当K从大约0变为1时，系统将从类似马科维茨的低学习区域过渡到类似技术的学习区域。当需求较小时（大约K<4），更确定、进展较慢的技术A（αA=0.5）占据投资组合的主导地位，但当需求较高时，有足够的发展空间，使得噪音较大、进展较快的技术B（αB=0.65）成为最佳。当全局最优值在目标值相等的不同局部极小值之间切换时，这些状态之间的转换是瞬时的。风险规避固定在λ=0.25，其他参数值如表1所示。常数-与图4类似，但K为自变量。除了f的最大值和最小值外，该图还显示了f的马科维茨近似值的最小值，以供比较。随着需求的变化，我们再次观察到投资组合状态之间的瞬时切换。当K从大约0变为1时，技术A在最佳投资组合中所占的份额（黑线虚线）最初急剧下降，然后逆转方向并再次增加，这是由于学习潜力的增加。在这里，技术从更“类似资产”的方式转变为更“类似技术”的方式，因为f级数展开中的更多高阶项开始产生影响（见等式（15））。事实上，对于非常小的K，f的最小值和f的马科维茨近似值的最小值（即黑色和黄色虚线），技术的解决方案与金融资产的解决方案几乎相同。

但随着K的增加，由于f中非线性的影响越来越大，两条曲线会出现分歧，最终导致当K刚刚超过3时出现第二个最小值。当K大约在1到4之间时，尽管技术B具有较大的经验指数，但需求仍然太低，无法在其经验曲线上取得足够的进展，从而超过其较高的可变性，因此技术a占据主导地位。但当扭结增加时，会超过一个阈值（K≈ 4） ，生产突然转向B。因此，我们观察到一种需求驱动的技术锁定解锁，即如果只考虑少量的未来需求，那么继续投资于进展较慢、不确定程度较低的技术是最佳的，但如果市场规模足够大，那么现在转向噪音较大、进展较快的技术是最佳的。0.0 0.20.40.6 0.8 1.0技术A生产份额qA/K9.69.810.010.2f（qA，ρ）ρ=-0.1ρ=0.0ρ=0.1图7：噪声相关性ρ的三个不同值的目标函数。最小值显示为红色，风险规避固定为λ=0.25，技术B经验指数为αB=0.7，所有其他参数与之前相同。ρ=0线对应于图3中的αB=0.7线。相关性越大，投资组合越专业，反之亦然。3.5相关噪声在实际条件下，冲击η影响不同技术的冲击并非独立的。例如，这可能是由于相同的创新影响了两种技术，降低了成本。为了研究这种情况下优化是如何变化的，我们假设ηa和ηBisρ之间的相关性。然后Var中的协方差项五（qA）为非零，因此term2λqAqBcAzAzA+qAαAe（σA）/2cBzBzB+qBαBe（σB）/2（eρσAσB- 1） （16）必须添加到目标函数（等式（8））。图7显示了ρ的三个不同值的目标函数。

技术B经验指数固定为αB=0.7，所有其他参数与之前相同，允许与图直接比较。3、显然，增加技术成本之间的相关性的效果是降低多元化的效益；i、 e.对于固定风险厌恶，相关性增加会导致更专业的投资组合，相关性降低会导致更多样化的投资组合。实际上，在这个例子中，反相关（ρ=-0.1）导致f变得凸出，因此具有唯一的最小值。（这可以通过增加λ来实现。）图1也可以使用该版本的f（包括相关项）重新创建，并且观察到相同的影响。这是单期投资组合中的标准行为，不会影响我们的主要发现，因此我们继续只考虑不相关的噪声。4高效前沿技术组合也可以在高效前沿框架中查看。这项技术在投资组合理论中很有名，涉及到将每个投资组合标绘为预期收益/方差空间中的一个点。我们首先描述了前面介绍的受限马科维茨问题的方法，然后展示了它如何应用于技术（注意，我们只考虑无风险资产的情况。）4.1金融资产在上文定义的马科维茨系统（等式（10））中，有两种资产，收益分布已知。资产A的投资组合权重qA是单个自由控制变量。每个qA∈ [0，1]描述了一个独特的投资组合，由于Qa0到1的变化，所有可行的投资组合都是跨范围的。对于给定的风险厌恶值，这些投资组合中只有一个是等时的。每个投资组合都有一个回报分布V（qA），即预期和方差，可用于绘制代表投资组合的预期方差空间中的一个点。

这给出了著名的马科维茨图：x轴是PortfolioVencence，Var五（qA）, y轴是预期收益，E五（qA）. 当Qa从0到1变化时，可行的投资组合集是在这些轴上绘制的曲线。图8显示了固定参数uA=0.5、uB=0.65、sA=1.0和SB=1.1的两种资产的可行集（参见第3.2节）。这条水平抛物线被称为马科维茨子弹。颜色方案与之前相同（参见图2），因此深红色对应100%资产A，深蓝色对应100%资产B。根据f（等式（10））的定义，我们得到了E[V]=f（V）+λVar（V），因此在这些轴上，对于任何风险规避的固定值，f的等值线（即f的水平集）只是梯度λ的直线。位于给定等值线上（即与可行集的交点）的每个投资组合的f值由y轴截距给出。然后，因为我们想在这个问题中使f最大化，所以这个λ的最优投资组合是可行集和梯度λ的等值线的唯一交点，具有最高的轴截距。效率边界定义为对λ的某个值而言是最优的所有投资组合的集合。因此，由于λ∈ [0，∞), 这里的有效边界是图中左上象限最远的可行集部分。这些要素都如图8.4.2技术所示。与马科维茨模型相比，在技术模型中，我们希望最小化方差和预期成本，因此目标函数方差部分的符号是颠倒的。因此，f的等值线现在是向下倾斜的直线，具有梯度-λ∈ (-∞, 0）。

