实际上，表示Hεt=-δσ(1-Yyt公司-Yy+εt），我们有Yεt=expZtHεsdWs-Zt（Hεs）ds.因此(Yεt）=expZtHεsdWs- 4Zt（Hεs）ds= 经验值Zt（Hεs）ds经验值Zt4HεsdWs-Zt（4Hεs）ds由于Hε一致有界于Δσ，因此上述表达式中的第二项为amartingale，我们推断，对于任何停止时间τ，取[0，T]E中的值[(Yε）τ]≤ exp（6Tδσ）。使用该Yεt→ Uytal最肯定的是≥ 0，作为ε→ 0，我们得出结论0≥ uy（x，y）≥ - C Eh{τK∧T<τ*}e-r（τK∧T）（1+Xx，yτK∧T） UyτK∧Ti（6.25）- EhZτ*∧τK∧Te公司-rtXx，ytUytdti。在上述估计中，我们使用了τεK↑ τKand 1{τεK∧T<τ*}→ 1{τK∧T<τ*}asε→ 0，（6.26），由（x，y）的连续性得出→ Xx，Yan和P（τ*= τK）=0（见命题4.1）。请注意，上述估计还意味着Uyτ在土地Xx上有界，yτ·Uyτ在L上有界，与停车时间τ一致∈ [0，T]和（x，y）∈[K，x+1]×（0，1）。仍需将限值取为（x，y）→ （x，y）带（x，y）∈ C、 通过采样路径τ的连续性*（x，y）=^τ*（x，y）表示（x，y）∈ C、 我们使用命题6.3的（i）支配收敛和（6.25）（以及Px，y（τK>0）=1）得到lim（x，y）→（x，y）uy（x，y）=0。（6.27）后者意味着uyat的连续性S、 证明Uy也是连续的我们需要以稍微不同的方式进行辩论。固定（x，y）∈ 开关y<B并拾取（x，y）∈ C、 在不损失一般性的情况下，我们考虑x=b（y），因为证明需要对x=K进行微小的更改。我们设置γ*=γ*（x，y）（Xx，y，Yy）首次进入砂中的时间，用τε=τ表示*（x，y-ε） 第十次（Xx，y-ε、 Yy年-ε） 对于某些ε>0。然后我们定义ηε：=τε∧γ*∧τK∧T对于某些T>0。我们再次回顾，τK=τK（x，y）≤ τK（x，y- ε） 。22 TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST’EPHANE VILLENEUVEWe知道u（x，y）- u（x，y- ε) ≤ 引理3.1和（6.13）的（i）中的0。

为了找到下限，我们使用（6.17）和（6.18）以及getu（x，y）- u（x，y- ε）≥Ehe公司-rηεu（Xx，yηε，Yyηε）+Zηεe-rt（rK- δXx，ytYyt）dti- Ehe公司-rηεu（Xx，y-εηε，Yy-εηε）+Zηεe-rt（rK- δXx，y-εtYy-εt）dti。从这一点开始，我们可以重复上面使用的论点，直到进行微不足道的修改。这些使我们可以得出结论，uy在（K，bK）可能例外，因为如果K>0，命题6.3在该点不成立。如前所述，类似的论点允许证明uxis也在任何地方继续存在，但（K，bK）可能除外。因此V∈ Con（R+×（0，1））\\（K，bK）和v∈ Con（R×（0，1））\\（zK，yK）（见（5.6））。后者和（5.8）意味着vyy在所声称的C \\（zK，yK）上是连续的。仍然需要证明引理6.1，并且为了证明这一点，可以方便地将变量更改为坐标系（z，y）。我们设置w（z，y）=u（F（z，y），y）（6.28），符号为wz：=w/z、 wy：=w/y和y轴：=w/y、 在这些变量中，τKfrom（6.19）读取τK（z，y）=inf{t≥ 0:F（Zzt，Yyt）≤ K} 。请注意，对于k>0，边界CI为非递减，停止集在其下方滑动。因此（6.3）是涉及盲对数定律的标准参数的结果。相反，显示k>0的（6.4）更困难，因为cis也不减少，但在边界上方滑动。k<0时出现对称情况。在接下来的内容中，我们首先证明经典的光滑条件成立，然后证明在我们的假设下，这意味着引理6.1。在下一个引理中，我们仅在边界的单调性不允许基于重对数定律直接证明（6.3）或（6.4）的情况下考虑平滑。引理6.5。If（z，y）∈ 砂k<0，则wy（z，y+）=0。类似地，如果（z，y）∈ S、 z<zk，y=c（z），k>0，然后wy（z，y-) = 最后，如果（z，y）∈ S、 当y=yK（z）且k<0时，则vy（z，y+）=0。证据

