，0.5]，（1，[0.5，1.5]。或（0，[0，1]），（1，[1，2]）。PDFP DF（z）=abzmaxzzmax公司一-1.1.-zzmax公司一b-1，（34）其中zmax可以大于Ts，rc- Ts，ro。如果添加到当前时间的模拟a增量超过范围/会话关闭时间，则没有交易完成，交易终止，直到新的范围/会话。

使用zmax=Ts，rc- 库马拉斯瓦米的边界永远不会停止交易，因为任何a增量都将在剩余的时间间隔内完成。这将导致a增量在接近终点时减少，但未观察到。zmin=0，F=0留下三个自由度a，b，zmax。使用b=3.42，a，得到的过剩峰度与偏度的参数曲线∈ [0.041，1.5]，任意zmax>0表示数据，如图8所示。相关方程为α=bB（1+a，b）zmax，u=bB（1+a，B）- bB（1+a，b）zmax（35）√u=qB（1+a，b）- bB（1+a，b）√bB（1+a，b）α，（36）u=bB（1+a，B）- 3bB（1+a，b）b（1+a，b）+2bB（1+a，b）zmax，（37）u=b（b（1+a，b）- 4bB（1+a，b）b（1+a，b）+6bB（1+a，b）b（1+a，b）-3bB（1+a，b））zmax。（38）现在，偏度、过剩峰度和ukukdo不依赖于zmax。我们可以选择a和b来拟合样本偏度和过剩峰度，并根据zmax线性和二次调整均值和方差。这很有用，因为标准偏差和平均值线性相关。在[0，8000]和[0，80]范围内的理论过剩峰度和偏度支持实验依赖性μu- 3.≈ 1.5u，保持比率在[1.30，1.55]范围内，图12。标准偏差与平均值的理论比率[2，25]不太支持实验斜率2.65，图9。拟合变化a和b的超额峰度和偏度，然后重复使用a和b，以确定表15中许多条目的平均值和标准偏差变化zmaxworks。表2是一个示例，其中带日期的行是不言自明的，而罗斯“理论”包含a列中的股票代码，b列中偏度和超额峰度的绝对值所取的相对误差之和，以及zmax列中平均值和标准偏差的绝对值所取的相对误差之和。

使用Microsoft Excel Solver和GAMMALN扩展Beta函数，通过两个步骤将这两个相对误差之和最小化。利用这些代价函数，三参数Kumaraswamydistribution比均值和标准差更好地描述了偏度和超额峰度。再现四个样本力矩，相对误差从0.3%到37%，在许多方面都是令人满意的。Weibull[237]提出了一种基于CDF拟合ANCEDF估计分布参数的通用方法。图12采用的矩量法：库马拉斯瓦米分布数量对参数a和b的依赖关系。使用Maplesoft的Maple 10绘制图。这里可以为解算器提供初始猜测。图13绘制了CDF方程26和ECDF方程18。皮尔逊拟合优度检验结果见表3。每个班级至少有五个观察结果Nk。由于一秒钟的误差，很难遵循曼沃尔德技术表2：a增量。采样并计算Kumaraswamy力矩。日期α√uuuu- 3 a b zmax2013-03-01 7.3041 45.495 13.4 234.2 0.08021 2.565 1642.2理论6.4605 45.495 13.4 234.2 ZCN13 0.35%12%2013-03-04 5.6324 58.506 41.1 2559 0.06680 3.807 10317.7理论3.5658 58.506 41.4 2559 ZCN13 0.66%2013-04-05 3.4886 29.191 19.4 493.6 0.1179 4.016 2105.7理论3.4886 26.754 18.3 493.6 ZCN13 5.6%8.3%2013-06-17 15.213 56.331 9.66 152.6 0.06680 3.807 10317.7理论12.091 56.331 10.3152.6 ZCN13 6.6%21%图13：库马拉斯瓦米CDF，与2013年4月5日的2013年7月玉米期货ECDF相比，a=0.1179，b=4.016，zmax=2105.7，zmin=0，F=0。选择【150】、【239】类，并要求划分概率最大的一秒间隔。有三个参数时，自由度数f=7- 1.- 3=3。