由于较低的f现在更好了，最优组合是可行集与y轴截距最小的等值线的交点。因此，有效边界由最靠近图表左下象限的可行集部分组成。我们首先绘制了两种技术在低学习状态下的期望方差图，然后绘制了两种技术在高学习状态下的期望方差图，从而证明了Markowitz模型和技术模型之间的这些差异。这些如图所示。9和10，与图8类似。在图9中，技术B的经验指数αB=0.65，其他参数如表1所示，但需求除外，其设置为K=0.1。图8：马科维茨系统方程（10）的可行投资组合集，其中uA=0.5，uB=0.65，sA=1.0，sB=1.1。这是投资组合的轨迹，因为资产A在投资组合中的比例从0%（深蓝色，qA=0）到100%（深红色，qA=1）不等。为了说明风险规避和最优性在几何上的关系，绘制了风险规避λ=0.25的f等值线。与可行集相切点处的黑点是该λ的唯一最优投资组合。另外两个黑点代表两个完整的专业化组合。图9：两种技术在低学习状态下的可行组合。这是投资组合的路径，即从0%（深蓝色，qA=0）到100%（深红色，qA=K）的投资组合中技术A产量的比例。这里的技术有αA=0.5，αB=0.65，其他参数如表1所示，但需求除外，其设置为K=0.1。这严重限制了学习的潜力，因此问题接近Markowitz，因此可行集几乎是抛物线。

f的等值线现在向下倾斜，有效边界是可行集的最左下部分。绘制了与风险规避λ=0.25相对应的等值线。与可行集相切点处的黑点是该λ的唯一最优投资组合。图10：类似于图9的技术的可行投资组合集，但demandnow设置为更高的值K=2。这些技术不再处于低学习状态，非线性反馈导致可行集被拉伸和倾斜。绘制了四个风险规避值的等值线，显示了可行集的变换几何体如何导致效率边界现在由两个断开的组件组成。存在一个风险规避临界值（0.02<λ开关<0.1），在该临界值下，同时存在两个最优投资组合（100%技术a和100%技术B）。这就是期望方差空间中瞬时最优切换的表现形式。以这种方式限制生产，学习效果非常小，因此我们处于近似马科维茨状态，因此可行集几乎是抛物线。该图清楚地表明，与马科维茨问题相比，技术问题中的有效前沿和等值线是如何不同的（图8）。在图10中，所有参数与图9相同，但需求除外，它现在返回到表1中的值，K=2，因此技术不再处于低学习状态。正如这些图所示，技术和金融资产在该框架中的表现方式有两个显著差异。首先，对于技术而言，可行集是存在和延伸的。这是因为目标函数在portfolioweights中是高度非线性的，而不仅仅是二次函数。其次，作为这一结果的直接结果，有效前沿现在可能会被分成两个不相连的部分。这是图中的情况。

10，其中有效前沿包括左侧的红色长段（主要是技术A）和右侧的孤立终点（100%技术B）。效率边界的这种分裂是如何在期望方差空间中体现瞬时最优切换的：当风险厌恶从λ=0变为∞ 最优投资组合从一端到另一端跨越有效边界，在临界值λ=λ开关处从一个组件跳到另一个组件。在不连续点f有两个不同的等价极小值，并且有两个最优投资组合，它们都位于梯度的同一等值线上-λ开关。在这种情况下，这些是100%A和100%B投资组合。注意，由于图10中的αB=0.65，因此所示的有效边界对应于图1中穿过表面的αB=0.65截面。因此，最优投资组合风险规避的变化可以在两张图上等价地追踪出来。附录B.2给出了λ开关的闭合表达式。在期望方差框架中观察问题表明，最优的等值技术投资组合可以同时共存（不同于金融投资组合）。类似的价值组合可能有较大的期望值和较小的方差，或者相反，或者介于两者之间。由于可行集不再是抛物线（由于赖特定律的非线性），在最佳等值线附近可能会有许多非常不同的投资组合。例如，在图。