我们在k>0的假设下进行证明（见（5.2））。当k<0时，对称参数保持不变，这在一般情况下不会导致损失。Let（z，y）∈ 开关y=c（z）。请注意，对于y∈ （y，yK（z））我们得到wy（z，y）=0。此外，我们从引理5.4中（i）的证明中知道，wy≥ （z，y）处局部为0。我们用矛盾论证并假设wy（z，y-) ≥ λ> 0. 后一个极限的存在是因为WZI是局部有界的（见（5.13））和| wyy |≤ c | wz |在Cdueto（5.8）中，对于合适的c>0。固定ε>0，考虑开放矩形Rε：=（z，z+ε）×（y- ε、 y+ε），设ρε=inf{t≥ 0：（Zzt，Yyt）/∈ Rε}。在不损失一般性的情况下，我们假设ρε≤ τK∧ τ*从（6.17）我们得到了（z，y）≤ Ee-r（t∧ρε）w（Zzt∧ρε，Yyt∧ρε）+Zt∧ρεe-卢比（rK- δYysF（Zzs，Yys））ds.（6.29）不完全信息的DYNKIN博弈23由于w（·，y）是非递增的（见（5.13）），并且Rε是有界的，我们可以根据Rε找到一个常数ε>0，这样w（z，y）≤ Ehe公司-r（t∧ρε）w（z，Yyt∧ρε）+Cε（t∧ ρε）i.（6.30）回顾wyy（z，·）在[y]上有界- ε、 y+ε]\\{y}，我们可以将它应用于getw（z，y）的o-tanaka公式≤w（z，y）+EZt公司∧ρεe-rsδ2σ[Yys（1- Yys）]wyy（z，Yys）1{Yys6=y}ds+ EZt公司∧ρεe-rs（wy（z，y+）- wy（z，y-))dLys（Yy）+Cε（t∧ ρε).（6.31）wyy（z，·）的有界性和假设wy（z，y-) ≥ λ给定0≤ -λEZt公司∧ρεe-rsdLys（Yy）+ CεE[（t∧ ρε）]（6.32）对于某些正Cε>0。对于0<p<1，给出了Burkholder-Davis-Gundy不等式和SomegalebrageZt公司∧ρεe-rsdLys（Yy）≥Ee-rtLyt公司∧ρε（Yy）=e-rtE公司|Yyt公司∧ρε- y型|≥e-rt（2ε）pE|Yyt公司∧ρε- y | 1+p≥e-rt（2ε）pcpEhYyi1+pt∧ρε≥e-rt（2ε）pcp，εEh（t∧ ρε）1+π，（6.33），cp，ε>0，取决于p和ε。将后者插入内部（6.32），并让t→ 我们达成了一个矛盾。因此它必须是wy（z，y-) = 证明完全类似于（z，y）∈ 砂k<0。还值得注意的是，对于（z，y）∈ 当y=yK（z）时，平滑条件等于vy（z，y+）=0，因为停止支付为ε。

使用引理5.4中的（iii）和类似于上述的参数，我们可以证明vy（z，y+）=0成立。引理6.1的证明。这里我们只考虑k>0的情况，但对于k<0，同样的结果也成立，这些结果可以用对称参数来证明。可以方便地从（6.28）中重新调用函数w。为了简洁起见，我们省略了（6.3）的证明，这是一个直接的结果，即cis不递减，YIS不退化，远离0和1，所以可以应用重对数定律。同样的原理可以证明（6.4）适用于y=yK（z），适用于z<zK。为了用y=c（z）和z<z证明（6.4），让我们通过矛盾和假设（x，y）来论证∈ S∩ {x>K}不是正则的或等价的（z，y）∈ S∩ RKis不规则（F（z，y）=x），即（6.4）不成立。选择y<y，ε>0，使y+ε<y。表示^γε=^γ*（z，y+ε），^τ=^τ*（z，y），^γ=^γ*（z，y），τεK=τK（z，y+ε）。注意τK（z，y）≥ τK（z，y+ε），然后从（6.17）和（6.18）开始，设置λε：=24 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST’EPHANE VILLENEUVE^τ∧ ^γε∧ τεK∧ T我们得到w（z，y+ε）- w（z，y）≥EZλεe-rtδYytF（Zzt，Yyt）- Yy+εtF（Zzt，Yy+εt）dt公司+ Ehe公司-rλεw（Zzλε，Yy+ελε）- w（Zzλε，Yyλε）我≥EZλεe-rtδYytF（Zzt，Yyt）- Yy+εtF（Zzt，Yy+εt）dt公司（6.34）在上一个不等式中，我们使用了y 7→ w（z，y）是非递减的，如引理5.4的证明所示。回想一下y（yF（z，y））严格为负（见（5.18）），因此几乎可以肯定，对于所有ε>0，我们有zλεe-rtδYytF（Zzt，Yyt）- Yy+εtF（Zzt，Yy+εt）dt公司≥ 在命题6.4的证明中，我们有τεK↑ τKasε→ 此外，γε增加ε→ 0，因此^γ-:= limε→0^γε≤ ^γ，P-a.s.证明逆不等式we fixω∈ Ohm选择δ>0，使^γ（ω）>δ。尤其是我们有≤t型≤δ（c（Zzt）- Yyt）（ω）≥ 对于某些cδ，cδ（ω）>0（6.35）。

回想一下（t，y）7→ Uyt（ω）是连续的，因此在[0，δ]×[0，1]上有一个常数cδ（ω）>0。使用| Yy+εt- Yyt |（ω）≤ cδ（ω）·εwe findinf0≤t型≤δ（c（Zzt）- Yy+εt）（ω）≥ cδ（ω）- cδ（ω）·ε来自（6.35）。这意味着对于所有ε足够小的^γε（ω）>δ。由于δ是任意的，我们得出limε→0^γε(ω) = ^γ(ω). 这个论点适用于a.e.ω∈ Ohm 因此我们得到limε→0^γε=^γ，P- a、 ^γε和τεkimplyimε的s.收敛性→0λε= ^τ ∧ ^γ ∧ τK∧ T、 P- a、 s.用ε除以（6.34），取限值为ε→ 0，我们可以使用Fatou定理和表达式（5.18）来y（yF（z，y））获得wy（z，y）≥ -δE“ZT∧^τ∧^γ∧τKe-rtUytF（Zzt，Yyt）1- Yyt公司-σδ1 - Yyt！dt#。（6.36）现在我们让y↑ 并使用P-a.s.以下限值保持^γ*（z，y）↓ ^γ+*（z，y）≥ ^γ*（z，y），^τ*（z，y）↑ ^τ*（z，y）和τK（z，y）↓ τK（z，y）。我们特别注意到对于^τ的收敛性*我们可以使用与上述用于^γε收敛的参数相同的参数。ClearlyP（τK（z，y）>0）=P（^τ*（z，y）>0）=1，根据假设，P（^γ*（z，y）>0）>0。再次使用Fatou引理，取limitsin（6.36）停止时间θ（z，y）：=（^τ）∧ ^γ ∧ τK）（z，y）收敛到停止时间θ（z，y）>0，P-a.s，因此wy（z，y-) > 0，这与引理6.5中的光滑性原则proven相矛盾。总之，（z，y）对于S必须是正则的，即（6.4）保持。请注意，由于S的几何结构，（Zz，Yy）只能通过在信息不完整的情况下打击c.A DYNKIN游戏来进入SB7。纳什均衡的存在性根据前几节的结果，我们可以证明不完全信息博弈的纳什均衡的存在性。我们在此回顾，这种存在的两个主要困难来自于停止支付函数缺乏统一的可积性以及问题是二维的这一事实。在本节的其余部分中，我们进行下一个长期假设。假设7.1。

