如果y=xa，x=ya，dx=axa-1dy，然后ZZMaxzMinzKP DF（z）dz=b（1- F） kXj=0Cjkzk-jminQjZyja（1- y） b类-1天。右积分是第一类欧拉积分，β函数，[111]B（p，q）=Γ（p）Γ（q）Γ（p+q）=Ztp-1（1- t） q-1dt，Re p>0，Re q>0。最后，αk=zkminF+b（1- F） kXj=0Cjkzk-jminQjB（1+ja，b）。（28）由于Γ（1）=1，Γ（z+1）=zΓ（z）[111]，B（1，B）=带平均值，k=1，是α=zmin+B（1- F） （zmax- zmin）B（1+a，B）。（29）R=zmin- α和质量脂肪zmin，第k个中心力矩为uk=RkF+ab（1- F） Z（Qx+R）kxa-1（1- xa）b-1dx=RkF+b（1- F） kXj=0CjkQk-jRjZyk公司-ja（1- y） b类-1天。最后，uk=RkF+b（1- F） kXj=0CjkQk-jRjB（1+k- ja，b）。（30）u=RF+b（1- F）QB（1+a，b）+2QRB（1+a，b）+Rb. （31）u=RF+b（1-F） （QB（1+a，b）+3QRB（1+a，b）+3QRB（1+a，b）+Rb）。（32）u=RF+b（1- F） （QB（1+a，b）+4QRB（1+a，b）+6QRB（1+a，b）+4QRB（1+a，b）+Rb）。（33）偏度为u。过剩峰度为uu- 3、u=α- α保持不变。在a增量柱状图上，最高条通常为零，如图7所示。APDF可以近似计算。对于a=1，等式27给出了b（1-F） Z最大值-zminat z=zmin，其中等式26返回图11中ECDF的Fsuitable。然而，事务之间的零次很可能是一秒钟不准确的结果。另一种方法是，在某些间隔上，应用理论上自然的zmin=0，F=0，并通过PDF的积分，方程式27来拟合钢筋的高度。我们可以使用（a增量，[积分区间]）：（0，[0，0.5]，（1，[0.5，1.5]。或（0，[0，1]），（1，[1，2]）。PDFP DF（z）=abzmaxzzmax公司一-1.1.-zzmax公司一b-1，（34）其中zmax可以大于Ts，rc- Ts，ro。如果添加到当前时间的模拟a增量超过范围/会话关闭时间，则没有交易完成，交易终止，直到新的范围/会话。

使用zmax=Ts，rc- 库马拉斯瓦米的边界永远不会停止交易，因为任何a增量都将在剩余的时间间隔内完成。这将导致a增量在接近终点时减少，但未观察到。zmin=0，F=0留下三个自由度a，b，zmax。使用b=3.42，a，得到的过剩峰度与偏度的参数曲线∈ [0.041，1.5]，任意zmax>0表示数据，如图8所示。相关方程为α=bB（1+a，b）zmax，u=bB（1+a，B）- bB（1+a，b）zmax（35）√u=qB（1+a，b）- bB（1+a，b）√bB（1+a，b）α，（36）u=bB（1+a，B）- 3bB（1+a，b）b（1+a，b）+2bB（1+a，b）zmax，（37）u=b（b（1+a，b）- 4bB（1+a，b）b（1+a，b）+6bB（1+a，b）b（1+a，b）-3bB（1+a，b））zmax。（38）现在，偏度、过剩峰度和ukukdo不依赖于zmax。我们可以选择a和b来拟合样本偏度和过剩峰度，并根据zmax线性和二次调整均值和方差。这很有用，因为标准偏差和平均值线性相关。在[0，8000]和[0，80]范围内的理论过剩峰度和偏度支持实验依赖性μu- 3.≈ 1.5u，保持比率在[1.30，1.55]范围内，图12。标准偏差与平均值的理论比率[2，25]不太支持实验斜率2.65，图9。拟合变化a和b的超额峰度和偏度，然后重复使用a和b，以确定表15中许多条目的平均值和标准偏差变化zmaxworks。表2是一个示例，其中带日期的行是不言自明的，而罗斯“理论”包含a列中的股票代码，b列中偏度和超额峰度的绝对值所取的相对误差之和，以及zmax列中平均值和标准偏差的绝对值所取的相对误差之和。

使用Microsoft Excel Solver和GAMMALN扩展Beta函数，通过两个步骤将这两个相对误差之和最小化。利用这些代价函数，三参数Kumaraswamydistribution比均值和标准差更好地描述了偏度和超额峰度。再现四个样本力矩，相对误差从0.3%到37%，在许多方面都是令人满意的。Weibull[237]提出了一种基于CDF拟合ANCEDF估计分布参数的通用方法。图12采用的矩量法：库马拉斯瓦米分布数量对参数a和b的依赖关系。使用Maplesoft的Maple 10绘制图。这里可以为解算器提供初始猜测。图13绘制了CDF方程26和ECDF方程18。皮尔逊拟合优度检验结果见表3。每个班级至少有五个观察结果Nk。由于一秒钟的误差，很难遵循曼沃尔德技术表2：a增量。采样并计算Kumaraswamy力矩。日期α√uuuu- 3 a b zmax2013-03-01 7.3041 45.495 13.4 234.2 0.08021 2.565 1642.2理论6.4605 45.495 13.4 234.2 ZCN13 0.35%12%2013-03-04 5.6324 58.506 41.1 2559 0.06680 3.807 10317.7理论3.5658 58.506 41.4 2559 ZCN13 0.66%2013-04-05 3.4886 29.191 19.4 493.6 0.1179 4.016 2105.7理论3.4886 26.754 18.3 493.6 ZCN13 5.6%8.3%2013-06-17 15.213 56.331 9.66 152.6 0.06680 3.807 10317.7理论12.091 56.331 10.3152.6 ZCN13 6.6%21%图13：库马拉斯瓦米CDF，与2013年4月5日的2013年7月玉米期货ECDF相比，a=0.1179，b=4.016，zmax=2105.7，zmin=0，F=0。选择【150】、【239】类，并要求划分概率最大的一秒间隔。有三个参数时，自由度数f=7- 1.- 3=3。