10技术A（红色）约占60-90%的所有投资组合都非常接近最佳λ=0.25等值线，因为可行集在这里的曲率非常低。这暗示了我们期望在多技术模型中看到的行为。不断增长的回报动态允许通过多种不同的方式，利用各种技术的期望和差异的不同组合，生成具有相同价值的投资组合。这将导致具有许多局部极小值的高度非凸优化问题。4.3需求对有效前沿图的影响。11更详细地显示了总需求对可行集和最优投资组合的影响。这些技术是固定的，与图中的相同。9和10。K是唯一变化的参数。尽管每个地块中轴线上的比例不同，但它们之间的比例是恒定的。实际上，虚线都有梯度λ=-0.25；它们是对应于λ=0.25的最优投资组合的等值线。当K很小时，学习的潜力很小，因此这些技术表现为“类似资产”的方式，可行集几乎是抛物线马科维茨子弹。Heretechnology A（红色）在所有风险规避价值的最优投资组合中占据主导地位。随着K的增加，学习的潜力增加，因此f中的非线性开始有图11：αA=0.5，αB=0.65和变化K的可行投资组合，其他参数如前所述固定（表1）。同样，深蓝色对应于0%的技术A（qA=0），深色对应于100%（qA=K）。虚线是f的λ=0.25等值线，黑点是这种风险规避的最佳组合。为清晰起见，省略了轴刻度（每个图的轴刻度不同）。

这些图显示了当K较小时，问题如何从类似马科维茨的低学习状态过渡到当K较大时的高度非线性高学习状态。影响和可行集开始扭曲。在K=1左右时，蓝色的臂降到红色的臂下，将效率边界一分为二，这表明首次出现了两个同等价值的投资组合。此处为λ≤ λ开关100%技术B（蓝色）是最佳的，但对于λ≥ λ开关技术A（红色）占主导地位。在大约k=4时，两臂交叉和可行集的大部分非常接近λ=0.25等值线。因此，在这种情况下，有许多不同的近乎最优的投资组合。在这一点之后，可行集的两臂完全交叉，因此技术b对所有风险规避值都是主导的。随着K变得非常大（>10），学习的潜力非常大，几乎完全专业化最快的学习技术（B）对于所有级别的风险规避来说都是最佳的。图11可以与图6联系起来（尽管注意，沿可行集的距离增量与qA/K中的增量并不线性对应）。显然，该分析依赖于噪声与总产量K无关的假设，因此，可以在不影响冲击大小的情况下进行更多的生产和学习。5非对称技术和逃逸锁到目前为止，本文的重点是两种几乎对称的技术，研究当一个参数改变时，当所有其他参数保持不变时，最优投资组合的行为。我们现在考虑一个更现实和有趣的例子，在这个例子中，麻醉技术受到了新来者的挑战。假设在这样的环境中，成熟、缓慢的acheap学习技术A受到昂贵、年轻、快速的learningtechnology B的挑战。

表2显示了此处使用的参数值。符号说明Tech A Tech BZ技术成熟度100 1初始成本1 2α经验指数0.15 0.2σ技术波动率0.1 0.1K需求【0-100】λ风险规避【0-1.2】表2：年轻昂贵技术与低价技术竞争情况下的参数值。这种情况的极限情况是，一种技术是“安全”技术，成本不变（αa=σa=0）。然后，在几乎马科维茨政权（K zB），目标函数减少了tof≈ 加利福尼亚州K- qB级+ cBe（σB）/2qB+λcB公司e（σB）e（σB）- 1.（qB）（17）（参见等式（14））。这是一条最小Qb的凸抛物线*=加利福尼亚州- cBe（σB）/22λcB公司e（σB）e（σB）- 1., （18） 安全和新技术之间的最佳解决方案差异的条件是0<qB*< K、 这类似于具有安全资产和风险集合的马科维茨投资组合问题。然而，在这种低学习率的制度之外，安全技术的简化并不会提高分析的可处理性，因此数值解方法仍然适用。图12：在不同需求K和风险规避λ的情况下，与挑战者技术B（蓝色）竞争时，现有技术A（红色）的最佳产量份额。参数值如表2所示。技术A具有强大的初始成本优势，因此当需求较低（因此学习潜力较低）时，对于所示的所有风险规避值，完全专注于inA是最佳选择。随着需求的增加，学习的潜力也在增加，为了开发更快的学习挑战者，全局优化将切换到新的局部最小值，其中技术B占主导地位。重复第3.4节的需求驱动锁定分析，图12显示了总需求和风险规避轴上的最优投资组合曲面。

技术A的初始成本优势如此强大，以至于需要至少20倍于技术B初始累积产量的需求，以防止A完全专业化，即使是对于高风险规避。随着需求的增加，我们观察到了熟悉的最佳切换，再次证明了预期未来需求在确定最佳生产组合中的作用是多么重要。在这种情况下，K-λ参数空间分为三个定性不同的区域：i）对于低K，100%技术A是最优的，ii）对于高K但低风险规避，100%技术B是最优的，以及iii）对于高K和至少中等风险规避，技术A的最佳比例约为0-40%。这样的结果在应用程序中可能非常有用，其中的关键挑战通常是简化决策空间的维数。对于较大的K，λ处的表面存在质的变化≈ 0.4。此处，目标函数的全局最优值从优化范围的边界移动到内部（发生此转换的λ值可在附录B.1中的分析中找到）。这类似于图。