我们假设σδ>1。下一个结果将允许我们避免一致可积性的缺乏，并表明边界总是严格正的。引理7.2。对于每个z∈ R我们有c（z）>0。证据通过矛盾论证，我们假设存在z∈ R使得c（z）=0。因此（z，y）/∈ 砂（F（z，y），y）/∈ Sfor所有y∈ （0，1）。（7.1）由于F（·，y）在增加，第4节中研究的S的性质意味着，对于fixedh>0，我们可以定义条带C（h）：={（z，y）∈ R×（0，1）| F（z- h、 y）≤ x个≤ F（z，y）}和C（h）∩ S=.特别是如果我们选择y∈ （0，1）和x=F（z- h、 y）然后，在不损失一般性的情况下，假设k>0（见（5.2）），我们得到τ*≥ h、 Px，y-a.s.后一个是所有t∈ [0，h]偶（Xx，yt，Yyt）位于C（h）中，因为它的联合分布是沿着{（F（z））曲线进行的-h+kt，ζ），ζ），ζ∈ （0，1）}（见备注5.1）。请注意，对于k<0且x=F（z- h、 y），F（·，y）和（7.1）的单调性意味着τ*= +∞Px，y-a.s.）。定理3.2给定SV（x，y）≤ Ex，yhe-r（h∧τ*)V（Xh∧τ*, Yh公司∧τ*)i=Ex，yhe-rhV（Xh，Yh）i≤ Ex，y[e-rhXh]=F（z- h、 y）Ey[e-δRhYtdtMh]，（7.2），其中Mh=exp（σWh-σh）。我们的目的是证明，对于y，我们得到f（z）非常接近于零- h、 y）爱和-δRhYtdtMhi≤ G（F（z- h、 y））=F（z- h、 y）- Kor等效Θ（y）：=F（z- h、 y）1.- 爱和-δRhYtdtMhi≥ K、 （7.3）后者和（7.2）导致V（x，y）≤ x个- K、 因此产生了矛盾。通过Girsanov定理定义概率测度P（σ）bydP（σ）ydPy=mh，我们得到W（σ）t=Wt- σt，t≥ 0是低于（σ）y的布朗运动。

此外，在新度量下，Y根据yt=Y演变-ΔσZtYs（1- Ys）dW（σ）s- δZtYs（1- Ys）ds。26 TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST’EPHANE Villeneuvef根据上述动力学，紧接着是E（σ）y（Yt）≤ y代表所有t≥ 0和（7.4）E（σ）y（Yt）≥ y- δ中兴通讯（σ）y（Ys）ds≥ y（1- δt）。使用不等式1- e-u≥ u-u的uvalid≥ 0，我们有Θ（y）=F（z- h、 y）Eyh1.- e-δRhYtdtMhi公司≥ F（z- h、 y）δE（σ）yZhYtdt公司-δE（σ）yZhYtdt公司!≥ F（z- h、 y）yδZh（1- δt）dt-δhE（σ）yZh（Yt）dt,对于最后一个不等式，我们使用了（7.4）和Cauchy-Schwarz不等式。我们的目标是显示e（σ）yZh（Yt）dt≤ hy.（7.5）为了看到这一点，我们观察到在概率测度p（σ）下，yi是一个上鞅。实际上，应用It^o的公式，我们得到d（Yyt）=-2Δσ（Yyt）（1- Yyt）dW（σ）t- δ（Yyt）（1- Yyt）dt+Δσ（Yyt）（1- Yyt）dt，SDE的漂移部分为非正，因为σδ>1。因此（7.5）保持不变。最后我们得到Θ（y）≥ δh y F（z- h、 y）1.-δh（1+y）.（7.6）回顾y∈ [0，1]，对于非常小的h，我们有1>δh（1+C y）。此外，当σ/δ>1时，立即检查y F（z- h、 y）→ +∞ 作为y→ 0（见（5.5））。（7.6）中的右侧发散，产生所需的矛盾。现在我们可以证明我们的博弈存在一个鞍点。提案7.3。如果k>0，则该对（γ*, τ*) 定理3.2中定义的是鞍点。证据因为定理3.2保证了γ的最优性*, i、 e.V（x，y）≥ Mx，y（τ，γ*), 对于所有τ∈ T，仍需证明τ的最优性*, 该isV（x，y）≤ Mx，y（τ*, γ） ，对于所有γ∈ T，让z∈ R固定并设置x=F（z，y）。