概率pk由公式26计算，使用表2中2013-04-05的a、b、zmax，zmin=0，F=0。表格χ表3：a-增量。χ检验。ZCN132013年4月5日，N=21670。k类tminktmaxkpkNkNpk（Nk-Npk）Npk1 0 16 0.9639 20890 20886.6 0.00054382 16 135 0.03041 667 658.99 0.097273 135 260 0.003513 60 76.126 3.4164 260 390 0.001199 22 25.976 0.60875 390 610 0.0006975 20 15.116 1.5786 610 732 0.0001485 6 3.2185 2.4047 732 1203 0.0001659 5 3.5492合计≈ 1 21670 21669.7 8.653级别0.05、0.02、0.01和0.001以及f=3的值分别为7.815、9.837、11.341和16.268【111】。观测值为8.653。库马拉斯瓦米分布假说不能被拒绝。这是对a增量样本统计数据进行拟合的视角。11伽马分布评论伽马分布【111】，【1，p.930】hasP DF（x）=βαΓ（α）xα-1e级-βx，x>0，α>0，β>0，α=αβ，u=αβ，u=√α、 uu- 3=α。这意味着u- 3=1.5u和√u=α√α、 图9：。我们得到α=αu=偏度=多余峰度。对于表2中的力矩，α为：2013-03-01 0.02578≈ 0.02228≈ 0.02562；2013-03-04 0.009268≈ 0.002368≈ 0.002345；2013-04-05 0.01428≈ 0.01063≈0.01216；2013-0-17 0.07293≈ 0.04287≈ 0.03932。这些值表明伽马分布不充分。12 b增量b增量是不相同的石材建筑价格，表16.12.1价格的离散性及其增量未来价格通常是离散的。ZBM13的价格可以是140.00000和140.03125，但不能介于两者之间。相当于0.03125的美元相当于一顿午餐31.25美元。交易员汤姆·鲍德温（TomBaldwin）因1980年每天交易6000份债券期货而闻名【15，第321页】。一份2000份合约的头寸每勾一个δ，价值62500美元。

大型头寸和高杠杆率不允许忽略价格离散性spi=niδ；b-增量I=Pi- Pi-1=（ni- ni公司-1） δ；镍，镍-1.∈ N（39）价格比率或b增量是会计中常见的有理数。要想回忆起来，试着从银行提取π美元。资产收益率（PiPi-1） 是整数对数的差值。如果一个理论认为概率{140<Pbond<140.03125}>0，那么它是错误的。离散或晶格分布适用于b增量。利奥波德·克罗内克（LeopoldKronecker）记下了“上帝创造了整数；其余的都是人的工作”这句话。现代金融通过使用从高斯模型开始的连续价格模型和分布来实现。相比之下，作者对科尔莫戈罗夫的以下思想印象更为深刻：“很可能，随着现代计算技术的发展，人们会理解，在许多情况下，明智的做法是，本着有限和连续的数学概念的精神，研究避免风格化中期阶段的真实现象，直接转向离散模型”[108]。12.2几乎为零的平均b增量7，当某一范围内最后一个和第一个价格之间的差异很大时，刻度数Ns，ris非常大，平均b增量=Ps，r=Ps，rNs，rs，r- Ps、rNs、r- 1=PNs，ri=2Ps、riNs、r- 1（40）接近零。在范围或会话中，负b增量和正b增量之间的不平衡存在于包括零在内的大量总数的背景下。这也可以保持偏斜度很小。然而，该分布并非阿古斯贝尔分布，不仅因为它本质上是离散的，而且由于非零样本超额峰度，表16.12.3期货限制价格如果粮食期货合约在到期月份之前交易，则存在阿利米特价格条件。

目前，第一个限价期内的玉米价格与之前的结算价格相比变动不超过40点。2013年3月28日，11:00:00 CT的熊市消息将价格降至11:03:02 CT的676，见图14。交易不会停止。随着多头仓位的恐慌性清算，在11:00:00之后下达的676号限购订单将被完成。价格可能还会上涨。这发生在星期五下午的会议上。缩放到[11:03:02，11:13:24]显示了1835笔交易，总交易量3776份合同，价格高于676，如图15所示。2013年3月28日，星期四，每笔交易的佣金和费用为10.66美元，一份针对2月14日的限价抛售订单：在限价处交易ZCN13。超过限额2-3个百分点的合同很可能在未来10分钟内就会被收回，因此每份合同的利润为89.36-139.36美元。价格686表明，更大但可能性更小的潜在利润为489.36美元，见图15。损失不超过10.66美元。如果该仓位无法平仓，那么在漫长的周末之后，在开盘价出现缺口后，这将是一场超过1000美元的惊人损失，如图16所示。2013年3月28日的价格分布已经提前知道了。这会影响b增量。12.4鸡和蛋问题样本矩是独立于数据顺序的对称函数。保持第一个价格并改变b增量的顺序会影响价格及其统计数据，但不会影响b增量。重新订购价格会改变b增量及其统计数据，但不会改变价格。样本之间的关系表示“Ps，rand”Ps，I包括价格订单。根据方程式15和40【192】，‘Ps，r=PNs，ri=1Ps，riNs，r=Ps，r+（Ns，r- （1）Ps，r-PNs，ri=2i销，r。

（41）图15:2013年3月28日（星期四）ZCN13跌停交易。缩放。产品iPiembeds依赖于价格顺序，提高了鸡的价格，andegg问题：哪些变量是基本价格还是增量？现代金融随机微分方程（SDE）以路易斯巴切利尔（Louisbacheler）的布朗运动（Brownian motion）[12]和保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson）的几何或经济布朗运动（geometric or economicBrownian motion）[198]为接力棒，关注绝对和相对价格变化。增量的随机整合创造了价格，而价格则处于次要地位。在几何布朗运动中，这一作用更大，在几何布朗运动中，价格分母确保了更高的价格带来更大的风险和收益。Ornstein-Uhlenbeck过程【221】扩展到用于模拟利率和汇率的均值回归SDE【83】，其嵌入水平作为吸引子出现。相反，科学文献中经常批评技术分析[166]强调价格、模式和趋势。作者认为，市场有多种模式在时间上相互替代，其中价格或增量具有不同的特点。图16:2013年3月28日（星期四）和2013年4月1日（下星期一）长周末后的交易日，ZCN13在涨停点交易。13科学和伪科学专家对基于SDE的无套利定价衍生品的评论和技术分析的辩护者是两个不可调和的阵营。前者利用复杂的数学。后者画线和识别图案需要比几何知识更多的想象力。13.1伊萨克·牛顿爵士（Sir Isaak Newton）-商人并非每个科学工作者都会交易，也并非每个交易员都是科学家。伊萨克·牛顿爵士就是这样一个“组合体”。他的科学权威是无可争议的。