3，当α从0.71增加到0.72，比如0.9（未显示），全局最小值向边界移动，然后粘在边界上（事实上，R上的函数最小值继续在优化范围之外移动，但这不是有效的解决方案）。为了进行比较，附录C显示了第3节中两种几乎相同的技术的相同需求风险面。为了总结模型的行为，请注意每个参数需要朝哪个方向移动，以摆脱对现有技术的锁定。在所有条件相同的情况下，避免锁定技术A需要：降低B成熟度、降低B初始成本、增加B经验指数、降低B波动性、增加需求K或增加风险规避λ。6两个周期模型在分析了最简单的单周期情况下的模型后，我们现在考虑将其扩展到两个周期。这使我们能够引入折扣并研究其对最佳生产时间的影响。这与经验曲线尤其相关，因为它们简化了现在投资以释放未来收益的概念，因此当前和未来收益的相对价值至关重要。考虑到目前对技术现状及其在各种投资情景下的可能发展的了解，转向多期设置允许我们调查我们现在或将来（或两者都不）计划投资一项技术的条件。我们简要讨论了我们方法的一些特点和局限性。我们考虑的扩展是静态的，从这个意义上讲，模型以目标函数定义的最佳方式为未来所有时期安排生产。这种静态分析依赖于当前对技术参数的估计，这些估计是基于相关技术的经验数据进行的。

但随着时间的推移，我们观察到噪音的存在，从而获得有关技术成本和参数的新信息。因此，在未来执行相同的优化过程可能会产生不同的结果，并且我们面临时间不一致的可能性。这是静态模型的一个限制。然而，为了支持静态方法，请注意，对于技术而言，投资组合调整成本可能非常高，这可能会导致对未来时期的高水平承诺。在该模型中，技术进步仅通过随机经验曲线机制发生，不存在外生的进步趋势。这是因为我们选择了零平均噪声η~ N（0，σ），我们之所以使用它，是因为它与Bylfond等人（2018）经验测试的模型非常接近。通过使用非零均值的正态噪声，可以建模一种外生的进展趋势。对于η~ N（u，σ），标准对数正态分布的期望值为eu+σ/2，因此如果u<-σ/2则在零生产条件下，一项技术的预期成本实际上可以在两个时期之间降低（参见等式（4））。这在多周期设置中尤其重要（尽管它也适用于单周期情况）。如果一项技术最初非常昂贵，而u非常负，那么等待技术改进可能确实是一种可行的策略。然而，在等待预期改善的同时，成本差异可能变得不太有利（相对于其他技术），抵消了目标函数中的任何好处。即使在标准财务回报的情况下，动态均值-方差投资组合问题也很难解决，参见g–rleanu&Pedersen（2013）。在我们的案例中，成本的非线性和时间依赖性增加了复杂性。

解决这个问题的一种方法是将决策空间和随机事件空间离散化，然后对生成的“场景树”应用反向归纳。参见Edirisinghe&Patterson（2007），了解该方法在标准均值方差投资组合问题中的应用。然而，即使是粗略的离散化，生成的树也会快速增长。因此，我们在这里不进行这种分析，而是将其留给未来的研究。通常，增加一种技术的经验是以牺牲另一种技术为代价的，如果在一种技术中“延迟生产”是最佳的，那么这只是由于目标函数中所有模型参数的复杂相互作用，而不是因为某项技术中的一些简单背景改进。这里我们继续使用零均值噪声。为了简单起见，就像在一个时期的案例中一样，我们使用技术生产，而不是投资，作为经验的代表。在单期情况下，这种区别并不显著，但考虑多期时，由于资本折旧，这种区别是显著的。因此，我们的多周期框架不模拟投资策略，只模拟生产策略。正确处理投资需要对生产和投资之间的关系进行建模，这需要至少一个额外的参数来表示折旧。我们不想让模型进一步复杂化，而只是考虑生产，同时强调这种差异。6.1优化我们使用与之前相同的第一个差异Wright定律模型（公式（2）），下标Snow表示不同的周期，单独的噪声冲击影响每个周期：log（cit）- 日志（cit-1） =-αi原木（zit）- 原木（zit-（1）+ ηit，i=A，B，t=1，2。

（19） 每项技术的产量都以明显的方式累积：zit=zi+Ptk=1qik。我们保留以下假设：每种技术都有其特定的噪声分布ηi~ N（0，（σi）），现在假设在每个周期中都有一个新的分布，ηit。为简单起见，我们假设冲击在时间和技术上都是不相关的（尽管明显相关的噪声可能在多周期环境中发挥重要作用）。第二阶段的平均单位成本由以下公式得出：ci=cizz公司αieηi=cizz公司αieηi+ηi.（20）这清楚地表明了连续冲击如何影响两个时期的成本：根据赖特定律，从一个时期到另一个时期的成本下降，但周期性冲击累积，可能会导致成本远离确定性经验曲线趋势。与标准经验曲线实施相比，这有一个优势，即从长远来看，由于经验的影响，成本不一定会下降，相反，它承认不确定的外部事件可能占主导地位。虽然在此设置中可以允许任何参数在不同时期内发生变化（例如，经验指数、噪声分布），但为了简单明了，我们将其全部固定。总产量设置为每个周期K，因此现在有两个生产约束：对于t=1，2，qAt+qBt=K。做出上述选择是因为模型很快变得笨拙，因此最好使用最简单的公式来捕获感兴趣的关键特性。我们用贴现率r实现指数贴现，并考虑整个系统的当前贴现成本：V（qA，qA）=Xt=1,2Xi=A，Be-r（t-1） 城市。（21）与一个时期的总成本（等式（6））相比，这现在是两个时期的生产函数。我们使用与之前相同的均值-方差目标函数，其详细信息见附录D。