引用定理3.2，并观察到对于任何固定的t>0和γ，V（Xτ*, Yτ*)1{τ*≤t型∧γ} =G（Xτ*)1{τ*≤t型∧γ} 我们得到V（x，y）≤Ex，yhe-r（t∧τ*∧γ） V（Xt∧τ*∧γ、 年初至今∧τ*∧γ） 我≤Ex，ye-rτ*G（Xτ*)1{τ*≤t型∧γ} +e-rγG（Xγ）1{γ<t∧τ*}+ Ex，ye-rtV（Xt，Yt）1{t≤τ*∧γ}对于任何停止时间γ，具有不完全信息的DYNKIN对策。现在，我们证明了上述表达式的最后一项在t时收敛到零→ +∞.首先请注意，cis不递减（见推论5.5），因此ζ7→ （b）oc） （ζ）因推论4.5而不增加。对于t≤ τ*我们有Xxt=F（Zzt，Yyt）≤ b（Yt），而Yyt≥ c（Zzt）≥ 变量变化后的c（z）。然后b（Yt）≤ （b）oc） （z）我们有统一的绑定Xxt≤ （b）oc） （z）=：AZ代表t≤ τ*. 注意，c（z）>0表示引理7.2，因此我们也有az<+∞.使用这样的界限，我们可以得到x，ye-rtV（Xt，Yt）1{t≤τ*∧γ}≤ G（az）e-rt公司→ 0，作为t→ 接下来，单调收敛定理yieldsV（x，y）≤限制→+∞Ex，ye-rτ*G（Xτ*)1{τ*≤t型∧γ} +e-rγG（Xγ）1{γ<t∧τ*}=Ex，ye-rτ*G（Xτ*)1{τ*≤γ} +e-rγ*G（Xγ）1{γ<τ*}=Mx，y（τ*, γ） ，即τ*最适合买家。现在，我们来分析k<0的情况，对于这种情况，我们在对参数进行更强假设的情况下，证明了纳什均衡的存在性。我们从一个辅助引理开始，这个引理需要以下假设（还记得假设7.1中σ/δ>1）。假设7.4。我们取r，使得Δσδ+σ< r<δ+ σ.（7.7）注意，（7.7）实际上意味着k<0。引理7.5。根据假设7.4，它认为：limt→∞e-rtF（z+kt，c（z+kt））=0，z∈ R、 证明。第一个注意事项E-rtF（z+kt，c（z+kt））=ez+（k-r） t型1.- c（z+kt）c（z+kt）σδ.然后回想c（·）≤ yK（·）（见（5.11）），因为k<0，所以c（z+kt）→ 0 ast→ +∞. 因此，有必要证明→ ∞c（z+kt）≤ c eαt，（7.8）对于某些常数c>0和α<Δσ（r- k） 。定义λa=inf{t>0 | Yt≤ a} 。让z∈ R、 y>c（z），x=F（z，y）。

请注意，由于z→ c（z）是非递减的，k<0，我们有τ*≥ λc（z）Px，y-几乎可以肯定。因此，对于所有t≥ 0定理3.2给定sv（x，y）≤ Ex，yhe-r（t∧λc（z））VXt公司∧λc（z），Yt∧λc（z）i（7.9）=Ex，yhe-rtV（Xt，Yt）1{t<λc（z）}+e-rλc（z）VXλc（z），c（z）{λc（z）≤t} i.在事件{t<λc（z）}上，我们有Xt≤ b（Yt）和Yt≥ c（z），Px，y-a.s.，因此≤ （b）o c） （z）=：az<+∞, Px，y-a.s.（如命题7.3的证明）。LatterImplies公司-rtV（Xt，Yt）1{t<λc（z）}≤ e-rtXt{t<λc（z）}≤ e-rtaz{t<λc（z）}28 TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST'EPHANE Villeneuvean和hencelimt→0Ex，yhe-rtV（Xt，Yt）1{t<λc（z）}i=0，Px，y-a.s.取（7.9）中的限值作为t→ ∞ 利用单调收敛，我们推导出v（x，y）≤ Ex，yhe-rλc（z）VXλc（z），c（z）{λc（z）<∞}我≤ Ex，yhe-rλc（z）Xλc（z）{λc（z）<∞}i=爱和-rλc（z）F（z+kλc（z），c（z））1{λc（z）<∞}i=ez1.- c（z）c（z）σδEyhe(-r+k）λc（z）{λc（z）<∞}为了计算λc（z）的拉普拉斯变换，我们需要回顾LYf的基本解- （r）- k） f=0，其中Ly表示扩散Y的微型发生器。设ψ为唯一正增解，φ为唯一正减解，则ψ（y）=yβ（1- y） 1个-β和φ（y）=y1-β(1 - y） β，其中β=σδ+1是β（β）的最大溶液- 1） =2σ（r- k） δ=σδσδ+ 1.根据φ，λc（z）的拉普拉斯变换读取（回忆一下y>c（z））Eyhe(-r+k）λc（z）{λc（z）<∞}i=y1-β(1 - y） βc（z）1-β(1 - c（z））β。总之，对于任何z∈ R和y>c（z），取x=F（z，y），我们有（回忆（5.6））v（z，y）=v（x，y）（7.10）≤ ez公司1.- c（z）c（z）σδy1-β(1 - y） βc（z）1-β（1- c（z））β=（1- y） （1）- c（z））F（z，y）。现在我们确定z∈ R并选择a>1，使a c（z）<1。