从1711年南海公司成立到1720年的泡沫就是一个例子，当时一个杰出的头脑“可以计算星星的运动，但不能计算男人的疯狂”——托尼顿的话。这篇文章是关于有吸引力的市场意味着从专业中撤出专业人员——大型潜在专业人员的高频率。市场让他们在专业中使用亏损。如果每个人都只是猜测，那会是一个什么样的社会呢。13.2成功模式的一个共同要素SDE、C++和软件金融专家的收入来源是由交易员提供的。交易者观察a-b-c过程。It、外部和内部事件都会影响他们的思维和交易机器人。他们在流程中做出影响的决策。蛇咬尾巴。它的目标是生存。这是通过向大多数人展示过去频繁的潜在优势，并在优势服装下隐藏即将到来的损失来实现的。如果一个市场在某些方面很有效，那么这就是欺骗的能力。著名交易员和教育家拉里·威廉姆斯（LarryWilliams）写道：“我发现的最好的模式有一个共同的因素将它们联系在一起：呈现极端市场情绪的模式可靠地为价格波动设定了反向交易”[241，p.95]。13.3关于技术分析，技术分析师呼吁牛顿力学为价格趋势寻找基础：“……运动中的趋势更可能持续而非逆转。这一推论是……牛顿第一运动定律的一种改编”【166，第4页】。他们批评了随机波动价格理论。

具有讽刺意味的是，阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）将分子动力学热理论作为布朗粒子位移与时间平方根成正比的解释【46，方程式11】在将分子视为经典牛顿粒子的基础上运用了统计学。该系统建立了拉普拉斯决定论。量子力学摒弃了后一种范式，将不确定性公理化地应用于微观层面，使经典力学成为宏观极限。这种因果关系的缺失似乎永远无法满足爱因斯坦。趋势线是在单身汉之前绘制的。他独创的布朗运动数学模型比爱因斯坦的论文提出的要早五年。量子力学已经用不确定性取代了完全确定性的牛顿力学。Bachelier将不确定性引入价格变化，并强调趋势线的决定论。在这两种情况下（物理和市场），应用程序根据情况继续使用每种范式。如果我们回想一下，涉及人类的市场超越了物理布朗运动，那么这种平行的结果就结束了。爱因斯坦推导出了他的物理现象模型。他最后一个确定阿伏伽德罗数的方程式提出了验证的实验条件。Bachelier试图将同样的模型应用于涉及人类意识和“男人的疯狂”的现象，这需要得到认真的证实。萨缪尔森（Samuelson）转变为对数正态分布，并进一步尝试消除高级模拟（Black-Scholes-Mertonoption定价公式[83]）的不足之处（波动率微笑、波动率期限、离散股息调整），这导致了负面价格的出现，看起来在整个复杂性中很重要但很小的细节。

卡尼曼（Kahneman）和特沃斯基（Tversky）所发现的影响是测量人类行为的大师，这只是了解其对a-b-c过程影响的开始。由于市场是“现代技术和人类意识共同作用的结果，受部分未知的自然法则支配”[195]，因此有陷入伪科学的危险。的确，有些人关注月相。如果他们进行交易，月相是否会影响价格？每日图表显示，满月和新月的日期与银、玉米、大豆和小麦的显著局部最小值和最大值重合【240，pp.94 96】。这些事件是独立的吗？如果一些最小值和最大值与满月和新月相隔一到三天，我们是否应该消除这种依赖性？那是1971-1973年的事吗？卡尔·波普尔（Karl Popper）关于科学与伪科学之间界限的错误性标准意味着，在这种情况下，我们可以制定一个假设，并证明或反驳它。一般来说，划分它们并不容易，科学家的光环可能会起到可怕的作用。科学哲学家塞尔盖卡拉·穆尔扎（SergueiKara Murza）回忆了斯坦利·米尔格拉姆（Stanley Milgram）在1960年进行的关于服从权威人物的实验【90】。有时，技术分析显示的模式没有算法定义。通常它没有提供足够的索赔证据。其代表性似乎忙于交易，没有时间进行严格的研究：“技术分析（technicalanalysis）是一类广泛的预测规则，具有未知的统计特性，由从业者开发，没有参考任何形式主义。”[168]。内夫茨是一位建设性的批评家。他的研究为技术分析带来了希望，并谨慎地给出了希望：“……如果所考虑的过程是非线性的，那么技术分析规则可能捕捉到一些被维纳·科尔莫戈罗夫预测理论忽视的信息”。

巴顿·马尔基尔（Barton Malkiel）对此持更为怀疑的态度：“在……由学生掷硬币得出的模拟股票图表中，有头部和肩部的形状、三重顶部和底部，以及其他更为深奥的图表模式”[142，p.131]。一位图表师发现一个地层非常看涨。然而，马尔基尔并不坚持认为市场是一个完美的随机游走。技术分析师需要面对基于遗传编程、神经网络、支持向量机和相关向量机、概率主成分分析、，贝叶斯优化（作为克服过度匹配的一种方法）[17]弗拉基米尔·瓦普尼克（Vladimir Vapnik）和莱克西·切沃涅基斯（Alexey Chervonenkis）[226]的工作奠定了坚实的理论基础。这里的任务是形式化模式和信号的算法定义，并自动识别它们，以进行客观的统计分析。13.4计算机生成的随机游走与a-b-c-process随机游走与价格的可见相似性可能会产生误导。利用技术放大这两个时间序列的隐藏差异是很有价值的。一个公平的共抛出，经过充分研究的伯努利试验，可以用一个统一的伪随机数生成器来模拟[121]。正态发生器[24]可用于模拟Bachelier的正态和Samuelson的对数正态时间序列。对于正规生成器，如果时间步长发生变化，则方差必须与布朗运动的时间步长成比例。对于恒定步长，可以将其缩放为一个合适的值。图17中用于生成数据的Bachelier\'s模型的有限差分方程为图17：Bachelier模型：价格和嵌入，并发现了b增量的相关维度。PZCN 1320130328=714，Pi=Pi-1+Pi，i=2。