优化问题是最小化的：qA，qAf（qA，qA）=EV（qA，qA）+ λVarV（qA，qA）（22）根据：qA∈ [0，K]，qA∈ [0，K]。6.2结果为了说明折现率r和风险规避λ如何在这两个时期内影响最优生产，我们确定了所有其他技术参数和生产约束，然后绘制了一系列r-λ对的目标函数。由于f现在是两个控制变量qA和qA的函数，我们将其值绘制为这些轴上的等高线/热图。图13显示了九对低、中、高贴现率和风险规避的结果：r=0.1、1.0、3.0、λ=0.1、0.5、3.0。这里使用的两种技术与第5节（表2）中的不对称情况相同，总产量KI设置为每个周期30个单位，因为这允许结果直接与图12中的一个周期情况相关。（此处显示的是单位产量，而不是百分比，以便于比较。）深蓝色对应较低的f值，深红色对应较高的值，尽管每个图的比例不同。同样通过蛮力优化获得的全局最小值显示为一个黑点（尽管这有时会形成几乎相同值谷的一部分）。6.3讨论我们观察到与单周期情况相同的现象：针对低风险厌恶的高度专业化解决方案（由于确定性学习反馈），针对高风险厌恶的更大差异（由于f中方差项的抵消效应），目标函数的多重优化，以及全局最优参数的不连续性。首先要注意的是，随着贴现率的增加，两个周期的问题变成了一个周期的问题。r=3.0列中的曲线图在Qa方向上几乎是一致的，因为第二阶段的成本被严重贴现，因此第二阶段生产的选择与f几乎没有差别。

这里的全局最优值对应于图12相关点所示的全局最优值。为了观察多个最优值的存在和全局最小值的瞬时切换，请考虑图13顶部和中间行最左侧的两个图。在顶行（λ=0.1）中，两个图由同心椭圆形等值线组成，最大偏移位于其中心。所有四个角都是局部极小值，反映出确定性经验曲线设置中的强烈反馈根本不鼓励任何多元化。如前所述，在多周期设置中，目标函数的选择比在单个周期中更微妙和重要；我们将此考虑留作将来的研究。选择这些值仅用于说明目的，以便清楚地显示各种特征。然而，为了证明这些贴现率的合理性，有必要考虑一个时期的长度约为30-40年。这可能是由能源部门的长远发展所推动的；例如，火力发电厂的设计寿命为30至40年。0 10 20 300102030qA2r=0.1λ=0.10 10 20 300102030r=1.00 10 20 300102030r=3.00 10 20 300102030qA2λ=0.50 10 20 3001020300 10 20 3001020300 20 30QA1010203QA2λ=3.00 10 20 30QA10102030 10 20 30QA10102030图13：显示一系列风险规避和贴现值的两个时期目标函数值的热图，作为技术领域第一和第二阶段生产的函数（qA，qA）。蓝色对应较低的f值，红色对应较高的值，全局最优值显示为黑点。这里使用的技术是第5节中的不对称技术：A是一种更便宜、成熟、现有的技术，B是一种年轻、快速学习的挑战者。当r从0.1变为1.0时，全局最优值从（0，0）切换到（30，30）（类似于图3）。

这是因为，当第二阶段成本仅作弱折扣时，technologyB较高的经验指数有可能产生足够低的预期第二阶段成本，值得在第一阶段将生产集中在B，然后在第二阶段收获回报。但当第二阶段的成本被适度地扣除时，这第二阶段的“回报”在f中的总价值较低，因此在任何一个阶段生产任何技术B都是不值得的。（这只是贴现的标准确定性经验曲线行为。）在中间一行（λ=0.5），我们再次观察到最佳切换行为，但情况更加微妙。f现在是一个马鞍，相反的角形成不同的极小值和极大值，作为f贡献的不同期望和方差分量，并以复杂的方式相互作用。然而，与第一行相比，这些地块的中心区域通常不那么吸引人，因为风险规避允许更多的平衡投资组合。当r从0.1到1.0变化时，全局最优值从（0，23）左右切换到（30，0）。当贴现非常弱时，最优策略再次是最初集中于技术B的生产，以降低成本，但随后在第二阶段略微多样化，以降低差异。当贴现适度时，技术B的预期成本降低值不足以覆盖A的初始成本优势，因此第一阶段的生产集中在A。然而，第二阶段的生产转向完全集中在技术B。这可能是由于f中的协方差项（见等式。