自v（z+kt，a c（z+kt））≥F（z+kt，a c（z+kt））- K代表所有t≥ 0我们可以使用后者和（7.10），将其中的（z，y）替换为z+kt，a c（z+kt）, 估计-K≤ （五）- F）（z+kt，a c（z+kt））≤ -（a）- 1） c（z+kt）1- c（z+kt）F（z+kt，a c（z+kt））。简单代数givesc（z+kt）≤ c eαt对于某些常数c>0，取决于z、K和a，且α=-kδ/（σ）- δ). 现在假设7.4意味着-kδσ-δ<δσ（r- k） 按照（7.8）的要求。提案7.6。在假设7.4下，对（τ*, γ*) 是一个鞍点。证据如命题7.3所示，我们只需证明τ的最优性*我们以类似的方式进行争论。让z∈ R固定并设置x=F（z，y），然后如在不完全信息的命题证明DYNKIN博弈297.3中，我们发现v（x，y）≤ Ex，yhe-r（t∧τ*∧γ） V（Xt∧τ*∧γ、 年初至今∧τ*∧γ） i=Ex，ye-rτ*G（Xτ*)1{τ*≤t型∧γ} +e-rγG（Xγ，Yγ）1{γ<t∧τ*}（7.11）+Ex，ye-rtV（Xt，Yt）1{t≤τ*∧γ}对于任何停止时间γ和任何t，在Px下，ywe有Xt=F（z+kt，Yt），对于t<τ*我们有Yt≥ c（z+kt），表示Xt≤ F（z+kt，c（z+kt））。后者是givesEx，ye-rtV（Xt，Yt）1{t≤τ*∧γ}≤ e-rtF（z+kt，c（z+kt）），根据引理7.5，它变为零。然后将极限取为t→ ∞ 在（7.11）中，我们还使用单调收敛来总结证明。8、结论性意见我们的方法依赖于获得股票价格的二维马尔可夫动态和股息率预期值的能力（考虑到股票的观察结果）。这源于股息率具有两点分布这一事实。类似地，如果D具有取n值的离散分布，我们可以使用过滤方法将问题简化为n维退化扩散上的停止博弈。然而，在这一点上应该清楚，对此类问题的自由边界分析可能非常复杂。

当分割率被允许包含很多值时，会出现更复杂的情况。在这种情况下，通过我们的过滤方法获得的动态可能很容易导致游戏的公式化，这对于自由边界方法来说很难解决。另一种方法依赖于使用Girsanov变换。虽然对该方法进行全面严格的分析超出了本论文的范围，但我们相信，概述该方法的主要思想并指出一些自然产生的问题可能对未来的研究有用。让一个进程（βt）t≥0由βt定义：=Bt+σ-1（右- δD）t，t≥ 0，我们有（2.1）中的股价readsSt=Sexpσβt-σt.（8.1）此外，过程β是t的F-布朗运动∈ [0，T]，根据Nt定义的Qde=dQdP英尺：=膨胀δD-rσβT+（δD-r） 2σT,（8.2）对于所有T≥ 0，其中F是由B和D生成的（增强）过滤。虽然通常不可能对F进行测量变更∞（参见，例如，[22，pp.192-193]），让我们暂时把这个问题放在一边，并假设D的分布足够“好”，允许使用（8.2）重写（1.3）asM（τ，γ）=等式Nτ∧γe-rτG（Sτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Sγ）1{τ>γ}.现在，我们定义了一个流程（Lt）t≥0带Lt：=等式[Nt | FSt]。由于（8.2），利用D和β在Q下独立的事实，并用S表示β（见（8.1）），we30 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST’EPHANE VILLENEUVEhave Lt=fD（t，ST，S）表示某些功能fD，具体取决于D的特定分布。然后，博弈的payoff readsM（τ，γ）=EQfD（τ∧ γ、 Sτ∧γ、 S）e-rτG（Sτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Sγ）1{τ>γ}（8.3）我们注意到，在某些情况下，FD可以显式计算。上述结构适用于任何允许证明F测量值变化的D定律∞（一项看似不平凡的任务）。

然而，在预期情况下，最终的博弈的支付明显取决于股票价格的初始值。规避此问题的一种方法是将Sas视为博弈公式（8.3）中的一个“参数”，并将其独立于过程的初始值进行处理。也就是说，我们将确定一个任意的“参数”，并用支付公式研究博弈fD（τ∧ γ、 Sτ∧γ、 秒）e-rτG（Sτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Sγ）1{τ>γ},（8.4）如果过程S从任意点S开始，可能与S不同。现在，对于每个点，必须用（8.4）中的Payoff解决Dynkin博弈，由于fD（通常）的复杂表达式，这仍然是一项具有挑战性的任务。此外，持续和停止区域的形状不仅需要作为时间的函数进行研究，还需要作为参数的函数进行研究。有趣的是，注意到上述方法对应于与时间不一致控制/停止问题密切相关的文献中对预承诺策略的研究。（感兴趣的读者可以参考，例如[6]和其中的参考文献，以获取一类时间不一致停止问题的最新详细研究，其中时间不一致性源于增益函数对过程起点的“参数”依赖性，即我们的fD（·，·，S）的模拟）。据我们所知，时间不一致的Dynkin游戏在文献中从未被提及。此外，对于承诺前策略在时间不一致的随机优化问题中是否是概念上的最佳前进方式，似乎没有明确的共识。这个有趣的问题留待将来研究。附录A.定理3.2的证明证明的主要思想是通过一系列有界停止支付由n索引的博弈来近似我们的博弈∈ N