，NZCN 13=19611，Pi=-0.001937775+0.52755×法线发生器（α=0，u=1），t=0，ti=int（t+3.8548i）；int将数字截断为较低的整数。模拟b增量和价格链取决于生成器的种子。是21325476。如果给出了生成算法，那么呈现种子是有意义的。绘制了19611个点（ti，Pi），图17左上角。虽然价格对于图表绘制者来说看起来很现实，但该模型无法再现真实a-b-c过程的许多重要特性，图18左上图：价格及其增量的离散性、限价、会话内b增量随时间变化的分布、稍后讨论的b增量的非高斯特性、波动性集群。它忽略了a增量的变化分布，并隐含了相同分布的独立正态b增量。13.5计算相关积分作者希望引起人们对两个时间序列的相关积分和维数的注意。对于时间序列x。。。，XN数据细分图18:ZCN13 20130328：价格和嵌入，并找到b增量的相关维度。大小为m的块：（x，…，xm），（xm+1，…，x2m），其中忽略了与n不匹配的少量额外点。m为嵌入尺寸。Anorm，点之间的距离，计算为N（N-1） uniques配对。然后，计算距离小于某些r的对的分数c（N，m，r）=N（N- 1） NXi=2iXj=1指示器（| ~ xi，~ xj |<r）。如果条件为真，指示器返回一，否则返回零。ThelimN公司→∞C（m，r）被称为相关积分。对于较小的r依赖性，C（m，r）vs.r通常是幂律，关联维数ν是ν=limr→0ln C（m，r）ln r。我们感谢Peter Grassberger、Itamarprocccia【71】、【72】、Floris Takens提出这些概念和公式。

N（N）的评估-1） 距离适合N≈ 20000和m≥ ES会话可能会收到50万次滴答声。这将创建无法管理的1250亿个唯一对。James Theiler发明了盒子辅助算法[217]，其复杂性达到O（N logN）。作者的C++程序gptd1和gptd实现了这两种可能性。伪随机均匀数和正态数链的计算值高达1000000点（gptd）。边坡井与嵌入尺寸一致。变化方差在双对数坐标中移动曲线，但不会改变坡度。实际b增量产生的关联维数比嵌入的关联维数低。b增量的离散性造成了分离点的水平平台，使ν的计算复杂化。在图表上，给出了最陡斜坡的尺寸。图17和图18强调了区分伪随机和实际价格增量的其他属性。14关于极限理论的一条评论称，价格变化是许多隐藏的随机因素的总和。因此，如果数字趋于一致，则它们可能遵循高斯或其他稳定定律[128][94][95][65，第76页，第86页]，[143]，[50]。稳定律是不可整除概率分布的一个子类，对极限定理很重要【58】【65，pp.73-100】【141】。不完全可分非稳定律的一个例子是不完全伽马函数给出的分布【65，p.13】。14.1“非高斯原子”a-b-c分类意味着两个交易价格的差异是b和c增量的总和，方程式17。交易之间的时间是a增量和c增量持续时间的总和，等式16。例如，2013年5月30日最后一次和第一次ZBM13交易价格的差异P- P=141.68750- 141.71875=-0.03125=-δ是N=105350 b增量的总和。

他们的样本具有平均值-2.97×10-7=-9.50×10-6δ，标准偏差6.72×10-3=0.215δ，偏度0.194，峰度26.3。表4给出了经验概率质量分布。假设高斯（u=-9.5×10-6δ，σ=0.215δ）单位间隔的概率，如[-7.5、，-6.5]，中心位于第一列。分布相当对称。最后一列中为χ检验评估的峰度和天文总和证明了这些b增量的高斯假设的荒谬性，另见[192，第35页]。构成会话内价格变化的b增量不会隐藏。它们不是数学抽象，而是经验上不可分割的“非高斯分布”，限制了自相似性的范围[148]和无限可分性。14.2第一来源的智慧i.i.d.变量的有限方差保证非高斯分量接近高斯和。不同数量的总和Nj- 1折衷了金额的比较。违反i.i.d.特性的情况甚至可以是表4：b增量ZBM13，2013年5月30日，在STDEV m m/N Gaussian，p（m-Np）Np-7-32.6 2 1.90×10-54.4×10-2018.6×10-6-27.9 2 1.90×10-51.2×10-1443.2×10-5-23.3 2 1.90×10-51.4×10-972.7×10-4-18.6 1 9.49×10-67.0×10-601.4×10-3-14.0 14 1.33×10-41.5×10-311.2×10-2-9.30 59 5.60×10-41.5×10-122.2×10-1-4.65 1808 0.0172 0.010 5400 101598 0.964 0.98 26.21 4.65 1770 0.0168 0.010 4872 9.30 65 6.17×10-41.5×10-122.7×103 14.0 18 1.71×10-41.5×10-312.1×104 18.6 7 6.64×10-57.0×10-606.6×105 23.3 1 9.49×10-61.4×10-976.8×106 27.9 2 1.90×10-51.2×10-1443.2×107 32.6 0 4.4×10-2014.6×108 37.2 1 9.49×10-66.6×10-2671.4×10P105350 1 1 1.4×10找到极限分布的更严重障碍。《经典》的观点是[65，p。

13] （俄罗斯版的作者翻译）：“如果引用了关于随机变量在一个系列中的分布规律的同一性的假设，那么寻找可能的极限定律V（z）…的任务就变得毫无内容了：极限定律可以是绝对任意的……要求→ ∞ 哈桑有一个虚幻的含义：例如，它并不阻止一个求和ξnk可以发挥主导作用。“图19展示了两种不同的行为，回答“I.I.D.，还是非I.I.D”，这是问题所在。“左|右b增量的样本统计为大小N=261 | N=240，平均值0δ| 0δ，标准偏差0.196δ| 1.75δ，偏斜度0 |-0.0984，峰度26.3 | 8.34，滴答262 | 241，经过的秒数82 | 1。在“连锁反应”中，标准偏差大九倍，峰度小三倍，几乎达到事务计数的持续时间短82倍。值18.7<χ1-0.01（f=16- 3=13）=27.688<956不允许对左侧采用高斯假设，也不允许对右侧分布采用高斯假设。有趣的是，左侧的样本峰度26.3偏离高斯3的幅度大于右侧的8.34。关于极限定理的结论不能机械地得出。需要研究收敛速度，并注意范围/时段内b增量分布的变化、主导价格波动、涨跌幅的存在以及可能的价格依赖性。图19:2013年5月30日星期四ZBM13交易。价格，过滤成本为75美元的MPS，数量，累计数量，到达速度与交易指数（非比例时间）。