（52））包含产品qAqA，因此将其中一个项设置为零有好处，在这种特殊情况下，影响足够大，可以产生所示的bang-bang解决方案。然而，由于f的所有10个组成部分（见附录D）都是在这种适度风险规避/适度贴现制度下相互交易的，因此任何特定影响的相对大小都不清楚（无需进一步分析）。最后，在最底层（λ=3.0），风险厌恶情绪强烈，因此多元化是最佳的。解决方案空间的整个区域产生相同或相似的f值。这是因为，正如在一个周期的情况下，预期的进度与该进度的确定性进行了交换，并且相同的目标函数值可以通过许多不同的第一和第二周期生产组合来实现。正如在单周期问题中一样，由于目标函数的函数形式，当任何一个基础参数连续变化时，也会出现此处所示的r和λ参数的内在最佳切换行为。6.4情景比较中贴现和风险规避的影响虽然整个解决方案空间的优化对于理解模型的基本属性至关重要，但在某些情况下，这是不可取的或不可能的，最好简单地比较一组受限投资组合的绩效。我们将其称为场景比较（因为这更好地体现了比较以不同技术混合为特征的世界的想法）。如果存在其他系统约束，或者由于以下原因，解决方案空间非常大，则这可能很有用。首先，在实践中，技术并不是完美的替代品，因此，尽管它们在某些主要特征（即。

“生产”），其他次要特征可能要求以其他方式限制投资组合。对于0 1 2贴现率，R35445050665F（qA1，qA2，r）λ=0.10 1 2贴现率，r40506070λ=0.50 1 2贴现率，R6080100140160λ=3.095%A两个周期50-50两个周期95%B两个周期图14：显示在低、中、高风险规避制度下，三种不同技术情景下目标函数如何随贴现率变化的曲线图。这些技术与图13中的相同。对于低风险厌恶和中等风险厌恶，有一个临界贴现率分离制度，其中首选不同的情景。例如，不同时期的解决方案可能在许多实际情况下都是不切实际的。或者再举一个例子，考虑一下电网上的能源技术组合。虽然就年总发电量而言，它们可能被视为替代品，但为了确保电网稳定，必须满足许多其他工程和物理限制。这将对此类技术组合施加额外限制；当然，这些约束可以显式建模，并构建更复杂的目标函数，但这超出了本文的工作范围（和精神）。其次，考虑扩展模型以包括更多的技术和/或周期。随着控制变量数量的增加，蛮力优化很快变得难以计算，而且由于问题是非凸的（由于经验曲线反馈），局部优化方法不能保证找到全局最优。

因此，可能有必要使用启发式参数来指定一组受限的可用投资组合，并直接进行比较。现在，由于投资组合是在情景比较设置中确定的，这就允许对贴现和风险规避的影响进行替代性分析。我们用一个例子来说明这一点，使用了本节前面相同的两周期模型和非对称技术。假设由于额外的系统限制，只有三种方案可用：两个时期都有95%的技术A，两个时期都有50%的技术A，两个时期都有95%的技术Bin。图14显示了三种不同的风险规避制度（λ=0.1、0.5、3.0），在每种制度中，目标函数显示为每种情况下贴现率的函数。这表明贴现率如何影响每个风险规避机制中三种可用情景的偏好顺序。这些图很容易追溯到IG。以上第13条。当风险规避率较低时，两个时期的首选方案均为95%的技术B，用于轻度贴现，但随着贴现率的增加，这变得不那么有利，并且存在一个临界贴现率，高于该临界贴现率，两个时期的首选方案均为95%的技术a。当风险厌恶程度适中时，两个时期都为50%。g、 如果存在大量间歇性可再生技术，则可能还需要大量的储能或其他备份技术，具体取决于每日和季节性需求模式。对于低折扣，所有三种情况在折扣适中时大致相同，而当折扣较高时，两个时期的95%A是首选。当风险厌恶程度较高时，无论贴现率如何，两个时期的技术各占一半都是首选方案。第6.3节中给出的相同论点和解释适用于此处。

很明显，这只是一个程式化的模型，场景有限，但关键是在某些情况下，存在一个临界贴现率，在这种情况下，首选不同的场景。虽然这种结果在确定性情况下是众所周知的，在像这样的低维随机模型中也是微不足道的，但在多技术、多周期的环境中，这种技术可以提供对不同技术场景偏好顺序的基本洞察。7结论在本文中，我们考虑了两种遵循随机经验曲线的技术，并描述了最优投资（或生产）策略的特征。我们使用了一个objectivefunction来解释总投资组合成本和不确定性。最优投资取决于风险规避、初始条件（相对技术成熟度和初始成本）、进度特征（平均进度率和未来冲击的不确定性）和市场规模；在多期情况下，还应考虑贴现率。与经典的马科维茨投资组合相比，在我们的背景下，投资降低了边际成本，创造了越来越大的动机，继续投资于同一期权。但与这些自我强化效应导致完全专业化的确定性情况相反，我们发现，即使一种期权具有更好的内在技术特征，考虑不确定性和风险规避也会促进多元化。因此，我们的结果表明，专业化或多样化的选择如何取决于基础参数和初始条件。至关重要的是，我们发现问题的非线性导致了多个局部最优，因此可以同时存在非常不同的最优投资组合，而全局最优作为参数变化在它们之间瞬间切换。