对于每个近似问题，我们可以应用[16]中关于值和鞍点存在性的结果。最终我们传递到极限n→ ∞ 获得n的无边界payoff的博弈值的存在性≥ 1让我们定义函数G（n）i（x）=Gi（x∧ n） ，i=1，2。τ，γ的下一个∈ t让我们介绍相关的payoff M（n）x，y（τ，γ）=Ex，y[e-rτG（n）（Xτ）1{τ≤γ} +e-rγG（n）（Xγ）1{γ<τ}]。（A.1）根据定理2.1。在[16]中，有payoff（A.1）的博弈有一个值，即V（n）（x，y）=supτinfγM（n）x，y（τ，γ）=infγsupτM（n）x，y（τ，γ）。此外，停止时间τn=inf{t≥ 0 | V（n）（Xt，Yt）=G（n）（Xt）}，γn=inf{t≥ 例如，在D的简单情况下，0 | V（n）（Xt，Yt）=G（n）（Xt）}~ N（0，1）我们有fD（t，s，s）=（1+t（δ/σ））-1/2经验g（t，s，s）/（1+t（δ/σ））,g（t，s，s）：=2tq（t，s，s）-t[rσ-tq（t，s，s）]/（1+t（δ/σ））和q（t，s，s）：=σ-1ln（s/s）+σt/2。具有不完全信息的DYNKIN博弈形成纳什均衡。SinceG（n）（x）≤ V（n）（x，y）≤ supτM（n）x，y（τ+∞) ≤ （n）- K） +和G（n）（x）=（n-K） +表示x≥ n、 那么V（n）（x，y）=G（n）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（∈ [n+∞)×[0, 1].后者意味着{（x，y）| V（n）（x，y）=G（n）（x）} [0，n]×[0，1]={（x，y）| G（x）=G（n）（x）}，因此γn=inf{t≥ 0 | V（n）（Xt，Yt）=G（Xt）}。关于近似对策的值，很容易用相同的证明来检验引理3.1是否适用于V（n）。此外，序列M（n）x，y（τ，γ）在n中不递减，并且从上方以Mx，y（τ，γ）为界。因此序列（V（n））n≥1 n不随V（n）（x，y）减少≤ V（x，y）≤ V（x，y）和V∞（x，y）：=limn→∞V（n）（x，y）（A.2）表示所有（x，y）∈ R+×[0，1]。

特别是V（n）≤ V表示γn≥ γ*:= inf{t≥ 0 | V（Xt，Yt）=G（Xt）}对于所有n≥ 由于V（n）在n中不递减，那么γnis不递增，我们设置γ∞:= 画→∞γn，现在我们的目标是显示V∞≥ 所以（A.2）表示V=V，因此该值存在，并且与V一致∞. 对于所有τ∈ T，我们有m（n）x，y（τ，γn）=Ex，yhe-rτG（n）（Xτ）1{τ≤γn}+e-rγnG（n）（Xγn）1{γn<τ}i=Ex，ye-rτG（Xτ）1{τ≤γn}+e-rγnG（Xγn）1{γn<τ}- Ex，ye-rτ（Xτ- n） 1{Xτ≥n} {τ≤γn}.请注意0≤ Ex，y[e-rτ（Xτ- n） 1{Xτ≥n} {τ≤γn}]≤ Ex，y[e-rτXτ{Xτ≥n} （A.3）并回顾Ex，y[e-rτXτ]≤ x乘以（2.5）。（A.3）weobtainlimn中的支配收敛→∞Ex，y[e-rτ（Xτ- n） 1{Xτ≥n} {τ≤γn}]=0。另一方面，Fatou引理意味着lim infn→∞Ex，ye-rτG（Xτ）1{τ≤γn}+e-rγnG（Xγn）1{γn<τ}≥Ex，ye-rτG（Xτ）1{τ≤γ∞}+ e-rγ∞G（Xγ∞)1{γ∞<τ}= Mx，y（τ，γ∞).收集上述限值，我们推断→∞M（n）x，y（τ，γn）≥ Mx，y（τ，γ∞).（A.4）现在，对于ε>0，设τε为mx，y（τε，γ∞) ≥ supτMx，y（τ，γ∞) - ε。利用γ在逼近问题中的最优性，和（A.4），我们得到v∞（x，y）=limn→∞V（n）（x，y）=limn→∞supτM（n）x，y（τ，γn）≥ lim信息→∞M（n）x，y（τε，γn）≥ Mx，y（τε，γ∞) ≥ supτMx，y（τ，γ∞) - ε≥V（x，y）- ε。32 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST’EPHANE Villeneuv最终，lettingε→ 0和回忆（A.2），我们得到v（x，y）≥ 五、∞（x，y）≥ V（x，y），因此存在值V：=V∞. 作为副产品，我们还得到γ∞对于玩家2来说是最优的，即isV（x，y）=supτMx，y（τ，γ∞).接下来我们要证明γ的最优性*和V的超/次鞅性质。对于所有n和任意τ∈ T我们有（见[16，第2.1条]）V（n）（x，y）≥Ex，y[e-r（τ∧γn）V（n）（Xτ∧γn，Yτ∧γn）]=Ex，y[e-rτV（n）（Xτ，Yτ）1{τ≤γn}]+Ex，y[e-rγnG（Xγn）1{τ>γn}]≥Ex，y[e-rτV（n）（Xτ，Yτ）1{τ≤γn}]+Ex，y[e-rγnV（Xγn，Yγn）1{τ>γn}]=Ex，Y[e-r（τ∧γn）V（Xτ∧γn，Yτ∧γn）]+Ex，y[e-rτ（V（n）（Xτ，Yτ）- V（Xτ，Yτ））1{τ≤γn}]在第二个不等式中，我们使用了G≥ 五、