两个连续的时间间隔07:28:39-07:30:00和从07:30:01开始的一秒钟包含262和241个刻度，但看起来非常不同。15离散分布评论多项式分布假设固定K>2个事件，概率p，pK，其中pki=1pi=1。它推广了二项式分布p，p=1-p、 对于sth会话，Ks=b-增量最大值-b-增量min+1，其中b增量以δ表示，经验频率近似psi。因为B增量可以是负、零或正，Ks=K-,s+K0，s+K+，s，其中K0，s=1，如果K-,s> 0和K+，s>0。在使用限制打开会话之前Pslim>0和以前的结算价格Ps-1设置>Pslim，Pslim up=Ps-1集+Pslim，Pslim down=Ps-1集合- Pslim，Ksmax=2Pslimδ+1，K-,smax=K+，smax=Pslimδ，Ksmax=K-,smax+1+K+，smax。（42）表5:ZBM13的b增量，2013年5月30日，07:28:39-07:30:00和07:30:01InδmmGaussian，pGaussian，p（m-Np）Np（m-Np）Np-7 0 2 1.82×10-2419.28×10-54.75×10-239-6 0 2 1.46×10-1737.35×10-43.81×10-17118.9-5 0 2 5.96×10-1174.23×10-31.56×10-1140.955-4 0 1 1.27×10-711.77×10-23.31×10-692.48-3 0 8 1.46×10-375.38×10-23.81×10-351.87-2 0 12 9.81×10-150.119 2.56×10-129.60-1 5 17 0.00537 0.192 9.24 18.40 251 154 0.989 0.225 0.197 1851 5 13 0.00537 0.192 9.24 23.72 0 11 9.81×10-150.119 2.56×10-1210.83 0 10 1.46×10-375.38×10-23.81×10-350.6574 0 5 1.27×10-711.77×10-23.31×10-690.1335 0 5.96×10-1174.23×10-31.56×10-1141.026 0 2 1.46×10-1737.35×10-43.81×10-17118.97 0 1.82×10-2419.28×10-54.75×10-2390.02238 0 1 1.16×10-3208.51×10-63.03×10-318P261 240 1 18.7 956通常，堪萨斯州 Ksmax，K-,s K-,smax，K+，s K+，smax。打开后，K-,s、 rmin，i=Ps，ri- Plim向下δ，K+，s，rmax，i=Plim向上- Ps，riδ，Ksmax=K-,s、 rmax，i+K+，s，rmax，i+1。

（43）限制PSLIM表示理论极限：b-增量，rmax，i=K+，s，rmax，iandb增量，rmin=-K-,s、 rmin，i.这些等于2Pslimδ或-2.Pslimδ表示当前的跌停或涨停价格。作者没有在一个交易日内看到价格从跌停到涨停的差距，也没有看到价格从跌停到涨停的差距。有时会出现开盘价与限价之间的差距。Pork Bellies曾因连续进行几次限时而闻名。对于无限制的期货，理论上下一个b增量rmin，i=-Ps、riδ和b增量、rmax、iis无限制。表16列出了最小和最大偏差以及范围和时段内的发生次数。就绝对值而言，所有这些都小于理论极限，并且K会因会话而异。当分布几乎对称时，K-,sis很少完全等于K+，s。极端值只出现了几次，N计为数千，对偏度有显著影响。它们对于触发止损单的风险更为关键，因为相关频率与高斯分布一样不可忽略。多项式分布并不有趣，除非Ks，K-,s、 K+，允许由另一种分布类型控制的随机变量，并与一元随机变量相结合，选择增量的正负号。另一种方法是找到一个负责b增量绝对值（包括其极值）的分布，并将其与变量选择符号相结合。15.1 Zipf Mandelbrot、Riemann和Hurwitz Zeta分布作者回顾了Zipf Mandelbrot Q>0∧ S>0[147，pp.198 218]，其中Zipf情况为Q=0，P DFZM（k）=（k+Q）-SPNi=1（i+Q）-S、 秩k=1，N、 Riemann zeta[96，第35页]，[65，第82页]，[133，第821页，等式。

8] ，[16，相关结果]P DFR（k）=k-SP公司∞i=1i-S=k-Sζ（S），k∈ N∧ S∈ R∧ S>1，Hurwitz zeta【42，相关结果】，【82】P DFH（k）=（k+Q）-SP公司∞i=0（i+Q）-S=（k+Q）-Sζ（S，Q），k∈ N∧S、 Q∈ R∧S>1∧Q>0和幂律分布[6，第29页]，[147，第30页]。simplewords是如何引发一项研究的，这很有趣。仲恺莱（ChungKai-Lai）的话【26，p.259】：众所周知，两个“大牌”之间的这种著名关系并没有引发任何重大问题【133】和【82】。作者应该认识到，他对最大利润战略的研究是由罗伯特·帕尔多（Robert Pardo）的话引发的【176，p.125】：衡量市场提供的潜在利润并不是一个被广泛理解的想法【190，前言】。Zipf-Mandelbrot定律假设最大秩N。虽然它可以设置为setbig，但这很不方便，因为绝对b增量的上界可能未知。Riemann-zeta分布的灵活性低于Hurwitzzeta分布。后者是精心设计的，因此可以从零级开始，并且有大量的零b增量。所有方程式均简化为P DF*（k） =-S ln（k+Q）- ln C公司*, 其中*是ZM、R、H或P-幂律。这是一条有点的直线方程（x=ln（k+Q）≈ ln（k），y=ln P DF*（k） ），如果Q→ 0或k Q、 ZM不能保证后者，其中k≤ N、 H在这一组中看起来最灵活。这些线表示幂律y=Cxa。弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）回忆（作者的俄语翻译）：从目击者的故事中，我知道Kolmogorov在湍流理论中的相似性定律不是由他从尺寸的考虑（用于今天的解释）中获得的，而是因为他用带有数千个实验数据的纸覆盖了Komarovka避暑别墅的地板“以及更早的”。。。我的结果没有被证明（VS：数学上），但正确，这更重要“[6，p。

29]。科马罗夫卡（Komarovka）是莫斯科郊外的一个俄罗斯小村庄，当时是全世界数学家的圣地。图20:2013年3月至6月交易的玉米、E-mini、黄金和原油期货的绝对增值频率的双对数依赖关系，以δ表示。图20上的点累积了大量的b增量。ForES mini于2013年6月7日达到614991。ZCN13和CLN13的行在会话之间分裂。ESM13和GCM13的点更接近一条近似线。“直线”倾向于在更大的范围内弯曲，这意味着频率高于预测值。近似线低估了风险，但优于高斯分布。一只眼睛表明抛物线比直线更合适。在计算EPDF之前，将会话的b增量结合起来，可以创建平滑的地块，如图21所示。ESM13绘图使用的刻度数等于27438059。这比表16中的数字要大，因为包括2013年6月21日的最后一次临时会议。在这些图上，添加了初始艺术单零增量。它们的数量可以忽略不计，等于会话的数量。此外，一个交易日内区间之间的ci增量被视为B图21：2013年3月至7月交易的合同的绝对增量频率的双对数依赖关系，以δ表示。所有课程的增量合并在一起。增量。这不能造成主要差异。GEM13与其他地块明显不同。与表16相比，以δ表示的NGN13 b增量除以10。对于本合同，报告报价中的最小变化等于0.01，而官方δ=0.001。抛物线比直线更好地逼近这些数据。