这意味着在参数空间的关键区域内，其中一个参数的微小变化可能会导致最优投资组合发生非常显著的变化。我们在技术投资组合和金融资产投资组合之间建立了分析联系。内生技术变化的赖特定律模型可以在一系列近似中进行扩展，其领先项与金融资产的马科维茨模型中的领先项等效。只有高阶非线性项才有助于学习反馈，因此马科维茨模型可能被视为技术组合模型的无学习极限。我们还表明，模型中学习反馈的强度取决于一整套模型参数，但尤其取决于技术之前的累积产量和未来总需求水平。因此，每种技术都可能被视为存在于更类似资产和更类似技术的频谱上，具体取决于现有的一组特定参数。我们还考虑了两个时期的情况，并发现在情景比较设置中（即，当比较有限数量的可用投资组合时，就像在高维应用中一样），贴现率起着关键作用。对于给定的风险规避水平，贴现率决定了所引用的可用投资组合。这些发现有助于为理解技术在简单的均值-方差框架中的行为奠定理论基础，并深入了解在不确定的内生技术变革背景下，多重优化是如何产生的。确认该项目主要由新经济合作伙伴支持。该项目还获得了欧盟地平线2020研究与创新计划（Horizon 2020 research and Innovation Program）的资助。

730427（COP21 RIPPLES），以及欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/第611272号ERC赠款协议（GROWTHCOM）下的欧洲研究理事会。作者感谢所有这些财政支持来源，此外，感谢牛津马丁学院新经济思想研究所的持续支持。我们还要感谢卡梅伦·赫本、亚历克斯·泰特尔博伊姆、托尔斯滕·海因里希、杰西卡·E·特兰西克和贝拉·纳吉的有益评论和讨论。附录A级数展开式（1+x）α的标准Maclaurin级数展开式近似为（1+x）α=∞Xn=0αnxnN | x |<1（23）=1+αx+α（α- 1） 2个！x+α（α- 1） （α- 2） 3个！x+。（24）其中αn是广义二项式系数αn=α（α- 1） 。（α- n+1）n！，α∈ C、 （25）将x设置为qi/zi（qi<zi），将α设置为-α原声1+七子-αi=1- αi七子+α（α+1）七子-α（α+1）（α+2）七子+ . . . . （26）然后从式（12）中，我们得到f=Xi=A，Bciqi1+七子-αie（σi）/2+λ（ciqi）1+七子-2αie（σi）e（σi）- 1.,hencef=Xi=A，Bciqi1- αi七子+α（α+1）七子- . . .!e（σi）/2（27）+λ（ciqi）1.- 2αi七子+ . . .e（σi）e（σi）- 1..因此，如果qi比zi小得多，那么通过丢弃级数展开式中除零阶项以外的所有项而形成的近似将是合理的。这给出了f的最低阶近似值，f≈Xi=A，Bciqie（σi）/2+λ慈济市e（σi）e（σi）- 1., （28）与马科维茨目标函数具有相同的形式，其中cie（σi）/2发挥预期收益的作用和（ci）e（σi）e（σi）- 1.差异的作用。注意，虽然级数展开式（26）在qi<zi的情况下收敛，并且在qi提供的零阶项（即1）的情况下合理地近似 zi，f（式（28））的较低近似值包括丢弃式（27）期望部分中的（qi）ziterm，因此只有在（qi）时才是合理的 zi。

因此，完全优化问题类似马科维茨的正确条件是K zi公司i、 可以类似地计算f的高阶近似值以及相应的有效性条件。参见Kraus&Litzenberger（1976）等，了解有关投资组合选择的更多详细信息，涉及偏好而非偏度。B第3.3B节随附的分析点。1多样化的开始对于一对给定的技术，由于回报增加，风险中性投资组合（λ=0）总是将生产完全集中在一种技术上，而对于风险规避程度较高的技术，投资组合在两种技术上都有所不同。通过计算角点解和内部解的交点，可以通过分析发现这两种制度之间发生过渡（即多元化开始）的风险规避值。这是通过在一阶条件方程（f（qA）=0）中替换相关边界条件（qA=0或qA=K），并求解λ来实现的。例如，考虑当αB≈ 图1中的0.8。对于低风险厌恶，最佳的投资组合是100%技术B，但随着λ的增加，存在一个值λ多元化，此时技术a首先进入投资组合。设置f（0）=0（公式（8）给出f），求解λ得到λ偏差（αB）=cAe（σA）/2- cB公司zBzB+KαBe（σB）/21.-αBKzB+K2K（cB）zBzB+K2αBe（σB）e（σB）- 1.1.-αBKzB+K（29）=EcA（0）- EcB（K）1.-αBKzB+K2KVar（cB（K））1.-αBKzB+K. （30）在该表达式中插入表1中的参数值，并将αB=0.8设置为λ偏差=0.255，这当然与图1一致。注意，该表达式独立于αA，仅在规定的参数空间的特定区域给出了解释（关于多样性），它本身并不确定qA=0是否为全局最小值；必须单独验证。