现在我们把极限取为n→ ∞.回顾V（n）≤ V，该0≤ V（x，y）≤ x+ε和e-rτXτ是可积的，上面最后一个表达式中的第二项通过支配收敛收敛收敛到零。此外，Fatou引理产生，（A.5）V（x，y）≥ Ex，y[e-r（τ∧γ∞)V（Xτ∧γ∞, Yτ∧γ∞)].自τ起∈ T是任意的过程e-r（t∧γ∞)V（Xt∧γ∞, 年初至今∧γ∞), t型≥ 0是一个超级鞅。注意到γ∞≥ γ*选择τ=ρ∧ γ*in（A.5），对于某些ρ∈ T，我们也看到过程e-r（t∧γ*)V（Xt∧γ*, 年初至今∧γ*), t型≥ 0是一个超鞅。由于它是一个非负超鞅，Fatou引理givesV（x，y）≥ lim信息→∞Ex，y[e-r（t∧γ*)V（Xt∧γ*, 年初至今∧γ*)] ≥ Ex，y[e-rγ*V（Xγ*, Yγ*)]因此，超鞅是闭合的。最后，我们证明了γ*最适合卖家，即玩家2。我们有v（x，y）≥ Ex，y[e-r（τ∧γ*)V（Xτ∧γ*, Yτ∧γ*)]= Ex，y[e-rτV（Xτ，Yτ）1{τ≤γ*}] + Ex，y[e-rγ*G（Xγ*)1{τ>γ*}]≥ Ex，y[e-rτG（Xτ）1{τ≤γ*}] + Ex，y[e-rγ*G（Xγ*)1{τ>γ*}]= Mx，y（τ，γ*)取τ的上确界给出策略γ的最优性*对于玩家2。证明次鞅性质还有待进一步的研究。让我们表示（A.6）S（n）=（x，y）∈ R+×[0，1]| V（n）（x，y）=G（n）（x）,玩家1的停止区域。请注意，类似集合可以相对定义为V和G（见（4.2））。在第4节中，通过使用V的连续性和单调性，在引理4.2中证明了Sar的性质。同样的方法也可以应用于V（n），以验证S（n）的类似性质。准确地说，值得注意的是，如果x≤ x个≤ 其中n。引理4.2中（iii）的其余部分如下：+∞) ×[0，1] S、 推论4.5也是如此。

特别是存在一个非递增的下半连续映射b（n）：[0，1]→ R+使得对于x≥ K保持（x，y）∈ S（n）<=> x个≥ b（n）（y）。具有不完全信息的DYNKIN博弈33观察if（x，y）∈ S（n+1）是这样的，x<n，我们有v（n）（x，y）≤ V（n+1）（x，y）=G（n+1）（x）=G（x）=G（n）（x），这意味着（x，y）∈ S（n）。再加上，∞) ×[0，1] S（n），这意味着S（n+1） S（n）。通过同样的论证，我们证明了S（n） S、 我们得出序列b（n）是非递减的，τ是停止时间的非递减序列，因此τ∞:= limnτn≤ τ*. 此外，如果（x，y）∈ R+×[0，1）是这样的：x<b（y），然后V（x，y）>G（x），对于足够大的n，我们有V（n）（x，y）>G（x）=G（n）（x），这意味着x<b（n）（y）。我们推导出b（n）逐点收敛到bon（0，1）。现在，我们证明τ∞= τ*. 自τ起∞≤ τ*, 这足以证明等式在{τ}上几乎肯定保持Px，y∞< ∞}. 对于（x，y）∈ 这种说法微不足道。固定（x，y）/∈ 砂ω∈ {τ∞< ∞}. 由于序列（b（n））n∈Nis非递减，然后为固定m∈ N和任意N≥ 我们有b（n）（Yτn（ω））≥ b（m）（Yτn（ω））。后者意味着LIM infn→∞b（n）（Yτn（ω））≥ b（m）（Yτ∞（ω） ）使用Yτn（ω）→ Yτ∞（ω） 还有。在上述表达式的右侧取m的上确界，并回顾b（m）↑ B点式we结论信息→∞b（n）（Yτn（ω））≥ b（Yτ∞(ω)).（A.7）自Xτn起≥ b（Xτn），Px，y-a.s.对于所有n∈ N、 使用路径连续性和（A.7），wealso findxτ∞= 画→∞Xτn≥ lim信息→∞b（n）（Yτn）≥ b（Yτ∞) Px，y-a.s.，表示τ∞≥ τ*, Px，y-a.s.按要求。最后，我们注意到过程e-r（t∧τn）V（n）（Xt∧τn，Yt∧τn）是所有n的次鞅≤ τn+p对于所有n，p≥ 0，我们推导出v（n+p）（x，y）≤ Ex，y[e-r（t∧τn）V（n+p）（Xt∧τn，Yt∧τn）]。出租p→ ∞, 单调收敛意味着v（x，y）≤ Ex，y[e-r（t∧τn）V（Xt∧τn，Yt∧τn）]，适用于所有n。

取n→ ∞ 并回顾e-r（t∧τn）V（Xt∧τn，Yt∧τn）≤ sups公司∈[0，t]e-rsXs∈L（Px，y），有界收敛意味着v（x，y）≤ Ex，y[e-r（t∧τ*)V（Xt∧τ*, 年初至今∧τ*)].上述结果和马尔可夫性质表明，e-r（t∧τ*)V（Xt∧τ*, 年初至今∧τ*) 是asub鞅。附录B.引理证明6.2考虑到边界C和B，证明更容易进行。但是，由于问题公式与坐标（x，y）和（z，y）的等价性，我们不会失去一般性。我们为k>0提供了一个完整的参数，但对k<0提供了一个完全对称的证明。由于cis不递减，且Y在（0，1）的所有点上都不退化，因此，算术对数定律意味着^τ*= ˇτ，P-a.s.类似地，如果（Z，Y）从上方击中线yK（·），则它将立即向下穿过线yK（·）。34 TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST’EPHANE Villeneuvefore对于与边界cwe相关的相同结果，请重复【5，Cor.8】中的步骤。特别是让我们介绍一些符号^γε：=inf{t>0 | Yt≥ c（Zt）+ε}，γδε：=inf{t>δ| Yt≥ c（Zt）+ε}（B.1）γε：=inf{t>0 | Yt>c（Zt）+ε}，γδε：=inf{t>δ| Yt>c（Zt）+ε}（B.2），因此*= ^γ和ˋγ=ˋγ。我们有^γ+：=limε→0^γε=ˋγ和^γδ≤ ^γδ+：=limε→0^γδε= ˇγδ.假设对于任何（z，y）∈ RKwe havePz，y（ˋγδ>t）≤ Pz，y（γδ>t）（B.3），因此ˋγδ=γδ，Pz，y-a.s.然后ˋγ=limε→0^γε=limε→0limδ→0^γδε=limδ→0limε→0^γδε=limδ→0ˇγδ=limδ→0^γδ= ^γ= ^γ*其中，最后一个极限很容易通过定义γδ来验证，我们可以互换该极限，因为γδε在δ和ε中均不递减。现在仍需验证（B.3）。我们首先注意到，形式（δ，t）的任何区间都可以分解为可数个区间的并集，在该并集上，c是严格递增或fl。考虑后者，即让我 R是c（ζ）=yf或ζ的区间∈ I和固定y∈ （0，1）。