虽然这些曲线图显示了合理的相关性，但作者无法为所有会话组合的b增量频率找到合适的Q和S，以使结果满足Pearsongoodity of fit标准。对于从单个会话获得的b增量，这是可能的。特别是，表5中的1秒ZBM13 2013年5月20日数据完全符合Hurwitz Zeta分布表6。对称负δ和正δ组合在一类中。自由度数f=9-1.-2=6。相应的χ（6，0.02）=15.033，χ（6，0.01）=16.812，χ（6，0.001）=22.457【111】均大于实验值13.215。在我们的例子中，Riemann和Hurwitz zeta函数应该针对实参数S>1和（S>1，Q>0）进行计算。这项任务比计算复变元σ+t的黎曼-泽塔函数更简单√-1.σ、 t型∈ R、 对于σ=而言，这已成为一种竞争。2013年5月30日，ZBM13，表6：b增量的1500000001个值，Hurwitz Zeta分布，S=2.385873201，Q=1.510384234|δ| mmPmp=P DFHZ（|δ|）Np=pPm（m-Np）Np0 154 0.641666667 0.584630058 140.3112139 1.3354803261 30 0.125 0.173952889 41.74869328 3.3062542312 23 0.095833333 0.078165303 18.7596727 0.9584589173 18 0.075 0.042982386 10.31577261 5.7239872184 6 0.025 0.026656006 6 6.397441496 0.0246910815 2 0.008333333 0.017906011 4.297442571 1.2282287156 4 0.016666667 0.012733336 3.056000653 0.2916016287 2 0.008333333 0.009449749 2.2679397620.0316550378 1 0.004166667 0.007249441 1.739865873 0.314622821P240 1 0.953725178 228.8940428 13.21497997【139】，其中ζ（+t√-1） =0，无法证明黎曼假设，但对计算机科学有贡献。

作者编写了C++函数riemannzeta和HurwitzZeta，并将其从XLL导出，XLL是一种动态链接库DLL的形式，用作Microsoft Excel的加载项【161】。这有助于使用Microsoft Solver和Goal Seek在约束S>1.001和Q>0.001的情况下优化参数S和Q。表6的成本函数是九个类别的实验χ。15.2 Hurwitz-ZetaThe的Euler-Maclaurin公式所选计算方法基于Euler-Maclaurin求和【44，第114-117页】。伯努利数取自[1，第810页]。推导过程很长，作者仅给出了Hurwitz-zeta函数的最终公式，这是他在文献中找不到的。然而，对于黎曼泽塔，其思想与[44]中的相同。由于直接和的收敛速度较慢，因此将Euler-Maclaurin求和应用于差值ζ（S，Q）-N-1Xi=0（i+Q）-S=∞Xi=N（i+Q）-S、 ζ（S，Q）=N-1Xi=0（i+Q）-S+（N+Q）1-不锈钢- 1+2（N+Q）-S++MXk=1B2k（N+Q）1-S-2kQ2k-2j=0（S+j）（2k）！+E（S，Q，N，M），其中B2kare是伯努利数，E（S，Q，N，M）是误差项。使用Harold Edwards【44】和Linas Vepˇstas【227】的估计值，选择N=20和M=13，以确保图21所示S值的C++内置类型双精度支持的16位小数精度。Hurwitz-Zeta分布是用来描述b增量分布的透视图，它不需要尝试组合多个会话或在较小范围内。由于分布在时间上发生变化，甚至在一个范围/会话内，这可能会阻止泛化。16关于抛物线分形的评论提到，在许多情况下，幂律仍然是实验事实[6，第36-41页]，寻找渐近行为和对数修正可以提供理论解释。

他应用Kolmogorov技术对幂二除以奇数后得到的余数的平均最小周期进行平滑处理，并找到一个有趣的双对数依赖关系【6，p.39，图1】。他从植物学、文学、医学、火山活动、遗传学、科学出版物数量、与空间元素紧凑排列相关的图论（对计算机科学很重要）等七个方面给出了七个例子，其中包括奥洛夫·阿伦尼乌斯定律：一个地区的物种数量与其所在地区的力量成正比。作者添加了第一个名字来区分儿子和父亲——斯万特·阿伦尼乌斯（1903年诺贝尔化学奖获得者“…解离电解理论”），他提出的化学反应速率常数的温度依赖性方程也以“阿伦尼乌斯劳”的名字为人所知。由于常数与温度倒数（开尔文度）的对数曲线上有很好的直线，因此可以将其添加到阿诺德列表中。16.1绘制Arrhenius数据图作者审阅了文章[9]，并在Microsoft Excel中输入了106对（分米面积，物种数量）[9，第96页，表]。我们第一次在图22中看到了Olof的结果。我的眼睛看到：1）对于Calluna Pinus木材、Herb Pinus木材、Myrtillus Picea木材、Herb Picea wod、Herb hill II和Shore association II，抛物线的碎片会更好；2） 红豆痘苗有一个很大的异常值。在原始表格中，13个关联伴随着较大区域的实验数据和计算数据之间10-30%的偏差：前2-3个来自8-10个观察值。

Arrhenius解释道：“很容易看出，计算值和观测值非常一致。通常，随着面积的增加，偏差会增加。这取决于较小区域的值是比较大区域的值更多观测值的平均值。”。16.2抛物线在对数-对数坐标系中与频率和ranksplots上的直线偏差，统称为抛物线分形。所谓的国王效应与最高频率等级的异常值有关。一个常见的例子是城镇规模关系，在法国，巴黎偏离了曲线。几个现象图22:Microsoft Excel中输入并绘制了[9]中的数据。据称，ena遵循抛物线分形：星系强度、城镇大小分布、语言、物种和石油系统的碳氢化合物聚集http://www.hubbertpeak.com/laherrere/fractal.htm.他们扩大了阿诺德的名单。引用的参考文献[36]证明，“经验和相关过程的异常振荡通常发生的点集是一个随机分形”，并建议如何评估其Hausdorff维数。图20、21和22表明，抛物线部分可能是比直线更好的选择。然而，抛物线有一个缺点：在许多情况下，它不能在不违反自然单调性的情况下，在观测间隔之外进行推断。需要更多的数据来确认或拒绝经济学中的抛物线分形效应。对于金融时间序列而言，澄清市场难题很有价值。17极端b增量在表16中，Min、nmin、Max和NMXPress列表示极端b增量及其在范围和会话中出现的次数。对于每个契约，将值组合在一个示例中，其中b-increments和b-increments取nsmin和nsmaxtimes。