从100%技术A投资组合开始的多元化开始有一个等效表达式，计算方式完全相同。在为曲面的这两个主要特征建立了解析表达式之后，这只留下了曲面本身的不连续性，我们接下来将考虑这一点。B、 2不连续的位置观察到，在图3中，全局最小值随αB连续变化。这与目标函数的平滑度有关。事实上，全局最小值随所有基础参数不断变化，特别是在图1的整个αB-λ网格上。因此，当从两侧接近时，图1中表面不连续处的f值是相同的，因此我们有f（qA*) = f（K- 质量保证*). 这意味着在不连续性附近，其两侧的投资组合对称，约占50%的生产份额。例如，在图。3和4不连续性两侧（即最佳切换点）的相邻投资组合约为50%，约为20%和80%的股份。此外，如果qA*精确已知（即在小λ、全特化区域，其中qA*= 0或K），thisinsight允许通过分析计算不连续的位置。例如，考虑固定αB=0.65时发生的情况。随着风险规避从零增加，最优投资组合从0%切换到100%技术A。通过求解λ的f（0）=f（K），可以找到发生这种切换的临界值λswitch，从而得出λswitch=cA扎扎+KαAe（σA）/2- cB公司zBzB+KαBe（σB）/2K（cB）zBzB+K2αBe（σB）（e（σB）- （1）- （加利福尼亚州）扎扎+K2αAe（σA）（e（σA）- （1）=E钙（K）- EcB（K）K[Var（cB（K））- Var（cA（K））]。

（31）尽管如此，请注意，该表达式仅在规定的参数空间特定区域给出了解释（不连续的位置），它本身并不确定qA=0，K是否为全局最小值；这必须单独验证。同样的技术也可沿αb轴使用，以计算不连续发生时的αb值，即固定λ。一般来说，这没有初等闭式解，尽管对于特殊情况λ=0：求解αB的f（0）=f（K），λ=0，得到αB开关λ=0=logcAcB公司+（σA）- （σB）+ αAlog扎扎+K日志zBzB+K. （32）插入相关参数，我们在图1中找到αb开关|λ=0=0.596。对于λ的其他值，可通过数值计算得出该解。例如，将λ=0.1和解f（0）=f（K）作为αByields的值αBswitch=0.681，这与图1再次匹配。C类似技术的需求风险面为了与两种不对称技术的情况进行比较（图12），图15显示了图15中两种几乎相同技术的类似面：第3节中两种几乎相同技术的总需求和风险规避变化时技术A产量的最佳份额面，αB=0.65。第3节，αB=0.65（因此技术B的经验指数略高，但噪声方差也略高）。由于这些技术具有类似的特征，在K-λ空间中，很少有完全专业化等时的区域。（尽管K轴标度不同，但其他特征与图12大致匹配，因此比较是正确的。）与图12相比，对于λ高于0.2左右的任何值，最佳混合现在是多样化的（非常小的K除外），并且任何一种技术都是显性的，这取决于K。图。

6正是通过该图的λ=0.25截面，这解释了此处观察到的非常小的“壁架”的近似马科维茨原点。D两阶段目标函数这里我们提供了两阶段目标函数的期望和方差分量的表达式。我们有f（qA，qA）=EV（qA，qA）+ λVarV（qA，qA）, （33）式中，V（qA，qA）=Xt=1,2Xi=A，Be-r（t-1） citqit（34）=Xi=A，Bciqi+e-rciqi（35）是系统当前的总贴现成本，第一期和第二期技术成本由ci=ci给出zz公司αieηiand ci=cizz公司αieηi+ηi（36）。噪声冲击，ηA，ηA~ N（0，（σA））和ηB，ηB~ N（0，（σB）），都是独立的。现在，在单期问题中，技术的独立性意味着Var（V）中没有协方差项，但在这里，即使技术仍然是独立的，每种技术的第二期成本取决于其自身的第一期成本，因此需要考虑非零协方差项。要简化符号，请写入“cit=ci”zzt公司αi（37），使ci=\'cieηi and ci=\'cieηi+ηi.（38）然后需要以下结果：Eheηii=e（σi）/2（39）Eheηi+ηii=e（σi）（40）Vareηi= e（σi）e（σi）- 1.（41）Vareηi+ηi= e2（σi）e2（σi）- 1.（42）Coveηi，eηi+ηi= e3（σi）/2e（σi）- 1.. （43）因此，f的期望分量由[V]=E“Xi=A，Bciqi+E给出-rciqi#（44）=Xi=A，BE慈济市+ Ee-rciqi公司（45）=Xi=A，BEh'ciqieηii+Ehe-r'ciqieηi+ηii（46）=Xi=A，B'ciqie（σi）/2+e-r'ciqie（σi），（47）和方差分量byVar（V）=VarXi=A，Bciqi+e-rciqi！（48）=Xi=A，BVarCI QI+e-rciqi公司（49）=Xi=A，BVar(R)ciqieηi+e-r'ciqieηi+ηi（50）=Xi=A，B\'\'慈琪风险值eηi+e-r'次齐风险值eηi+ηi+ 2e类-r'ci'ciqiqiCoveηi，eηi+ηi（51）=Xi=A，B\'\'慈琪e（σi）e（σi）- 1.+e-r'次齐e2（σi）e2（σi）- 1.+ 2e类-r'ci'ciqiqie3（σi）/2e（σi）- 1.. （52）参考Alberth，S.&Hope，C。

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