同时固定（z，y）∈ RK，那么立即检查事件{γ*∈ 一} 一个有^γ*= ˇγ，Pz，y-a.s.，因为在到达后立即穿过Ya。这尤其意味着Pz，y（Ys≤ c（Zs），s∈ 一） =Pz，y（Ys<c（Zs）），s∈ 一） 。（B.4）下一步我们∈ （0，δ/2），因此对于h∈ （0，h）我们有c（Zs）≤ c（Zs+h），Pz，y-a.s.，因为cand Z是非递减的。此外，当CIS严格增加时，不等式是严格的。因此，后一种考虑和（B.4）implyPz，y（ˋγδ>t）=Pz，y（Ys≤ c（Zs），s∈ （δ，t]）≤Pz，y（Ys<c（Zs+h），s∈ （δ，t））=Pz，y（Yr-h<c（Zr），r∈ （δ+h，t+h）≤Pz，y（年-h<c（Zr），r∈ （δ+h，t]）≤Py（年-h<c（z+kr），r∈ （δ+h，t）），其中，在最后一个表达式中，我们明确表示了Z，因此可以有效地将其视为“时间”变量。现在我们分别用py和mYthe概率转移密度和Y的速度度量来表示。然后利用Y的马尔可夫性质得到pz，Y（ˋγδ>t）≤Py（年-h<c（z+kr），r∈ （δ+h，t））=EyhPYδ/2-h类年-δ/2<c（z+kr），r∈ （δ+h，t）i=ZpY（δ/2- h、 y，ξ）Pξ年-δ/2<c（z+kr），r∈ （δ+h，t）mY（dξ）。舍夫定理（见[4]第224页）保证→0Z | pY（δ/2- h、 y，ξ）- pY（δ/2，y，ξ）| mY（dξ）=0A不完全信息的DYNKIN对策35因此意味着将极限作为h→ 0我们得到pz，y（ˋγδ>t）≤ZpY（δ/2，y，ξ）Pξ年-δ/2<c（z+kr），r∈ （δ+h，t）mY（dξ）=Py（Yr<c（z+kr），r∈ （δ+h，t））=Pz，y（γδ+h>t）。现在让h→ 0我们发现（B.3）如所述，因为很容易验证^γδ+h↓ ^γδ.附录C.完全信息博弈：结果摘要在本附录中，我们简要总结了关于完全信息博弈看涨期权问题中停止区域的现有结果，即当y为0或1时。

以下材料基于[35]中的结果，y=1，y=0。我们回忆起（1.3）中的Mx，y（τ，γ），并强调这里的y={0，1}。用V表示∞当没有可能的卖方扫描单元时（即γ=+∞):五、∞（x，y）：=supτMx，y（τ+∞)当γ=γK时，问题的值，即{K}的击中时间X:VK（X，y）：=supτMx，y（τ，γK）。我们还通过δ：=inf{δ>0 | limx确定了临界股息水平δ<δ↓KVK（x，1）- εx- K≤ 1} 和δ：=inf{δ>0 | V∞（K，1）<ε}。对于过程X，我们回顾σxf（X）+（r）的基本解- δ） xf（x）- rf（x）=0，x>0是ψ（x）=xλ和φ（x）=xλ，ψ增大（注意λ>1）和φ减小，其中λ<λ求解σλ+（r- δ-σ)λ - r=0。下一个命题总结了[35]和[17，第5.1节]的结果。提案C.1。以下四种情况成立o情况1：如果ε≥ K我们有–S∩ {y=0}=S∩ {y=1}=,– S∩ {y=0}= 和S∩ {y=1}=[λλ-1K+∞).o 情况2：如果ε<K和δ≥ δ我们有–S∩ {y=0}=[K+∞) 和S∩ {y=1}=.– S∩ {y=0}= 和S∩ {y=1}=[λλ-1K+∞).o 情况3：如果ε<K和δ≤ δ<δ我们有–S∩ {y=0}=[K+∞) 和S∩ {y=1}={K}.-S∩ {y=0}= 和S∩ {y=1}|=[α+∞), 其中α是α- Kαλ- 1.αλ-λ-α- Kαλ- 1.Kλ-λ=εK（λ- λ)αλ-1K1-λ.o 情况4：如果ε<K且0<δ<δ，我们有–S∩ {y=0}=[K+∞) 和S∩ {y=1}=[K，β]36 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST'EPHANE VILLENEUVE–S∩ {y=0}= 和S∩ {y=1}=[α+∞) 其中（α，β）是方程组的唯一解α-Kαλ- 1.αλ-λ-α-Kαλ- 1.βλ-λ=β-K+εβ（λ- λ)αλ-1β1-λβ-K+εβλ- 1.βλ-λ-β-K+εβλ- 1.αλ-λ=α-Kα（λ- λ)βλ-1α1-λ对于上述所有情况，对（γ*, τ*) 定理3.2中定义的不是鞍点ify=0，如果y=1，则为鞍点。参考文献【1】Bain，A.Crisan D.《随机过滤的基本原理》。

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