这些值是从具有日期的会话行中提取的。评估EPDF，见图23。同样，NGN13的等级被之前绘制的10划分。绝对值取的相同极端b增量绘制在双对数坐标中，如图24所示。图23:2013年3月至7月合同的极端b增量频率，以δ表示。虽然获得0δ和±1δb增量的机会最高，如图20、21所示，但在一次会话中获得它们作为极端值的机会微乎其微，如图23所示。即便如此，如果我们在图24上的点云上方绘制直线，将其外推到左侧也是错误的。图24中的ZSN13、ZWN13、GCM13、SIN13、CLN13、NGN13、6BM13、6CM13、6EM13和6JM13证实了绝对极端b增量的频率具有最大值。其他间接证据：2013年3月至7月，没有ZCN13、ZBM13、ESM13、HGN13和6AM13的会议，极端为0δ和±1δb增量。17.1 Fr'echet、Fisher、Tippett、von Mises、Gnedenko、Gumbel、HaanThe现代极值理论受到[59]、[163]、[64]、[13]的影响。Fisher和Tippett根据他们必须满足的函数关系提出了三个极限分布。Mises证明了最大阶统计量弱收敛于图24中每一个的充分条件：2013年3月至7月交易的合同的绝对极端b增量频率与等级的双对数图，以δ表示。三种类型。Gnedenko给出了极端阶统计量弱收敛的必要条件和有效条件的严格证明。哈恩改进了对格涅登科结果的阐述。Nedenko，G，[64，p.423]的CDF相对于x的差异给出了Fisher和Tippett，FT，[59，p.211-212]的PDF，即DFF T（x）=e-x个-e-x=d∧G（x）dx，-∞ < x<∞,二、

P DFF T（x）=kxk+1e-x个-k=dΦGα（x）dx，x>0，k=α>0，III.P DFF T（x）=k(-x） k级-1e级-(-x） k=dψGα（x）dx，x<0，k=α≤ 对于组合绝对极值b增量的样本，II可能有用。莫里斯·弗里切特（MauriceFr\'echet）在1927年写过《第二次世界大战》[60]。它也是以他的名义使用的。根据定义【65，第45页】，分布函数F（x）和F（x）属于一种类型，如果b>0和a，F（x）=F（bx+a）。很容易看出F（x）=ΦGα=k（x）=e-x个-k、 x>0且F（x）=e-（bx+a）-k、 x>-A是有效的CDF，属于k>0、b>0的一种类型。虽然改变坐标系统的规模和原点并不会创建新的类型，但我们得到了更好的拟合工具P DFII（x）=kb（bx+a）k+1e-（bx+a）-k、 x>-ab，k>0，b>0，a≥ 0。（44）P[P DFII（|δ-尺寸|）的最小化-EP DFZSN13（|δ-尺寸|））]给出了解决方案（k=3.955386，b=0.142783，a=0），图25。使用Microsoft Solver\'sconstraint a≥ 0，当猜测值a>0时，可稳定地获得最佳a=0。如果a=0，则PDF是2类Gumbel分布，表示Emil Gumbel的贡献【75】。最佳b 6=1排除了Fr'etchet的情况。使用连续的类PDF方程44来最小化Pearson的χ拟合优度是不方便的：类的分数边界将很牵强。极端和普通b增量是离散的。图25:2013年3月至7月ZSN13的绝对极端b增量频率与秩的曲线图，用δ表示，以及近似的缩放和移位Fr'echet-Fisher-TippettGnedenko-Type-2-Gumbel PDF，P DFII。17.2我们需要离散分布图，图25，外观匹配，但存在问题：1）理论密度是连续的，2）低估了大|δ|的频率。实际上，点|δ|=82是在频率为0.003322的情况下获得的，但理论密度为0.00000286，少1162倍。

需要一个具有收敛序列的有限正数序列，该序列模仿单峰P DFII。理想情况下，它应该在整数区间内[0100]。作者检查了序列（P DFII（n）），n∈ N、 将其倒数级数重新用作规范化乘法器，确保有效的离散概率质量函数PMF，P MFII（N）=kb（bn+a）k+1e-（十亿+年）-kP公司∞i=1kb（bi+a）k+1e-（bi+a）-k、 n个∈ N、 k>0，b>0，a≥ 0，（45），其中P MFII（0）=0。分母收敛。级数收敛性的Maclaurin-Cauchyintegral检验[57，p.281，item 373]证明了：当x>n>0时，p DFII（x）是正的且单调递减的，积分∞-abP DFII（x）dx=1，因此，收敛于任何下界x≥ -ab.将方程45中的分母与一般Dirichlet\'s级数[76，p.1]f（s）=p进行比较∞电子邮箱-λns，其中（λn）是一个实数递增序列，其极限为整数，s=σ+t√-1是一个复变量，其实部和虚部为σ和t，我们注意到设置σ=1，t=0，an=kb（bn+a）k+1，λn=（bn+1）-kyields分母=f（1）。然而，我们的（λn）是一个实数正递减序列，当k>0，b>0，a时，其极限为零≥ 0和limn→∞e-λn=1。在冈贝尔的情况下，a=0，an=kbknk+1=ν-1bν-1nν，ν=k+1>1和P∞n=纳米-λn≈ν-1bν-1便士∞n=nnν=ν-1bν-1ζn（ν）表示大n∈ N、 式中，ζN（ν）表示实变元大于1的黎曼zeta函数的剩余部分-收敛域。一般情况下，a>0也会导致收敛，因为每个和剩余正减少。