概率pk由公式26计算，使用表2中2013-04-05的a、b、zmax，zmin=0，F=0。表格χ表3：a-增量。χ检验。ZCN132013年4月5日，N=21670。k类tminktmaxkpkNkNpk（Nk-Npk）Npk1 0 16 0.9639 20890 20886.6 0.00054382 16 135 0.03041 667 658.99 0.097273 135 260 0.003513 60 76.126 3.4164 260 390 0.001199 22 25.976 0.60875 390 610 0.0006975 20 15.116 1.5786 610 732 0.0001485 6 3.2185 2.4047 732 1203 0.0001659 5 3.5492合计≈ 1 21670 21669.7 8.653级别0.05、0.02、0.01和0.001以及f=3的值分别为7.815、9.837、11.341和16.268【111】。观测值为8.653。库马拉斯瓦米分布假说不能被拒绝。这是对a增量样本统计数据进行拟合的视角。11伽马分布评论伽马分布【111】，【1，p.930】hasP DF（x）=βαΓ（α）xα-1e级-βx，x>0，α>0，β>0，α=αβ，u=αβ，u=√α、 uu- 3=α。这意味着u- 3=1.5u和√u=α√α、 图9：。我们得到α=αu=偏度=多余峰度。对于表2中的力矩，α为：2013-03-01 0.02578≈ 0.02228≈ 0.02562；2013-03-04 0.009268≈ 0.002368≈ 0.002345；2013-04-05 0.01428≈ 0.01063≈0.01216；2013-0-17 0.07293≈ 0.04287≈ 0.03932。这些值表明伽马分布不充分。12 b增量b增量是不相同的石材建筑价格，表16.12.1价格的离散性及其增量未来价格通常是离散的。ZBM13的价格可以是140.00000和140.03125，但不能介于两者之间。相当于0.03125的美元相当于一顿午餐31.25美元。交易员汤姆·鲍德温（TomBaldwin）因1980年每天交易6000份债券期货而闻名【15，第321页】。一份2000份合约的头寸每勾一个δ，价值62500美元。

大型头寸和高杠杆率不允许忽略价格离散性spi=niδ；b-增量I=Pi- Pi-1=（ni- ni公司-1） δ；镍，镍-1.∈ N（39）价格比率或b增量是会计中常见的有理数。要想回忆起来，试着从银行提取π美元。资产收益率（PiPi-1） 是整数对数的差值。如果一个理论认为概率{140<Pbond<140.03125}>0，那么它是错误的。离散或晶格分布适用于b增量。利奥波德·克罗内克（LeopoldKronecker）记下了“上帝创造了整数；其余的都是人的工作”这句话。现代金融通过使用从高斯模型开始的连续价格模型和分布来实现。相比之下，作者对科尔莫戈罗夫的以下思想印象更为深刻：“很可能，随着现代计算技术的发展，人们会理解，在许多情况下，明智的做法是，本着有限和连续的数学概念的精神，研究避免风格化中期阶段的真实现象，直接转向离散模型”[108]。12.2几乎为零的平均b增量7，当某一范围内最后一个和第一个价格之间的差异很大时，刻度数Ns，ris非常大，平均b增量=Ps，r=Ps，rNs，rs，r- Ps、rNs、r- 1=PNs，ri=2Ps、riNs、r- 1（40）接近零。在范围或会话中，负b增量和正b增量之间的不平衡存在于包括零在内的大量总数的背景下。这也可以保持偏斜度很小。然而，该分布并非阿古斯贝尔分布，不仅因为它本质上是离散的，而且由于非零样本超额峰度，表16.12.3期货限制价格如果粮食期货合约在到期月份之前交易，则存在阿利米特价格条件。