作为另一种收敛证明，这种考虑暗示可能很难找到分母的表达式，需要一种数值方法。Euler-Maclaurin求和法是一种候选方法。17.3拟议分布的Euler-Maclaurin公式类似于Riemann和Hurwitz zeta，我们直接计算从1到M的项之和- 1和剩余的总和【44，第106页】，适用于等式45，作为三个总和∞Xn=MP DFII（n）≈Z∞MP DFII（x）dx+P DFII（M）+mXj=1B2j（2j）！P DFII（2j-1） （十）∞M、 其中顶部（2j- 1） 是导数阶和B2jare-Bernoulli数。这个近似值的误差等于2m=（2m+1）！Z∞M'B2m+1（x）P DFII（2m+1）（x）dx，其中'B2m+1（x）=B2m+1（x-bxc）是2m+1次的伯努利多项式。“B2m+1（x）”在符号中交替出现。如果P DFII（2m+1）（x）在[M]上是单调的，∞),然后，误差| R2m |的评估只需要计算第一个省略项：| R2m |不超过该项绝对值的两倍。FirstCommand和前两个Summand之和等于z∞Mkbe公司-（bx+a）-k（bx+a）k+1dx=Z-（bM+a）-keydy=1- e-（bM+a）-k、 Z∞MP DFII（x）dx+P DFII（M）=1- e-（bM+a）-k1.-kb2（bM+a）k+1.对于第三项和| R2m |，我们需要导数高达（2m+1）。Letf（x）=V（x）S（x）=f（0）=V（0）S（0），V（0）=kbe-（bx+a）-k、 S（0）=（bx+a）-k-莱布尼茨公式[56，第236-238页]给出f（n）=Pni=0CniV（n-i） S（i）。以上定义为S（0），S（1）=b(-k- 1） （bx+a）-1S（0），我们猜测s（n）=bn（bx+a）-nS（0）nYi=1(-k- i） 。对于n=0，1有效。设其对n>1有效。然后，对于n+1，公式给出S（n+1）=bn+1（bx+a）-n-1S（0）Qn+1i=1(-k-i） 。然而，差异off（n）给出了相同的结果：bnQni=0(-k-（一）[-nb（bx+a）-n-1S（0）+（bx+a）-nb公司(-k-1） （bx+a）-1S（0）]=bn+1（bx+a）-n-1S（0）Qni=1(-k- （一）(-k- （n+1））。这就完成了S（n）的数学归纳证明。

获取V（n）的公式是有问题的：V（1）=kbf（0）=kbV（0）S（0），莱布尼兹公式在V（n）的分支中递归出现-i） 在每个步骤上。奇数阶1、3、5的P DFII（x）的前三个导数为P DFII（1）（x）=P DFII（x）bbx+ak（bx+a）k- k- 1., （46）P DFII（3）（x）=P DFII（x）bbx+a-k（bx+a）3k++6（k+k）（bx+a）2k-7k+18k+11k（bx+a）k+k+6k+11k+6,（47）P DFII（5）（x）=P DFII（x）bbx+ak（bx+a）5k-15（k+k）（bx+a）4k++65k+150k+85k（bx+a）3k-90k+375k+510k+225k（bx+a）2k++31k+225k+595k+675k+274k（bx+a）k+-k- 15千- 85k- 225k- 274k- 120.（48）方程式46-48中的正则性讨论被省略，因为它们不足以建立通用公式。导数在x接近零→ ∞. 三个相关的伯努利数是B=，B=-, B=。当M=200，k=3.955386，b=0.142783，a=0时，第三次求和中的前三项等于P DFII（1）（M）=-0.7130872262×10-10，BP DFII（3）（M）=0.1230723154×10-14，BP DFII（5）（M）=-0.5219062910×-19、在这些条件下仅使用一阶和三阶导数会产生错误≈ 10-对于方程式45中的分母值接近1，这比现代的8字节C++内置类型double（213，pp.74-76，pp.628-629）保持16位螳螂小数的精度要好。近似离散P MFII（n）分母的最终公式为∞Xi=1P DFII（x）≈M-1Xn=1P DFII（n）+1- e-（bM+a）-k1.-kb2（bM+a）k+1++P DFII（1）（M）-P DFII（3）（M）+P DFII（5）（M）。（49）方程式49表示的分母并不总是接近1，如图26所示。公式45中枚举数的计算很简单。对于P MFII（n），皮尔逊χ类边界的选择是自然的，见表7。χ（7，0.05）=14.067大于10个等级的最佳7.368。通过χ-最优k，b，a=0，我们得到P MFII（82）=6.159×10-5.

这仅是实验值0.003322的54倍。由于这些条件下的分母等于1.0000039587885819，因此可以使用连续的P DFII（x）获得相同的密度值。由于|δ|的离散性，使用后者不太方便。极值理论、P M FII（n）和P DFII（x）的局限性很可能是由于违反了理论假设，如构成样本的I.I.D.变量。18关于离散分布的第二点意见传统和计算离散性要求离散和晶格概率分布。科尔莫戈罗夫的远见意味着需求将增长。在上一节中，将现有的连续分布P DFII（x）转换为离散分布。变换步骤可以概括为：图26：用方程49表示的极值P M FIIdenominator方程45与k和b的依赖关系，其中a=0，M=200。地块使用Maplesoft的Maple 10完成。1） 在整数参数n处计算现有的P DF（x）；2） 将“all”P DF（n）的倒数作为一个因子，确保pnn=MP DF（n）PNi=MP DF（i）=1，其中m和n可以是-∞ 和∞; 3） 如果极限为±，则确定分母的收敛性∞. 后一步可能很简单：PDF通常是有限子区间上的可积、正和单调函数。这支持级数收敛性的乌勒-柯西积分检验。级数求和算法的作用也因矩αm=P而增加∞n=1nmP MF（n）。连续父分布和离散子分布通过p DF（x）相互关联。

连续法向和离散7之间的不同关系：用P MFII（|δ|）拟合ZSN13的极端b增量，k=2.50205129050786，b=0.145521989804209；a=0是固定的；f=10- 1.- 2=7|δ| Pm |δ| p=PP MFII（|δ|）Np=pPm |δ|（Pm-Np）Np5、6、7 128 0.396078909 119.2197517 0.6466441878 43 0.107926455 32.48586293 3.40292287949 27 0.085068712 25.60568221 0.07592541710 15 0.066185687 19.92189185 1 1 1 1 0.2159994311 13 0.051504694 15.50291288 0.40409005312 11 0.040335941 12 12 12.14111814 0.10725129213 9 0.031877993 9 9 9.595276012 0.0369299914，15 13 0.045979023 13.83968581 0.05094568416-29 32 0.096558428 29.06408697 0.29657168830-82 10 0.023772516 7.155527325 1.13073774 SUM 301 0.945288358 284.5317959 7.368024797二项分布由Stephen Stigler提醒[212]：“当我们想到二项式的正态近似时，我们通常会考虑大样本。皮尔逊发现，即使是最小数量的试验，两种分布也完全一致……正态密度的特征是微分方程f（x）f（x）=-x个-uσ。Pearson发现对称二项分布的概率函数p（k）（n个独立试验，每个试验p=0.5）正好满足类似的差异方程2p（k+1）-p（k）p（k+1）+p（k）=（k+）-n（n+1）对于所有n，k”。19最后一个价格减去第一个价格作为b增量之和。如果b增量是随机变量，则某个范围内最后一个价格和第一个价格之间的差异是随机变量之和。由于讨论了a增量的性质，总结的数量也是随机的。有关增量Ps、rNs、r的信息- Ps，rexpressed inδ可从表16中计算。为了计算范围的增量，将列大小和平均值的两个值相乘。列大小包含等于Ns，r的b增量数- 1.